ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI

1.Hipoteza badawcza

Zdanie twierdzące, dotyczące przewidywanego wyniku eksperymentu, przeprowadzanego aby odpowiedzieć na pytanie badawcze

5. Czym zajmuje się statystyka?

Zajmuję się ona pozyskiwaniem, prezentacją i analizą danych dotyczących danego zjawiska.

służy do oszacowania nieznanego momentu lub wprost nieznanego parametru zmiennej losowej. Posługuje się eksperymentem do potwierdzania swoich teorii. Statystyka zajmuje się badaniem zjawisk masowych, co pozwala na poznanie natury zjawiska (cechy) i praw nim rządzących. Celem badania statystycznego jest najczęściej poznanie rozkładu danej cechy i oszacowanie charakterystyk tego rozkładu.

6. Rodzaje zmiennych eksperym,entalnych: zmienne ciągłe i zmienne dyskretne

Zmienne ciągłe Jeżeli X jest zmienną losową typu ciągłego zdefiniowaną na przestrzeni probabilistycznej , to wartość oczekiwaną zmiennej losowej X definiuje się jako całkę

Niech X będzie zmienną losową typu dyskretnego. Wartością oczekiwaną nazywa się sumę iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw, z jakimi są one przyjmowane.

Formalnie, jeżeli dyskretna zmienna losowa X przyjmuje wartości z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio , to wartość oczekiwana zmiennej losowej X wyraża się wzorem

.

7.Populacja próba

Populacja jest to zbiór wszystkich elementów podlegającym badaniu statystycznemu. Natomiast próba jest grupa losowo wybranych elementów z populacji

8. Rozkład normalny a rozkład t

Rozkład normalny

1. Rozkład normalny nazywany też rozkładem Gaussa lub krzywą dzwonową jest jednym z najważniejszych rozkładów w statystyce.

2. Wielokrotne powtarzanie tego samego pomiaru daje wyniki porozrzucane wokół tej samej wartości

3. Jeśli l pomiarów zbliży się do nieskończoności wtedy te wartośći stają się ciągłe a krzywą nazywamy krzywą rozkładu Gaussa

Rozkład normalny można opisać poprzez

• Momenty

• Kumulanty

• Funkcje charakterystyczne

• Funkcje gęstośći

• Funkcje tworzące momenty

• Funkcje tworzące kumulanty

• Dystrubanta

Rozkład normalny jest popularny ponieważ:

• Jeśli jakaś wielkość jest sumą lub średnią bardzo wielu drobnych losowych czynników, to niezależnie od rozkładu każdego z tych czynników, jej rozkład będzie zbliżony do normalnego.

• Wiele metod „po cichu” zakłada rozkład normalny pomiarów

Rozkład t –rozkład studenta

Jest to ciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często w statystyce w procedurach testowania hipotez i przy ocenie błędów pomiarów. Używa się go przy małej ilości pomiarów, gdy znana jest wariancja. Nieznane natomiast jest odchylenie standardowe w populacji.

W przeciwieństwie do rozkładu t Studenta, kształt rozkładu normalnego nie zależy od stopni swobody. Im mniejsza jest liczba stopni swobody, tym większa jest różnica między rozkładem normalnym a t Studenta i odwrotnie.

10.zmienna standaryzowana i zmienna centrowana

Zmienna standaryzowana

x - zmienna standaryzowana

σ - odchylenie standardowe populacji

μ - średnia z populacji.

W wyniku standaryzacji

• wartość średnia =0

• odchylenie standardowe =1

zmienna centrowa

Centrowanie danych jest transformacja liniowa (translacja), aby wartości średnie wszystkich zmiennych pokrywały się z początkiem układu współrzędnych jest typową operacją na danych przeznaczonych do analizy podobieństwa.

Centrowanie dokonujemy odejmując od poszczególnych wartości x wartość średnią dla j-tej zmiennej

11.Miary opisujące położenie rozkładu :

Średnia- jest to środek ciężkości danego zbioru (grupie danych)

Mediana – wartość leżąca w środku całej grupy danych

Modalna- wartość pojawiająca się najczęściej w grupie danych

12. Miary opisujące rozrzut wyników: odchylenie standardowe i wariancja

Odchylenie standardowe

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - x_{sr} \right)^{2}}{n - 1}}$$

Wariancja

$$\sigma^{2} = \frac{\left( x_{i} - x_{sr} \right)^{2}}{n - 1}$$

Ani odchylenie standardowe ani wariancja nie mają jednostek

Własności matematyczne wariancji

• im większa zmienność tym większa jest wariancja

• wariancja nie jest w tych samych jednostkach co parament

• wariancja jest wielkością addytywną

13. Prawdopodobieństwo podstawowe aksjomaty

• P(A) jest w przedziale [0,1]

