POLITECHNIKA POZNAŃSKA Wydział Maszyn Roboczych i Transportu
Eksploatacja technicznych środków transportu ĆWICZENIA	Specjalność: Logistyka transportu	Imię i Nazwisko: Marcin Biniek
Prowadzący: dr inż. Michał Libera	Data ćw: 14.01.2011	Ocena:

PRACA KONTROLNA NR 1

DANE:

33
6 23* 42* 58* 88 120

Zad 1. Dokonać estymacji punktowej i przedziałowej średniej wartości i rozrzutu trwałości.

a) Obliczyć średnią trwałość i rozrzut trwałości łożysk tocznych.

$$\overset{\overline{}}{x} = \ \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{x_{i} = 70,43}$$

$$S = \sqrt{\frac{\sum_{i = 0}^{n}\left( \overset{\overline{}}{x} - x_{i} \right)}{n - 1}} = 53,62$$

b) Obliczyć granice przedziału ufności na poziomie istotności 0,1 dla średniej arytmetycznej i odchylenia standardowego.

Granice przedziału ufności dla średniej w populacji przy małej liczbie prób (n≤30) wyznacza się ze wzorów:

- dwustronna granica przedziału

$$\overset{\overline{}}{x} - t_{1 - \frac{\propto}{2}} \bullet \frac{S}{\sqrt{n}} < m < \overset{\overline{}}{x} + t_{1 - \frac{\propto}{2}} \bullet \frac{S}{\sqrt{n}}$$

$$70,43 - 1,699 \bullet \frac{53,62}{\sqrt{30}} < m < 70,43 + 1,699 \bullet \frac{53,62}{\sqrt{30}}$$

53, 8 < m < 87, 1

- dolna jednostronna granica przedziału

$$- \infty < m < \overset{\overline{}}{x} - t_{1 - \propto} \bullet \frac{S}{\sqrt{n}}$$

$$- \infty < m < 70,43 - 1,311 \bullet \frac{53,62}{\sqrt{30}}$$

−∞<m < 57, 6

- górna jednostronna granica przedziału

$$\overset{\overline{}}{x} + t_{1 - \propto} \bullet \frac{S}{\sqrt{n}} < m < \infty$$

$$70,43 + 1,311 \bullet \frac{53,62}{\sqrt{30}} < m < \infty$$

83, 3 < m < ∞

Granice przedziału ufności dla odchylenia standardowego przy małej liczbie prób (n≤30) wyznacza się ze wzorów:

- dwustronna granica przedziału

$$S \bullet \sqrt{\frac{n - 1}{\chi_{1 - \frac{\propto}{2}}^{2}}} < \sigma < S \bullet \sqrt{\frac{n - 1}{\chi_{\frac{\propto}{2}}^{2}}}$$

$$53,62 \bullet \sqrt{\frac{30 - 1}{42,6}} < \sigma < 53,62 \bullet \sqrt{\frac{30 - 1}{17,7}}$$

44, 2 < σ < 68, 6

- dolna jednostronna granica przedziału

$$- \infty < \sigma < S \bullet \sqrt{\frac{n - 1}{\chi_{1 - \propto}^{2}}}$$

$$- \infty < \sigma < 53,62 \bullet \sqrt{\frac{30 - 1}{39,1}}$$

−∞<σ < 46, 2

- górna jednostronna granica przedziału

$$S \bullet \sqrt{\frac{n - 1}{\chi_{\propto}^{2}}} < \sigma < \infty$$

$$53,62 \bullet \sqrt{\frac{30 - 1}{19,8}} < \sigma < \infty$$

64, 9 < σ < ∞

2. Czy elementy toczne różnią się istotnie trwałością lub rozrzutem trwałości od pierścieni łożyskowych?

	liczność	średnia trwałość	rozrzut trwałości
Elementy toczne	17	68,29	47,37
Pierścienie	13	73,23	62,78

a) Weryfikacja hipotezy o trwałości:

Hipoteza:

H₀: μ₁=μ₂

H₁: μ₁≠μ₂

Obszar krytyczny:

$$\left( - \infty,t_{\frac{\alpha}{2}} \right) \cup \left( t_{1 - \frac{\alpha}{2}},\infty \right)$$

(−∞,−1,699) ∪ (1,699,∞)

Statystyka:

$$t = \frac{{\overset{\overline{}}{x}}_{1} - {\overset{\overline{}}{x}}_{2}}{\sqrt{\frac{n_{1}S_{1}^{2} + n_{2}S_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2}\left. \ \left( \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}} \right.\ \right)}}$$

$$t = \frac{68,29 - 73,23}{\sqrt{\frac{17 \bullet 2243,9 + 13 \bullet 3941,3}{17 + 13 - 2}\left. \ \bullet \left( \frac{1}{17} + \frac{1}{13} \right.\ \right)}}$$

t = −0, 24

Odpowiedz: Odrzucamy hipotezę H₀ na rzecz hipotezy H_1.

b) Weryfikacja hipotezy o rozrzucie trwałości:

Hipoteza:

H₀: δ₁=δ₂

H₁: δ₁>δ₂

Obszar krytyczny:

$$\left( F_{1 - \frac{\alpha}{2}};\infty \right)$$

(1,96;∞)

Statystyka:

$$F = \frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} = \frac{{47,37}^{2}}{{62,78}^{2}} = 0,57$$

Odpowiedz: Nie ma podstaw do odrzucenie hipotezy H₀.

3. Oszacować po jakiej liczbie obrotów uszkodzeniu ulegnie 5% łożysk, a jaki przebieg osiągnie tylko 5% łożysk.

q_p  =  t_{(n • p + 1)}

q_0, 1  =  t_{(30•0,05+1)} = t_2, 5 ≈ t₂ =  13

Odp: Po przekroczeniu 13 tyś. km przebiegu 5% łożysk ulegnie uszkodzeniu.

q_0, 9  =  t_{(30•0,95+1)} = t_29, 5 ≈ t₂₉ = 170

Odp: 5% łożysk osiągnie 170 tyś. km