Rozkład Studenta

[edytuj]

Z Wikipedii

(Przekierowano z Test t Studenta)

Skocz do: nawigacji, szukaj

Rozkład t-Studenta
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry
Nośnik
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Wartość oczekiwana (średnia)
Mediana
Moda
Wariancja
Współczynnik skośności
Kurtoza
Entropia
Funkcja generująca momenty
Funkcja charakterystyczna
Odkrywca

Rozkład Studenta – (rozkład t lub rozkład t-Studenta) ciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często w statystyce w procedurach testowania hipotez statystycznych i przy ocenie błędów pomiaru. Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje zagadnienie oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, jeśli dysponujemy tylko wynikami n pomiarów, dla których możemy wyznaczyć takie parametry, jak średnia i odchylenie standardowe lub wariancja („z próby”), nie znamy natomiast odch. standardowego w populacji. Zagadnienie to rozwiązał (w 1908r.) W.S.Gosset (pseudonim Student) podając funkcję zależną od wyników pomiarów X_i, a niezależną od .

Spis treści [ukryj] 1 Definicja 2 Gęstość prawdopodobieństwa 3 Własności 4 Zastosowania 5 Zobacz też 6 Bibliografia 6.1 Tablice statystyczne 6.2 Linki zewnętrzne

Definicja [edytuj]

Rozkład Studenta z stopniami swobody jest rozkładem zmiennej losowej postaci:

gdzie:

• jest zmienną losową zestandaryzowaną, czyli mającą standardowy rozkład normalny ,

• jest zmienną losową o rozkładzie chi kwadrat o stopniach swobody,

• oraz są zmiennymi losowymi niezależnymi.

Gęstość prawdopodobieństwa [edytuj]

Zmienna losowa określona powyżej ma gęstość prawdopodobieństwa opisaną wzorem:

gdzie to funkcja gamma.

Własności [edytuj]

Powyższy wzór określa całą rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa zależną od parametru – liczby stopni swobody rozkładu Studenta. Rozkłady te są symetryczne, jednomodalne, dla dużych wartości zmierzają do standardowego rozkładu normalnego N(0,1). Dla małych różnią się jednak od rozkładu normalnego: rozkład Studenta o stopniach swobody ma skończone momenty tylko do rzędu ν − 1, w szczególności dla ν = 1 rozkład Studenta jest identyczny z rozkładem Cauchy'ego i nie posiada żadnych skończonych momentów (nie istnieje nawet wartość średnia).

Własności te ilustruje poniższy wykres przedstawiający gęstości rozkładu Studenta dla kilku wartości liczby stopni swobody ν w zestawieniu z gęstością standardowego rozkładu normalnego N(0,1).

Zastosowania [edytuj]

Zastosowania rozkładu Studenta w metrologii i statystyce opierają się w większości na następujących dwóch twierdzeniach:

1. Niech zmienne losowe mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej i wariancji oraz niech zmienna będzie określona wzorem:

gdzie jest wartością średnią z próby, zaś - odchyleniem standardowym z próby.

Wówczas zmienna ma rozkład t-Studenta o ν = n − 1 stopniach swobody (niezależny od wartości wariancji w populacji σ²).

1. Jeżeli dwie próby o liczebnościach n₁ oraz n₂, wartościach średnich oraz i wariancjach wyznaczonych z próby oraz zostały wylosowane z populacji mających taki sam rozkład normalny, to zmienna t określona wzorem:

ma rozkład t-Studenta o ν = n₁ + n₂ − 2 stopniach swobody.

Rozkład t jest stosowany w estymacji przedziałowej, w testach parametrycznych, w szczególności dla wartości średnich i dla wariancji oraz w testach istotności parametrów statystycznych - gdy mamy do czynienia z próbami małymi (najczęściej arbitralnie przyjmuje się, że próba jest mała gdy jej liczebność ).

W metrologii rozkład Studenta wykorzystywany jest m.in. przy estymacji odchylenia standardowego (dla pojedynczego pomiaru oraz wartości oczekiwanej). Dla dużych prób (n > 30) praktycznie pokrywa się z rozkładem normalnym, dla mniejszych estymator odchylenia należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody ν = n − 1 i przyjętego poziomu istotności .

Najczęściej potrzebne są w zastosowaniach kwantyle rozkładu Studenta, to znaczy takie wartości , że lub Wartości te podają tablice rozkładu t-Student