• Dla zdań pewnych P(A) =1

• Dla zdań niemożliwych P(A)=0

• Dla zdań połączonych (powinni eń być znaczek sumy)

P( A1 A2 A3… A4) =P(A1)+P(A2)+P(A3)+…+P(A3)

14.Poziom istotności a poziom ufnośći

Poziom ufności jest to prawdopodobieństwo 1-α związane z przedziałem ufnośći. Często wyrażony w procentach. Np. jeżeli p=95% to oznacza to, że istnieje 95% prawdopodobieństwo, że nasz wynik będzie się znajdował w przedziale domkniętym ograniczonym niepewnością rozszerzoną pomiaru.

Poziom istotności- jest to maksymalne prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju. Określa tym samym maksymalne ryzyko błędu, jakie badacz jest skłonny zaakceptować.

15. Błąd I rodzaju

Błąd polegający na odrzuceniu hipotezy zerowej chociaż jest ona prawdziwa. Oszacowane prawdopodobieństwo występowania błędu I rodzaju jest poziomem istotnośći

17. Idea testowanie hipotez

Testowanie hipotez oznacza sprawdzanie słuszności danej hipotezy (np. czy ilość składnika w tabletkach różni się statystycznie na poziomie 5% od ilości podanej na opakowaniu)

Kroki testowanie hipotezy

1. Ustalenie hipotezy zerowej(H0) i hipotezy alternatywnej (H1)

2. Ustalenie poziomu istotności

3. Ustalenie przedziału ufności (ustalenie obszaru krytycznego testu)

4. Obliczanie statystyki na podstawie próby (np. czy dana wartośc znajduję się w przedziale ufności itp.)

5. Przyjmowanie lub odrzucanie hipotezy zerowej

18.Hipoteza zerowa i hipoteza alternatywna

Hipoteza zerowa- jest to hipoteza jaka podlega weryfikacji. Zakłada ona, że różnica pomiędzy analizowanymi parametrami jest równa 0

Hipoteza alternatywna-hipoteza przeciwstawna do weryfikowanej. Różnica pomiędzy analizowanymi parametrami lub rozkładami jest różna od 0.

19. Test jednostronny i dwustronny

95%jednostronnego testu to jest to samo co 90% test dwustronny

Test jednostronny test dwustronny

20.Precyzja a dokładność metody analitycznej

Precyzja- oznacza jak bardzo otrzymane w toku analizy wyniki są zbliżone do siebie. Dokładność natomiast oznacza jak bardzo otrzymane przez nas wyniki są zbliżone do wartości rzeczywistej. (patrz ostatnie kolokwium z analitycznej)

Precyzja:

$$\left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$

21. Przykłady porównania wartości eksperymentalnych z wartością deklarowaną

Badanie porcji leków. Wartość danego składnika leków nie może statystycznie się różnić od wartości podanej na opakowaniu.

Badania próbek wód mineralnych- czy wartość podana przez producenta różni się od rzeczywistej wartości poszczególnych składników

22. Idea porównywania wartości średnich i przykład zastosowania

Porównywanie wartości średnich zwane też ” Jednoczynnikową analizą wariancji” . Sprawdza się tak czy dane próbki należą do tych samych populacji wyników a różnica między wartościami średnimi jest tylko błędem losowym.

23.Porównywanie wariancji 2 grup pomiarów

W celu sprawdzenia tego, się test f (czy wariancje różnią się statystycznie od siebie)jeśli:

$$F = \frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}$$

W liczniku zawsze będzie większa wariancja

• F > Fkrytycznego to wariancje różnią się statystycznie. (odrzuca się hipotezę zerową)

• F< Fkrytycznego to wariancje nie różnią się statystycznie (przyjmuje się hipotezę zerową)

24.Zmienne zależne i zmienne niezależne

Zmienna zależna(zwana też zmienna objaśnienia) – zmienna której wartość są szacowane przez model statystyczny. Zmienne, które badacz chce wytłumaczyć

Zmienna niezależna (zmienna objaśniająca)- zmienna na postawie której oblicz się zmienną zależną.

zmienna niezależna jest przyczyną danych wartości zmiennej, a skutkiem są zmienne zależne,

które wyjaśniamy i poszukujemy ich.

25.Regresja jednoparametrowa i regresja wieloraka

Regresja wieloraka jest to ilościowe ujęcie związków pomiędzy wieloma zmiennymi niezależnymi a zmienną zależna.

