Wyznacz współrzędne punktów wspólnych i sprawdź, czy wyznaczone pary Liczb są rozwiązaniem układu równań.

217.Dane wykresy równań:

x² + y² = 10 i 2x + x = 5 (rys.213).

Odczytaj współrzędne punktów wspólnych i sprawdź, czy wyzna­czone pary liczb są rozwiązaniem jednego i drugiego równania. Za pisz rozwiązanie układu równań.

218.Wykonaj w jednym układzie współrzędnych wykresy równań:

x² + y² = 25  i  y = x + 1.

219.Wykonaj w jednym układzie współrzędnych wykresy równań:

xy − 8 = 0  i  x² −  y = 0

Wyznacz współrzędne punktów wspólnych i sprawdź, czy wyznaczone pary liczb
są rozwiązaniem układu równań.

220.Rozwiąż graficznie układy równań

a) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 25 \\ 5x - 2y = 14, \\ \end{matrix} \right.\ $ b) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 10 \\ 2x - 3y = \ 3, \\ \end{matrix} \right.\ $

c) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = \ 4 \\ 2x + y = \ - 6, \\ \end{matrix} \right.\ $ d) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = \ 1 \\ y\ = \ \ \ x, \\ \end{matrix} \right.\ $

e) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = \ \ 1 \\ x + 3y - 4 = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $ f) $\left\{ \begin{matrix} (x + 2)^{2}\ + (y\ - \ 3)^{2} = 9 \\ x - 3y\ + 6 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $

221.Rozwiąż graficznie układy równań

a) $\left\{ \begin{matrix} \text{xy}\ = \ 3 \\ 2x + y = 7, \\ \end{matrix} \right.\ $ b) $\left\{ \begin{matrix} \text{xy}\ = \ - 2 \\ 3x + y = 1, \\ \end{matrix} \right.\ $

c) $\left\{ \begin{matrix} \text{xy} = \ - \ 6 \\ 2x + y - 4 = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $ d) $\left\{ \begin{matrix} \left( x - 3 \right)y\ = \ 4 \\ 2x - y - 1 = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $

e) $\left\{ \begin{matrix} \text{xy}\ = \ 4 \\ 2x - y - 3 = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $ f) $\left\{ \begin{matrix} 2\text{xy} = \ - 3 \\ - 5x + y = 3, \\ \end{matrix} \right.\ $

222. Rozwiąż graficzne ukąłdy równań:

a) $\left\{ \begin{matrix} y = \ x^{2\ } + \ 5x + 8 \\ y - x = \ - 3, \\ \end{matrix} \right.\ $ b) $\left\{ \begin{matrix} y + 5x = x^{2} + 6 \\ y = \ - x + 2, \\ \end{matrix} \right.\ $

c) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + \ x - 2 = y \\ x + y - 2 = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $ d) $\left\{ \begin{matrix} 4y + 55 = \ - 16x \\ y = 3x^{2} + 5x - 7, \\ \end{matrix} \right.\ $

e) $\left\{ \begin{matrix} 2x^{2} - y\ + x = - 1 \\ x - 2y - 3 = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $ f) $\left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + 3x = y + 5 \\ 2x + 5 = y, \\ \end{matrix} \right.\ $

223. Rozwiąż ukłądy równań metoda graficzna i algebraiczną:

a) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y = 5 \\ 3x + 2y = 12, \\ \end{matrix} \right.\ $ d) $\left\{ \begin{matrix} x - y - 2 = 0 \\ \text{xy} + 1 = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $

b) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - y\ = 6 \\ x - y = 4, \\ \end{matrix} \right.\ $ e) $\left\{ \begin{matrix} 2x(y - 2) = 3 \\ 3x - 4y - 3 = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $

c) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - x - y + 1 = 0 \\ 2x - y - 1 = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $ f) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + (y - 3)^{2} = 9 \\ y = 2x - 4, \\ \end{matrix} \right.\ $

