Autor:

Paweł Storczyński

Kryteria zaliczenia przedmiotu

1.

Ocena końcowa będzie wystawiana po

obliczeniu średniej arytmetycznej ocen

cząstkowych zdobytych w czasie zajęć.

2.

Oceny cząstkowe będzie można zdobyć:

a)

kartkówki;

b)

sprawdziany;

c)

ładniejsze zadania domowe;

d)

zadania „na szóstkę” lub „na

piątkę”;

e)

aktywność na zajęciach (10x + =

bdb);

f)

pytanie ustne na ocenę.

2

Tematyka wykładów z matematyki

I.

Algebra:

1.

Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory;

2.

Działania na liczbach;

3.

Rachunek zbiorów;

4.

Wyrażenia algebraiczne;

5.

Działania na wyrażeniach algebraicznych i wzory skróconego

mnożenia;

6.

Logarytm i jego cechy;

7.

Kombinacje;

8.

Równania i nierówności pierwszego stopnia z jedną

niewiadomą oraz zadania tekstowe;

9.

Układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi;

10.

Równania, nierówności i układy równań wyższych stopni;

11.

Funkcje i ich cechy, typy funkcji;

12.

Pierwsza i druga pochodna funkcji oraz ich zastosowanie;

13.

Granica funkcji;

14.

Macierze i wyznaczniki;

15.

Całka oznaczona, nieoznaczona oraz jej zastosowanie.

3

Tematyka wykładów z matematyki

II.

Geometria:

1.

Punkt, odcinek i prosta;

2.

Proste równoległe, prostopadłe i przecinające się;

3.

Płaszczyzna i jej cechy;

4.

Wzory płaszczyzny i prostej;

5.

Okrąg i koło – cechy, twierdzenia, definicje i wzory;

6.

Planimetria:

A.

Trójkąty – cechy, wzory, twierdzenia, definicje;

B.

Czworokąty – podział, cechy, definicje, twierdzenia;

C.

Wielokąty foremne i inne wielokąty;

D.

Pola powierzchni i obwody figur płaskich;

7.

Stereometria:

A.

Graniastosłupy – cechy, definicje, twierdzenia, typy, wzory;

B.

Ostrosłupy – cechy, twierdzenia, definicje, typy, wzory;

C.

Bryły obrotowe – cechy, definicje, twierdzenia, typy, wzory;

8.

Trygonometria:

A.

Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego;

B.

Funkcje trygonometryczne wybranych kątów;

C.

Wzory i twierdzenia w trygonometrii;

D.

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym;

E.

Wykorzystanie funkcji trygonometrycznych do obliczania pól powierzchni i

obwodów figur płaskich;

F.

Wykorzystanie funkcji trygonometrycznych do obliczania objętości, pól

powierzchni całkowitej i bocznej oraz obwodów brył

9.

Podobieństwo figur oraz figury przystające;

10.

Symetria – na czym polega oraz rodzaje;

11.

Dwusieczna kąta, symetralna odcinka, sieczna, styczna – co to jest oraz jak je

wykreślić;

12.

Rozwiązywanie zadań tekstowych (i nie tylko) z geometrii.

4

Zbiór liczb rzeczywistych i jego

podzbiory

5

Zbiór liczb rzeczywistych i jego

podzbiory

Liczby wymierne

Liczby, które mają skończone lub okresowe rozwinięcie

dziesiętne. (2, 4, ¼, ½, ¾ …)

Liczby niewymierne

Liczby, które mają nieskończone rozwinięcie dziesiętne. ( ,

℮

Π …)

Liczby pierwsze

Są to liczby, które dzielą się tylko przez 1 i samych siebie. (2, 3,

…)

Liczby złożone

Liczby, które dzielą się nie tylko przez 1 i samych siebie. (4, 8, 22

…)

6

Działania na liczbach – rodzaje,

kolejność wykonywania i prawa

W matematyce mamy sześć podstawowych
działań. Wykonujemy je w następującej kolejności:

1. Najpierw potęgujemy lub pierwiastkujemy,
2. Potem mnożymy lub dzielimy,
3. Na koniec dodajemy i odejmujemy.

Gdy któreś działanie znajduje się w

nawiasie wykonujemy je w pierwszej
kolejności.

Np. 2 + 2 x 2 = 2 + 4 = 6

7

Działania na liczbach – rodzaje,

kolejność wykonywania i prawa

Dodawanie

Właściwości:

1. Dodawanie jest przemienne: A + B = B + A;
2. Dodawanie jest równoważne z odejmowaniem;
3. Dodając ułamki zwykłe należy sprowadzić je do

wspólnego mianownika;

Odejmowanie

Cechy odejmowania są podobne jak dodawania. Obydwa

działania różnią się tym, że odejmowanie nie jest

przemienne.

