Paulina Fijał

Aneta Balcarek WNoŻ / Towaroznawstwo piątek, 8:15

Sprawozdanie z ćwiczenia 362.

Temat: Wyznaczanie ogniskowej soczewek metodą Bessela i pomiar promieni krzywizny za pomocą sferometru.

1. Cel ćwiczenia

1.1. Wyznaczanie ogniskowej soczewek metodą Bessela i pomiar promieni krzywizny za pomocą sferometru.

1.2. Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej i rozpraszającej.

1.3. Pomiar promieni krzywizn i wyznaczanie współczynnika załamania światła.

2. Wstęp teoretyczny

Soczewka sferyczna to substancja załamująca światło, ograniczona dwiema powierzchniami kulistymi o promieniach krzywizny R₁ i R₂.Prostą przechodzącą przez środki krzywizn obu powierzchni nazywamy osią główną soczewki.

Ognisko główne soczewki skupiającej stanowi punkt, w którym przecinają się po załamaniu w soczewce promienie równoległe do głównej osi optycznej. W ognisku głównym soczewki rozpraszającej przecinają się przedłużenia promieni załamanych w soczewce, padających na nią równolegle do osi głównej. Odległość ogniska od środka soczewki nazywamy ogniskową soczewki i oznaczamy literą ƒ.

Soczewka skupiająca Soczewka rozpraszająca

Ogniskowa soczewki zależy od współczynnika załamania materiału, z którego jest soczewka wykonana oraz od jej promieni krzywizn R₁ i R₂. W przypadku

Soczewek cienkich ogniskową możemy obliczyć ze wzoru:

- ogniskowa soczewki

, - promienie krzywizn soczewek [m]

- współczynnik załamania światła

Promień krzywizny wypukłej jest dodatni, a powierzchni wklęsłej jest ujemny.

Wielkość D =1/ƒ nazywamy zdolnością zbierającą soczewki.

Jednostką zdolności zbierającej jest dioptria [D] 1D=1/m .

Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej i rozpraszającej metodą Bessela.

Odległości a i b (przedmiotu i obrazu od soczewki) są zmienne, tzn. przy stałej odległości l przedmiotu od ekranu istnieją dwie pozycje soczewki, przy której na ekranie otrzymujemy ostry obraz: raz – powiększony, drugi raz pomniejszony. Obie sytuacje różnią się między sobą, tym że odległość a i b zmieniają się rolami. Zgodnie z oznaczeniami: a = b’ , b = a’, czyli :

a + b = l i a – b = d .

Wyznaczone w ten sposób odległości a i b podstawiamy do równania soczewek:

Otrzymujemy wówczas następujący wzór na ogniskową ƒ.

ƒ=

Ponieważ soczewki rozpraszające nie dają obrazów rzeczywistych, łączymy soczewkę rozpraszającą z soczewką skupiającą w układ soczewek. Przekształcając wzór 1/ƒ_u=1/ƒ₁+1/ƒ₂ otrzymujemy:

ƒ₂=(ƒ_1*ƒ_u) : ƒ₁-ƒ_u

schemat budowy ławy optycznej

Wyznaczanie promienia krzywizny soczewek przy udziale sferometru .

Wysokość h czasy kulistej możemy zmierzyć za pomocą sferometru. Zasadniczym elementem pomiarowym sferometru jest ruchoma, pionowa śruba mikrometryczna o dokładności 0,01 mm.

Promień R krzywizny soczewki, promień podstawy r czaszy kulistej i wysokość h czaszy spełniają związek:

r²= (2R-h)h

Okrąg stanowiący podstawę czaszy kulistej jest okręgiem opisanym na trójkącie równobocznym o boku c , utworzonym przez podstawę sferometru. Zachodzi związek:

r = c/, który po podstawieniu do w/w wzoru na promień krzywizny :

R = c²/6h + h/2

Zatem mierząc c i h możemy wyznaczyć promień krzywizny. Wysokość czasy kulistej jest różnicą między wskazaniem sferometru ustawionego na powierzchni płaskiej i wskazaniem po ustawieniu sferometru na jednej z powierzchni badanej soczewki.

Współczynnik załamania materiału obliczamy :

n = R₁R₂ / ƒ( R₁ +R₂) + 1

3. Obliczenia

a)Długość ogniskowej dla soczewki skupiającej:

$$\mathbf{f}\mathbf{1}\mathbf{=}\frac{\mathbf{l}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{d}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}\mathbf{l}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{(1,2)}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{(0,789)}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4 \times 1,2}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{0,8016}}{\mathbf{4,8}}\mathbf{\approx 0,167\lbrack m\rbrack}$$

b) Długość ogniskowej dla układu soczewek:

$$\mathbf{fu =}\frac{\mathbf{l}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{d}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}\mathbf{l}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1,2}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{0,151}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4 \times 1,2}}\mathbf{= 0,295\ \lbrack m\rbrack}$$

c) Ogniskowa soczewki rozpraszającej:

$$\mathbf{f}\mathbf{2 =}\frac{\mathbf{\ \ \ \ f1 \times fu}}{\mathbf{f}\mathbf{1 - fu}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,167 \times 0,295}}{\mathbf{0,167 - 0,295}}$$

d)Średnia wartość długości boku trójkąta c:

