Macierze

Niech N₁ = {1,2,…,n} N₂ ={1,2,…,n}

Def.
Macierze o n wierszach i m kolumnach o współczynnikach w zbiorze R nazywamy każdą funkcję A, która każdej parze (i,j), takiej, że i ε N₁, j ε N₂ przyporządkowuje pewien element a_ij ε R, tzn.

(i,j) -> a_ij dla każdego i ε N₁, j ε N₂

Zapis:$\ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix}$ Macierz ma wymiary n x m

Zapis skrótowy: [aij]_i,j=1...n [aij]_nxm A_nx­­

Rodzaje macierzy:

1. Kwadratowa – macierz składająca się z równej liczby wierszy i kolumn (A_nxm) („A jest macierzą stopnia n”)

2. Diagonalna – macierz kwadratowa, dla której wszystkie a_ij dla i ≠ j

Przekątna, na której leża elementy a₁₁, a₂₂,…, a_nm nazywamy przekątną główną.

1. Jednostkowa – macierz diagonalna mająca na przekątnej głównej same jedynki

2. Trójkątna – macierz kwadratowa w której wszystkie elementy nad (pod) główną przekątną są równe zero.

3. Transponowana – macierzą transponowaną do A_nxm nazywamy A^T_mxn, w której zamieniono miejscami wiersze z kolumnami.

4. Symetryczna – macierz kwadratowa, w której dla wszystkich i, j zachodzą a_ij = a_ji (elementy są symetryczne względem głównej przekątnej)

5. Skośno-symetryczna – macierz kwadratowa, w której dla wszystkich i ≠ j zachodzi a_ij = - a_ji

6. Zerowa – macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy są równe 0

Macierz kwadratową A_nxn nazywamy:

1. Symetryczną , jeśli A = A^T

2. Idempotetną, jeśli A²=A

3. Inwolutywną, jeśli A²= I (I – macierz jednostkowa)

4. Ortogonalną, jeśli A^T=A^-1 ( A^T • A = I)

Tw. Jeśli A jest macierzą ortogonalną, to |A| = ±1

Dowód: |A|•|A| = |A^T|•|A| = |A^T •A| = | I | = 1 zatem |A²|=1 => |A| = ±1

Wyznaczniki

Niech A_nxm – dowolna macierz kwadratowa

Def. Wyznacznikiem stopnia n nazywamy taką funkcję, która

-przyporządkowuje każdej macierzy kwadratowej A pewną liczbę ε R |A| (det A)

- spełnia warunki

1) jeśli A=[a]_1x1 , to |A| = a

2) jeśli A jest macierzą kwadratową stopnia n>1, to wartość tej funkcji dla macierzy A wynosi

|A| = (-1)^1+j a_ij M_ij+…+ (-1)^n+ja_njM_nj

|A| = $\sum_{j = 1}^{n}{\left( - 1 \right)1 + j*\text{\ a}\text{ij}*\text{\ M}\text{ij}}$ 1≤ j ≤n , M_ij – minor macierzy A

Def. Minorem M_ij macierzy kwadratowej A nazywamy wyznacznik stopnia n -1 macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny

Metoda obliczania wyznaczników:

1. Macierz stopnia pierwszego n=1 A=[a], to |A| = a

2. Macierz stopnia drugiego A=$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{matrix} \right|$, to |A| = a₁₁ • a₂₂ – a₁₂ • a₂₁

3. Macierz stopnia trzeciego – schemat Sarrusa

4. Macierze wyższego stopnia n≥4 = rozwinięcie Laplace’a

Def. Dopełnienie algebraiczne A­_ij

A_ij = (-1)^i+j M_ij

1. Rozwinięcie względem i-tego wiersza

|A| = a_i1•A_i1 +…+a_in•A_in = $\sum_{j = 1}^{n}{a_{\text{ij}} \bullet A_{\text{ij}}}$

1. Rozwinięcie względem i-tej kolumny

|A| = a_1j•A_1j +…+a_nj•A_nj = $\sum_{i = 1}^{n}{a_{\text{ij}} \bullet A_{\text{ij}}}$

Dopełnieniem algebraicznym Aij nazywamy iloczyn Aij = ( − 1)^i + j * Mij

Własności wyznaczników:

1. Jeżeli macierz A posiada dwa wiersze (kolumny) równe lub proporcjonalne to |A| = 0

3. Jeżeli w macierzy przestawimy dwa sąsiednie wiersze (kolumny), to wyznacznik zmieni znak na przeciwny

4. Jeżeli w macierzy A istnieje wiersz (lub) kolumna złożona z samych zer to |A|=0

5. Wyznacznik macierzy trójkątnej (diagonalnej) jest równy iloczynowi elementów stojących na głównej przekątnej

6. Jeżeli w macierzy A do wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożoną przez dowolną stałą, to wyznacznik nie ulega zmianie

7. Jeżeli wiersz (kolumna) macierzy A jest sumą dwóch (lub więcej) elementów to wyznacznik tej macierzy jest sumą dwóch (lub więcej) wyznaczników.

|A₁,A₂,…,A_i+A_i’,…,An| =|A₁,A₂,…,A_i,…,An|+|A₁,A₂,…,A_i’,…,An|

1. Jeżeli wiersz (kolumna) macierzy A zostanie pomnożony przez liczbę K, to wyznacznik macierzy A zwiększy się K razy

K• |A₁,A₂,…,A_i,…,An| = |A₁,A₂,…,A_i • K,…,An|

1. Wyznacznik z macierzy A jest równy wyznacznikowi macierzy A^T ( |A| = |A^T|)

Działania na macierzach:

Def. Macierze A i B są równe <=> mają te same wymiary oraz odpowiadające sobie elementy macierzy A i B są równe, tzn a_ij = b_ij dla każdych ij

1) Dodawanie:

A=[a_ij]_nxm B=[b_ij]_nxm

Sumą macierzy jest C=[c_ij]_nxm , gdzie c_ij=a_ij + b_ij ­dla każdych i, j

C=A+B

Własności dodawania:

- przemienność – A+B=B+A

- łączność – (A+B)+C=A+(B+C)

- (A+B)^T=A^T+B^T

2) Mnożenie macierzy przez liczbę

Niech dana będzie macierz A=[a_ij]_nxm

Iloczynem macierzy A i liczby kεR nazywamy C=[c_ij]_nxm , gdzie c_ij =k • a_ij dla każdych i, j.
Własności:

- rozdzielność mnożenia względem dodawania k • (A+B) = k • A + k • B

- (k+B) • A = k • A + B • A
- k(A+B) = (k*B)A

3) Mnożenie macierzy przez macierz

Def. Macierz A_mxl i B_kxn są zgodne, jeżeli liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B (l=k)

Niech A_mxl i B_lxn będą zgodne. Iloczynem macierzy A przez macierz B nazywamy macierz C=[c_ij]_nxm o wymiarach nxm, gdzie:

C_ij = $\sum_{k = l}^{k}{a_{\text{ik}}b_{\text{kj}}}$ dla każdych i, j ; ozn. C=A*B

C_ij = a_i1•b_1j + a_i2•b_2j +…+ a_il•b_lj

Własności iloczynu macierzy:

A•B ≠ B • A – zazwyczaj nie jest przemienne

(A•B) • C = A • (B•C) – łączność

(A+B) • C = AC + BC – rozdzielność mnożenia względem dodawania

A•(B+C) = AB + AC

(A•B)^T= B^T • A^T

|A•B|= |A| •|B| - A i B są kwadratowe – wzór Cauchy’ego

I • A = A • I = A (I – macierz jednostkowa)

k  •  (A • B) = (k  •  A) • B = A • (k  •  B)

4) Odwracanie macierzy

Warunki konieczne i dostateczne, aby macierz A była odwracalna:

- A – macierz kwadratowa

- |A| ≠ 0 (A jest nieosobliwa)

Niech A będzie macierzą kwadratową i nieosobliwą

Def. Macierz B_nxn nazywamy odwrotną do macierzy A_nxn, gdy: A•B = B•A = I

Oznaczenie: B = A^-1

Własności macierzy odwrotnej:

- istnieje co najwyżej jedna macierz odwrotna do macierzy A

- |A^-1| = $\frac{1}{|A|}$

- (A^-1)^-1 = A

- (A•B)^-1 = B^-1 • A^-1 dla A_nxn i B_nxn

- (A^T)^-1 = (A^-1)^T

- (k•A)^-1 = $\frac{1}{k}$ • A^-1

Wyznaczanie macierzy odwrotnej:

Niech A_nxn będzie macierzą nieosobliwą

1. Tworzymy macierz dopełnień algebraicznych (macierz C, gdzie Aij= ( − 1)^i + j * Mij)

2. Transponujemy macierz C

3. Obliczamy A^-1= $\frac{1}{|A|}$ C^T

Rząd macierzy

Liniowa niezależność wektorów

Niech dany będzie zbiór k wektorów {x₁, x₂,…., x_k} takich, że x_i ε Rⁿ dla każdego i =1,2,…., k tzn.

x_i =[x_i¹,x_i²,…,x_iⁿ]

Niech Õ ε Rⁿ – wektor zerowy w postaci Õ = [0,0,…,0], natomiast + (dodawanie wektorów) oraz • (mnożenie wektorów przez liczbę)
[-1,2,3] + [5,7,3] = [4,9,6]
2*[-1,2,3] = [-2,4,6]

Def. Wektory {x₁, x₂,…., x_k} są liniowo niezależne, jeżeli jedynym rozwiązaniem równości

k₁•x₁+k₂• x₂+….+k_k• x_k = Õ k₁, k₂… ε R

jest k₁=k₂=…=k_k = 0

Liniowa niezależność wektorów

Wektory {x₁, x₂,…., x_k} nazywamy liniowo zależnymi, jeśli nie są liniowo niezależne, tzn. istnieje taki układ k₁, k₂…k_n ε R spełniający równanie powyżej, w którym k_i ≠ 0 dla pewnego i.

