Student Wydziału Leśnego SGGW
Niestacjonarne I stopnia , grupa 3
Wojciech P.
I. Zbudować szereg rozdzielczy i przedstawić go graficznie .
Rys.Tabela pomocnicza.
| D | Xi | Ni | Sn | Xi^2 | Xi*Ni | Xi^2*Ni |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 6-8 | 7 | 5 | 5 | 49 | 35 | 245 |
| 8-10 | 9 | 25 | 30 | 81 | 225 | 2025 |
| 10-12 | 11 | 55 | 85 | 121 | 605 | 6655 |
| 12-14 | 13 | 64 | 149 | 169 | 832 | 10816 |
| 14-16 | 15 | 33 | 182 | 225 | 495 | 7425 |
| 16-18 | 17 | 14 | 196 | 289 | 238 | 4046 |
| 18-20 | 19 | 3 | 199 | 361 | 57 | 1083 |
| 20-22 | 21 | 1 | 200 | 441 | 21 | 441 |
| Σ=200 | Σ=2508 | Σ=32736 |
II.Miary położenia:
1.Średnia arytmetyczna wartości szczegółowych :
$$M_{w.\text{szcz}.} = \frac{x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}}{n} = 12,6005$$
Średnia arytmetyczna dla szeregu rozdzielczego :
$$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{200}*2508 = 12,54$$
Porównanie średniej arytmetycznej obliczonej na podstawie szeregu rozdzielczego ze średnią arytmetyczną obliczoną dla wartości szczegółowych :
$\frac{M}{M_{w.\text{szcz}.}} = \frac{12,54}{12,6005} = 0,995$
2.Średnia kwadratowa :
$M_{\text{kw}.} = \sqrt{\frac{\text{Xi}\hat{}2*Ni}{200}} = \sqrt{\frac{32736}{200}} = 12,79$
Porównanie średniej kwadratowej ze średnią arytmetyczną :
$$\frac{M_{\text{kw}.}}{M} = \frac{12,79}{12,54} = 1,02$$
3.Pozycja mediany :
$Me_{\text{sz}.}\ = \frac{200 + 1}{2} = 100,5$ , a więc liczba 100,5 znajduje się na pozycji 12
Mediana :
$$\text{Me} = 12 + \left( 100,5 - 85 \right)*\frac{2}{64} = 12,48$$
4.Modalna :
Mo = M − 3(M−Me) = 12, 37
III.Miary zmienności:
1.Rozstęp :
R = Dmax − Dmin = 20, 5 − 7, 3 = 13, 2
2.Wariancja :
=
3.Odchylenie standardowe :
Porównanie odchylenia standardowego z rozstępem :
$$\frac{}{R} = \frac{2,54}{13,2} = 0,192$$
4.Współczynnik zmienności :
V=
IV. Miary asymetrii :
wskaźnik skośności
1.Wskaźnik skośności :
Wyniki :
| Miary położenia |
|---|
| Średnia wartości szczegółowych |
| Średnia arytmetyczna |
| Średnia kwadratowa |
| Mediana |
| Modalna |
| Miary zmienności |
| Rozstęp |
| Wariancja |
| Odchylenie standardowe |
| Współczynnik zmienności |
| Miary asymetrii |
| Współczynnik skośności |
WYKRESY
Estymacja statystyczna
Próba 10-cio elementowa:
| numer kolejny | numer wylosowany | pierśnica drzewa D | wartość D^2 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 14 | 11,4 | 129,96 | |
| 2 | 35 | 17 | 289 | |
| 3 | 61 | 12,7 | 161,29 | |
| 4 | 102 | 10,8 | 116,64 | |
| 5 | 113 | 10,5 | 110,25 | |
| 6 | 129 | 7,7 | 59,29 | |
| 7 | 142 | 12,8 | 163,84 | |
| 8 | 158 | 15,1 | 228,01 | |
| 9 | 170 | 8,7 | 75,69 | |
| 10 | 192 | 16,1 | 259,21 | |
| Σ=122,8 | Σ=1593,18 |
1.Średnia arytmetyczna :
$$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{10}*122,8 = 12,28$$
2.Wariancja :
3.Odchylenie standardowe :
$$\sigma = \sqrt{9,466} = 3,08$$
4.Wielkość błędu standardowego :
$$s = \frac{\sigma}{\sqrt{M}} = \frac{2,54}{\sqrt{12,54}} = 0,72$$
5.Wielkość błędu średniego średniej arytmetycznej :
$$p = \frac{V}{\sqrt{10}} = \frac{20,22\%}{\sqrt{10}} = 6,39\%$$
6.Oszacowanie średniej generalnej :
12,54±0,72
7. Przedział ufności dla średniej generalnej :
$\frac{\sigma}{\ \sqrt{10}} = 0,80$
Zα/2 = 1, 96
P(12,54Є(12,28-0,80*1,96 ; 12,28+0,80*1,96)≥1-0,05
P(12,54Є(10,71 ; 13,85)≥0,95
8. Liczebność losowej próby :
$$n = {(\frac{V*Z_{\alpha/2}}{p})}^{2} = {(\frac{20,22\%*1,96}{6,39\%})}^{2} \approx 38$$
Próba 20-sto elementowa:
| numer kolejny | numer wylosowany | pierśnica drzewa D | wartość D^2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 12,6 | 158,76 |
| 2 | 11 | 15 | 225 |
| 3 | 19 | 11 | 121 |
| 4 | 22 | 16,4 | 268,96 |
| 5 | 31 | 15,6 | 243,36 |
| 6 | 57 | 16 | 256 |
| 7 | 62 | 12,3 | 151,29 |
| 8 | 78 | 13,7 | 187,69 |
| 9 | 79 | 13,3 | 176,89 |
| 10 | 84 | 12,5 | 156,25 |
| 11 | 95 | 17,8 | 316,84 |
| 12 | 101 | 10,8 | 116,64 |
| 13 | 106 | 12,2 | 148,84 |
| 14 | 127 | 14,4 | 207,36 |
| 15 | 134 | 11,3 | 127,69 |
| 16 | 142 | 12,8 | 163,84 |
| 17 | 158 | 15,1 | 228,01 |
| 18 | 162 | 11,2 | 125,44 |
| 19 | 179 | 14,5 | 210,25 |
| 20 | 198 | 14,5 | 210,25 |
| Σ=273 | Σ=3800,36 |
1.Średnia arytmetyczna :
$$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{20}*273 = 13,65$$
2.Wariancja :
3.Odchylenie standardowe :
$$\sigma = \sqrt{3,89} = 1,97$$
4.Wielkość błędu standardowego :
$$s = \frac{\sigma}{\sqrt{M}} = \frac{2,54}{\sqrt{12,54}} = 0,72$$
5.Wielkość błędu średniego średniej arytmetycznej :
$$p = \frac{V}{\sqrt{20}} = \frac{20,22\%}{\sqrt{20}} = 4,52\%$$
6.Oszacowanie średniej generalnej :
12,54±0,72
7. Przedział ufności dla średniej generalnej :
$\frac{\sigma}{\ \sqrt{10}} = 0,57$
Zα/2 = 1, 96
P(12,54Є(13,65-0,57*1,96 ; 13,65+0,57*1,96)≥1-0,05
P(12,54Є(12,53 ; 14,77)≥0,95
8. Liczebność losowej próby :
$$n = {(\frac{V*Z_{\alpha/2}}{p})}^{2} = {(\frac{20,22\%*1,96}{4,52\%})}^{2} \approx 77$$