C = $\frac{\mathbf{\text{\ \ }}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{021}\mathbf{+}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{022}\mathbf{+}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{021}}{\mathbf{3}}\mathbf{\approx}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0213}$

d) Średnia wartość położenia zerowego h:

$$\mathbf{h}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,044 + 0,044 + 0,044}}{\mathbf{3}}\mathbf{= 0,044\ \lbrack m\rbrack}$$

e) średnia h₁ dla soczewki skupiającej na powierzchni I:

$$\frac{\mathbf{0,624 + 0,624 + 0,624}}{\mathbf{3}}\mathbf{= 0,624\lbrack m\rbrack}$$

f)różnica h₁-h₀ dla soczewki skupiającej na powierzchni I:

h= 0,624-0,044=0,58[m]

g)Promień krzywizny dla soczewki skupiającej na powierzchni I:

$$\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{c}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{6}\mathbf{h}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{2}}\mathbf{= 0,027\lbrack m\rbrack}$$

h) średnia h₂ dla soczewki skupiającej na powierzchni II:

h₂$\mathbf{=}\frac{\mathbf{\ }\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0635}\mathbf{+}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0635}\mathbf{+}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0635}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0635}$

i) różnica h₂-h₀ dla soczewki skupiającej na powierzchni II:

h=0,0635-0,0440=0,0195

j)Promień krzywizny dla soczewki skupiającej na powierzchni II:

$\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{\ \ }}\mathbf{c}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{6}\mathbf{h}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0605}$[m]

k) Współczynnik załamania światła dla soczewki skupiającej:

$$\mathbf{n =}\frac{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{f(}\mathbf{R}_{\mathbf{1\ }}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{)}}\mathbf{+ 1 = 1,7253}$$

l) Średnia h₁ dla soczewki rozpraszającej na powierzchni I:

$$\mathbf{h}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{5,1035 + 5,1035 + 5,1035}}{\mathbf{3}}\mathbf{= 5,1035\lbrack m\rbrack}$$

m) różnica h₁ –h₀ dla soczewki rozpraszającej na powierzchni I:

h=5,1035-0,0440=0,007[m]

n)Promień krzywizny dla soczewki rozpraszającej na powierzchni I:

$$\mathbf{R}_{\mathbf{1\ }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{c}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{6}\mathbf{h}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{2}}\mathbf{= 0,1072}$$

o)średnia h₂dla soczewki rozpraszającej na powierzchni II:

$$\mathbf{h}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,0701 - 0,0701 - 0,0701}}{\mathbf{3}}\mathbf{= 0,0701\lbrack m\rbrack}$$

p) różnica h₂-h₀ dla soczewki rozpraszającej na powierzchni II:

h₂= 0,0701-0,0441=0,0261

r)Promień krzywizny dla soczewki rozpraszającej na powierzchni II:

$$\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{\ \ }}\mathbf{c}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{6}\mathbf{h}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{2}}\mathbf{= 0,0637\lbrack m\rbrack}$$

s)Współczynnik załamania światła dla soczewki rozpraszającej:

$$\mathbf{n =}\frac{\mathbf{R}_{\mathbf{1\ \ }}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{f(}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{)}}\mathbf{+ 1 = 2,9622}$$

4. Rachunek błędów:

l = 2[mm] = 0, 002[m]

c = max|c−c₁| + 0, 00005 = max|0,0213−0,021| + 0, 00005 ≈ 0, 00035[m]

h = 2 × 0, 01 = 0, 00002[m]

a) Błąd pomiaru ogniskowej soczewki skupiającej:

$$f_{1} = \frac{{(l + d)}^{2}}{4l^{2}}\ \times l = \frac{{(1,2 + 0,798)}^{2}}{4 \times {(1,2)}^{2}} \times 0,002 = 0,001386\lbrack m\rbrack$$

b) Błąd pomiaru promienia krzywizny:

$$R = \left| \frac{c}{3h} \right|c + | - \frac{c^{2}}{6h^{2}} + 0,5|h$$

$$R_{1\ } = \left| \frac{0,0213}{3 \times 0,58} \right| \times 0,00035 + \left| - \frac{{0,0213}^{2}}{6 \times (0,58)^{2}} + 0,5 \right| \times 0,00002 = 0,00000429\left\lbrack m \right\rbrack$$

$$R_{2\ } = \left| \frac{0,0213}{3 \times 0,0195\ } \right| \times 0,00035 + \left| - \frac{\left( 0,0213 \right)^{2}}{6 \times \left( 0,0195 \right)^{2}} + 0,5 \right| \times 0,00002 = 0,000267\lbrack m\rbrack$$

c)Błąd pomiaru współczynnika załamania:

$$n = \frac{R_{2}^{2}R_{1} + R_{2}R_{1}^{2\ }}{\left( f_{1} \right)(R_{1\ } + R_{2})^{2}} + |\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1} + R_{2}}|\frac{f_{1}}{f_{1}^{2}}$$

n = 0, 00169

5.Wnioski i spostrzeżenia

Wyznaczając ogniskową soczewki metodą Bessela dowiedzieliśmy się, że istnieją dwa położenia soczewki między obrazem a ekranem dające ostry obraz. Pomiary dokonywane tą metodą wydają się być w miarę dokładne, ponieważ pozwalają ustalić ogniskową bez wyznaczania dokładnego położenia środka optycznego soczewki. Do wyznaczenia ogniskowej soczewki rozpraszającej trzeba połączyć soczewkę rozpraszającą w układ z soczewką zbierającą ponieważ soczewka rozpraszająca daje tylko obraz pozorny. Przy wyznaczaniu promienia krzywizny jedynym problemem pozostaje tylko prawidłowe odczytanie wskazania sferometru.