8

Działania na liczbach – rodzaje,

kolejność wykonywania i prawa

Mnożenie

Właściwości:

1. Mnożenie jest przemienne: A x B = B x A;
2. Rozdzielność

mnożenia

względem

dodawania i odejmowania: A x C ±
B x C = C (A ± B);

3. Mnożąc ułamki zwykłe mnożymy licznik razy

licznik, mianownik razy mianownik: A/B x
C/D = AC/BD;

4. Każde a pomnożone przez 0 da zawsze 0;

9

Działania na liczbach – rodzaje,

kolejność wykonywania i prawa

Dzielenie

Właściwości:

1. Nie wolno dzielić przez zero;
2. Jeżeli b ≠ a, to a : b ≠ b : a dla a ≠ 0 i b ≠ 0. –

dzielenie nie jest przemienne;

3. Rozdzielność dzielenia względem dodawania i

odejmowania (a : c ± b : c = (a ± b) : c; dla c ≠ 0;

4. Dzieląc ułamek a/b przez ułamek c/d, musimy

pomnożyć ułamek a/b przez odwrotność ułamka
c/d, czyli przez ułamek d/c (oczywiście b ≠ 0, c ≠
0, d ≠ 0).

10

Działania na liczbach – rodzaje,

kolejność wykonywania i prawa

Potęgowanie i pierwiastkowanie

11

Działania na liczbach – rodzaje,

kolejność wykonywania i prawa

Przykłady

12

Rachunek zbiorów

Mając dane dwa zbiory: A i B możemy wykonać szereg działań na
tych zbiorach, np.:

1.

Możemy te zbiory dodać; (symbol „∪”)

2.

Możemy odjąć zbiór B od zbioru A; (symbol „\”)

3.

Możemy odjąć zbiór A od zbioru B; (symbol „\”

4.

Możemy pomnożyć zbiry A i B. (symbol „∩”)

Dodawanie zbiorów

Zbiór A Zbiór B Zbiór C = A

∪ B

13

Rachunek zbiorów

Mając dane dwa zbiory: A i B możemy wykonać szereg działań na
tych zbiorach, np.:

1.

Możemy te zbiory dodać; (symbol „∪”)

2.

Możemy odjąć zbiór B od zbioru A; (symbol „\”)

3.

Możemy odjąć zbiór A od zbioru B; (symbol „\”

4.

Możemy pomnożyć zbiry A i B. (symbol „∩”)

Odejmowanie zbiorów

Zbiór A Zbiór B Zbiór C =

A \ B

14

Rachunek zbiorów

Mając dane dwa zbiory: A i B możemy wykonać szereg działań na
tych zbiorach, np.:

1.

Możemy te zbiory dodać; (symbol „∪”)

2.

Możemy odjąć zbiór B od zbioru A; (symbol „\”)

3.

Możemy odjąć zbiór A od zbioru B; (symbol „\”

4.

Możemy pomnożyć zbiry A i B. (symbol „∩”)

Odejmowanie zbiorów

Zbiór B Zbiór A Zbiór C =

B \ A

15

Rachunek zbiorów

Mając dane dwa zbiory: A i B możemy wykonać szereg działań na
tych zbiorach, np.:

1.

Możemy te zbiory dodać; (symbol „∪”)

2.

Możemy odjąć zbiór B od zbioru A; (symbol „\”)

3.

Możemy odjąć zbiór A od zbioru B; (symbol „\”

4.

Możemy pomnożyć zbiry A i B. (symbol „∩”)

Mnożenie zbiorów

Zbiór A Zbiór B Zbiór C

= A ∩ B

16

Wyrażenia algebraiczne

Każde wyrażenie, które zawiera niewiadomą jest wyrażeniem
algebraicznym. Oto przykłady: 2x + 3y – 2; 3a – 12b – 17; x – a + y –
b. Z wyrażeniami algebraicznymi, podobnie jak z liczbami i zbiorami
można:

1.

Wykonywać różne działania:

A.

Dodawanie i odejmowanie;

B.

Mnożenie i dzielenie

C.

Można podnieść je do dowolnej potęgi lub ewentualnie
wyciągnąć pierwiastek (z konkretnego wyrazu tego wyrażenia).

2.

Upraszczać je i skracać;

3.

Obliczać ich wartość liczbową.

Każdy element wyrażenia algebraicznego, obojętnie czy zawiera
niewiadomą, czy też nie jest jego

wyrazem

.

W wyrażeniu algebraicznym można także redukować wyrażenia podobne,
np.: 2x – 3y – 2 + 2x + 2y – 1 – 8x + 4 + 4y + 9x + 2y + 4= 5x + 5y + 5.