224. Rozwiąż układy równań:

a) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - y^{2} = 7 \\ 2x + 3y = 17, \\ \end{matrix} \right.\ $ d) $\left\{ \begin{matrix} y + z = 4 \\ z^{2} + y^{2} = 58, \\ \end{matrix} \right.\ $

b) $\left\{ \begin{matrix} 9x^{2} = 4y^{2} \\ x - 2y + 4 = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $ e) $\left\{ \begin{matrix} \text{tv} = 15 \\ t + v = 7, \\ \end{matrix} \right.\ $

c) $\left\{ \begin{matrix} {25y}^{2} + 36x^{2} = 0 \\ 5y + 6x + 2 = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $ f) $\left\{ \begin{matrix} 2a + 3b = 12 \\ a^{2} + \ b^{2} = 13, \\ \end{matrix} \right.\ $

225.Rozwiąż układy równań:

a) $\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 15 \\ x^{2} + y^{2} - 8y - 6y = 25, \\ \end{matrix} \right.\ $

b) $\left\{ \begin{matrix} 3x + 4y = 12 \\ x^{2} - \ 10x - 6y + 15 = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $

226.Rozwiąż układy równań:

a) $\left\{ \begin{matrix} {9x}^{2} - y^{2} = 8 \\ 3x + y = 4, \\ \end{matrix} \right.\ $

b) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + \ 2y = 5 \\ y - x = 1, \\ \end{matrix} \right.\ $

c) $\left\{ \begin{matrix} 5\left( x - 2 \right) - 7(y - 3) = 18 \\ (x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 20, \\ \end{matrix} \right.\ $

d) $\left\{ \begin{matrix} (z + 2)^{2} + (v + 1)^{2} - 25 = 0 \\ z + v - 2 = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $

e) $\left\{ \begin{matrix} {8a}^{2} - 12ab + 5b^{2} + 15 = 0 \\ 2a - 3b + 5 = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $

f) $\left\{ \begin{matrix} {3t}^{2} + v^{2} + \ 2t - 8v + 20 = 0 \\ 2t + v - 1 = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $

227.Rozwiąż układy równań:

a) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - y^{2} = 16 \\ x + y - 8 = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $ b) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + 5xy - 3y^{2} = 151 \\ x - y - 1 = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $

c) $\left\{ \begin{matrix} t^{2} - tv + 3v^{2} = 9 \\ t - 3v = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $ d) $\left\{ \begin{matrix} p^{2} - pq + \ q^{2} = 21 \\ p - 4 = q, \\ \end{matrix} \right.\ $

e) $\left\{ \begin{matrix} a^{2} + \ 2ab{+ b}^{2} = 4 \\ a + b = 2, \\ \end{matrix} \right.\ $ f) $\left\{ \begin{matrix} \text{xy} = - 15 \\ 2x - y - 7 = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $

228.Rozwiąż układy równań o niewiadomych x i y:

a) $\left\{ \begin{matrix} x + y = a + 2b \\ xy = \text{ab} + b^{2}, \\ \end{matrix} \right.\ $ d) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = a^{2} \\ x + y - a = 0, \\ \end{matrix} \right.\ $

b) $\left\{ \begin{matrix} {4x}^{2} - y^{2} = 25 \\ y = ax, \\ \end{matrix} \right.\ $ e) $\left\{ \begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1, \\ \end{matrix} \right.\ $

c) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - y = 2 \\ y = 2x + a, \\ \end{matrix} \right.\ $

229.Rozwiąż układy równań metodą dodawania stronami:

a) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 25 \\ 2xy = - 24, \\ \end{matrix} \right.\ $ b) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 17 \\ xy = 4, \\ \end{matrix} \right.\ $

c) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - y^{2} = 34 + xy \\ - xy = 30, \\ \end{matrix} \right.\ $ d) $\left\{ \begin{matrix} z^{2} - y^{2} = 16 \\ y^{2} = 6z, \\ \end{matrix} \right.\ $

e) $\left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} = 13 \\ 3a^{2} - b^{2} = 3, \\ \end{matrix} \right.\ $ f) $\left\{ \begin{matrix} t^{2} - {3v}^{2} = 12 \\ 2t^{2} - 5v^{2} = 13, \\ \end{matrix} \right.\ $

230. Długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego wynosi 41 cm, a pole wynosi 180 cm². Oblicz obwód tego trójkąta.

