ĆWICZENIE 8

„WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA”

Celem poniższego ćwiczenia było zbadanie ruchu ciał spadających w ośrodku ciekłym i wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa. Cieczą, której współczynnik lepkości chcemy wyznaczyć jest gliceryna. Ćwiczenie polegało na kilkakrotnym zrzucaniu kulek o różnej gęstości do naczynia z gliceryną i mierzeniu czasu jej spadania na dystansie h.

Zjawisko lepkości to zjawisko występowania sił stycznych przeciwdziałających przemieszczeniu jednych części ciała względem innych jego części, w naszym przypadku siły te przeciwdziałają przemieszczeniu kulki względem cieczy. Współczynnik lepkości wyznaczymy za pomocą wzoru:

$$\eta = \frac{2 \times r^{2} \times g \times \left( \rho_{k} - \rho_{c} \right) \times t}{9h}$$

Gdzie:

r – promień kulki

g- przyspieszenie ziemskie

ρ_k- gęstość kulki

ρ_c- gęstość cieczy

t- czas opadania kulki

h- dystans na który mierzono czas opadania kulki

Jednostką lepkości jest:

$$\left\lbrack \eta \right\rbrack = \left\lbrack \frac{N \times s}{m^{2}} \right\rbrack$$

Prawo Stokesa mówi o tym, że ciało poruszające się w ośrodku ciekłym napotyka opór wytwarzając tym samym siłę oporu przeciwdziałającą jej ruchowi, którą wyraża się wzorem:

$$\overrightarrow{F_{t}} = - 6\text{πrη}\overrightarrow{v}$$

Gdzie:

r- promień kulki

η- współczynnik lepkości

$\overrightarrow{v}$- wektor prędkości

WYNIKI POMIARÓW:

h [m]	∆h [m]	ρc [kg/m^3]	∆ρc [kg/m^3]
0,292	0,002	1250	10

Kulka nr 1:

m [kg]	∆m [kg]	d [m]	∆d [m]	$\overset{\overline{}}{d}$ [m]	$\overset{\overline{}}{d}$ [m]	$\overset{\overline{}}{r}$ [m]	$\overset{\overline{}}{r}$ [m]	ρk [kg/m^3]	∆ρk [kg/m^3]
6,974*10^-4	0,002*10^-4	0,00782	0,00001	0,00810	0,00007	0,00405	0,000035	2507	66
		0,00803
		0,00845
		0,00830
		0,00819
		0,00815
		0,00795
		0,00820
		0,00779
		0,00813

Przykładowe obliczenia:

∆m – było podane

∆d – było podane

$$\overset{\overline{}}{d} = \sum_{i = 1}^{n}\frac{d_{i}}{n} = 0,00810\ m$$

$$\sigma_{\overset{\overline{}}{d}} = \sqrt{\frac{1}{n \times \left( n - 1 \right)} \times \sum_{i = 1}^{n}\left( d - \overset{\overline{}}{d} \right)^{2}} = 6,55 \times 10^{- 5}$$

$$\overset{\overline{}}{d} = \sqrt{\left( \sigma_{\overset{\overline{}}{d}} \right)^{2} + \frac{\left( d \right)^{2}}{3}} = 0,00007\ m$$

$$\overset{\overline{}}{r} = \frac{\overset{\overline{}}{d}}{2} = 0,00405\ m$$

$$\overset{\overline{}}{r} = \frac{\overset{\overline{}}{d}}{2} = 0,000035\ m$$

$$\rho_{k} = \frac{m}{\frac{4}{3} \times \pi \times {\overset{\overline{}}{r}}^{3}} = 2507\frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

$$\rho_{k} = \left\lbrack \left| \frac{m}{m} \right| + \left| \frac{3r}{r} \right| \right\rbrack \times \rho_{k} = 66\frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

t [s]	∆t [s]	$\overset{\overline{}}{t}$ [s]	$\overset{\overline{}}{t}$ [s]	η$\left\lbrack \frac{\text{Ns}}{m^{2}} \right\rbrack$	∆η$\left\lbrack \frac{\text{Ns}}{m^{2}} \right\rbrack$
4,50	0,01	4,670	0,027	0,719	0,065
4,81
4,70
4,66
4,64
4,68
4,68
4,70
4,60
4,73

Przykładowe obliczenia:

∆t- z klasy przyrządu

$$\overset{\overline{}}{t} = \sum_{i = 1}^{n}\frac{t_{i}}{n} = 4,670\ s$$

$$\sigma_{\overset{\overline{}}{t}} = \sqrt{\frac{1}{n \times (n - 1} \times \sum_{i = 1}^{n}\left( t_{i} - \overset{\overline{}}{t} \right)^{2}} = 0,02582$$

$$\overset{\overline{}}{t} = \sqrt{\left( \sigma_{\overset{\overline{}}{t}} \right)^{2} + \frac{\left( t \right)^{2}}{3}} = 0,027$$

$$\eta = \frac{2 \times r^{2} \times g \times t \times \left( \rho_{k} - \rho_{c} \right)}{9 \times h} = 0,719$$

$$\eta = \left| \frac{4rgt(\rho_{k} - \rho_{c}) \times r}{9h} \right| + \left| \frac{2r^{2}g(\rho_{k} - \rho_{c}) \times t}{9h} \right| + \left| \frac{2r^{2}gt \times \rho_{k}}{9h} \right| + \left| \frac{2r^{2}gt \times \rho_{c}}{9h} \right| + \left| \frac{2r^{2}gt(\rho_{k} - \rho_{c}) \times h}{9h^{2}} \right| = \ 0,065$$

Kulka nr 2

m [kg]	∆m [kg]	d [m]	∆d [m]	$\overset{\overline{}}{d}$ [m]	$\overset{\overline{}}{d}$ [m]	$\overset{\overline{}}{r}$ [m]	$\overset{\overline{}}{r}$ [m]	ρk [kg/m^3]	∆ρk [kg/m^3]
2,970*10^-4	0,002*10^-4	0,00590	0,00001	0,00573	0,00003	0,002865	0,000015	3016	50
		0,00571
		0,00560
		0,00575
		0,00566
		0,00567
		0,00572
		0,00565
		0,00583
		0,00579

t [s]	∆t [s]	$\overset{\overline{}}{t}$ [s]	$\overset{\overline{}}{t}$ [s]	η$\left\lbrack \frac{\text{Ns}}{m^{2}} \right\rbrack$	∆η$\left\lbrack \frac{\text{Ns}}{m^{2}} \right\rbrack$
7,11	0,01	6,945	0,032	0,752	0,042
6,86
6,87
6,93
6,98
7,02
6,95
6,78
6,89
7,06

Obliczenia takie same jak dla kulki numer 1 tylko, w odpowiednie miejsca wstawiamy dane dla kulki numer 2

Kulka nr 3

m [kg]	∆m [kg]	d [m]	∆d [m]	$\overset{\overline{}}{d}$ [m]	$\overset{\overline{}}{d}$ [m]	$\overset{\overline{}}{r}$ [m]	$\overset{\overline{}}{r}$ [m]	ρk [kg/m^3]	∆ρk [kg/m^3]
2,324*10^-4	0,002*10^-4	0,00570	0,00001	0,00558	0,00005	0,002790	0,000025	2555	71
		0,00563
		0,00559
		0,00550
		0,00572
		0,00576
		0,00563
		0,00549
		0,00533
		0,00540

t [s]	∆t [s]	$\overset{\overline{}}{t}$ [s]	$\overset{\overline{}}{t}$ [s]	η $\left\lbrack \frac{\text{Ns}}{m^{2}} \right\rbrack$	∆η$\left\lbrack \frac{\text{Ns}}{m^{2}} \right\rbrack$
11,83	0,01	11,39	0,07	0,864	0,081
11,41
11,59
11,31
11,47
11,28
11,47
11,16
11,28
11,10

Obliczenia takie same jak dla dwóch pierwszych kulek, tylko w odpowiednie miejsca wstawiamy dane dla kulki numer 3.

WNIOSKI:

Dzięki powyższemu ćwiczeniu zbadaliśmy ruch trzech różnych kulek w glicerynie i udało nam się wyliczyć współczynnik lepkości dla tej cieczy. Współczynnik ten wraz z niepewnościami jest równy we wszystkich przypadkach. Błąd pomiaru może wynikać z tego, że pomiar czasu opadania kulki był niedokładny. Ponadto poszczególne kulki mogły być zniekształcone co wpłynęło na błąd pomiaru średnicy.