Uwagi:

1. Zbiór wektorów liniowo niezależnych nie może zawierać wektora Õ

2. Dowolny podzbiór zbioru liniowo niezależnego też jest liniowo niezależny

3. Zbiór wektorów jest liniowo zależny {x₁, x₂,…., x_k} <=> jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych, tzn. istnieje takie i ,że

x_i = k₁•x₁ +…+k_i-1•x_i-1+k_i+1•x_i+1+…+k_k•x_k dla pewnych k₁,…, k_i-1, k_i+1,…,k_k εR

Niech A_nxm będzie dowolną macierzą

Def. Rząd wierszowy macierzy A – maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy macierzy A

Oznaczamy - r_w(A)

Def. Rząd kolumnowy macierzy A – maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy A

Oznaczamy – r_k(A)

Uwaga: Rząd wierszowy (kolumnowy) macierzy nie może być wiekszy niż liczba wierszy (kolumn) macierzy A

Tw. r_w(A) = r_k(A)

Def. Rząd macierzy A – rząd wierszowy (kolumnowy)

Oznaczenie r(A) – rząd macierzowy

Obliczanie rzędu macierzy:

I sposób – z def. – badając niezależność wierszy lub kolumn

II sposób – wykorzystując operacje elementarne:

- przestawienie 2 dowolnych wierszy (kolumn)

- przemnożenie dowolnego wiersza (kolumny) przez liczbę ≠ 0

- dodawanie do dowolnego wiersza (kolumny) innego wiersza (kolumny) pomnożonego przez liczbę.

Tw1. Operacje elementarne nie zmieniają rzędu macierzy.

Tw2. Istnieje ciąg operacji, których dowolną macierz A_nxm przekształca w macierz B_nxm w postaci $B = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ (I – macierz jednostkowa, 0 – macierz zerowa)

Wniosek r(A) – st (I)

Dowód: r(A) = r(B) – tw. 1 r(B) = st (I)

- aby obliczyć rząd macierzy A_nxm wystarczy ją przekształcić do postaci $B = \begin{bmatrix} T & R \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ (T-macierz trójkątna, R- macierz dowolna)

Wówczas również r(A)=st (T)

Własności rzędu macierzy:
1) r(A_nxm) ≤ min {m,n}

2) r(A•B) ≤ min {r(A); r(B)}

3) r(A^T) = r(A)

4) rząd macierzy zerowej jest równy 0

5) rząd macierzy A jest równy stopniowi największego minora różnego od zera, istniejącego w macierzy A

Uwaga: własność 5 jest III sposobem obliczania rzędu macierzy.

Wniosek:
1) r(I_n) = n;
2)związek między wyznacznikiem macierzy kwadratowej A_nxn a jej rzędem:

r(A)= n <=> |A|≠0 r(A)<n <=> |A| = 0

Zastosowanie rzędu:

1. Sprawdzanie liniowej niezależności układu wektorów

2. Określenie liczby rozwiązań układu równań

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Def. Układem m równań o n niewiadomych x₁, x₂,…, x_n nazywamy układ równań postaci:

UKŁAD RÓWNAŃ (*) $\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ \ldots\ldots. \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \ldots + a_{\text{mn}}x_{n} = b_{m} \\ \end{matrix} \right.\ $

gdzie: a_ij , b_i ε R dla wszystkich i=1,2,…., m ; j= 1,2…., n

Zapis układu macierzowego: A • x = b (zapis równania powyżej w postaci 3 macierzy o wymiarach m x n)

Def. Rozwiązaniem układu równań (*) jest każdy ciąg wartości (x₁,x₂,…,x_n) spełniający równanie (*)

1. Zał. m=n

Macierz A jest kwadratowa (A_nxn)

Def. Układ (*) nazywamy układem Cramera <=> gdy |A|≠ 0

Tw. Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie:

$$x = \frac{\left| A_{i} \right|}{|A|}\text{\ \ \ \ },\text{\ \ }i = 1,2,\ldots,n$$

Gdzie A_i –macierz powstała z macierzy A przez zastąpienie i-tej kolumny, kolumną wyrazów wolnych.

1. Zał. m≠n v m=n [lub]

Układ równań (*) może mieć:

- 1 rozwiązanie – układ oznaczony

- Nieskończenie wiele rozwiązań – układ nieoznaczony

- 0 rozwiązań – układ sprzeczny

Niech A_mxn – macierz układu równań

Ozn. Ă – macierz powstała z macierzy A przez dopisanie kolumny wyrazów wolnych

Ă_mx(n+1) – macierz rozszerzona (uzupełniona)

Tw. Kroneckera-Capellego

Układ równań (*) ma co najmniej jedno rozwiązanie <=> r(A)= r(Ă).

Def. Gdy spełniony jest warunek r(A)=r(Ă), to układ równań (*) jest zgodny.

UWAGA: Zawsze r(A)≤r(Ă), więc układ jest sprzeczny (tzn. nie jest zgodny) <=> r(A) < r(Ă).

Rozwiązanie dowolnego układu równań – metoda eliminacji Jordana-Gaussa

Polega na kolejnej eliminacji niewiadomych przy zastosowaniu operacji:

1. Zmiana kolejności równań

2. Pomnożenie równania przez dowolna liczbę ≠ 0

3. Dodanie do równania innego równania pomnożonego przez liczbę

UWAGA – powyższe operacje nie zmieniają rzędu macierzy.

Cel przekształceń – doprowadzenie macierzy do macierzy trójkątnej

Rozwiązanie układu równań – algorytm

1. Poprzez eliminację Jordana-Gaussa macierz doprowadzamy do macierzy trójkątnej

2. W oparciu o macierz trójkątną obliczamy rząd A oraz Ă

3. Jeśli r(A) < r(Ă) to brak rozwiązań

Jeśli r(A) = r(Ă) to pkt 4

1. Wprowadzamy za (ilość niewiadomych – n) n-r [n minus r] zmiennych parametry

2. Pozostałe r zmiennych wyznaczamy po kolei począwszy od ostatniego niezerowego wiersza (równania) macierzy trójkątnej

Uwaga – przy pomocy powyższej procedury można rozwiązać układy równań Cramera

UKŁADY RÓWNAŃ JEDNORODNYCH

Def. Układ równań liniowych (*) nazywamy układ równań jednorodnych <=> b₁=b₂=…=b_m=0

A • x = Õ gdzie Õ=$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$

Uwaga – układ równań jednorodnych ma minimum jedno rozwiązanie (x=Õ, tzw. Rozwiązanie trywialne)

Wniosek 1. Jeśli układ równań jednorodnych jest układem Cramera to rozwiązanie trywialne jest jedynym jego rozwiązaniem.

Wniosek 2. W przypadku układu równań jednorodnych r(A)= r(Ă)

Tw. Jeśli x oraz x’ są rozwiązaniem układu równań jednorodnych, to każda kombinacja liniowa k•x + l•x', gdzie k,l ε R również jest rozwiązaniem tego układu.

[ANALIZA MATEMATYCZNA]

CIĄGI LICZBOWE

Def. Ciągiem liczbowym nazywamy każdą funkcję, której dziedziną są liczby naturalne f:N->R

Umowa: Wartości powyższych f. (tzn. f(1), f(2)..) zwykło się oznaczać symbolami a₁, a₂, …. Tzn. a₁=f(1), a₂=f(2)

Oznaczenie: (a_n) lub {a_n}

Sposoby określania ciągu:

1. Podanie wartości jego elementów a_n dla każdego n=1,2…..

2. Wzór jawny - pozwala obliczyć każdy a_n w zależności od n: $a_{n} = \frac{1}{n} + 1\ \ ,\text{\ \ }n = 1,2..$

3. Wzór rekurencyjny – pozwala obliczyć a_n w zależności od wcześniejszego wyrazu ciągu.

An=2a_n-1 – a_n-2-1 , n=1,2…., gdzie a₁=-2 , a₂=1,5

Rodzaje ciągów

Def. Ciąg (a_n) nazywamy:

1. Rosnącym <=> gdy dla każdego n ε N a_n<a_n+1

2. Malejącym <=> gdy dla każdego n ε N a_n>a_n+1

3. Niemalejącym <=> gdy dla każdego n ε N a_n≤a_n+1

4. Nierosnącym <=> gdy dla każdego n ε N a_n≥a_n+1

5. Stałym <=> gdy dla każdego n ε N a_n=a_n+1

Def. Ciąg (a_n) nazywamy monotonicznym, jeśli jest niemalejący lub nierosnący

Def. Ciąg (a_n) nazywamy ograniczonym z dołu, jeśli istnieje takie c ε R dla którego dla każdego n ε N a_n≥ c

Def. Ciąg (a_n) nazywamy ograniczonym z góry jeśli istnieje takie c ε R dla którego dla każdego n ε N a_n≤ c

Def. Ciąg (a_n) nazywamy ograniczonym jeśli istnieje takie c ε R⁺ dla którego dla każdego n ε N |a_n|≤ c

Tw. Ciąg jest ograniczony, gdy jednocześnie jest ograniczony z góry i z dołu.

Zbieżność ciągów

Def. (granicy Cauchy’ego)

Liczba g ε R nazywa się granicą ciągu (a_n), jeśli do każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu, tzn.:
granicą ciągu (a_n­) po n zmierzającym do nieskończoności jest liczba g <=> gdy dla każdego
£ [epsilon] > 0 istnieje takie n ε N to dla każdego n>n_£ wtedy |a_n-g|<£ <=> dla każdego £>0 istnieje n_£ ε N dla każdego n> n_£ i wtedy a_n ε(g-£, g+£)

Oznaczenie: a_n = g

Def. Ciąg a_n ma granicę w ±∞, jeśli: dla każdego M>0 istnieje n_mεN dla każego n>n_M

a_n >M <- +∞ a_n <M <- -∞

a_n = +∞

Oznaczenie  a_n = +∞ [−∞]

Def. Ciąg (a_n) jest zbieżny, jeśli posiada granicę skończoną.

Def. Ciąg (a_n) jest rozbieżny, jeśli nie jest zbieżny, tzn.

1. a_n = ±∞

2. Ciąg (a_n) nie ma granicy.

TWIERDZENIA O CIĄGACH ZBIEŻNYCH

1. Ciąg stały jest zbieżny – tzn. jeśli (a_n) = (a), to a_n = a

2. Ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę.

3. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

4. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

5. Działania arytmetyczne na ciągach zbieżnych

Niech a_n = a i b_n = b

1. (a_n • ∝ ± β • b_n) = ∝ • a ± β • b

2. a_n • b_n = a • b

3. $\operatorname{}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a}{b}$ (dla każdego n ε N - b_n≠0 i b≠0)

4. (a_n)^k = a^k (k ε N)

5. $\operatorname{}\sqrt[k]{a_{n}} = \sqrt[k]{a}$ (k ε N)

6. β^a_n = β^a (β > 0)

1. (o trzech ciągach)

Niech dane będą 3 ciągi (a_n ),( b_n), (c_n) takie, że:

1. Istnieje n₀ dla każdego n>n₀ wtedy a_n≤b_n≤_­c_n

2. Ciągi (a_n)i (c_n) są zbieżne oraz a_n = g =  c_n

Wówczas ciąg b_{n ­}też jest zbieżny i b_n = g

Uzupełnienie Tw.6

Tw 6a) Niech dane będą ciągi (a_n), (b_n) takie, że:

- istnieje n₀ dla każdego n>n₀ wtedy a_n ≤b_n

- a_n = +∞

Wówczas ciąg (b_n) też jest rozbieżny do +∞.

Tw 6b) Niech dane będą ciągi (b_n), (c_n) takie że

- istnieje n₀ dla każdego n>n₀ wtedy b_n ≤c_n

- c_n = −∞

Wówczas ciąg (b_n) też jest rozbieżny do -∞.

Wyrażenia nieoznaczone:
[$\left\lbrack \infty \bullet - \infty \right\rbrack\ ;\left\lbrack 0 \bullet \infty \right\rbrack\ ;\left\lbrack \frac{\infty}{\infty} \right\rbrack;\left\lbrack \frac{0}{0} \right\rbrack;\ {\lbrack\infty}^{0}\rbrack;\ {\lbrack 0}^{0}\rbrack;\lbrack 1^{\infty}\rbrack$

Granice wybranych ciągów

1. $\operatorname{}{a^{n} = \left\{ \begin{matrix} \text{brak\ \ \ a} \leq - 1 \\ \infty\ \ \ \ \ \ a > 1 \\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left| a \right| < 1 \\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a = 1 \\ \end{matrix} \right.\ }$

2. $\operatorname{}{\sqrt[n]{a} = 1}$

3. $\operatorname{}{\sqrt[n]{n} = 1}$

4. $\operatorname{}{{(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e}$

Można udowodnić, że ciąg a_n=(1+$\frac{1}{n})$ⁿ jest rosnący i ograniczony – jest zbieżny (tw.4)

Def. Granicę ciągu a_n=(1+$\frac{1}{n})$ⁿ nazywamy liczbą Eulera i oznaczamy symbolem e≈2,71828 – jest liczbą niewymierną.

Uogólnienia granicy 4):

1. $\operatorname{}{{(1 + \frac{k}{n})}^{n} =}e^{k}$ (k ε R)

Wniosek: $\operatorname{}{{(1 - \frac{1}{n})}^{n} = \frac{1}{e}}$

1. Jeśli a_n = ±∞; to $\operatorname{}{{(1 + \frac{k}{a_{n}})}^{a_{n}} = e^{k}}$ (k ε R)

2. Jeśli a_n = 0 to $\operatorname{}{{{(1 + a}_{n})}^{\frac{1}{a_{n}}} = e}$

Def. Liczbę g nazywamy punktem skupienia ciągu (a_n), jeśli istnieje w (a_n) podciąg zbieżny do g.

UWAGA: Każdy ciąg zbieżny posiada dokładnie jeden punkt skupienia; jest nim granica tego ciągu (inaczej mówiąc: każda granica jest również punktem skupienia).

SZEREGI LICZBOWE

Niech dany będzie nieskończony ciąg (a_n)

Def. Przez szereg liczbowy oznaczony symbolem

a₁+a₂+…+a_n+… lub $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$

rozumiemy ciąg (S_n) sum:
S₁=a₁ ; S₂= a₁+a₂

S_n= a₁+a₂+…+a_n+…

Liczby a₁+a₂+… nazywamy wyrazami szeregu, zaś S₁, S₂ – sumami częściowymi (cząstkowymi) szeregu.

Def. Sumą szeregu – S nazywamy granicę S = S_n

S_n= a₁+a₂+…+a_n+… lub $S = \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$

Uwaga: S może być granicą skończoną bądź nieskończoną

Def. Jeśli szereg ma sumę skończoną S, to jest zbieżny.

Def. W przeciwnym wypadku szereg jest rozbieżny (szereg nie ma sumy) Uwaga: rozbieżność może polegać na tym, że S=±∞ lub granica nie istnieje

Tw. Szereg harmoniczny rzędu ∝, tzn $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{\propto}}$ , ∝ >0 jest zbieżny dla ∝ >1 i rozbieżny dla ∝≤ 1

Tw. Jeżeli szeregi $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ oraz $\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$ są zbieżne, a ich sumy wynoszą odpowiednio A i B to:

1. $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n} \pm b_{n}$ = $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ ± $\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$ = A ± B

2. $\sum_{n = 1}^{\infty}{(k \bullet a_{n}}) = k\ \bullet \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$= k • A

Tw. (warunek konieczny zbieżności szeregu)

Jeżeli szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ jest zbieżny, to a_n = 0

SZEREGI O WYRAZACH NIEUJEMNYCH

$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ gdzie a_n≥0 => S_n≥S_n-1 => (S_n) zbieżny lub rozbieżny do +∞

Kryteria zbieżności szeregów:

1. Kryterium porównawcze

2. Kryterium D’Alamberta

3. Kryterium Cauchy’ego

1. Szeregi $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ oraz $\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$ (a_n,b_n≥0)

1. Istnieje k ε N dla każdego n>k wtedy a_n≤b_n i $\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$ – zbieżny, to $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ - zbieżny

2. Istnieje k ε N dla każdego n>k wtedy a_n≤b_n i $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ = +∞ , to $\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$ - rozbieżny do +∞

1. Niech dany będzie szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ (a_n ≥0). Rozważmy ciąg (d_n) gdzie d_n=$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$

Jeżeli istnieje granica d =  d_n oraz:

d>1 to szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ jest rozbieżny

d<1 to szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ jest zbieżny

d=0 – to kryterium nie rozstrzyga – przypadek wątpliwy

1. Niech dany będzie szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ (a_n ≥0)

Rozważmy ciąg (c_n), gdzie c_n=$\sqrt[n]{a_{n}}$

Jeżeli istnieje granica c =  c_n oraz:

c>1 to szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ jest rozbieżny

c<1 to szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ jest zbieżny

c=0 – to kryterium nie rozstrzyga

FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

Niech będą zbiory X,Y ⊂R

Def. Funkcją f: X->Y nazywamy odwzorowanie zbioru X w Y, które każdemu elementowi x ε X przyporządkowuje jeden element yεY

Zbiór X nazywamy dziedziną , natomiast Y- przeciwdziedziną.

Niech f(x)={yεY; dla każdego xεX f(x)=y} oczywiście f(x) ⊂Y

Def. Zbiór f(x) nazywamy zbiorem wartości funkcji f.

Rodzaje funkcji:

1. Różnowartościowa (1-1) (iniekcja)

Def. Funkcja f: X->Y nazywa się róznowartościową, jeśli dla każdego x_1,,x₂ εX i x_1,≠x₂ => f(x₁)≠f(x₂)

Lub dla każdego x_1,,x₂ εX i f(x₁)=f(x₂)=> x_1,=x₂

1. Funkcja „na” (suriekcja)

Def. Funkcja f: X->Y nazywa się suriekcją jeśli dla każdego yεY istnieje xεX wtedy f(x)=y

Każda prosta pozioma w odpowiednim zakresie ma min 1 punkt przecięcia z wykresem.

Uwaga: Fukcja f:X->Y jest „na” jeśli f(x)=Y

1. Funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja)

Def. Funkcja f:X->Y nazywa się bijekcją, jeśli jest róznowartościowa i „na”

Każda prosta pozioma w odpowiednim zakresie ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem.

Superpozycja (złożenie) funkcji

Niech dane będą funkcje f:X->Y oraz g: Y->Z

Def. Złożeniem funkcji f i g nazywamy odwzorowanie h: X->Z określone wzorem: h(x)=g(f(x))

Oznaczamy h=g₀f lub h(x)=(g₀f)(x)

Uwagi:

1. Złożenie funkcji f i g istnieje <=> gdy f(x) ⊂D_g

2. Zwykle g₀f≠f₀g

Funkcja odwrotna

Niech dana będzie funkcja wzajemnie jednoznaczna f:X->Y

Def. Funkcję f^-1:Y->X nazywamy funkcją odwrotna do f, jeżeli dla każdego xεX i yεY wtedy y=f(x) <=> x=f^-1(y)

Uwagi: 1)Funkcja odwrotna f^-1 też jest funkcją wzajemnie jednoznaczną

2)(f^-1)^-1= f

3) Superpozycje f^-1₀f oraz f₀f^-1 są funkcjami tożsamościowymi, tzn. dla każdego xεX (f₀f^-1)(x)=x oraz yεY (f₀f^-1)(y)=y

Przykłady funkcji odwrotnych

a)Niech dana będzie f. f:R->(0,∞) określona wzorem f(x)=a^x, gdzie a >0

Funkcją odwrotną do f jest f^-1: (0,∞)->R określona wzorem f^-1(x)=log_ax

Funkcje cyklometryczne (kołowe)

Są to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych, z dziedzinami ograniczonymi do pewnych przedziałów:
a) f(x)= sin x f:[$\frac{- \pi}{2};\frac{\pi}{2}\rbrack$ -> [-1,1]

Jest różnowartościowa i „na” wiec f ma funkcję odwrotną- funkcję tę nazywamy arcus sinus i oznaczamy arcsinx (arcsinx – spełnia warunek funkcji odwrotnej [można go z powrotem na sinusa])

b)f(x)=cosx f:[0,π] -> [-1,1]

Jest różnowartościowa i „na” wiec f ma funkcję odwrotną- funkcję tę nazywamy arcus cosinus i oznaczamy arccosx (arccosx – spełnia warunek funkcji odwrotnej [można go z powrotem na cosinusa])

c)f(x)=tgx f: ($\frac{- \pi}{2};\frac{\pi}{2})$ -> R

Jest różnowartościowa i „na” wiec f ma funkcję odwrotną- funkcję tę nazywamy arcus tangens i oznaczamy arctgx (arctgx – spełnia warunek funkcji odwrotnej [można go z powrotem na tangensa])

d)f(x)=ctg(x) f:[0,π] -> R

Jest różnowartościowa i „na” wiec f ma funkcję odwrotną- funkcję tę nazywamy arcus cotangens i oznaczamy arcctgx (arcctgx – spełnia warunek funkcji odwrotnej [można go z powrotem na cotangensa])

GRANICA FUNKCJI

Def. Otoczeniem punktu x₀ o promieniu ð>0 nazywamy przedział otwarty (x­_0­-ð, x­_0­+ð ) i oznaczamy symbolem U(x₀,ð)

Def. Sąsiedztwo punktu x₀ o promieniu ð>0 to zbiór (x­_0­-ð, x­_0­+ð ) i oznaczamy symbolem S(x­₀,ð)

Uwaga: S(x­₀,ð) = U(x₀,ð)

Niech dany będzie dowolny zbiór X⊂R

Def. Punkt x₀ jest punkt skupienia zbioru X, jeśli w dowolnym jego S znajduje się choć 1 punkt należący do X.