231. Suma obwodów dwóch kwadratów wynosi 36 cm, suma ich pól 41 cm². Oblicz długości boków tych kwadratów.

232. Pola dwóch kół różnią się o 330 cm², a ich promienie o 3 cm. Oblicz długości promieni przyjmując $\pi = 3\frac{1}{7}$

233. Przekątna prostokąta ma długość 17m.apole 120mi Oblicz

długość boków tego prostokąta. 241, Bok kwadratu wynosi 10 cm. Oblicz długości boków prostokąta

dany kwadrat.

242. Pole trapezu równoramiennego wynosi 1080 cm². Oblicz obwód tego trapezu, jeżeli jego wysokość jest większa o 6 cm od jednej

z podstaw, a mniejsza o 18 cm od drugiej,

242. Objętość prostopadłościanu wynosi 144 cm³, wysokość 12 cm, a przekątna prostopadłościanu ma długość 13 cm. Oblicz długości

krawędzi tego prostopadłościanu.

242. Przekrój osiowy walca o polu powierzchni 44r cm² jest prostoką­tem o obwodzie 26 cm. Oblicz długość wysokości i długość średnicy

243. Odległość środków dwóch kół stycznych zewnętrznie równą się 12 cm, Suma pól obu kół wynosi 282,6 cm². Oblicz długości średnic

tych kół.

242. Na punkt działają dwie siły tworzące kąt prosty. Wypadkowa tych sił wynosi 17 N. Jeżeli powiększymy pierwszą siłę o 1 N, a drugą o 4 N. to wypadkowa siła zwiększy się o 3 N. Jak wielkie są te

siły?

242. Dwie siły działają na punkt pod kątem prostym. Wypadkowa ich wynosi 37,7 N, Stosunek tych sił jest 2:5 Oblicz ich wartości.

243. Kamień rzucony w kierunku pionowym w dół spada na dno studni głębokości 297,3 m z prędkością końcową 84 m/s. Z jaką prędkością początkową rzucono kamień i jak długo spadał na dno¹

244. Przez przewodnik przepływa prąd o napięciu 9 V. Jeżeli opór przewodnika zwiększymy o 1,5 fi. to natężenie prądu przy tym samym napięciu zmniejszy się o 1 A. Oblicz opór przewodnika natężenie prądu.

250. Obwód prądnicy o napięciu na zaciskach wynoszącym U = 220 V składa się z dwóch przewodników. Przy połączeniu szeregowym przewodników natężenie w obwodzie wynosi I, = 1 A. Przy połączeniu zaś równoległym natężenie prądu wynosi l₂ = 4 A. Oblicz opory x, y tych przewodników.

251. Wypadkowy opór elektryczny dwóch przewodników połączonych

szeregowo wynosi 8 Q. a połączonych równolegle wynosi 2 Q. Oblicz opory tych przewodników,

250. Dwa kondensatory połączone szeregowo mają pojemność 5,

połączone zaś równoległe 20 jiF. Oblicz pojemności tych konden­satorów. równolegle wynosi 0.375 fl. Opory tych przewodników różnią się od siebie o I fi. Odlicz te opory.

254. Napięcie źródła prądu wynosi 120 V. Jeżeli opór obwodu zwiększy­my o 1 A. to natężenie prądu zmniejszy się o 4 A. Oblicz opór i natężenie prądu przed zmianą oporu.

255. Barka motorowa płynie w górę rzeki do miejscowości odległej o 9 km i z powrotem 2,25 h. Gdyby prąd wody miał prędkość 2 razy większą, barka płynęłaby do tej miejscowości i z powrotem 3,6 h. Oblicz prędkość prądu i prędkość barki.

256. Dwie maszynistki podjęły się razem przepisania pewnego rękopisu w ciągu 6 dni. Pierwsza z nich pracując sama przepisałaby ten rękopis w czasie o 5 dni dłuższym niż druga. W jakim czasie każda maszynistka przepisze ten rękopis pracując sama?