17

Wyrażenia algebraiczne

Dodawanie wyrażeń algebraicznych

Aby dodać dwa wyrażenia algebraiczne należy po prostu dodać ich wyrazy i
wykonać redukcję wyrazów podobnych:

Odejmowanie wyrażeń algebraicznych

Aby odjąć dwa wyrażenia algebraiczne, należy po prostu odjąć ich
wyrazy i wykonać redukcję wyrazów podobnych:

PRZYKŁADY:

1.

(3m – 1) + (- m + 5) = 3m – 1 – m + 5 = 2m + 4.

2.

(m – 1) – (2m + 3) = m – 1 – 2m – 3 = -m – 4.

3.

(-(4m + 1) + (6m + 3) = -4m – 1 + 6m + 3 = 2m + 2

4.

(3m – 1) - (- m + 5) = 3m – 1 + m – 5 = 4m – 6.

5.

( -4x + 2y -7) + (8x – (- 6y) +11) = -4x + 2y – 7 + 8x + 6y + 11 = 4x + 8y + 4.

6.

(-3a + 14b – 9) + (12a – 7b + 14) = -3a + 14b – 9 + 12a – 7b + 14 = 9a + 7b +5.

7.

(a – b) – (a + b) = a – b – a – b = -2b.

8.

(3x + 7) – (2x +1) = 3x + 7 – 2x – 1 = x + 6.

9.

(5m – 2n) + (3n – 4m) = 5m – 2n + 3n – 4m = m + n.

10.

(2a + 3b – 4c + 5d) + (-a + b – c + d) = 2a + 3b + 4c + 5d – a + b – c + d = a +
4b + 3c + 6d.

18

Wyrażenia algebraiczne

Mnożenie wyrażeń algebraicznych

Gdy chcemy pomnożyć dwa wyrażenia algebraiczne musimy
pomnożyć wyrazy tych wyrażeń systemem „każdy z każdym”.

PRZYKŁADY:

1.

(a – 1)(b – 2) = ab – 2a – b + 2 = – 2a + ab – b + 2.

2.

(x + 1)(x + 3) = x

2

+ 3x + x + 3 = x

2

+ 4x + 3

3.

(3x – y)(2y – 4x) = 3xy – 12x

2

– 2y

2

+ 4xy = – 12x

2

+ 7xy – 2y

2

Podstawowe wzory skróconego mnożenia

1.

(a + b)

2

= a

2

+ 2ab + b

2

2.

(a – b)

2

= a

2

– 2ab + b

2

3.

(a + b)(a – b) = a

2

– b

2

4.

(a + b)

3

= a

3

+ 3a

2

b + 3ab

2

+ b

3

5.

(a – b)

3

= a

3

– 3a

2

b + 3ab

2

– b

3

6.

a

3

+ b

3

= (a + b)(a

2

– ab + b

2

)

7.

a

3

– b

3

= (a – b)(a

2

+ ab + b

2

)

19

Wyrażenia algebraiczne

D

odatkowe wzory skróconego mnożenia

1.

(a + b + c)

2

= a

2

+ b

2

+ c

2

+ 2ab + 2ac + 2bc

2.

(a + b)

4

= a

4

+ 4a

3

b + 6a

2

b

2

+ 4ab

3

+ b

4

3.

(a – b)

4

= a

4

– 4a

3

b + 6a

2

b

2

– 4ab

3

+ b

4

4.

(a + b)

5

= a

5

+ 5a

4

b + 10a

3

b

2

+ 10a

2

b

3

+5ab

4

+ b

5

5.

(a – b)

5

= a

5

– 5a

4

b + 10a

3

b

2

– 10a

2

b

3

+5ab

4

– b

5

Jak wyprowadzić wzór skróconego mnożenia?

(a + b)

3

=

= (a + b)(a + b)(a + b) =

= (a + b)

2

(a + b) =

= (a+b)(a

2

+ 2ab + b

2

) =

= a

3

+ 2a

2

b + ab

2

+ a

2

b + 2ab

2

+ b

3

=

= a

3

+ 3a

2

b + 3ab

2

+ b

3

20

Wyrażenia algebraiczne

21

Uprość wyrażenia

22

Oblicz, stosując wzory

skróconego mnożenia

a) 63

2

– 37

2

b) 89

2

c) 48 52
d) 71

2

e) 409

2

– 591

2

f) 198 202
g) 999

2

h) 1002

2

i) 4003 3997
j) 6008

2

– 3992

2

23

Usuwanie niewymierności z

mianownika

W sytuacji kiedy po uprzednim uproszczeniu wyrażenia
algebraicznego, w mianowniku ułamka został jakiś
pierwiastek (jeden lub więcej), należy wykonać takie
operacje, aby się tego pierwiastka pozbyć, np.:

24