Uwaga: Punkt skupienia zbioru X moża, ale nie musi należeć do tego zbioru.

1. Granica funkcji w punkcie

Niech dana będzie funkcja f:X->Y oraz punkt x₀ będący punktem skupienia zbioru X

Def. Heinego

Liczba g jest granicą funkcji f:X->Y w punkcie x_0, gdy dla każdego ciągu (x_n) takiego, że x_nεX, x_n≠x₀ i x­_n->x₀, ciąg wartości funkcji f(x_n) dąży do g przy n->∞

Oznaczamy: f(x) = g

Zapis symboliczny: f(x) = g <=> dla każdego x_nεX i x_n≠x₀ to x_n­$\overset{\rightarrow}{n \rightarrow \infty}$x₀ => f(x_n) $\overset{\rightarrow}{n \rightarrow \infty}$g

Def. Cauchy’ego

Liczba g jest granicą funkcji f:X->Y w punkcie x_­0, gdy dla każdej liczby €>0 istnieje liczba ð_€ taka, że dla każdego xεX z nierówności 0<|x-x₀]< ð_€ wynika nierówność |f(x) –g|,€

Uwaga: Def. Heinego i Cauchy’ego są równoważne

Granica jednostronna funkcji w punkcie

Oznaczamy przez S⁺(x­­₀,ð) = (x₀, x₀+ð) – sąsiedztwo prawostronne

S^-(x­­₀,ð) = (x₀-ð, x₀) – sąsiedztwo lewostronne punktu x­₀

Niech dany będzie dowolny zbiór X⊂R

Def. Punkt x­₀ jest lewostronnym(prawostronnym) punktem skupienia zbioru X, jeśli w dowolnym jego sąsiedztwie lewostronnym(prawostronnym) znajduje się choć jeden punkt należący do X.

Niech dana będzie funkcja f:X->Y oraz punkt x₀ będący lewostronnym(prawostronnym) punktem skupienia zbioru X.

Def. Heinego
Liczba g jest lewostronną(prawostronną) granicą funkcją f:X->Y w punkcie x_{0, ­}, gdy dla każdego ciągu (x­_n) takiego, że x_nεX, x_n­<x₀ (x_n­<x₀) i x_n­-> x₀, ciąg wartości funkcji f(x_n) dąży do g przy n->∞

Oznaczenie: f(x)=g (f(x)=g) (symbolicznie …..)

Tw. Funkcja f posiada granicę w punkcie x₀ <=> istnieją obie granice jednostronne funkcji f w punkcie x₀ i są równe. Wtedy: : f(x)=g =  f(x)=g = f(x)=g

3)Granica niewłaściwa funkcji

Niech dana będzie funkcja f:X->Y oraz punkt x­₀ będący punktem skupienia zbioru X

Def. Heinego

Funkcja f:X->Y ma w punkcie x₀ granicę niewłaściwą ∞[-∞], gdy dla każdego ciągu [x_n], takiego że x_nεX, x_n ≠x₀ i x_n->x₀, ciąg wartości funkcji f(x_n)dąży do ∞[-∞] przy n->∞

Oznaczenie: f(x)=∞ ; f(x)= − ∞

4) Jednostronna granica niewłaściwa funkcji:

Niech dana będzie funkcja f:X->Y oraz punkt x₀ będący lewostronnym(prawostronnym) punktem skupienia zbioru X.

Def. Heinego

Funkcja f: X->Y ma w punkcie x₀ lewostronną (prawostronną) granicę niewłaściwą ±∞, gdy dla każdego ciągu (x_n) takiego, że x_nεX, x_n<x₀ (x_n>x₀) i x_n->x₀, ciąg wartości f(x­_n­­­) dąży do ±∞ przy n->∞

Oznaczamy: f(x)= ± ∞ (f(x)= ± ∞) (symbolicznie…)

Tw. (o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji)

Jeśli f(x)=p oraz g(x)=g to:

1. [ ∝ •f(x) ± β • g(x)= ∝ •p ± β • g

2. [f(x) • g(x)]=p • g

3. $\operatorname{}{\frac{f\left( x \right)}{g(x)} =}\frac{p}{g}$ (dla każdego xεX, g(x)≠0 i g ≠ 0)

Tw. (o 3 funkcjach)

Niech dane będą funkcje f(x), g(x), h(x) określone w pewnym S(x₀,ð) punktu x₀

1. Jeśli dla każdego xε(x₀,ð) f(x)≤g(x)≤h(x) i f(x)=h(x)=g to g(x)=g

2. Jeśli dla każdego xε(x₀,ð) f(x)≤g(x) i f(x)=∞, to g(x)=∞

3. Jeśli dla każdego xε(x₀,ð) f(x)≤h(x) i h(x) = −∞, to g(x) = −∞

Przykładowe granice:

$\operatorname{}{\frac{\sin x}{x} =}1$,

$\operatorname{}{\frac{a^{x} - 1}{x} =}\text{lna}$, wniosek $\operatorname{}{\frac{e^{x} - 1}{x} =}lne = 1$

$\operatorname{}{{(1 + \frac{1}{x})}^{x} =}e$ ogólnie $\operatorname{}{{(1 + \frac{k}{x})}^{x} =}e^{k}$

$\operatorname{}{{(1 + x)}^{\frac{1}{x}} =}e$ ogólnie $\operatorname{}{{(1 + kx)}^{\frac{1}{x}} =}e^{k}$

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI W PUNKCIE

Niech dana będzie funkcja f:X->R określona w pewnym otoczeniu punktu x₀

Def. Funkcja jest ciągła w punkcie x₀, jeśli istnieje granica właściwa funkcji f(x) w punkcie x­₀ i jest ona równa wartości w tym punkcie.

f(x)=f(x) x₀εX

Def. Funkcja f jest ciągła lewostronnie (prawostronnie) w punkcie x₀ jeśli zachodzi:

f(x)=f(x₀) f(x)=f(x₀))

Uwaga: Funkcja f jest ciągła w x₀ <=> jest jednocześnie lewo i prawostronnie ciągła w x­­₀.

Def. Punkt x₀εX jest punktem nieciągłości funkcji f. jeśli f nie jest ciągła w x₀.

Def. Funkcja f jest ciągła w zbiorze A⊂X, jeśli f jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru (xεA)

Tw. o funkcjach ciągłych

Tw1. Niech funkcje f i g będą określone w (a,b) i ciągłe w punkcie x₀ε(a,b). Wówczas funkcje f±g, f•g, $\frac{f}{g}$ (g(x_0­) ≠0) są ciągłe w x₀

Tw.2 Jeśli funkcja f:X->Y jest ciągła w x₀εX i funkcja g:Y->Z jest ciągła w y_o=f(x_o), to funkcja złożona g₀f jest ciągła w x₀

Funkcje wielomianowe, wykładnicze, wymierne, logarytmiczne, trygonometryczne, cyklometryczne są ciągłe w swoich dziedzinach.

POCHODNA FUNKCJI

Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu U(x₀,ð) punktu x₀, zaś h≠0 taką liczbą, że x₀+hεU(x₀,ð)

Def. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x₀ jest iloraz:

$$\frac{f}{g} = \frac{f\left( x \right) - f(x_{0})}{x - x_{0}} = \frac{f\left( x_{0} + x \right) - \ f(x_{0})}{x} = \frac{f\left( x_{0} + h \right) - f(x_{0})}{h}$$

Gdzie x(h)jest przyrostem zmiennej x.

Def. Pochodną funkcji f w punkcie x_0­ jest granica ilorazu różnicowego (o ile taka granica istnieje)

$$f^{'}\left( x_{0} \right) = \operatorname{}{\frac{f\left( x \right) - \ f(x_{0})}{x - x_{0}} = \operatorname{}\frac{f\left( x_{0} + h \right) - \ f(x_{0})}{h}}$$

Def. Jeśli funkcja f posiada pochodną w x₀, to mówimy, że jest różniczkowalna w x_o.

Tw. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w x₀, to jest w nim ciągła (tw. odwrotne nie jest prawdziwe)

Def. Funkcja f jest różniczkowalna w zbiorze, jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie tego zbioru.