251 Przy budowie metra w Warszawie dwie koparki wyrzuciły pewną

ilość ziemi w ciągu 6 h. Jedna z nich pracując sama mogłaby tę ilość

ziemi wyrzucić w czasie o 9 h krótszym niż druga. W jakim czasie

można by tę ilość ziemi wyrzucić używając każdej koparki oddziel­nie?

258. Wzdłuż ramion kąta prostego zaczynają ruch jednocześnie w kie­runku wierzchołka dwa ciała oddalone od niego: pierwszy o 15 cm, drugi o 20cm. Po upływie 1 s odległość między nimi wynosiła 20 cm, a po upływie 2 następnych sekund -10cm. Z jaką prędkością

poruszają się te ciała, jeżeli poruszają się one ruchem jedno­stajnym?

259. Dwa krany działając wspólnie napełniają zbiornik w ciągu 2 godzini 24 minut. Drugi kran napełni cały zbiornik w czasie o dwie godziny krótszym niż pierwszy. W jakim czasie każdy kran oddzielnie może napełnić zbiornik?

260.Dwie brygady podjęły się wykonać razem pewną pracę w ciągu 12 tygodni. Pierwsza brygada pracując sama wykonałaby tę pracę w qasie o 10 tygodni dłuższym niż druga. Oblicz w ciągu jakiego czasu wykonałaby każda brygada daną pracę samodzielnie.

261.Sztuka materiału kosztuje 32000 zł. Gdyby w niej było o 14 m mniej, a każdy metr kosztował o 40 zł drożej, to sztuka kosztowa­łaby 27000 zł. Ile metrów było w sztuce i jaka była cena metra materiału?

262.Przeprowadzono badania zużycia paliwa dwóch silników spalino­wych. Pierwszy zużył w określonym czasie 600 g mieszanki, a drugi', pracując o 2 godziny krócej 384 g. Gdyby p\mi) silnik zużywał na godzinę tyle mieszanki co drugi, a drugi tyle co pierwszy, to w tym samym czasie co poprzednio każdy z nich zużywałby jednakową ilość mieszanki. Ile mieszanki na godzinę zużywa każdy silnik?

263.Oblicz objętość gazu (w cm³) i ciśnienie (w hPa) pod jakim on się znajduje, jeżeli wiadomo, że zwiększając to ciśnienie o I hPa (przy stałej temperaturze) zmniejszamy objętość gazu o ISO cm³, a iloczyn jego objętości przez odpowiednie ciśnienie 480,

VI FIGURY GEOMETRYCZNE W PRZESTRZENI

VI a) Powtórzenie materiału

Proste i płaszczyzny w przestrzeni

Płaszczyznę wyznaczają:

242. Trzy punkty niewspólliniowe.

243. Prosta i punkt do niej nie należący,

244. Dwie proste przecinające się albo dwie różne proste równolegle,

Dwie różne proste w przestrzeni albo przecinają się. albo są równo­legle, albo są skośne. Prosta może mieć z płaszczyzną albo jeden punkt wspólny, albo być do

niej równoległa, to jest nie mieć z nią punktów wspólnych albo się w niej zawierać.

Każde dwie płaszczyzny albo są równolegle, albo się przecinają wzdłuż pewnej prostej. Prosta I jest prostopadła do płaszczyzny i wtedy, gdy jest prostopadła

do każdej prostej leżącej na płaszczyźnie i i przechodzące] przez punkt przecięcia.

Płaszczyzna i jest prostopadła do płaszczyzny f wtedy, gdy w płaszczyźnie i zawiera się prosta prostopadła do płaszczyzny (i, Rzut równoległy na płaszczyznę

Rzutem równoległym punktu P na płaszczyznę i w kierunku prostej ( nazywamy punkt przecięcia płaszczyzny i przez prostą równoległą do prostej I przechodzącą przez punkt P (rys, 1). Rzutem prostokątnym nazywamy 'rzut P równoległy w kierunku prostopadłym do ¹ płaszczyzny rzutowania.

