Inżynieria Środowiska II semestr stacjonarne	Bernasiński Karol	16.03.2010
Ćw. Nr 7	Badanie drgań wahadła sprężynowego

Uwagi:

1. Wstęp teoretyczny:

Jednym z rodzajów ruchu, często spotykanym w fizyce, jest ruch drgający, w którym ciało porusza się tam i z powrotem po tej samej drodze. Ruchem drgającym porusza się np. ciężarek zawieszony na sprężynie. Szczególnym przykładem ruchu drgającego jest ruch harmoniczny prosty. Ruch harmoniczny prosty występuje wtedy, gdy siła działająca na ciało drgające jest proporcjonalna do wychylenia ciała od położenia równowagi i przeciwnie do niego skierowana. Równanie ruchu punktu o masie m, poddanego działaniu takiej siły, jest następujące:

ma = −kx

gdzie a jest przyspieszeniem masy m, x – jej wychyleniem od położenia równowagi, a k – współczynnikiem proporcjonalności.

Celem tego doświadczenia jest obserwacja ruchu harmonicznego ciężarka zawieszonego na sprężynie, tzw. wahadła sprężynowego. Ciężarek zawieszony na sprężynie spoczywa w położeniu, które jest położeniem równowagi. Jeśli ciężarek pociągniemy w dół poniżej położenia równowagi i puścimy, zacznie on wykonywać drgania w górę i w dół. Na ciężarek spoczywający w położeniu równowagi działają dwie siły, które muszą się wzajemnie równoważyć. Są to siła ciężkości Q = mg działająca pionowo w dół i siła sprężystości F rozciągniętej sprężyny, zwrócona przeciwnie do kierunku odkształcenia.

Gdy ciężarek jest odchylony o x w górę bądź w dół od położenia równowagi, pojawia się niezrównoważona siła sprężystości F, proporcjonalna do x (prawo Hooka):

F = −kx

Stała k oznacza tutaj współczynnik sprężystości sprężyny.

Nr płytki	Łączna masa m*10^−3 [kg]	Siła F*10^−3 [N]	Wydłużenie sprężyny x*10^−2 [m]	Czas 50 drgań t [s]	Okres Drgań T [s]
0	0		0,022	28,605	0,572
1	0,0335	0,534	0,059	36,84	0,737
2	0,06717	0,864	0,118	44,14	0,883
3	0,10075	1,194	0,178	50,32	1,006
4	0,13432	1,524	0,236	56,02	1,12
5	0,16794	1,853	0,297	61,54	1,231
6	0,20157	2,183	0,358	66,65	1,333
7	0,23522	2,513	0,418	71,17	1,423
8	0,26889	2,844	0,477	75,2	1,504
9	0,3025	3,173	0,538	79,13	1,583

Masa sprężyny: 62,21 g

Masa szalki: 21,00 g

_dx = 0, 1 cm

_ex = 0, 2 cm

_dt = 0, 001 s

_et = 0, 02 s

_dm = 0, 01 g 

_em = 0, 02 g

1. Obliczenia

• Okresy drgań $T = \frac{t}{50}$

$T_{0} = \frac{0,22}{50} = 0,572\ s$ $T_{1} = \frac{36,84}{50} = 0,737\ s$

$T_{2} = \frac{44,14}{50} = 0,883\ s$ $T_{3} = \frac{50,32}{50} = 1,006\ s$

$T_{4} = \frac{56,02}{50} = 1,12\ s$ $T_{5} = \frac{61,54}{50} = 1,231\ s$

$T_{6} = \frac{66,65}{50} = 1,333\ s$ $T_{7} = \frac{71,17}{50} = 1,423\ s$

$T_{8} = \frac{75,2}{50} = 1,504\ s$ $T_{9} = \frac{79,13}{50} = 1,583\ s$

• Siła F = mg (m= masa płytek + masa szalki)