Def. n-ta pochodną funkcji f jest funkcja fⁿ(x) = (f⁽ⁿ⁻¹⁾(x))

Działania na pochodnych:

1. [c•f(x)]’=c  •  f’(x)

2. [f(x) ± g(x) ]’ = f’(x) ± g’(x)

3. [f(x)  •  g(x)]’ = f’(x)g(x) + g’(x)f(x)

4. $\left\lbrack \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} \right\rbrack^{'} = \frac{f^{'}\left( x \right)g\left( x \right) - \ g^{'}\left( x \right)f(x)}{{\lbrack g\left( x \right)\rbrack}^{2}}$

5. [f(g(x))]^′ = f^′[g(x)]•g^′(x) , jeśli funkcja f ma pochodną w punkcie g(x) , a funkcja g w x

Zastosowanie pochodnych:

1. Obliczanie granic funkcji

2. Badanie przebiegu zmienności funkcji

Twierdzenie de l’Hospotala

Niech f,g: X->R będą różniczkowalne w pewnym sąsiedztwie S(x₀,ð) punktu x₀, będącym punktem skupienia zbioru X. Jeżeli spełnione są warunki:

1. Dla każdego xεS(x₀,ð) g(x)≠0 i g’(x)≠0

2. f(x) = 0 i g(x) = 0

3. $\operatorname{}{\frac{f'\left( x \right)}{g^{'}(x)} = A}$

To: $\operatorname{}{\frac{f\left( x \right)}{g(x)} = A}$

Uwaga warunek 2 można zastąpić:
f(x) = ±∞ i g(x) = ±∞

Monotoniczność funkcji

Def. Funkcję f nazywamy:

1. Rosnącą ((niemalejącą)) w zbiorze A⊂ D_f , jeśli dla każdego x₁,x₂ ε A i x₁<x₂ =>f(x_1­)<f(x₂) ((f(x₁)≤f(x₂)))

2. Malejącą ((nierosnącą)) w zbiorze A⊂D_f , jeśli dla każdego x₁,x₂ ε A i x₁<x₂ =>f(x_1­)>f(x₂) ((f(x₁)≥f(x₂)))

3. Stała w zbiorze A⊂D_f , jeśli istnieje c ε R dla każdego x ε A i wtedy f(x) =c

Def. Funkcję która jest niemalejącą lub nierosnącą nazywamy monotoniczną.

Tw. (warunek wystarczający monotoniczności funkcji)

Niech f będzie różniczkowalna w Ac= D_f

Wówczas:
a) jeśli dla każdego x ε A f’(x)>0 [f’(x)≥0], to f jest rosnąca w A [niemalejąca]

b) jeśli dla każdego x ε A f(x)’<0 [f’(x)≤0], to f jest malejąca w A [nierosnąca]

c)jeśli dla każdego x ε A f’(x)=0 to f jest stała.

Ekstrema funkcji

Def. Funkcja f posiada w punkcie x₀ ε D_f max ((min)) globalne jeśli dla każdego x ε D f(x₀)≥f(x) ((f(x₀)≤f(x)))

Def. Funkcja f posiada w punkcie x₀ ε D_f max ((min)) lokalne jeśli istnieje pewne sąsiedztwo S(x₀, ð) c=D_f­ punktu x₀ takie, że: dla każdego x ε S(x₀, ð) f(x₀)≥f(x) ((f(x₀)≤f(x)))

WARUNKI KONIECZNE I DOSTATECZNE ISTNIENIA EKSTREMUM (lokalnego)

War. Konieczny:

Tw. Fermata

Jeżeli funkcja f posiada w x₀ ε D_f ekstremum lokalne i istnieje f’(x₀), to f’(x₀)=0

Uwaga: Warunek ten nie jest wystarczający (twierdzenie odwrotne nie zachodzi)

Wniosek 1 Jeżeli f jest różniczkowalna w całej swojej dziedzinie, to ekstremów należy szukać wśród rozwiązań równania f’(x)=0

Rozwiązania te są punktami stacjonarnymi (podejrzane o bycie ekstremum)

Wniosek 2: Jeżeli nie istnieje pochodna f’(x₀) dla x₀ ε D_f to punkt ten może być ekstremum (mimo, że nie zostawienie wskazany jako rozwiązanie równania f’(x)=0)

Warunki wystarczające na istnienie ekstremum:

1. Jeżeli funkcja f jest ciągła w x₀ ε D_f­­ i ma pochodną w pewnym sąsiedztwie S(x₀,ð) oraz: dla każdego x ε S^-(x₀, ð) f’(x)>0 [f’(x)<0] i dla każdego x ε S⁺(x₀, ð) f’(x)<0 [f’(x)>0] to funkcja ma w x₀ maksimum [min] lokalne.

2. Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu U (x₀,ð) drugą pochodna ciągłą, a ponadto f’(x₀)=0 i f’’(x₀)<0 [f’’(x₀)>0] to funkcja ma w x­₀ maksimum [minimum] lokalne.

3. Wklęsłość i wypukłość funkcji

Def. Różniczkowalna funkcja f(x) jest w przedziale (a,b) wklęsła [wypukła], jeśli dla każdego x,x₀ ε(a,b) x₀≠x f(x) < [>] f(x­₀)+f’(x₀)•(x-x₀)

y= f(x₀)+f’(x₀)•(x-x₀) – równanie stycznej

Wniosek: Jeżeli funkcja f(x) jest wklęsła [wypukła], to jej wykres leży pod [nad] każdą styczną do niej poprowadzoną.

Kryterium badania wklęsłości/wypukłości

Tw. Niech f(x) ma w (a,b) drugą pochodną. Jeśli dla każdego x ε(a,b) f’’(x)< [>] 0 to f(x) jest wklęsła [wypukła] w (a,b)

1. Punkt przegięcia wykresu funkcji

Def. Punkt (x₀, f(x₀)) jest punktem przegięcia wykresu funkcji jeśli istnieje liczba ð>0 taka, że w S^-(x₀, ð) funkcja f(x) jest wypukła (wklęsła), a w S⁺(x₀, ð) wklęsła (wypukła)

Warunek konieczny i wystarczający istnienia punktu przegięcia.

Niech f(a,b) ->R ma w (a,b) drugą pochodną.

Tw. Warunkiem koniecznym na to, aby punkt (x₀, f(x₀)) był punktem przegięcia funkcji f(x) jest, aby f’’(x₀)=0. (UWAGA twierdzenie odwrotne nie zachodzi).

Tw. Warunkiem wystarczającym na to aby punkt (x₀, f(x₀)) był punktem przegięcia funkcji f(x) jest, aby f’’(x₀) i f’’(x) była innego znaku w pewnym S^-(x₀, ð) a innego w S⁺(x₀, ð)

1. Asymptoty wykresu funkcji

1. Asymptoty pionowe

Def. Prostą o równaniu x=a jest asymptotą pionową lewo[prawo]stronną wykresu funkcji f, określonej w S^- [S⁺_­] punktu x₀=a, jeśli f(x) = ±∞ [f(x) = ±∞]

Def. Prosta x=a jest asymptotą pionową obustronną, jeśli jest jednocześnie asymptotą lewo i prawostronną

1. Asymptoty poziome

Def. Prosta y=k jest asymptotą poziomą lewo[prawo]stronną wykresu funkcji f, określonej dla xε(−∞,a) [xε(b,+∞)] dla aεR, jeśli [bεR] jeśli f(x) = k [f(x) = k]

Def. Prosta o równaniu y=k jest asymptotą poziomą obustronną wykresu funkcji f, jeśli jest jednocześnie asymptotą poziomą lewo i prawostronną.

1. Asymptoty ukośne

Def. Prosta y=mx+k jest asymptotą ukośną lewo[prawostronną] wykresu funkcji f, określonej dla xε(−∞,a) [xε(b,+∞)] dla pewnego aεR [bεR], jeśli $\operatorname{}{\frac{f\left( x \right)}{x} = m}$ [$\operatorname{}{\frac{f\left( x \right)}{x} = m}\rbrack$ oraz (f(x) −  mx)=k [(f(x) −  mx)=k]

Def. Prosta y=mx+k jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji jeśli jest asymptotą ukośną lewo i prawostronną funkcji.

Uwaga asymptoty poziome są szczególnym przypadkiem asymptot ukośnych.

Schemat badania przebiegu zmienności funkcji

I Analiza funkcji f(x)

1. Wyznaczanie dziedziny

2. Obliczenie granic na krańcach dziedziny

3. Wyznaczenie asymptot

4. Wyznaczenie punktu przecięcia wykresu funkcji z osiami

II Analiza pierwszej pochodnej f’(x)

1. Obliczenie f’(x) i wyznaczenie jej dziedziny (tzn. zbioru, w którym jest różniczkowalna)

2. Wyznaczenie punktów stacjonarnych (f’(x)=0 – warunek konieczny istnienia ekstremum)

3. Określenie przedziałów monotoniczności funkcji f(x) (f’(x)>0; f’(x)<0)

4. Wyznaczenie ekstremów lokalnych (I warunek wystarczający istnienia ekstremum)

III Analiza drugiej pochodnej f”(x)

1. Obliczenie f”(x) i wyznaczenie jej dziedziny

2. Wyznaczenie f”(x)=0 –warunek konieczny istnienia punktów przegięcia

3. Określenie przedziałów wklęsłości (wypukłości) f”(x)>0; f”(x)<0

4. Wyznaczenie punktów przegięcia

5. II warunek wystarczający istnienia ekstremów

IV Sporządzenie tabeli przebiegu zmienności funkcji

V Sporządzenie wykresu funkcji

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Iloczyn kartezjański zbiorów:

Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B jest zbiór wszystkich par uporządkowanych (a,b) takich, że a ε A i b ε B oznaczamy AxB. Tzn. AxB={(a,b);a ε A; b ε B}

Def. Iloczynem kartezjańskim zbiorów A₁,A₂,…,A_k jest zbiór A₁xA₂x…xA_k ={(a₁,a₂,…,a_k);a_i ε A_i, i=1,2,…,k}

Uwaga: Jeśli A₁xA₂x…xA_k =AxAx…xA oznaczamy A^k

Funkcje wielu zmiennych (x_ = wektor x)

Niech Dc=R^k

Def. Jeśli każdemu punktowi x_=(x₁,x₂,…,x_k)ε D przyporządkowujemy dokładnie jedną liczbę y ε R, to mówimy, że określona została funkcja k zmiennych. Oznaczamy y=f(x_) , y=f(x₁,x₂,…,x_k).

Zbiór D nazywamy dziedzina funkcji f.

Funkcja produkcji Cobba – Douglasa

Y=A•x₁^∝ • x₂^β (0<∝, β<1 ; A>0; x₁,x₂>0; x₁-zasoby kapitału, x₂-nakłady pracy żywej, y – poziom produkcji [w ujęciu klasycznym ∝ + β = 1]

Granica funkcji wielu zmiennych

Niech f:D->R, gdzie D⊂R^k. Niech x₀_ ε R^k – punkt skupienia zbioru D.