Odległość punktu od płaszczyzny

Odległością punktu od płaszczyzny nazywamy odległość tego punktu

od jego rzutu prostokątnego na płaszczyznę

Kąt prostej i płaszczyzną

Kątem prostej Iz płaszczyzną a nazywamy kąt ostry utworzony przez

prostą I i jej rzut prostokątny na płaszczyznę i (rys. 3). O prostej prostopadłej do płaszczyzny mówimy, że tworzy z nią kąt prosty,

Kąt dwuścienny

Kątem dwuściennym nazywamy każdą z dwóch części, na jakie rozcinają przestrzeń dwie płaszczyzny o wspólnej krawędzi. Miarę kąta dwuściennego wyzna­cza kąt płaski powstały przez przekrój kąta dwuścien­nego płaszczyzną prostopadłą do krawędzi (rys, 4).

Najprostsze rodzaje wielościanów: równoległościany, graniastosłupy. ostrosłupy.

Graniastosłup nazywamy prostym, jeżeli wszystkie jego ściany boczne

są prostopadłe do płaszczyzny podstawy. Graniastosłup nazywamy prawidłowym, jeżeli jest prostym i w jego

podstawie jest wielokąt foremny, Ostrosłup nazywamy prawidłowym, jeżeli podstawa jest wielokątem

foremnym, a wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Figury obrotowe

Sferą nazywamy figurę obrotową powstałą przez obrót półokręgu .dokoła prostej zawierającej jego średnicę.

Kulą nazywamy figurę obrotową powstałą przez obrót półkola dokoła prostej zawierającej iego średnicę.

Walcem nazywamy bryłę obrotową powstałą przez obrót prostokąta »

dokoła prostej zawierającej jeden bok prostokąta. Stożkiem nazywamy bryłę obrotową'powstałą przez obrót trójkąta

prostokątnego dokoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych tego trójkąta.

Przekrojem danej figury przestrzennej wybraną płaszczyzną nazywa­my zbiór wszystkich punktów figury, które należą do danej płaszczyzny.

VI. b) Zadania

1.Wskaż w sali lekcyjnej modele:

a)dwóch prostych przecinających się, \

b)dwóch prostych równoległych,

c)dwóch prostych skośnych.

2. Wskaż w sali lekcyjnej:

a)płaszczyznę wyznaczoną przez trzy różne punkty,

b)płaszczyznę wyznaczoną przez punkt P i prostą I. gdzie Pe I,

c)płaszczyznę wyznaczoną przez dwie proste przecinające się,

d)płaszczyznę wyznaczoną przez dwie proste równoległe.

3. Wskaż w sali lekcyjnej:

a)dwie płaszczyzny równolegle.

b)dwie płaszczyzny przecinające się.

4. Wskaż w sali lekcyjnej:

a)płaszczyznę i prostą do niej równoległą.

b)płaszczyznę i prostą przecinającą tę płaszczyznę.

5.Dane są cztery punkty ,4. B. C, i D nie należące do jednej płaszczyzny. Ile płaszczyzn wyznaczają te punkty? Wykonaj odpo­wiednie rysunki i oznacz krawędzie przecięcia się każdej pary płaszczyzn.

6.Na płaszczyźnie a dane są trzy proste u, M c przecinające się parami odpowiednio w punktach (', .4 i fl oraz poza płaszczyzną dany jest

punkt M. Ile płaszczyzn wyznacza dany punkt M i punkty /I, B. 0. Wykonaj rysunki i oznacz krawędzie przecięcia się każdej pary płaszczyzn.

7.Na płaszczyźnie x dane są punkty A, B i C nie należące do jednej prostej i poza płaszczyzną dany jest punkt M. Poprowadź przez

każde dwa z tych punktów proste i wypisz wszystkie pary prostych i skośnych,

8.Przypomnij sobie pojęcie odległości punktów, a następnie sprawdź czy istnieją w przestrzeni trzy punkty A. B, C takie, że |/M! = 2, |0C| = 3, \AC\ = 3.

9.Dana jest płaszczyzna « i punkt M do niej nie należący.

a)Ile prostych równoległych do * przechodzi przez punkt A/?

b)Ile płaszczyzn równoległych do płaszczyzny j przechodzi przez punkt M?