Równanie regresji

y = b +  a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + ... + a_nx_n

Regresja jednoparametrowa jest to ilościowe ujęcie pomiędzy zmienną niezależna a zmienną zależną

Równanie regresji

y = ax + b

Wyraz wolny

b = y_sr  −  ax_sr

$$a = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{\left( x_{i} - x_{sr} \right)\left( y_{i} - y_{sr} \right)}}{\left( x_{i} - x_{sr} \right)^{2}}$$

26. Miary oceny dopasowanie równań regresji do danych eksperymentalnych

• Współczynnik determinacji R²

Informuje o tym, jaka część zmienności zmiennej objaśnianej (zależnej) została wyjaśniona przez model. Jest on więc miarą stopnia, w jakim model wyjaśnia kształtowanie się zmiennej objaśnianej.

- rzeczywista wartość zmiennej Y w momencie t,

- wartość teoretyczna zmiennej objaśnianej (na podstawie modelu),

- średnia arytmetyczna empirycznych wartości zmiennej objaśnianej.

• Współczynnik zbieżności

określa, jaka część zmienności zmiennej objaśnianej nie została wyjaśniona przez model

,

27. Przykłady zastosowania modelu regresji jednoparametrowej w chemii

• W spektrofotometrii, na podstawie równania regresji jednoparametrowej krzywej wzorcowej można ustalić jaka jest ilość badanego związku

28.Wyznaczanie współczynników regresji liniowej metodą najmniejszych kwadratów

y = ax + b

Współczynniki regresji liniowej są to a i b.

$$a = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{\left( x_{i} - x_{sr} \right)\left( y_{i} - y_{sr} \right)}}{\left( x_{i} - x_{sr} \right)^{2}}$$

Wyraz wolny

b = y_sr  −  ax_sr

29.Fundamentalne założenia metody najmniejszych kwadratów

Przyjmujemy następujące założenia dotyczące stosowalności MNK do szacowania wektora w modelu :

(Z1) zmienne objaśniające są nielosowe i nieskorelowane ze składnikiem losowym ,

(Z2) rz(x)=k+1n,

(Z3) E=0,

(Z4) , przy czym

30. Macierz odwrotna, wyznacznik macierzy, rząd macierzy

Macierz Odwrotna

Jeśli dla danej macierzy kwadratowej A istnieje macierzB spełniająca równanie

A * B = B * A = J

To macierz B nazywamy macierzą odwrotną

Wyznacznik Macierzy

Każdej macierzy przyporządkowana jest jedna liczba zespolona lub rzeczywista, która zwana jest wyznacznikiem

Dla macierzy[a11] wyznacznik:

Det[a]=a11

Rząd macierzy

Rząd macierzy nazywamy najwyższy ze stopni tych minorów, które są różne od zera.

31.Obiekty odległe i ich wpływ na wyznaczanie współczynników regresji liniowej

W metodzie najmniejszych kwadratów odległe obiekty powodują, że wyznaczone równanie regresji liniowej może, nie mieć zbyt wiele wspólnego z rzeczywistą zależności pomiędzy zmiennymi. Jest to spowodowane tym, że model ten dostosowuje się do najbardziej oddalonych zmiennych ( w końcu suma różnicy kwadratów musi być jak najmniejsza), powodując tym samym duży błąd. Czyli współczynniki (jak i całe równanie regresji) będzie obarczone dużym błędem

32.Wizualizacja modelu, wizualizacja reszt modelu

Reszty mają rozkład normalny, czyli jeżeli na wykresie e(y) reszty będą się układały w cos przypominające literę u to zależność jest liniowa. Jeśli nie to jest nieliniowa.

33.Model liniowy i model nieliniowy

Model liniowy to taki model wizualizacyjny, w którym możemy wyznaczyć linie trendu (regresje liniową), czyli wtedy, gdy współczynnik korelacji jest bliski 1 lub -1. Oprócz regresji liniowej może być także regresja wieloraka, ale są jej pewne ograniczenia:

- zmienne X są skorelowane

- liczba zmiennych niezależnych jest większa niż liczba próbek

Model nieliniowy -???

34.Współczynnik korelacji Pearsona

$$r = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{\left( x_{i} - x_{sr} \right)\left( y_{i} - y_{sr} \right)}}{\sqrt{\sum_{i = 1\ }^{n}{\left( \left( x_{i} - x_{sr} \right) \right)^{2}\text{\ \ }\sum_{i = 1}^{n}\left( y_{i} - y_{sr} \right)^{2}}}}$$

Własności:

• Wartość współczynnika mieści się w przedziale [-1,1]

• Gdy r=0 to ni ma korelacji

• Gdy r=1 to istnieje dokładna liniowa zależność

• Gdy r=-1 to istnieje dokładna ujemna liniowa zależność

Zastosowania:

35. Na czym polega planowanie eksperymentu

Eksperyment planuje się w celu :

• Poznania jak wpływają poszczególne czynniki na układ

• Modelowania zależności pomiędzy czynnikami a odpowiednimi układami

Efektywny dobór parametrów i warunków eksperymentu pozwala na przeprowadzenie optymalnej procedury przy jak najmniejszej liczbie powtórzeń.