Def. Heinego

Liczba g jest granicą funkcji w x₀_ i oznaczamy (x_w-wektor x) f(x_w) = g <=> gdy dla każdego x_n_ ε D i x_n_≠x₀_ x_n(w) = x_0(w) => f(x_n(w)) = g

Ciągłość funkcji wielu zmiennych

Niech f:D->R, gdzie D⊂R^k

Def. Funkcja f jest ciągła w punkcie x₀_εD, jeśli ma w tym punkcie granice równą wartości funkcji w tym punkcie, tzn. f(x_w) = f(x_0(w))

Def. Funkcja f jest ciągła w zbiorze Ac=D jeśli jest ciągła w każdym punkcie zbioru A

Pochodna funkcji wielu zmiennych

Niech f:D->R, gdzie D⊂R^k jest zbiorem otwartym

Def. Pochodną kierunkową funkcji w punkcie x­₀_εD w kierunku niezerowego wektora a_εR^k jest granica (o ile istnieje) f’_{a_­}(x₀_) =$\operatorname{}\frac{f\left( x_{0\left( w \right)} + t \bullet a_{\left( w \right)} \right) - f(x_{0\left( w \right)})}{t}$

Interpretacja: Pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie x₀_ w kierunku wektora a_ określa szybkość zmiany wartości funkcji f, gdy argument zbliża się do punktu x₀_ z kierunku wektora a_.

Niech dane będą wektory:

e₁_=[1,0,…,0] ε R^k

e₂_=[0,1,…,0] ε R^k

e_k_=[0,0,…,1] ε R^k

Def. Pochodną cząstkową pierwszego rzędu względem i –tej zmiennej („i-tą pochodną cząstkową”) jest pochodna kierunkowa, w kierunku wektora e_i_ i oznaczamy $\frac{\text{ðf}}{\eth x_{i}}$ tzn.

$$\frac{\text{ðf}}{\eth x_{i}}\ \left( x_{0\left( w \right)} \right) = \ f^{'e_{i\left( w \right)}}\left( x_{0\left( w \right)} \right) = \operatorname{}\frac{f\left( x_{0\left( w \right)} + t \bullet e_{i\left( w \right)} \right) - f(x_{0\left( w \right)})}{t}$$

Uwaga: Aby wyznaczyć i-tą pochodną cząstkową funkcji f, wszystkie zmienne poza x_i traktujemy jako stałe, a liczymy zwykła pochodną funkcji jednej zmiennej (względem zmiennej x_i)

Interpretacja $\frac{\text{ðf}}{\eth x_{i}}\ \left( x_{0\left( w \right)} \right)$ informuje o ile zmieni się wartość funkcji f, gdy zmienna x_i wzrośnie o jednostkę (ceteris paribus)

Def. Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x₀_ jeśli ma pochodną cząstkową względem wszystkich współrzędnych punktu x₀_

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu

$$\frac{\eth^{2}f}{\eth x_{i}x_{j}} = \frac{\eth}{\eth x_{i}}\ \left( \frac{\text{ðf}}{\eth x_{j}} \right)$$

Def. Macierzą Hessa (hesjanem) nazywamy macierz pochodnych cząstkowych 2 rzędu

$$H\left( x_{(w)} \right) = \frac{\eth^{2}f}{\eth x^{2}} = \ \begin{bmatrix} \begin{matrix} \frac{\text{ðf}}{\eth{x_{1}}^{2}} & \frac{\text{ðf}}{\eth x_{1}\eth x_{2}} \\ \frac{\text{ðf}}{\eth x_{2}\eth x_{1}} & \frac{\text{ðf}}{\eth{x_{2}}^{2}} \\ \end{matrix}\text{\ \ }\begin{matrix} \ldots & \frac{\text{ðf}}{\eth x_{1}\eth x_{k}} \\ \ldots & \frac{\text{ðf}}{\eth x_{2}\eth x_{k}} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ldots & \ldots \\ \frac{\text{ðf}}{\eth x_{k}\eth x_{1}} & \frac{\text{ðf}}{\eth x_{k}\eth x_{2}} \\ \end{matrix}\text{\ \ }\begin{matrix} \ldots & \ldots \\ \ldots & \frac{\text{ðf}}{\eth{x_{k}}^{2}} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$$

Def. Pochodna cząstkowa $\frac{\eth^{2}f}{\eth{x^{2}}_{i}}$ jest pochodną czystą, zaś pochodne $\frac{\eth^{2}f}{\eth x_{i}x_{j}}$ (i≠j)-pochodne mieszane

Tw. Jeżeli w punkcie x₀_ pochodne cząstkowe mieszane funkcji f(x₁,x₂) są ciągłe to są równe.

$$\frac{\eth^{2}f}{\eth x_{1}x_{2}} = \frac{\eth^{2}f}{\eth x_{2}x_{1}}$$

Ekstrema funkcji wielu zmiennych

Niech f: D->R, D⊂R^k

Def. Funkcja f ma w punkcie x₀_ ε D max [min] lokalne jeśli istnieje pewne S(x₀_,ð)c=D punktu x₀_ takie że dla każdego x ε S(x₀_,ð) , f(x₀_)≥f(x₀_) [f(x₀_)≥f(x₀_)]

Tw. (warunek konieczny istnienia ekstremum)

Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie x₀_ jeżeli f posiada ekstremum lokalne w punkcie x₀_ to: $\frac{\text{ðf}}{\text{ðx}}\ \left( x_{0\left( w \right)} \right)$=Õ

A= $\begin{bmatrix} \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{matrix}\text{\ \ }\begin{matrix} \ldots & a_{1k} \\ \ldots & a_{2k} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ldots & \ldots \\ a_{k1} & a_{k2} \\ \end{matrix}\text{\ \ }\begin{matrix} \ldots & \ldots \\ \ldots & a_{\text{kk}} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$

Oznaczmy minory główne

|H₁|=|a₁₁| |H₂| =$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{matrix} \right|$ |H₃| = $\left| \begin{matrix} \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{matrix}\text{\ \ }\begin{matrix} \ldots & a_{1k} \\ \ldots & a_{2k} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ldots & \ldots \\ a_{k1} & a_{k2} \\ \end{matrix}\text{\ \ }\begin{matrix} \ldots & \ldots \\ \ldots & a_{\text{kk}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right|$

Def. Macierz A jest dodatnio [nieujemnie] określona, jeśli dla każdego i=1,2…,k , |H_i|>0 [≥]

Def. Macierz A jest ujemnie [niedodatnio] określona, jeśli dla każdego i=1,2…,k , (-1)ⁱ • |H_i|>0 [≥]

Tzn. |H₁|<0, |H₂|>0, |H₃|<0….

Tw. (warunek dostateczny istnienia ekstremum)

Niech f – dwukrotnie różniczkowalna w punkcie stacjonarnym x₀_

1. Jeśli macierz Hessa w punkcie x₀_ jest dodatnio [ujemnie] określona, to w punkcie x₀_ f posiada minimum [maksimum] lokalne.

2. Jeśli macierz Hessa w punkcie x₀_ jest nieokreślona (tzn. nie jest ani nieujemnie ani niedodatnio określona), to w punkcie x₀_ nie istnieje ekstremum lokalne.

Ekstremum warunkowe funkcji wielu zmiennych

Niech f, g : D-> R , D⊂R^k Ponadto A={ x_ ε D, g(x_) =0}
Def. Funkcja f ma w punkcie x₀_ε D lokalne max [min] warunkowe, jeśli istnieje pewne S(x₀_,ð) takie, że dla każdego x_ε S(x₀_,ð)∩A i x_εD to f(x₀_)≥f(x_) [≤]

Do wyznaczenia ekstremów warunkowych wykorzystamy regułę Lagrange’a:

1. Tworzymy funkcje Lagrange’a:

L(x₁,x₂,..,x_k­,λ) = f(x₁,x₂,..,x_k­) + λ • g(x₁,x₂,..,x_k­)

1. Punkty, w których f może mieć lokalne ekstrema warunkowe znajdujemy z warunków:

$\frac{\text{ðL}}{\text{ð\ }x_{1}} = 0$ $\frac{\text{ðL}}{\text{ð\ }x_{1}} = 0 = \ldots = \ \frac{\text{ðL}}{\text{ð\ }x_{k}} = \frac{\text{ðL}}{\text{ð\ λ}}$

1. Wyznaczamy rozszerzoną macierz Hessa

$$H\left( x_{(w)} \right) = \ \begin{bmatrix} \begin{matrix} \frac{\eth^{2}L}{\eth\lambda^{2}} & \frac{\eth^{2}L}{\text{ðλð}x_{1}} \\ \frac{\eth^{2}L}{\eth x_{1}\text{ðλ}} & \frac{\eth^{2}L}{\eth{x_{1}}^{2}} \\ \end{matrix}\text{\ \ }\begin{matrix} \ldots & \frac{\eth^{2}L}{\text{ðλð}x_{k}} \\ \ldots & \frac{\eth^{2}L}{\eth x_{1}\eth x_{k}} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \frac{\eth^{2}L}{\eth x_{2}\eth x_{\lambda}} & \frac{\eth^{2}L}{\eth x_{2}\eth x_{1}} \\ \frac{\eth^{2}L}{\eth x_{k}\text{ðλ}} & \frac{\eth^{2}L}{\eth x_{k}\eth_{1}} \\ \end{matrix}\text{\ \ }\begin{matrix} \ldots & \frac{\eth^{2}L}{\eth x_{2}\eth x_{k}} \\ \ldots & \frac{\eth^{2}L}{\eth{x_{k}}^{2}} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$$

1. Analizujemy minory główne od H₃_:

$$H_{3\left( w \right)} = \left| \begin{matrix} \begin{matrix} \frac{\eth^{2}L}{\eth\lambda^{2}} & \frac{\eth^{2}L}{\text{ðλð}x_{1}} \\ \frac{\eth^{2}L}{\eth x_{1}\text{ðλ}} & \frac{\eth^{2}L}{\eth{x_{1}}^{2}} \\ \end{matrix}\text{\ \ }\begin{matrix} & \frac{\eth^{2}L}{\text{ðλð}x_{k}} \\ & \frac{\eth^{2}L}{\eth x_{1}\eth x_{k}} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} & \\ \frac{\eth^{2}L}{\eth x_{k}\text{ðλ}} & \frac{\eth^{2}L}{\eth x_{k}\eth_{1}} \\ \end{matrix}\text{\ \ }\begin{matrix} & \\ & \frac{\eth^{2}L}{\eth{x_{k}}^{2}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right|$$