Odpowiedz na pytania a i hi zilustruj to odpowiednimi rysunkami.

10.Płaszczyzny „a” i „B” są równoległe. Prosta l jest równoległa do płaszczyzny „B”. Jakie jest wzajemne położenie płaszczyzny „a” i pro­stej l ? Udowodnij.

11.Narysuj sześcian i wskaż wszystkie pary prostych skośnych wyznaczonych przez krawędzie sześcianu, a następnie wskaż płaszczyzny prostopadłe wyznaczone przez ściany tego sześcianu,

12.Wskaż w sali lekcyjnej modele:

a)pary płaszczyzn prostopadłych.

b)kilku prostych prostopadłych do płaszczyzny.

13.Dana jest płaszczyzna u i prosta a w niej nie zawarta. Ile płaszczyzn prostopadłych do i przechodzi przez prostą l? Wykonaj rysunek.

14.Wykaż, że jeżeli dwie płaszczyzny są równoległe, to każda płaszczy­zna prostopadła do jednej z nich jest też prostopadła do drugiej
9wykonaj odpowiedni rysunek)
15.Poprowadź wysokość w trójkącie będącym jedną ze ścian czworościanu.
Do ilu krawędzi czworościanu jest ona skośna(rys.15)?

16.Wskaż płaszczyzny, osie i środki symetrii:

a) odcinka. b)koła, c) sześcianu, d) kuli.

17.Dana jest płaszczyzna i i punkty A, B, C, D i Jak wyznaczyć obrazy tych punktów w symetrii względem płaszczyzny α (rys. 17)?

18. Ile płaszczyzn, ile osi, a ile środków symetrii ma sfera^? Wykonaj rysunek.

19. Jak narysować obraz figury w symetrii względem płaszczyzny (rys, 19)?

20.Wskaż płaszczyzny, osie i środki symetrii figur podanych na rysunku 20.

21.Narysuj obraz figury podanej na rysunku 21 w symetrii środkowej względem punktu S,

22.Wykaż, że rzutem równoległym prostej jest prosta albo punkt. Sporządź odpowiedni rysunek.

23.Wykaż, że rzutem równoległym danego odcinka równoległego do rzutni jest odcinek o długości równej danemu i do niego równo­legły.

24.Wykaż, że rzuty odcinków leżących na jednej prostej nierówno- ległej do kierunku rzutu, lub na prostych równoległych do siebie lecz nierównoległych do kierunku rzutu, są proporcjonalne do tych odcinków,

25.Dane są odcinki o długościach |AB|= 8 cm i |CD| = 12 cm

równoległe do siebie, lecz nie równoległe do kierunku rzutu
26.Oblicz długość |CD| rzutu odcinka CD, jeżeli dłu­gość rzutu odcinka |AB| tj. |A’ B’| = 6cm.
27.Narysuj rzut prostokątny trójkąta A BC zawartego w płaszczyźnie prostopadłej do rzutni i Jaką figurę otrzymałeś? Podaj wniosek ogólny,

28.Narysuj rzuty prostokątne odcinków podanych na rysunku 28.

29.Wykaż, że odległość punktu P od jego rzutu prostokątnego na płaszczyznę a jest najkrótszą odległością punktu P od płaszczyzny.

30.Narysuj płaszczyznę i i prostą I nie równoległą do płaszczyzny, a następnie zaznacz kąt między prostą a płaszczyzną.

31.Narysuj sześcian, a następnie przekątną sześcianu i zaznacz kąt jaki tworzy ta przekątna z płaszczyzną podstawy. Oblicz długość tej krawędzi mając daną długość przekątnej d = 10 cm.

32.Na rysunku 32 podany jest ostrosłup 4BCDS o wysokości SD.

a)Zaznacz kąt jaki tworzy krawędź boczna , AS z płaszczyzną podstawy.

b)Oblicz długość rzutu krawędzi AS, jeżeli wysokość ostrosłupa jest równa $2\sqrt{3}$ cm, a kąt na miarę 30°.