36. Kroki planowania eksperymentu

1. Wybór czynników

2. Wybór zależności czynników danego eksperymentu (patrz rysunki z wykładu)

3. Wybór układu eksperymentalnego

4. Przeprowadzenie eksperymentu

5. Ustalenie wpływu czynników na eksperyment

6. Statystyczna interpretacja wyników

7. Wnioski

38.Plany kompletne

Używane są do badania zależności pomiędzy wynikiem eksperymentu i wartościami wpływającymi na ten wynik. . Najprostszym modelem, jaki może opisywać badaną zależność jest model liniowy będący wielomianem pierwszego stopnia postaci:

F(x₁,x₂,...,x_k) = α_o + α₁x₁ + α₂x₂ + … + α_kx_k

Gdzie F(x₁,x₂,...,x_k) to odpowiedź wyznaczana w wyniku eksperymentu, α_{o –} oszacowanie wyrazu wolnego, a α₁ do α_k to szacowane współczynniki regresji. Plany czynnikowe służą do szacowania współczynnika regresji równania.

39.Czynniki i poziomy czynników

Czynniki można podzielić na:

• Jakościowe –mówią tylko, że dany czynnik ma lub nie ma wpływu na układ

• Ilościowe - np. pH, stężenie modyfikatora(??)

Poziomy czynników

(??)Jak duży wpływ dany czynnik ma na układ.(??)

40.Efekt czynnika, wpływ kombinacji efektów

Efekt czynnika

$$efekt = \left( \sum_{}^{}{pozytywnych\ poziomow} - \sum_{}^{}{negatywnych\ poziomow} \right)2^{f - 1}$$

f- liczba czynników

IM WYŻSZY POZIOM CZYNNIKÓW TYM WYŻSZY WPŁYW CZYNNIKA

Wpływ kombinacji efektów

A	B	C	AB	AC	Y
+	+	+	+	+	1
+	+	-	+	-	2
+	-	-	-	-	3
-	+	+	-	-	4
-	-	+	-	-	5
-	-	-	-	-	6
+	-	+	-	+	7

Czyli

Żeby było AB to musi być obecne i A i B

Żeby było AC to musi być i A i C

41. Optymalizacja jedno, wieloczynnikowa

Optymalizacja jednoczynnikowa eksperymentu

Przykładem takie optymalizacji jest dwuczynnikowy eksperyment ale optymalizujemy jedynie jeden czynnik w czasie. Po prostu optymalizacji podlega jedynie jeden czynnik

Rysunki z wykładu

Optymalizacja wieloczynnikowa

Przykładem takiej optymalizacji jest gdy mamy dwuczynnikowy eksperyment i optymalizujemy 2 czynniki w tym samym czasie. Równoczesna optymalizacja kilku czynników.

Rysunek z wykładu

42. Metoda optymalizacji „simpleks”

Jest to rodzaj krokowej optymalizacji. W tej metodzie pierwsze trzy eksperymenty decydują o kolejnych. Mając rozwiązanie bazowe sprawdzamy czy jest ono optymalne czy nie. Jeżeli dane rozwiązanie nie jest optymalne budujemy kolejne aż do momentu znalezienia rozwiązania optymalnego.

43.Funkcja optymalizacji, płaszczyzna odpowiedzi

Płaszczyzna odpowiedzi

Rysunki z wykładu (??)

Funkcja optymalizacji

Efektywny dobór parametrów i warunków eksperymentów pozwala na przeprowadzenie optymalnej procedury przy jak najmniejszej liczbie eksperymentów

y = f(x1, x2, x3…xn)

(x może być pH, temperatura, ilość modyfikatora)

45. ANOVA

Zwana także analizą wariancji. Jest to metoda statystyczna służącą do badania obserwacji, które zależą od jednego lub wielu działających równocześnie czynników. Za pomocą tej metody można wyjaśnić z jakim prawdopodobieństwem dany czynnik może mieć wpływ na różnice pomiędzy poszczególnymi obserwowanymi średnimi grupowymi. Czyli jaki wpływ ma dany czynnik na układ.

Można ją podzielić na:

• Modele jednoczynnikowe- wpływ każdego czynnika jest rozpatrywany oddzielnie

• Modele wieloczynnikowe – wpływ ro cnych czynników jest rozpatrywany łącznie