Tw. (warunek wystarczający istnienia ekstremum warunkowego)

1. Warunkiem wystarczającym istnienia maksimum warunkowego jest, aby minory z punktu 4 miały znaki naprzemienne, począwszy od „+”

2. Warunek wystarczający istnienia minimum warunkowego jest, aby minory z punktu 4 były ujemne

CAŁKI

Całka nieoznaczona

Def. niech f: (a,b) ->R Funkcja F: (a,b) -> R jest funkcją pierwotną funkcji f(x), jeśli dla każdego x ε (a,b) F’(x)=f(x)

Def. Rodziną wszystkich funkcji pierwotnych f(x) jest całka nieoznaczona funkcji f i oznaczamy: ∫x dx zatem: ∫f(x)dx = F(x) + c gdzie F’(x)=f(x)

Obliczanie całek nieoznaczonych – tablice całek elementarnych

Własności całek:

1. ∫(f(x)±g(x))dx =  ∫f(x)dx ±  ∫g(x)dx

2. ∫(a •f(x))dx =  a • ∫f(x)dx

Inne techniki całkowania

1. Całkowanie przez cześci

∫(f(x)•g′(x))dx =  f(x)g(x) − ∫f^′(x)•g(x)dx

1. Całkowanie przez podstawienie

∫f(g(x)) • g′(x)dx =  ∫f(t)dt

Tw. Każda funkcja ciągła w przedziale ma f pierwotna (tzn. jest całkowalna)

Uwaga: Nie oznacza to że całkowanie w zbiorze f. elementarnych zawsze daje się wykonać (tzn. ze całka z funkcji elementarnych jest zawsze funkcja elementarna) np. ∫e^−x2 ; ∫sinx²

Całka oznaczona:

∫_a^bf(x)dx = liczba

Niech f:[a,b] -> R będzie funkcją ograniczoną

Def. Zbiór punktów P_n={x₀,x₁,…,x_n} takich, że: a=x₀<x₁<…<x_n=b jest podziałem przedziału [a,b]

Niech x_i­= x_i – x­_i-1

Def. Średnią podziału P_­n­ jest liczba ð_n=max{x₁, x₂,… x_n}

Def. Ciąg przedziałów (P_n) przedziału [a.b] jest normalnym ciągiem przedziałów jeśli ð_n= 0

Niech ξ₁, ξ₂,.., ξ_n będą dowolnymi liczbami takimi, że ξ_i ε [x_i-1,x_i] dla każdego i=1,2…,n

Def. Sumą całkowalną jest liczba:
σ_n­=$\sum_{i = 1}^{n}{f\left( \xi_{i} \right)x_{i}}$ = f(ξ₁)  •  x₁ + f(ξ₂)  •  x₂ +…+ f(ξ_n)  •  x_n

Def. Całka oznaczona Riemana

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu przedziałów (P­_n) przedziału domkniętego [a,b], każdy ciąg sum całkowalnych (σ_n­) zmierza do tej samej granicy właściwej (niezależnie do wyboru punktów ξ_1­) to wówczas granica ta jest całką oznaczoną Riemana

∫_a^bf(x)dx = σ_n

Def. Liczby a i b są dolną i górną granicą całkowania.

Def. Jeżeli istnieje całka oznaczona ∫_a^bf(x)dx to mówimy że funkcja f jest całkowalna w przedziale [a,b] w sensie Riemana
Uwaga: Całka oznaczona jest liczbą

Interpretacja geometryczna

Niech f – funkcja ciągła w [a,b] przyjmująca w [a,b] wartości ujemne (dla każdego xε[a,b] f(x)≥0) [niedodatnie (dla każdego xε[a,b] f(x)≤0]

Wówczas całka oznaczona ∫_a^bf(x)dx = P gdzie P jest polem obszaru ograniczonego wykresem funkcji y=f(x), osią OX orazn prostymi x=a i x=b

Tw. Funkcja f(x) jest całkowalna w sensie Riemana w [a,b] jeżeli spełniony jest jeden z następujących warunków:

1. Funkcja f jest ciagła w [a,b]

2. Funkcja f jest ograniczona w przedziale [a,b] i posiada w tym przedziale max skończoną liczbę punktów nieciągłości

3. Funkcja f jest monotoniczna i ograniczona w [a,b]

Wniosek Funkcja nie musi być ciągła, aby być całkowalną w sensie Riemana

Tw. Funkcja nieograniczona w [a,b] jest w [a,b] niecałkowalna w sensie Riemana

Uwaga: Powyższe stwierdzenie nie zachodzi w druga stronę (np. funkcja Dirichleta – nie jest całkowalna)

Tw. Jeżeli f(x) i g(x) są całkowalne w [a,b], to ∝ • f(x) ± β • g(x) (∝, β ε R) jest także całkowalna w [a,b]:

∫_a^b(∝ • f(x) ± β • g(x))dx =   ∝   • ∫_a^bf(x)dx  ±  β • ∫_a^bg(x)dx

Tw. Jeżeli f(x) i g(x) są całkowalne w [a,b] to również ich iloczyn f(x)•g(x) jest funkcją całkowalna w [a,b]

Uwaga zwykle ∫_a^b(f(x) • g(x))dx ≠  ∫_a^bf(x)dx  • ∫_a^bg(x)dx

Tw. (Newtona – Leibniza)
Jeżeli f(x) jest ciągła w [a,b], natomiast F(x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f(x) to wówczas

∫_a^bf(x)dx =  F(b) −  F(a) =  [F(x)]_a^b −  F(x)|_a^b

Tw. Jeżeli f(x) jest całkowalna w [a,b] oraz c ε (a,b), to: ∫_a^bf(x)dx =  ∫_a^cf(x)dx + ∫_c^bf(x)dx

Uwaga: Pojęcie całki ograniczonej można rozszerzyć do sytuacji gdy dolna granica całkowania jest większa od górnej ∫_a^bf(x)dx =   − ∫_a^bf(x)dx a<b oraz sytuacji ∫_a^bf(x)dx =  0

Zastosowanie całki oznaczonej – obliczenie pola figur płaskich

Całka niewłaściwa (w przedziale nieograniczonym)

1. Przedział nieograniczony z jednej strony

Niech f:[a,+∞) -> R [f:[-∞,b) -> R]

Def. Jeśli funkcja f jest całkowalna w każdym przedziale [a,k], [[h,b]]gdzie k>a [h<b], to calkę niewłaściwą funkcji f od a do ∞ [od -∞ do b] definiujemy wzorem:

∫_a^∞f(x)dx = ∫_a^kf(x)dx [∫_−∞^bf(x)dx = ∫_h^bf(x)dx]

O ile występująca tu granica istnieje i jest skończona.

Obliczanie całek niewłaściwych

∫_a^∞f(x)dx = ∫_a^kf(x)dx = F(k) − F(a) ∖ n∫_−∞^bf(x)dx = ∫_h^bf(x)dx = F(b) − F(h)

1. Przedział obustronnie nieograniczony z obu stron

Niech f: R->R

Def. Jeżeli funkcja f jest całkowalna w każdym domkniętym przedziale, to całkę niewłaściwą funkcji f od -∞ do + ∞ definiujemy jako sumę dwóch całek niewłaściwych w przedziałach (- ∞, c], [c,+∞) (gdzie c –dowolna liczba), o ile obie te całki są zbieżne

∫_−∞^∞f(x)dx = ∫_−∞^cf(x)dx + ∫_c^∞f(x)dx

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Elementy teorii mnogości:

Niech dany będzie zbiór A

Def. Mocą zbioru skończonego A jest liczba jego elementów. Ozn à (powinny być 2 linie nad A)

Def. Dwa zbiory A i B (nie muszą być skończone) są równoliczne (równej mocy) jeśli istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zbioru A w zbiór B.

Ã=B(z taka sama falka)

Wniosek Dwa skończone zbiory A i B są równoliczne <=>gdy składają się z tej samej liczby elementów

Oznaczenie Moc zbioru liczb naturalnych oznaczamy λ₀ (alef 0)

Def. Każdy zbiór równej mocy ze zbiorem liczb naturalnych jest zbiorem przeliczalnym

Wniosek Zbiór A jest przeliczalny <=> istnieje wzajemne jednoznaczne odwzorowanie zbioru A w zbiór N

Tw. Zbiór jest przeliczalny <=> jego elementy można ustawić w ciąg nieskończony.

Przykłady zbiorów przeliczalnych

- zbiór liczb naturalnych

- zbiór liczb całkowitych

- zbiór liczb parzystych (nieparzystych)

- zbiór liczba wymiernych

Uwaga Istnieją zbiory, które nie są ani skończone, ani przeliczalne – są one nieprzeliczalne.

Przykłady zbiorów nieprzeliczalnych

- zbiór liczb rzeczywistych

- zbiór liczb niewymiernych

- zbiór liczb rzeczywistych z dowolnego przedziału (a,b) a≠b

Def. Zbiór B zawiera się w A (jest podzbiorem A), co zapisujemy B⊂A, jeśli każdy element jest też elementem A, tzn: B⊂A <=> (xεB =>xεA)

Ozn. Rodzinę podzbiorów A oznaczamy 2^A

Tw. Gdy A jest zbiorem skończonym, to rodzina jego wszystkich podzbiorów (tzn 2^A) składa się z 2^A podzbiorów, tzn ich moc jest równa.

Elementy rachunku prawdopodobieństwa

Przestrzeń probabilistyczna

Def. Doświadczenie losowe to doświadczenie (zjawisko) którego wyników nie można (teoretycznie lub praktycznie) przewidzieć.

Np.

D1-rzut kostką

D2- strzelanie do tarczy tak długo aż nastąpi trafienie

D3- obserwacja czy wybrana sztuka w partii towaru jest wadliwa

D4-pomiar prędkości przyjeżdżającego samochodu

Do opisu doświadczenia losowego przyjmuje się przestrzeń probabilistyczną

Def. Przestrzeń probabilistyczna to układ (Ω,S,P), gdzie :

Ω- zbiór zdarzeń elementarnych, S – zbiór zdarzeń losowych, P – prawdopodobieństwo

Zbiór zdarzeń elementarnych – zbiór wszystkich wyników doświadczenia losowego –jest pojęciem pierwotnym (niedefiniowalnym)

Ozn. Zdarzenia elementarne (elementy Ω) –ώ

Zbiór zdarzeń losowych S – dowolna rodzina podzbiorów Ω spełniająca warunki:

1. Ω ε S

2. Jeśli AεS to A’εS (A’= Ω\A)

3. Jeśli A₁, A₂, A₃,… ε S to A₁∪ A₂∪A₃∪ ε S

Uwaga z warunków 1-3 wynika:

1. Zbiór pusty ε S

2. Jeśli AεS i BεS, to A∩B=S

3. Jeśli AεS i BεS, to A\BεS

Najczęściej za zbiór zdarzeń losowych przyjmuje się rodzinę wszystkich podzbiorów Ω

Def. Elementy zbioru S – zdarzenia losowe

Wniosek: Istnieje bezpośrednie przełożenie między zdarzeniami a zbiorami np.

-zbiór pusty to zdarzenie niemożliwe

-zbiór Ω to zdarzenie pewne

-suma zbiorów A∪B oznacza, ze zachodzi min. Jedno ze zdarzeń A lub B

- różnica zbiorów A\B oznacza, że zachodzi zdarzenie A i nie zachodzi B

- A’ (A’= Ω\A) to zdarzenie przeciwne do A

- iloczyn A∩B – zachodzą oba zdarzenia A i B

- zależność A∩B – zbiór pusty- zdarzenia A i B się wykluczają

- zależność Bc=A – zdarzenie B pociąga za sobą A (z zajścia B wynika, że zajdzie A)

3) Def.1 – Prawdopodobieństwo – dowolna funkcja P określona na zbiorze zdarzeń losowych S o wartościach rzeczywistych (tzn P:S->R) spełniająca warunki:

- dla każdego AεS P(A) ≥0

-P(Ω) =1

- dla każdego A₁,A₂,..εS i A_i∩A_j (i≠j) wtedy P(A_1­∪ A₂∪...) = P(A₁)+P(A₂)+ …

Liczba P(A) – prawdopodobieństwo zdarzenia A

- jeżeli Bc=A , to P(B) ≤P(A)

-dla każdego AεS P(A)≤1

- dla każdego AεS P(A’) = 1 – P(A)

-prawdopodobieństwo zbioru pustego = 0

- dla każdego A,BεS P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)

Def. 2 (klasyczna)

Jeśli:

K1) Ω składa się ze skończonej liczby zdarzeń elementarnych ώ₁, ώ₂,…, ώ_n

K2) zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne (dla każdego i,j P(ώ_i) = P(ώ_j) ), to prawdopodobieństwo dowolnego AεS składającego się z k zdarzeń elementarnych wyraża się P(A) =$\frac{k}{n}$

Inaczej: prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe stosunkowi liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających A do liczby wszystkich zdarzeń elementarnych (P(A) = $\frac{\text{moc\ A}}{\Omega}$

Zmienne losowe i ich rozkłady
Idea – zdarzeniom losowym przyporządkowujemy liczby

Niech dana będzie przestrzeń probabilistyczna (Ω, S,P)

Def. Zmienną losową jest dowolna funkcja X: Ω->R taka, że dla cεR zbiór: A­_c={ώε Ω; X(ώ)<c} należy do zbioru zdarzeń losowych S (A_cεS)

Uwaga: Jeśli S jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru Ω , to warunek A_cε S jest zawsze spełniony.

Ozn. Przez P(X<C) rozumiemy P(A_c)

Dystrybuanta zmiennej losowej X jest funkcja F określoną wzorem F(x) = P(X<x), dla każdego x ε R

Własności dystrybuanty F:

- F jest funkcja niemalejąca i lewostronnie ciągłą

- F(x) = 0 i F(x) = 1

- dla każdego a,b ε R P(a≤X ≤ b) = F(b) – F(a)

- dla każdego aεR P(X=a)= F(x) − F(a)

Podział zmiennych losowych:

1-skokowe(dyskretne) -przyjmuje skończoną (lub przeliczalna) liczbę wartości

2-ciągłe -przyjmuje dowolne wartości w pewnym przedziale (a,b) (nieprzeliczalna liczba wartości)

Def. Zmienna losowa X jest ciągła, jeśli jej dystrybuantę można przedstawić jako: F(x)=∫_−∞^xf(t)dt dla każdego xεR, gdzie f jest nieujemną funkcją rzeczywistą, całkowalną w R

Funkcja F jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X

Tw. Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej jest funkcja ciągłą

Własności funkcji gęstości prawdopodobieństwa f:

1. ∫_−∞^∞f(x)dx = 1

2. P(a≤X≤b) = F(b) − F(a) = ∫_a^bf(x)dx

3. Dla każdego a εR P(X=a) = F(x) − F(a) = 0

4. P(a≤X < b)=P(a≤X≤b) = P(a<X<b) = ∫_a^bf(x)dx

Wniosek:

Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej spełnia warunek F(x)=P(X≤x)

Tw. Każda nieujemna funkcja f spełniająca warunek 1) jest gęstością prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej.

Rozkład zmiennej losowej

Matematyczny opis zmiennej losowej X:Ω->R na określeniu zbioru wszystkich wartości (wariantów)tej zmiennej oraz określeniu prawdopodobieństwa pojawienia się tych wariantów.

Def. Rozkładem dyskretnej zmiennej losowej X jest zbiór par {(x_i , p_i); i=1,2..}, gdzie p_i=P(X=x_i) jest prawdopodobieństwem zajścia wariantu x_i.

Uwagi:

1. Dystrybuanta zmiennej losowej określa jej rozkład prawdopodobieństwa (na mocy warunku: p_i=P(X=x_i)= F(x) − F(x₁)

2. Jeśli znamy rozkład prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej X, to możemy obliczyć jej dystrybuantę:

F(x)=$\sum_{x_{i} < x}^{}p_{i}$

Wniosek: p₁+p­_2­+….=1

1. W przypadku ciągłej zmiennej losowej X powyższa definicja nie ma sensu bo p_i=P(X=x_i)=0.

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej określamy przez podanie dystrybuanty lub funkcji gęstości prawdopodobieństwa.

Parametry rozkładu zmiennej losowej:
Idea –rozkład zmiennej losowej zawiera pełną informację o zachowaniu się tej zmiennej. Parametry rozkładu charakteryzują tylko pewne własności tej zmiennej.

1. Wartość oczekiwana (średnia) – EX- określa poziom zmiennej losowej, wokół której skupia się największa liczba wyników

Obliczanie:
a) zmienna dyskretna $EX = \sum_{i = 1}^{+ \infty}{x_{i}p_{i}}$

b)zmienna ciągła EX = ∫_−∞^=∞x • f(x)dx

2) wariancja – Var(X) (V(X), σ²(X) ) – określa rozrzut wartości zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej:

Var(X)=E[(X-EX)²]=EX²-(EX)²

Obliczanie:

1. Zmienna dyskretna $\text{Var}\ \left( X \right) = \sum_{i = 1}^{+ \infty}{(x_{i}}{- \text{EX})}^{2} \bullet p_{i}$

2. Zmienna ciągła Var (X) = ∫_−∞^+∞(X − EX)² • f(x)dx

Def. Parametr σ(X)=$\sqrt{\text{Var}(X)}$ jest odchyleniem standardowym zmiennej losowej X.

Uwaga: Aby zmienna ciągła miała wartość oczekiwaną/wariancję, to odpowiednie całki (niewłaściwe) muszą być zbieżne

Własności wartości oczekiwanej wariancji:

1. E(c)=c, Var(c)=0 gdzie c –stała

2. E(c  •  X)=c • E(X) , Var(c  •  X)=c²   •  Var(X)

3. Var(X+c)= Var(X)

4. E(X+Y)= E(X)+E(Y)

Ponadto, jeśli zmienne X I Y są niezależne to:

1. E(X • Y)= E(X) • E(Y)

2. Var(X±Y)=Var(X)±Var(Y)

Def. Zmienną losową X, dla której EX=0 oraz Var(X)=1 nazywamy zmienną losową standaryzowaną.

Podstawowe rozkłady prawdopodobieństwa

1) Rozkłady zmiennych dyskretnych:

a) Rozkład zerojedynkowy

Zmienna losowa X ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p, jeśli przyjmuje tylko dwie wartości:

1; z prawdopodobieństwem p, 0 z prawdopodobieństwem 1–p.

Parametry rozkładu zerojedynkowego:

EX p, Var(X ) p (1p).

Rozkład dwumianowy (Bernoullego)

Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n oraz p,

jeśli przyjmuje wartości k 0,1, 2,..., n z prawdopodobieństwami

danymi wzorami:$P_{k} = P\left( X = k \right) = \left( \frac{n}{k} \right) \bullet p^{k} \bullet ({1 - p)}^{n - k}$ dla k=0,1,2…n.

Parametry rozkładu dwumianowego:

EX p, Var(X ) p (1p).

Rozkład Poissona

Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem 0, jeśli przyjmuje wartości k 0,1, 2,..., z prawdopodobieństwami danymi wzorami: $p_{k} = P\left( X = k \right) = \frac{\lambda^{k}}{k!}\ \bullet e^{- \lambda}$

Parametry rozkładu Poissona:

EX , Var(X ) .

2) Rozkłady zmiennych ciągłych:

a) Rozkład jednostajny

Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale (a,b), jeśli jej

gęstość f ma postać: $f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{b - a}\ dla\ x\varepsilon\ (a,b) \\ 0\ dla\ x \notin (a,b) \\ \end{matrix} \right.\ $

Parametry rozkładu jednostkowego:

$EX = \frac{a + b}{2}$ , Var(X)=$\frac{{(a - b)}^{2}}{12}$

b) Rozkład normalny (Gaussa)

Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami m oraz 0

(ozn. N (m,σ²)), jeśli jej gęstość f ma postać: $f\left( x \right) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \bullet e^{\frac{- {(x - m)}^{2}}{\sigma^{2}}}$ , xε R

Parametry rozkładu normalnego: EX=m ; Var(X)=σ²

Wniosek. Funkcja gęstości rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1) ma postać:

$f\left( x \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \bullet e^{\frac{- x^{2}}{\sigma^{2}}}$ , xε R