33.Prosta I przecina płaszczyznę i w punkcie .4 i tworzy z nią kąt 60° Punkt B leży na prostej I. Wykonaj rysunek, a następnie oblicz:

a)odległość punktu B od płaszczyzny „a” jeżeli |AB| = $4\sqrt{3}$cm

b)|AB|, jeżeli odległość punktu B od płaszczyzny wynosi 15 cm,

c)odległość punktu ,4 od rzutu prostokątnego punktu B, jeżeli |AB| = 10 cm.

34.Prosta I przecina płaszczyznę j w punkcie P. Punkt () należy do prostej I. Wykonaj rysunek, a następnie oblicz:

odległość punktu Q od płaszczyzny, jeżeli \PQ| = 5dm, a od­ległość punktu P od rzutu prostokątnego punktu Q na płasz­czyznę wynosi 4dm,

kąt prostej I, z płaszczyzną a. jeżeli \PQ\ = 24cm,|PQ'| = 12cm.

35.Prosta a przecina płaszczyzny „A” i „B” punktach A i B, gdzie ot [ fi.

a)Wykaż, że prosta a tworzy kąty identyczne z płaszczyznami j i fi.

b)oblicz odległość tych płaszczyzn, jeżeli kąt prostej z płaszczyzną a wynosi 30°, a = 25cm.

36.Odcinek A B długości 6,5 cm, którego koniec A leży na płaszczyźnie, tworzy z nią kąt <p = 61 °30'. Oblicz długość rzutu prostokątnego tego odcinka na płaszczyznę i odległość punktu B od płaszczyzny.

37.Przez punkt A poprowadzono dwie proste, które przecinają płaszczyznęotw punktach B i C. Prosta Otworzy z płaszczyzną kąt 30°, prosta A C - kąt 60⁵. Oblicz odległość punktów B i C wiedząc, że odległość punktu A od płaszczyzny a wynosi 6dm. a kąt zawarty między rzutami odcinków AB i XC jest kątem prostym (rys. 37).
38.Z punktów A i B płaszczyzny ot poprowadzono odcinki równolegle AC i BD (rys. 38). Prosta CD przecina płaszczyznę ot (dlaczego?) w punkcie E. Oblicz długość odcinka BE mając dane |AC| = 8cm. |BD| = 6 cm i |AB| = 4cm.

39.Prosta I przecina dwie prostopadłe płaszczyzny ot i fi w punktach A i B i tworzy z płaszczyzną fi kąt 30°. Oblicz długość odcinków AC i CB, jeżeli \AB\ = 20 cm (rys. 39).

40.Długości boków trójkąta ABC wynoszą \AB\ = 7 cm, \AC\ = fi cm i |BC| = 9 cm. Bok A C leży na płaszczyźnie ct, a punkt Bjest odległy od tej płaszczyzny o 5 cm. Oblicz obwód rzutu prostokątnego trójkąta ABC na płaszczyznę i (rys. 40),

41.Balon wznosi się pionowo do góry. W chwili, gdy znajduje się na wysokości h = 150m nad ziemią lotnik mierzy kąt depresji ot = 30° pewnego stałego punktu na płaszczyźnie ziemi, Po upływie pewnego czasu ponowny pomiar kąta depresji (rys. 41) tego samego punktu wyniósł fi = 72°35'. Oblicz na jakiej wysokości znajduje się balon.

42.Plac ABCD ma kształt prostokąta (rys. 42). Chcąc obliczyć jego pole z miejsca znajdującego się w punkcie £ mierzymy za pomocą teodolitu kąty t fi i j (FG1BC) oraz przy pomocy pionu długość |EF| = h, stanowiącą odległość przyrządu pomiarowego od pła­szczyzny placu. Oblicz pole prostokąta /IBCD mając dane: li = 18,5 m, ot = 9°50', fi = 30° 20^, y = 45°20'.

43.Wskaż w sali lekcyjnej kąty dwuścienne wyznaczone przez pary ścian, Wyznacz ich miary,

44.Dwie płaszczyzny prostopadłe przecięto trzecią nierównoległą do

żadnej z nich. Wymień wszystkie kąty dwuścienne wyznaczone przez te płaszczyzny.