F₁ = m * g = (0,0335+0,021) * 9, 81 = 0, 534 N

F₂ = 0, 864 N F₃ = 1, 194 N

F₄ = 1, 524 N F₅ = 1, 853 N

F₆ = 2, 183 N F₇ = 2, 513 N

F₈ = 2, 844 N F₉ = 3, 173 N

• Wartość współczynnika k ze wzoru $k = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\left( m + \frac{1}{3}m_{s} \right)$

gdzie, m = masa płytek + masa szalki , m_s = masa sprężyny

$$k_{1} = \frac{4*{3,14}^{2}}{{0,737}^{2}}\left( 0,0335 + 0,021*\frac{1}{3}0,06221 \right) = 5,462\ $$

k₂ = 5, 507 k₃ = 5, 561

k₄ = 5, 524 k₅ = 5, 458

k₆ = 5, 394 k₇ = 5, 395

k₈ = 5, 405 k₉ = 5, 409

k_sr = 5, 457

• Wartość współczynnika k metodą regresji liniowej

$$a = \left\lbrack n\left( \sum_{i = 1}^{n}{F_{i}x_{i}} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}F_{i} \right)\left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right) \right\rbrack*\frac{1}{x}$$

$$x = n\left( \sum_{i = 1}^{n}F_{i}^{2} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}F_{i} \right)^{2}$$

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - aF_{i} \right)^{2}}{n - 2}}$$

$$S_{a} = \sigma\sqrt{\frac{n}{x}}$$

$$k = \frac{1}{a}$$

$$\sum_{i = 1}^{9}F_{i}^{2} = 37,45$$

$$\sum_{i = 1}^{9}{F_{i} = 16,68}$$

$$\sum_{i = 1}^{9}{F_{i}x_{i} = 6,15}$$

$$\sum_{i = 1}^{9}{x_{i} = 2,68}$$

$$\sum_{i = 1}^{9}{\left( x_{i} - aF_{i} \right) = - 0,35}$$

$$x = \ n\left( \sum_{i = 1}^{n}F_{i}^{2} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}F_{i} \right)^{2} = 9*37,45 - \left( 16,68 \right)^{2} = 58,764$$

$$a = \left\lbrack n\left( \sum_{i = 1}^{n}{F_{i}x_{i}} \right) - \left( \sum_{i = 1}^{n}F_{i} \right)\left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right) \right\rbrack*\frac{1}{x} = \left( 9*6,15 - 16,68*2,68 \right)*\frac{1}{58,764} = 0,182$$

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - aF_{i} \right)^{2}}{n - 2}} = \sqrt{\frac{\left( - 0,35 \right)^{2}}{9 - 2}} = \sqrt{\frac{0,1225}{7}} = \sqrt{0,0175} = 0,132$$

$$S_{a} = \sigma\sqrt{\frac{n}{x}} = 0,132\sqrt{\frac{9}{58,764}} = 0,132*0,391 = 0,0516$$

$$k = \frac{1}{a} = \frac{1}{0,182} = 5,494$$

1. Niepewności pomiarowe

• Niepewności standardowe

$$u_{x} = \sqrt{\frac{\left(_{d}x \right)^{2} + \left(_{e}x \right)^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{{0,1}^{2} + {0,2}^{2}}{3}} = 0,128\ cm = 0,00128\ m$$

$$u_{t} = \sqrt{\frac{\left(_{d}t \right)^{2} + \left(_{e}t \right)^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{{0,001}^{2} + {0,02}^{2}}{3}} = 0,0115\ s$$

$$u_{m} = \sqrt{\frac{\left(_{d}m \right)^{2} + \left(_{e}m \right)^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{{0,01}^{2} + {0,02}^{2}}{3}} = 0,0128\ g = 0,0000128\ kg$$

$$u_{T} = \frac{u_{t}}{50} = \frac{0,0115}{50} = 0,00023\ s$$

• Niepewność dla współczynnika k

k	(k-kśr)^2
5,462	0,000025
5,507	0,0025
5,561	0,010816
5,524	0,004489
5,458	0,000001
5,394	0,003969
5,395	0,003844
5,405	0,002704
5,409	0,002304
Średnia	Suma $\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{9}}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{x}_{\mathbf{sr}} \right)^{\mathbf{2}}$
5,457	0,030652

$$u_{k} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{x}_{\mathbf{sr}} \right)^{\mathbf{2}}}{n\left( n - 1 \right)}} = \sqrt{\frac{0,030652}{72}} = 0,206\ $$

• Niepewność współczynnika k z regresji liniowej :

$$u_{k} = \sqrt{\left( \frac{- 1}{a^{2}}*S_{a} \right)^{2}} = \sqrt{\left( \frac{- 1}{{0,182}^{2}}*0,0516 \right)^{2}} = 0,15$$