45.Płaszczyzny i i fi przecinają się. Miara jednego kąta dwuściennego wynosi 30°. Podaj miary pozostałych kątów dwuściennych utwo­rzonych przez te płaszczyzny.

Na rysunku 46 dany jest ostrosłup o podstawie kwadratowej, Wskaż wszystkie kąty dwuścienne wyznaczone przez ściany tego ostrosłupa,

46.Na jednej ze ścian kąta dwuściennego leżą dwa punkty A i B, których odległości od krawędzi kąta dwuściennego wynoszą odpowiednio 21 cm i 35cm. Punkt \ odległy jest od drugiej ściany kąta dwuściennego o 15cm. Oblicz odległość punktu B od tej ściany (rys. 47).

47.Kąt dwuścienny jest równy q = 7. Odcinki CE i CD są prostopadle do AB (rys. 48), przy czym |CE| = 65 m. Oblicz odległość punktu E od jego rzutu prostokątnego na płaszczyznę s oraz długość odcin­ka CD.
48.Dach jednospadowy budynku jest nachylony do płaszczyzny poziomej pod kątem t = 6°30' (rys. 49). Oblicz wysokość dachu h, jeżeli długość krokwi l=6cm.

49.Na rysunku 50 przedstawiony jest dach dwuspadowy; nachylenie płasz­czyzny dachu do płaszczyzny pozio­mej wynosi' i = 27°30'. Oblicz wyso­kość dachu i długość jego krokwi,

jeżeli szerokość budynku wynosi

50.Rozpiętość dachu dwuspadowego równa się 15 m, wysokość - 3,5 m. Jaki kąt tworzą płaszczyzny dachu z poziomem?

52.Na rysunku 52 rzutem prostokątnym trapezu ABCD na płaszczy­znę jest trapez A'B'C'D'. Mając dane: odległość punktu D od płaszczyzny oraz długość rzutu A D oblicz miarę kąta dwuściennego zawartego między płaszczyzną trapezu a płaszczyzną i Wykonaj obliczenia dla |DD| = 12cm, |4D| = 16cm.

53.W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym o krawędzi podstawy

o = 10 cm wysokość k = 8cm. Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy (rys. 53).

Podstawą graniastosłupa jest siedmiokąt. Ile wierzchołków, kra­wędzi i ścian ma ten graniastosłup ?

Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt. Ile wierzchołków, krawędzi i ścian ma ten ostrosłup?

Podstawą ostrosłupa jest ośmiokąt. Ile wierzchołków, krawędzi i ścian ma ten ostrosłup?

Oblicz kąt nachylenia przekątnej sześcianu do płaszczyzny jego podstawy.

Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu oraz kąt nachylenia tej przekątnej do płaszczyzny podstawy mając dane jego wymiary: a) 3 2 cm, 24 cm, * 42 cm, fc>) 7,5 cm, 4,5 cm, S>,5 cm.

Mając dane długości krawędzi prostopadłościanu a = 5 dni, b = 12 dm i c = 8 dm oblicz:

a) miarę kąta nachylenia przekątnej do płaszczyzny podstawy, t>) miarę kąta między przekątnymi prostopadłościanu.

62- Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego równa się 40 cm; ściany boczne są kwadratami. Oblicz długość najdłuższej przekątnej.

W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym długość krawędzi podstawy ci = cm. Oblicz długość wysokości ściany bocznej, długość krawędzi bocznej oraz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy, jeżeli długość wysokości ostro­słupa h = 3 cm.

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoboczny o boku ci - Przekątna ściany bocznej jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem a. Oblicz długość wysokości tego graniasto- słupa.

65- Oblicz wysokość czworościanu foremnego o krawędzi ci.

Oblicz miarę kąta dwuściennego w ośmiościanie foremnym.

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o boku długości a = 6 cm i długości wysokości h = 8 cm. Oblicz kąty:

nachylenia przekątnej do płaszczyzny podstawy,

między przekątną graniastosłupa a ścianą boczną.

Promień okręgu wpisanego w podstawę prawidłowego ostrosłupa trójkątnego r = 3 cm i długość wysokości ostrosłupa /i = 4 cm. Oblicz: