Matematyka

Edukacja techniczno-informatyczna, Mechatronika

Rok akademicki 2011/2012

Anna Król

[e-mail]

budynek A2, pok. 309

Instytut Matematyki

Uniwersytet Rzeszowski

http://delta.univ.rzeszow.pl/

Organizacja zajęć

I

Wykład: 60 godzin (ETI), 48 godzin (Mechatronika)

I

Ćwiczenia: 60 godzin (ETI), 48 godzin (Mechatronika)

I

Cele przedmiotu: umiejętność matematycznego opisu zagadnień
technicznych, informatycznych, mechanicznych i procesów
technologicznych, formułowania modeli matematycznych i ich
rozwiązywania

I

Forma zaliczenia: egzamin pisemny i ustny

Cztery działania arytmetyczne: podawanie, obejmowanie, mrożenie

i gdzie lenie.

Żółw z "Alicji w Krainie Czarów"

Program

I

Elementy logiki matematycznej i teorii zbiorów

I

Relacje, funkcje

I

Ciągi i szeregi liczbowe

I

Liczby zespolone

I

Algebra macierzy

I

Równania i układy równań algebraicznych

I

Rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej i wielu zmiennych

I

Równania różniczkowe zwyczajne

I

Elementy geometrii analitycznej

I

Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej

I

Elementy matematyki dyskretnej

I

Kombinatoryka i rekurencja

Literatura

I

Foltyńska I., Ratajczak Z., Szafrański Z., Matematyka dla
studentów uczelni technicznych, część 1 i 2, Wydawnictwo
Politechniki Poznańskiej, Poznań 2000.

I

Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1. Definicje,
twierdzenia, wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2005.

I

Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1. Przykłady i
zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2005.

I

Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 2. Definicje,
twierdzenia, wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2005.

I

Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 2. Przykłady i
zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2005.

Literatura c.d.

I

Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa 1. Definicje, twierdzenia,
wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2005.

I

Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania,
Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2005.

I

Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa 2. Definicje, twierdzenia,
wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2005.

I

Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa 2. Przykłady i zadania,
Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2005.

I

Kordecki W., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
matematyczna. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza
GiS, Wrocław 2000.

I

Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach,
część I i II, PWN, Warszawa 1999.

I

Stankiewicz W., Zadania z matematyki dla wyższych uczelni
technicznych, część A i B, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
1999.

0. Oznaczenia

N

- zbiór liczb naturalnych,

N = {1, 2, 3, ...}

N

0

- zbiór liczb naturalnych z zerem,

N

0

= {0, 1, 2, 3, ...}

Z

- zbiór liczb całkowitych,

Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}

Q

- zbiór liczb wymiernych

R \ Q

- zbiór liczb niewymiernych

R

- zbiór liczb rzeczywistych

1. Elementy logiki matematycznej

Logika (gr. logos – rozum) – wedle klasycznej definicji – nauka o
sposobach jasnego i ścisłego formułowania myśli, o regułach poprawnego
rozumowania i uzasadniania twierdzeń

1.1. Rachunek zdań

Definicja 1

Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje
jedna z dwu ocen logicznych: prawda albo fałsz.

Uwaga 1

1

- znak prawdy,

0

- znak fałszu.

Definicja 2

Warunkiem zdaniowym (formą zdaniową, funkcją zdaniową) nazywamy
wyrażenie mające postać zdania oznajmującego, zawierające zmienne o
tej własności, że po wstawieniu w miejsce zmiennych nazw odpowiednich
przedmiotów otrzymujemy zdanie logiczne. Każda ze zmiennych należy
do odpowiedniego zbioru, który nazywamy zakresem danej zmiennej.

Definicja 3

Niech

α(x )

,

x ∈ X

będzie warunkiem zdaniowym i niech

a ∈ X

. Mówimy,

że element

a

spełnia ten warunek zdaniowy, gdy zdanie

α(a)

jest

prawdziwe.

Definicja 4

Niech

α(x )

,

x ∈ X

będzie warunkiem zdaniowym. Zbiór tych elementów,

które spełniają dany warunek zdaniowy nazywamy jego wykresem i
oznaczamy

W = {x ∈ X : α(x )},

czyli

x ∈ W ⇔ α(x) jest zdaniem prawdziwym.

Definicja 5

Funktory zdaniotwórcze to znaki logiczne, spójniki zdaniowe, za pomocą
których ze zdań prostych tworzymy zdania złożone.

Definicja 6

Funktor zdaniotwórczy nazywamy prawdziwościowym, gdy prawdziwość
zdania wynikowego zależy wyłącznie od prawdziwości zdań składowych.

Podstawowe funktory prawdziwościowe:

I

funktor jednoargumentowy: negacja

p

∼ p

0

1

1

0

Symbol

∼

(lub

¬

) oznacza negację i odpowiada przeczeniu „nie".

I

funktory dwuargumentowe: koniunkcja, alternatywa, implikacja,
równoważność

p

q

p ∧ q

p ∨ q

p ⇒ q

p ⇔ q

0

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

Symbol

∧

oznacza koniunkcję i odpowiada spójnikowi „i”.

Symbol

∨

oznacza alternatywę i odpowiada spójnikowi „lub”.

Symbol

⇒

oznacza implikację i odpowiada wyrażeniu „ jeżeli..., to...”.

Symbol

⇔

oznacza równoważność i odpowiada wyrażeniu „... wtedy i

tylko wtedy, gdy...”.

p ⇒ q

czytamy: „ jeżeli p, to q”, „p implikuje q”, „p jest warunkiem

wystarczającym dla q”, „q jest warunkiem koniecznym na p”, „p pociąga
q”, „z p wynika q”.

Zdania złożone tworzymy ze zdań prostych

p, q, r ...

za pomocą funktorów

∼, ∧...

i nawiasów, np.

∼ (p ⇒ q)

.

Definicja 7

Wyrażenie rachunku zdań jest tautologią (prawem rachunku zdań), gdy
dla każdych wartości logicznych zdań pojedynczych w nim występujących
zdanie to jest prawdziwe.

Przykład 1

Przykłady tautologii:

I

p ∨ q ⇔ q ∨ p

(przemienność alternatywy)

I

p ∧ q ⇔ q ∧ p

(przemienność koniunkcji)

I

(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ q)

(prawo kontrapozycji)

I

(p ⇒ q) ⇔ (∼ p ∨ q)

I

∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p∨ ∼ q)

(prawo de Morgana)

I

∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q)

(prawo de Morgana)

I

(p ⇒ q) ⇔ (p ⇒ (p ⇒ q))

I

(p ⇒ q) ⇔ (∼ p ∨ (p ∧ q))

1.2. Rachunek kwantyfikatorów

Kwantyfikator – termin przyjęty w matematyce i logice matematycznej
na oznaczenie zwrotów "dla każdego", "istnieje".
Kwantyfikatory odgrywają ważną rolę w formułowaniu twierdzeń i
definicji matematycznych.
Zmienna występująca pod znakiem kwantyfikatora nazywa się zmienną
związaną danym kwantyfikatorem. Natomiast zmienna występująca w
wyrażeniu matematycznym, która nie jest związana żadnym
kwantyfikatorem, nazywa się zmienną wolną.
Zwrot "dla każdego

x

należącego do

X

" nazywa się kwantyfikatorem

ogólnym, kwantyfikatorem dużym lub kwantyfikatorem uniwersalnym
wiążącym zmienną

x

. Kwantyfikator ogólny oznacza się symbolem

∀

x ∈X

lub

V

x ∈X

.

Zwrot "istnieje takie

x

należące do

X

, że..." nazywa się

kwantyfikatorem szczegółowym, kwantyfikatorem małym lub
kwantyfikatorem egzystencjalnym wiążącym zmienną

x

. Kwantyfikator

szczegółowy oznacza się symbolem

∃

x ∈X

lub

W

x ∈X

.

∀

x ∈X

α(x ) ⇒ ∃

x ∈X

α(x )

Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów

∼ ∃

x ∈X

α(x ) ⇔ ∀

x ∈X

∼ α(x)

∼ ∀

x ∈X

α(x ) ⇔ ∃

x ∈X

∼ α(x)

Prawa przestawiania kwantyfikatorów

∀

x ∈X

∀

y ∈Y

α(x , y ) ⇔ ∀

y ∈Y

∀

x ∈X

α(x , y )

∃

x ∈X

∃

y ∈Y

α(x , y ) ⇔ ∃

y ∈Y

∃

x ∈X

α(x , y )

∃

x ∈X

∀

y ∈Y

α(x , y ) ⇒ ∀

y ∈Y

∃

x ∈X

α(x , y )

1.3. Rachunek zbiorów

Przestrzeń:

X

Zbiory w przestrzeni:

A, B, C ∈ X

Zbiór pusty:

∅

Zawieranie zbiorów:

A ⊂ B ⇔ ∀

x ∈X

(x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Równość zbiorów:

A = B ⇔ ∀

x ∈X

(x ∈ A ⇔ x ∈ B)

Definicja 8

Niech

A, B ∈ X

.

Suma zbiorów:

A ∪ B = {x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B}

Iloczyn (część wspólna) zbiorów:

A ∩ B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∈ B}

Różnica zbiorów:

A \ B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x /

∈ B}

Dopełnienie zbiorów:

A

0

= X \ A = {x ∈ X : x /

∈ A}

Definicja 9

Niech

A, B ∈ X

. Zbiory

A

i

B

są rozłączne, gdy

A ∩ B = ∅

.

Definicja 10

Zbiór wszystkich podzbiorów danego zbioru

X

oznaczamy przez

2

X

. W

szczególności

∅ ∈ 2

X

oraz

X ∈ 2

X

.

Prawa rachunku zbiorów (konsekwencja praw rachunku zdań)
Dla dowolnych zbiorów

A, B, C ∈ X

mamy:

∅ ⊂ A,

A ⊂ A,

A ⊂ A ∪ B,

B ⊂ A ∪ B,

A ∩ B ⊂ A,

A ∩ B ⊂ B,

(A

0

)

0

= A,

A \ (B ∪ C ) = (A \ B) ∩ (A \ C ),

A \ (B ∩ C ) = (A \ B) ∪ (A \ C )

Prawa de Morgana dla zbiorów

(A ∪ B)

0

= A

0

∩ B

0

,

(A ∩ B)

0

= A

0

∪ B

0

,

2. Relacje i funkcje

2.1. Iloczyn kartezjański

Definicja 11

Para uporządkowana:

(a, b)

Trójka uporządkowana:

(a, b, c)

Jeżeli

a 6= b

, to

(a, b) 6= (b, a)

, ale

{a, b} = {b, a}

.

Definicja 12

Niech

n ∈ N

.

(a

1

, a

2

, ...a

n

) = (b

1

, b

2

, ...b

n

) ⇔ a

1

= b

1

∧ a

2

= b

2

∧ ... ∧ a

n

= b

n

.

Definicja 13

Iloczyn kartezjański zbiorów

A

i

B

, to zbiór

A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Definicja 14

Potęgi kartezjańskie zbioru

A

określamy następująco:

A

1

= A

A

n+1

= A

n

× A

n ∈ N.

2.2. Relacje

Definicja 15

Relacją między elementami zbiorów

X

i

Y

nazywamy dowolny podzbiór

R ⊂ X × Y

. Relacją w zbiorze

X

nazywamy

R ⊂ X × X

.

Definicja 16

Niech

R ⊂ X × Y

.

Dziedziną relacji

R

nazywamy zbiór

D

R

= {x ∈ X : ∃

y ∈Y

(x , y ) ∈ R}

.

Przeciwdziedziną relacji

R

nazywamy zbiór

V

R

= {y ∈ Y : ∃

x ∈X

(x , y ) ∈ R}

.

Definicja 17

Relację

R ⊂ X × Y

nazywamy lewostronnie jednoznaczną, gdy

∀

x ,z∈X

∀

y ∈Y

(x , y ) ∈ R ∧ (z, y ) ∈ R ⇒ x = z.

Relację

R ⊂ X × Y

nazywamy prawostronnie jednoznaczną, gdy

∀

x ∈X

∀

y ,z∈Y

(x , y ) ∈ R ∧ (x , z) ∈ R ⇒ y = z.

Definicja 18

Relację

R ⊂ X × X

nazywamy:

I

zwrotną, gdy

∀

x ∈X

(x , x ) ∈ R

,

I

przeciwzwrotną, gdy

∀

x ∈X

(x , x ) /

∈ R

,

I

symetryczną, gdy

∀

x ,y ∈X

(x , y ) ∈ R ⇔ (y , x ) ∈ R

,

I

asymetryczną, gdy

∀

x ,y ∈X

(x , y ) ∈ R ⇔ (y , x ) /

∈ R

,

I

antysymetryczną, gdy

∀

x 6=y ∈X

(x , y ) ∈ R ⇔ (y , x ) /

∈ R

,

I

spójną, gdy

∀

x ,y ∈X

(x , y ) ∈ R ∨ (y , x ) ∈ R

,

I

przechodnią, gdy

∀

x ,y ∈X

((x , y ) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R) ⇒ (x , z) ∈ R

.

Definicja 19

Relację

R ⊂ X × X

nazywamy równoważnością (relacją równoważności), gdy

jest ona zwrotna, symetryczna i przechodnia. Klasą równoważności (klasą
abstrakcji) elementu

x ∈ X

nazywamy zbiór

[x ]

R

= {y ∈ X : (x , y ) ∈ R}.

Definicja 20

Podziałem zbioru

X

nazywamy taką rodzinę

(A

t

)

t∈T

jego podzbiorów, że

(i)

∀

t∈T

A

t

6= ∅

,

(ii)

∀

s6=t∈T

A

s

∩ A

t

= ∅

,

(ii)

S

t∈T

A

t

= X

.

Definicja 21

Zasada abstrakcji. Każda relacja równoważności

R

w zbiorze

X 6= ∅

wyznacza

podział zbioru

X

(zbiorami tworzącymi podział są klasy abstrakcji).

Definicja 22

Zbiór ilorazowy to zbiór wszystkich klas równoważności (klas abstrakcji) danej
relacji

R ⊂ X × X

:

X |

R

= {[x ]

R

: x ∈ X }.

2.3. Funkcje

Definicja 23

Relację

R ⊂ X × Y

nazywamy funkcją określoną w zbiorze

X

o

wartościach w zbiorze

Y

, gdy spełnione są warunki:

(i) relacja

R

jest prawostronnie jednoznaczna, czyli

∀

x ∈X

∀

y ,z∈Y

(x , y ) ∈ R ∧ (x , z) ∈ R ⇒ y = z.

(ii) relacja

R

ma pełną dziedzinę, czyli

D

R

= X

, tzn.

∀

x ∈X

∃

y ∈Y

(x , y ) ∈ R.

Uwagi
1. Warunki (i) oraz (ii) oznaczają, że dla dowolnego

x ∈ X

istnieje

dokładnie jeden

y ∈ Y

taki, że

(x , y ) ∈ R

.

2. W przypadku funkcji stosujemy inną symbolikę:
a) zamiast

R

piszemy

f

,

b) zamiast

R ⊂ X × Y

piszemy

f : X → Y

,

c) zamiast

(x , y ) ∈ R

piszemy

y = f (x)

(

x

nazywamy argumentem

funkcji

f

,

y

wartością funkcji

f

).

Definicja 24

W przeciwdziedzinie

Y

wyróżniamy podzbiór

f (X ) = {f (x) : x ∈ X }

i

nazywamy go zbiorem wartości funkcji

f

.

Definicja 25

Jeżeli

f : X → Y

, to wykresem funkcji

f

nazywamy podzbiór zbioru

X × Y

określony przez równość

W

f

= {(x , y ) ∈ X × Y : y = f (x )}.

Definicja 26

Funkcję

f : X → Y

nazywamy funkcją różnowartościową (iniekcją), gdy dla

dowolnych

x

1

, x

2

∈ X

prawdziwa jest implikacja

x

1

6= x

2

⇒ f (x

1

) 6= f (x

2

)

lub

równoważnie

f (x

1

) = f (x

2

) ⇒ x

1

= x

2

.

Definicja 27

Funkcja

f : X → Y

jest "na" (jest surjekcją), gdy

f (X ) = Y

, tzn.

∀

y ∈Y

∃

x∈X

y = f (x).

Definicja 28

Funkcję

f : X → Y

nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), gdy

jest różnowartościowa i przekształca zbiór

X

na zbiór

Y

(jest jednocześnie

iniekcją i surjekcją).

Definicja 29

Niech

f : X → Y

będzie bijekcją. Funkcję odwrotną do funkcji

f

nazywamy

funkcję

f

−1

: Y → X

określoną poprzez równoważność

f

−1

(y ) = x ⇔ y = f (x ).

Definicja 30

Niech dane będą funkcje

f : X → Y

i

g : Y → Z

. Funkcję

h : X → Z

określoną wzorem

h(x) = g (f (x))

dla każdego

x ∈ X

nazywamy złożeniem

(superpozycją) funkcji

f

i

g

i oznaczamy symbolem

g ◦ f

. Zatem

(g ◦ f )(x ) = g (f (x )),

x ∈ X .

Uwaga 2

Na ogół

f ◦ g 6= g ◦ f

.

Twierdzenie 1

Jeżeli

f : X → Y

i

g : Y → Z

są bijekcjami, to

(g ◦ f )

−1

= f

−1

◦ g

−1

.

Definicja 31

Funkcją elementarną nazywać będziemy każdą funkcję o wartościach
liczbowych zmiennej rzeczywistej, która daje sie zapisać za pomocą jednego
wzoru, który może zawierać:
(i) stałe,
(ii) działania arytmetyczne na skończonej liczbie argumentów,
(iii) złożenia funkcji,
(iv) znaki takich funkcji, jak: potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne i
trygonometryczne.

3. Ciągi i szeregi liczbowe

3.1. Ciągi liczbowe

Definicja 32

Nieskończonym ciągiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowującą zbiór
liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość tej funkcji dla
argumentu

n ∈ N

oznaczamy przez

a

n

. Sam ciąg oznaczamy przez

(a

n

)

.

Przykład 2

Ciągi możemy określać:

I

opisowo

a

n

-

n

-ta liczba parzysta

a

n

-

n

-ta cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby

π

I

wzorem

a

n

= (

1
2

)

n

a

n

= (−1)

n

I

rekurencyjnie

a

1

= 2, a

n+1

= a

n

+ n

a

1

= 4, a

n+1

= na

n

− n

2

a

1

= 0, a

2

= π, a

n+2

= cos a

n+1

+ cos a

n

a

1

= a

2

= 1, a

n+2

= a

n

+ a

n+1

Definicja 33

Ciąg

(a

n

)

jest ograniczony z dołu, gdy

∃

m∈R

∀

n∈N

a

n

> m.

Definicja 34

Ciąg

(a

n

)

jest ograniczony z góry, gdy

∃

M∈R

∀

n∈N

a

n

6 M.

Definicja 35

Ciąg

(a

n

)

jest ograniczony, gdy jest ograniczony z dołu i z góry, tzn.

∃

M∈R

∀

n∈N

|a

n

| 6 M.

Definicja 36

Ciąg

(a

n

)

jest (ściśle) rosnący, gdy

∀

n∈N

a

n

< a

n+1

.

Definicja 37

Ciąg

(a

n

)

jest (ściśle) malejący, gdy

∀

n∈N

a

n

> a

n+1

.

Uwaga 3

Ciąg, który jest rosnący lub malejący nazywamy monotonicznym.

Definicja 38

Mówimy, że ciąg

(a

n

)

ma granicę (właściwą)

a ∈ R

, gdy

∀

ε>0

∃

n

0

∈N

∀

n∈N

[(n > n

0

) ⇒ (|a

n

− a| < ε)],

co symbolicznie zapisujemy w postaci równości

lim

n→∞

a

n

= a

lub

a

n

−−−→

n→∞

a

.

Ciąg, który ma granicę nazywamy zbieżnym.

Definicja 39

Mówimy, że ciąg

(a

n

)

ma granicę niewłaściwą

+∞

, gdy

∀

ε>0

∃

n

0

∈N

∀

n∈N

[(n > n

0

) ⇒ (a

n

> ε)],

co symbolicznie zapisujemy w postaci równości

lim

n→∞

a

n

= +∞

lub

a

n

−−−→

n→∞

+∞

.

Mówimy, że ciąg

(a

n

)

ma granicę niewłaściwą

−∞

, gdy

∀

ε>0

∃

n

0

∈N

∀

n∈N

[(n > n

0

) ⇒ (a

n

< ε)].

Ciąg, który ma granicę niewłaściwą

+∞

lub

−∞

nazywamy ciąg rozbieżny

odpowiednio do

+∞

lub

−∞

.

Twierdzenie 2

Każdy ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę.

Twierdzenie 3

Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.

Uwaga 4

Granica właściwa ani niewłaściwa ciągu nie zależy od wartości skończenie wielu
jego wyrazów.

Twierdzenie 4

Jeżeli ciągi

(a

n

)

i

(b

n

)

mają granice właściwe, to:

I

lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = lim

n→∞

a

n

+ lim

n→∞

b

n

,

I

lim

n→∞

(a

n

− b

n

) = lim

n→∞

a

n

− lim

n→∞

b

n

,

I

lim

n→∞

(a

n

· b

n

) = lim

n→∞

a

n

· lim

n→∞

b

n

,

I

lim

n→∞

a

n

b

n

=

lim

n→∞

a

n

lim

n→∞

b

n

, o ile

lim

n→∞

b

n

6= 0

,

I

lim

n→∞

(a

n

)

k

= ( lim

n→∞

a

n

)

k

, gdzie

k ∈ Z

,

I

lim

n→∞

k

√

a

n

=

k

q

lim

n→∞

a

n

, gdzie

k ∈ N

.

Twierdzenie 5

Dla ciągu geometrycznego

a

n

= q

n

mamy:

lim

n→∞

q

n

= 0

, gdy

−1 < q < 1

,

lim

n→∞

q

n

= 1

, gdy

q = 1

,

lim

n→∞

q

n

= ∞

, gdy

q > 1

,

lim

n→∞

q

n

nie istnieje, gdy

q 6 −1

.

Twierdzenie 6

Mamy następujące własności granic niewłaściwych ciągów:

a + (+∞) = +∞

dla

−∞ < a 6 +∞

,

a · (+∞) = (+∞)

dla

0 < a 6 +∞

,

a

+∞

= 0

dla

−∞ < a < +∞

,

a

0

+

= +∞

dla

0 < a 6 +∞

.

Uwaga 5

Poniższe wyrażenia nazywamy symbolami nieoznaczonymi:

∞ − ∞,

0 · ∞,

0
0

,

∞
∞

,

1

∞

,

∞

0

,

0

0

.

Twierdzenie 7

Jeżeli ciągi

(a

n

)

,

(b

n

)

,

(c

n

)

spełniają warunki:

(i)

∃

n

0

∈N

∀

n6n

0

a

n

6 b

n

6 c

n

,

(ii)

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

c

n

= b

,

to

lim

n→∞

b

n

= b

.

Wniosek 1

Iloczyn ciągu ograniczonego i zbieżnego do zera jest ciągiem zbieżnym do zera.

Twierdzenie 8

Ciąg

e

n

= (1 +

1
n

)

n

jest zbieżny.

Uwaga 6

Granicę tego ciągu oznaczamy przez

e

, tzn.

e = lim

n→∞

e

n

. Liczba

e ≈ 2, 72

zwana jest liczbą Eulera.

Twierdzenie 9

Jeżeli ciąg

a

n

o wyrazach nieujemnych jest zbieżny do zera, to

lim

n→∞

(1 + a

n

)

1

an

= e

.

3.2. Szeregi liczbowe

Definicja 40

Przez szereg liczbowy nieskończony

∞

P

n=1

a

n

rozumiemy ciąg sum:

s

1

= a

1

,

s

2

= a

1

+ a

2

,

s

3

= a

1

+ a

2

+ a

3

,

...

s

n

= a

1

+ a

2

+ a

3

+ ... + a

n

,

...
Liczby

a

1

,

a

2

,... nazywamy wyrazami szeregu. Wyrazy ciągu

(s

n

)

nazywamy sumami cząstkowymi szeregu

∞

P

n=1

a

n

.

Definicja 41

Jeżeli ciąg sum częściowych

(s

n

)

jest zbieżny do granicy

s

, to mówimy, że

szereg

∞

P

n=1

a

n

jest zbieżny, a liczbę

s

nazywamy sumą szeregu

∞

P

n=1

a

n

.

Szereg, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym.

Uwaga 7

Szeregi

∞

P

n=1

1

n(n+1)

i

∞

P

n=1

2n+1

n

2

(n+1)

2

są zbieżne do

1

.

Twierdzenie 10

Szereg geometryczny

∞

P

n=1

aq

n−1

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

a = 0

lub

−1 6 q 6 1

.

Gdy

−1 6 q 6 1

, to suma szeregu wynosi

s =

1

1−q

.

Twierdzenie 11

Szereg Dirichleta

∞

P

n=1

1

n

α

, gdzie

α ∈ R

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy,

gdy

α > 1

.

Twierdzenie 12

(Warunek konieczny zbieżności szeregu) Jeżeli szereg

∞

P

n=1

a

n

jest zbieżny,

to

lim

n→∞

a

n

= 0

.

Uwaga 8

Szereg harmoniczny

∞

P

n=1

1
n

jest zbieżny.

Kryteria zbieżności szeregów

Twierdzenie 13

(Kryterium porównawcze) Jeżeli wyrazy szeregów

∞

P

n=1

a

n

i

∞

P

n=1

b

n

są nieujemne

oraz istnieje takie

n

0

, że dla każdego

n > n

0

spełniona jest nierówność

a

n

6 b

n

,

to ze zbieżności szeregu

∞

P

n=1

b

n

wynika zbieżność szeregu

∞

P

n=1

a

n

.

Twierdzenie 14

(Kryterium d’Alemberta) Jeżeli istnieje granica

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= g < 1,

to szereg o wyrazach dodatnich

∞

P

n=1

a

n

jest zbieżny.

Twierdzenie 15

(Kryterium Cauchy’ego) Jeżeli istnieje granica

lim

n→∞

n

√

a

n

= g < 1,

to szereg o wyrazach nieujemnych

∞

P

n=1

a

n

jest zbieżny.

Kryteria rozbieżności szeregów

Twierdzenie 16

(Kryterium porównawcze) Jeżeli wyrazy szeregów

∞

P

n=1

a

n

i

∞

P

n=1

b

n

są nieujemne

oraz istnieje takie

n

0

, że dla każdego

n > n

0

spełniona jest nierówność

a

n

6 b

n

,

to z rozbieżności szeregu

∞

P

n=1

a

n

wynika rozbieżność szeregu

∞

P

n=1

b

n

.

Twierdzenie 17

(Kryterium d’Alemberta) Jeżeli istnieje granica

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= g > 1,

to szereg o wyrazach dodatnich

∞

P

n=1

a

n

jest rozbieżny.

Twierdzenie 18

(Kryterium Cauchy’ego) Jeżeli istnieje granica

lim

n→∞

n

√

a

n

= g > 1,

to szereg o wyrazach nieujemnych

∞

P

n=1

a

n

jest rozbieżny.

4. Liczby zespolone

Definicja 42

Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parą liczb rzeczywistych.
Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy przez

C

.

Uwaga 9

Mamy

C = {z = (x , y ) : x , y ∈ R}.

Przykładami liczb zespolonych są

(−2, 5)

,

(0, 0)

,

(1, 0)

,

(

1
5

, −3)

,

(0, π)

.

Liczby zespolone interpretujemy geometrycznie jako punkty płaszczyzny
lub jako wektory o początku w punkcie

(0, 0)

i końcu w danym punkcie.

Uwaga 10

Liczby postaci

(x , 0)

, gdzie

x ∈ R

możemy utożsamiać z liczbami

rzeczywistymi i zapisywać je jako

x

. W szczególności mamy

(0, 0) = 0

i

(1, 0) = 1

.

Definicja 43

Niech

z = (x , y )

,

z

1

= (x

1

, y

1

)

,

z

2

= (x

2

, y

2

)

będą liczbami zespolonymi.

W następujący sposób definiujemy równość liczb rozmytych oraz
działania na liczbach rozmytych:

z

1

= z

2

⇔ x

1

= x

2

∧ x

2

= y

2

,

z

1

+ z

2

= (x

1

+ x

2

, y

1

+ y

2

),

z

1

· z

2

= (x

1

x

2

− y

1

y

2

, x

1

y

2

+ x

2

y

1

),

−z = (−x, −y ),

z

1

− z

2

= z

1

+ (−z

2

),

1
z

=



x

x

2

+ y

2

, −

y

x

2

+ y

2



,

o ile

z 6= 0,

z

1

z

2

= z

1

·

1

z

2

,

o ile

z

2

6= 0.

Twierdzenie 19

Niech

z

1

= (x

1

, y

1

)

,

z

2

= (x

2

, y

2

)

,

z

3

= (x

3

, y

3

)

będą liczbami

zespolonymi. Wówczas

z

1

+ z

2

= z

2

+ z

1

(przemienność dodawania),

(z

1

+ z

2

) + z

3

= z

1

+ (z

2

+ z

3

)

(łączność dodawania),

z + 0 = z

(

0

jest elementem neutralnym dodawania),

z + (−z) = 0

(

−z

jest liczbą przeciwną do

z

),

z

1

· z

2

= z

2

· z

1

(przemienność mnożenia),

(z

1

· z

2

) · z

3

= z

1

· (z

2

· z

3

)

(łączność mnożenia),

z · 1 = z

(

1

jest elementem neutralnym mnożenia),

z ·

1
z

= 1

,

(

1
z

jest liczbą odwrotną do

z

),

z

1

· (z

2

+ z

3

) = z

1

· z

2

+ z

1

· z

3

(rozdzielność mnożenia względem

dodawania).

Definicja 44

Liczbę zespoloną

(0, 1)

nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy przez

i

.

Twierdzenie 20

Każdą liczbę zespoloną można jednoznacznie zapisać w postaci

z = x + yi ,

gdzie

x, y ∈ R

.

Uwaga 11

Powyższy zapis liczby zespolonej nazywamy postacią algebraiczną (lub
kanoniczną) liczby zespolonej.

Uwaga 12

Liczba

i

jest rozwiązaniem (jednym z dwu rozwiązań) równania

z

2

= −1

. Stąd

i

2

= −1.

Definicja 45

Niech

z = x + yi

będzie postacią algebraiczną liczby zespolonej

z

.

Liczbę

x

nazywamy częścią rzeczywistą, a liczbę

y

nazywamy częścią urojoną

liczby

z

, co zapisujemy

Re(z) = x,

Im(z) = y .

Uwaga 13

Liczbę zespoloną postaci

yi

, gdzie

y ∈ R \ {0}

, nazywamy czysto urojoną.

Twierdzenie 21

Niech

z, z

1

, z

2

∈ C

. Wtedy

(i)

Re(z

1

+ z

2

) = Re z

1

+ Re z

2

,

(ii)

Im(z

1

+ z

2

) = Im z

1

+ Im z

2

,

(iii)

Re(zi ) = − Im z

,

(iv)

Im(zi ) = Re z

.

Definicja 46

Sprzężeniem liczby zespolonej

z = x + yi

, gdzie

x , y ∈ R

nazywamy

liczbę

¯

z

określoną wzorem

¯

z = x − yi .

Twierdzenie 22

Niech

z, z

1

, z

2

∈ C

. Wtedy

(i)

(z) = z

,

(ii)

z

1

+ z

2

= z

1

+ z

2

,

(iii)

z

1

− z

2

= z

1

− z

2

,

(iv)

z

1

· z

2

= z

1

· z

2

,

(v)

(

z

1

z

2

) =

z

1

z

2

, o ile

z

2

6= 0

.

Definicja 47

Modułem liczby zespolonej

z = x + yi

, gdzie

x , y ∈ R

nazywamy liczbę

rzeczywistą

|z|

określoną wzorem

|z| =

p

x

2

+ y

2

.

Uwaga 14

Moduł liczby zespolonej jest uogólnieniem wartości bezwzględnej liczby
rzeczywistej.

Twierdzenie 23

Niech

z, z

1

, z

2

∈ C

. Wtedy

(i)

|z| = |z| = | − z|

,

(ii)

z · z = |z|

2

,

(iii)

|z

1

· z

2

| = |z

1

| · |z

2

|

,

(iv)

|

z

1

z

2

| =

|z

1

|

|z

2

|

, o ile

z

2

6= 0

,

(v)

|z

1

+ z

2

| 6 |z

1

| + |z

2

|

.

Definicja 48

Argumentem liczby zespolonej

z = x + yi 6= 0

, gdzie

x, y ∈ R

nazywamy

każdą liczbę rzeczywistą

ϕ ∈ R

spełniającą układ równań

(

cos ϕ =

x

|z|

,

sin ϕ =

y

|z|

.

Przyjmujemy, że argumentem liczby zespolonej

z = 0

jest każda liczba

ϕ ∈ R

.

Twierdzenie 24

Każdą liczbę zespoloną

z

możemy przedstawić w postaci

z = r (cos ϕ + i sin ϕ),

gdzie

r > 0

oraz

ϕ ∈ R

. Liczba

r

jest wówczas modułem liczby

z

, a

ϕ

jednym z jej argumentów.

Uwaga 15

Argument liczby

z

oznaczamy przez

arg z

. Każdy argument

ϕ

liczby

z 6= 0

ma postać:

ϕ = arg z + 2kπ,

gdzie

k ∈ Z

Argumentem głównym liczby zespolonej z

z 6= 0

nazywamy argument

ϕ ∈ [0, 2π)

.

Twierdzenie 25

Liczby zespolone

z

1

= r

1

(cos ϕ

1

+ i sin ϕ

1

)

,

z

2

= r

2

(cos ϕ

2

+ i sin ϕ

2

)

,

gdzie

r

1

, r

2

> 0

oraz

ϕ

1

, ϕ

2

∈ R

są równe wtedy i tylko wtedy, gdy

r

1

= r

2

= 0

albo

r

1

= r

2

> 0

oraz

ϕ

1

= ϕ

2

+ 2kπ

dla pewnego

k ∈ Z

.

Twierdzenie 26

Niech

z

1

= r

1

(cos ϕ

1

+ i sin ϕ

1

)

,

z

2

= r

2

(cos ϕ

2

+ i sin ϕ

2

)

, gdzie

r

1

, r

2

> 0

oraz

ϕ

1

, ϕ

2

∈ R

. Wtedy

z = r [cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)]

,

−z = r [cos(ϕ + π) + i sin(ϕ + π)]

,

z

1

· z

2

= r

1

r

2

[cos(ϕ

1

+ ϕ

2

) + i sin(ϕ

1

+ ϕ

2

)]

,

z

n

= r

n

[cos(nϕ) + i sin(nϕ)]

,

1
z

=

1
r

[cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)]

, o ile

z 6= 0

,

z

1

z

2

=

r

1

r

2

[cos(ϕ

1

− ϕ

2

) + i sin(ϕ

1

− ϕ

2

)]

, o ile

z

2

6= 0

.

Definicja 49

Pierwiastkiem stopnia

n ∈ N

z liczby zespolonej

z

nazywamy każdą liczbę

zespoloną

w

spełniającą równość:

w

n

= z.

Zbiór pierwiastków stopnia

n

z liczby zespolonej

z

oznaczamy przez

n

√

z

.

Twierdzenie 27

Każda liczba zespolona

z = r (cos ϕ + i sin ϕ)

, gdzie

r > 0

oraz

ϕ ∈ R

ma

dokładnie

n

pierwiastków

n

-tego stopnia. Zbiór tych pierwiastków ma

postać

n

√

z = {z

0

, z

1

, ..., z

n−1

},

gdzie

z

k

=

n

√

r



cos

ϕ+2kπ

n

+ i sin

ϕ+2kπ

n



dla

k = 0, 1, ..., n − 1

.

5. Algebra macierzy

5.1. Macierze

Definicja 50

Macierzą o wymiarach

m × n

, gdzie

m, n ∈ N

nazywamy prostokątną

tablicę złożoną z

mn

liczb rzeczywistych lub zespolonych ustawionych

w

m

wierszach i

n

kolumnach:













a

11

a

12

· · ·

a

1j

· · ·

a

1n

a

21

a

22

· · ·

a

2j

· · ·

a

2n

..

.

..

.

. ..

..

.

. ..

..

.

a

i 1

a

i 2

· · ·

a

ij

· · ·

a

in

..

.

..

.

. ..

..

.

. ..

..

.

a

m1

a

m2

· · ·

a

mj

· · ·

a

mn













.

Uwaga 16

Liczby

a

ij

(

i = 1, 2, ..., m

,

j = 1, 2, ..., n

) nazywamy wyrazami lub

elementami macierzy. Poziome rzędy tablicy nazywamy wierszami
macierzy, a pionowe - jej kolumnami. Macierz oznaczamy krótko

[a

ij

]

m×n

,

[a

ij

]

lub

A

.

Definicja 51

Dwie macierze

A

i

B

są równe, gdy są tego samego wymiaru

m × n

oraz

a

ij

= b

ij

dla każdego

i = 1, 2, ..., m

i

j = 1, 2, ..., n

.

Definicja 52

Macierz o wymiarach

m × n

, której wszystkie elementy są równe

0

nazywamy macierzą zerową o wymiarze

m × n

i oznaczamy

0

m×n

lub

0

.

Definicja 53

Macierz o wymiarach

n × n

nazywamy macierzą kwadratową stopnia

n

.

Definicja 54

Główną przekątną macierzy kwadratowej stopnia

n

nazywamy ciąg

elementów

a

11

, a

22

, ..., a

nn

tej macierzy.

Definicja 55

Macierz kwadratową stopnia

n

, której elementy głównej przekątnej są

równe

1

, a wszystkie pozostałe

0

nazywamy macierzą jednostkową

stopnia

n

i oznaczamy

I

n

lub

I

.

Definicja 56

Sumą (różnicą) macierzy

A = [a

ij

]

m×n

i

B = [b

ij

]

m×n

nazywamy macierz

C = [c

ij

]

m×n

, gdzie

c

ij

= a

ij

+ b

ij

(c

ij

= a

ij

− b

ij

)

dla każdego

i = 1, 2, ..., m

i

j = 1, 2, ..., n

.

Piszemy wówczas

A + B = C

(

A − B = C

).

Definicja 57

Iloczynem macierzy

A = [a

ij

]

m×n

przez liczbę rzeczywistą lub zespoloną

α

nazywamy macierz

B = [b

ij

]

m×n

, gdzie

b

ij

= αa

ij

dla każdego

i = 1, 2, ..., m

i

j = 1, 2, ..., n

.

Piszemy wówczas

αA = B

.

Twierdzenie 28

Niech

A, B, C

będą macierzami tego samego wymiaru, a

α, β

liczbami

rzeczywistymi lub zespolonymi. Wówczas

A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C ),

A + 0 = 0 + A = A,

A + (−A) = 0,

α(A + B) = αA + αB,

(α + β)A = αA + βA,

1 · A = A,

(αβ)A = α(βA).

Definicja 58

Iloczynem macierzy

A = [a

ij

]

m×n

przez macierz

B = [b

ij

]

n×k

nazywamy

macierz

C = [c

ij

]

m×k

, gdzie

c

ij

=

n

X

s=1

a

is

b

sj

= a

i 1

b

1j

+ a

i 2

b

2j

+ ... + a

in

b

nj

dla każdego

i = 1, 2, ..., m

i

j = 1, 2, ..., k

.

Piszemy wówczas

A · B = C

.

Uwaga 17

m × \

n · \

n × k = m × k

Twierdzenie 29

Niech

A, B, C

będą macierzami kwadratowymi tego samego stopnia,

a

α

liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Wówczas

A(B + C ) = AB + AC ,

(A + B)C = AC + BC ,

A(αB) = (αA)B = α(AB),

(AB)C = A(BC ),

AI = IA = A.

Uwaga 18

Każdy z powyższych wzorów zachodzi także dla macierzy prostokątnych,
o ile wszystkie działania w danym wzorze są wykonalne (macierze są
odpowiednich wymiarów).

Uwaga 19

Mnożenie macierzy nie jest przemienne.

Definicja 59

Macierzą transponowana do macierzy

A = [a

ij

]

m×n

nazywamy macierz

B = [b

ij

]

n×m

, gdzie

b

ij

= a

ji

.

Macierz transponowaną do macierzy

A

oznaczamy przez

A

T

.

Twierdzenie 30

Niech

A, B

będą macierzami kwadratowymi tego samego stopnia,

α

liczbą rzeczywistą lub zespoloną, a

p

liczbą naturalną. Wówczas

(A + B)

T

= A

T

+ B

T

,

(A

T

)

T

= A,

(αA)

T

= αA

T

,

(AB)

T

= B

T

A

T

,

(A

p

)

T

= (A

T

)

p

.

Uwaga 20

Każdy z powyższych wzorów zachodzi także dla macierzy prostokątnych,
o ile wszystkie działania w danym wzorze są wykonalne (macierze są
odpowiednich wymiarów).

5.2. Wyznaczniki

Definicja 60

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej stopnia

n

nazywamy funkcję, która

każdej macierzy

A = [a

ij

]

przypisuje liczbę

det A

. Funkcja ta określona jest

następująco:
(i) jeżeli

n = 1

, to

det A = a

11

,

(ii) jeżeli

n > 2

, to

det A = (−1)

1+1

a

11

det A

11

+ (−1)

1+2

a

12

det A

12

+ ... + (−1)

1+n

a

1n

det A

1n

,

gdzie

A

ij

oznacza macierz stopnia

n − 1

otrzymaną z macierzy

A

przez

skreślenie

i

-tego wiersza i

j

-tej kolumny.

Uwaga 21

Wyznacznik macierzy

A

oznaczamy także przez

det[a

ij

]

,

|A|

,

det







a

11

a

12

· · ·

a

1n

a

21

a

22

· · ·

a

2n

..

.

..

.

. .

.

..

.

a

n1

a

n2

· · ·

a

nn







lub










a

11

a

12

· · ·

a

1n

a

21

a

22

· · ·

a

2n

..

.

..

.

. .

.

..

.

a

n1

a

n2

· · ·

a

nn










.

Wyznacznik drugiego stopnia

det



a

b

c

d



= ad − bc

Wyznacznik trzeciego stopnia - metoda Sarrusa

det





a

b

c

d

e

f

g

h

i





a

b

d

e

g

h

= aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi

Uwaga 22

Metoda Sarrusa nie przenosi się na wyznaczniki wyższych stopni.

Definicja 61

Niech

A = [a

ij

]

będzie macierzą kwadratową stopnia

n > 2

. Dopełnieniem

algebraicznym elementu

a

ij

macierzy

A

nazywamy liczbę

D

ij

= (−1)

i +j

det A

ij

,

gdzie

A

ij

oznacza macierz stopnia

n − 1

otrzymaną z macierzy

A

przez

skreślenie

i

-tego wiersza i

j

-tej kolumny.

Twierdzenie 31

(Rozwinięcie Laplace’a wyznacznika) Niech

A = [a

ij

]

będzie macierzą

kwadratową stopnia

n > 2

. Wówczas

det A = a

i 1

D

i 1

+ a

i 2

D

i 2

+ ... + a

in

D

in

,

det A = a

1j

D

1j

+ a

2j

D

2j

+ ... + a

nj

D

nj

.

Twierdzenie 32

Niech

det[k

1

...k

n

]

oznacza wyznacznik macierzy o kolumnach

k

1

,...,

k

n

.

Wówczas

det[k

1

...0...k

n

] = 0,

det[k

1

...k

i

...k

j

...k

n

] = − det[k

1

...k

j

...k

i

...k

n

],

det[k

1

...k

j

...k

j

...k

n

] = 0,

det[k

1

...ck

j

...k

n

] = c det[k

1

...k

j

...k

n

],

det[k

1

...k

j

+ k

0

j

...k

n

] = det[k

1

...k

j

...k

n

] + det[k

1

...k

0

j

...k

n

],

det[k

1

...k

i

...k

j

...k

n

] = det[k

1

...k

i

+ ck

j

...k

j

...k

n

].

Uwaga 23

Zachodzą analogiczne wzory dla wierszy.

Twierdzenie 33

Dla dowolnej macierzy kwadratowej

A

det A

T

= det A.

Definicja 62

Macierz kwadratową

A

nazywamy macierzą osobliwą, gdy

det A = 0

. W

przeciwnym wypadku mówimy, że macierz

A

jest nieosobliwa.

Definicja 63

Niech

A

będzie macierzą kwadratową. Macierzą odwrotną do macierzy

A

nazywamy macierz

A

−1

, która spełnia warunek

AA

−1

= A

−1

A = I .

Uwaga 24

Macierz

A

, dla której istnieje macierz odwrotna, nazywamy odwracalną.

Macierz odwrotna, o ile istnieje, jest określona jednoznacznie.

Twierdzenie 34

Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest
nieosobliwa.

Twierdzenie 35

Jeżeli macierz

A

stopnia

n

jest nieosobliwa, to

A

−1

=

1

det A








D

11

D

12

· · ·

D

1n

D

21

D

22

· · ·

D

2n

..

.

..

.

. ..

..

.

D

n1

D

n2

· · ·

D

nn








T

.

Twierdzenie 36

Niech

A

i

B

będą odwracalnymi macierzami kwadratowe tego samego

stopnia oraz niech

α ∈ C \ {0}

i

p ∈ N

. Wówczas macierze

A

−1

,

A

T

,

AB

,

αA

,

A

p

także są odwracalne i zachodzą równości

det A

−1

= (det A)

−1

,

(A

−1

)

−1

= A,

(A

T

)

−1

= (A

−1

)

T

,

(AB)

−1

= B

−1

A

−1

,

(αA)

−1

=

1

α

A

−1

,

(A

p

)

−1

= (A

−1

)

p

.

Definicja 64

Minorem stopnia

k ∈ N

nazywamy wyznacznik utworzony z elementów

macierzy stojących na przecięciu dowolnie wybranych

k

kolumn i

k

wierszy.

Definicja 65

Rzędem macierzy

A

nazywamy największy stopień jej niezerowego minora

i oznaczamy

rz A

. Przyjmujemy, że rząd dowolnej macierzy zerowej jest

równy

0

.

Twierdzenie 37

Rząd macierzy nieosobliwej jest równy jej stopniowi.

rz A

T

= rz A

.

Twierdzenie 38

Rząd macierzy nie ulega zmianie, gdy:
(i) przestawimy dwa wiersze (dwie kolumny),
(ii) wiersze (kolumny) pomnożymy przez liczby różne od

0

,

(iii) do jednego wiersza (kolumny) dodamy inne wiersze (kolumny)
pomnożone przez dowolne liczby.

6. Równania i układy równań algebraicznych

Definicja 66

Równanie postaci

a

1

x

1

+ a

2

x

2

+ ... + a

n

x

n

= b,

gdzie

a

i

, b ∈ R

dla każdego

i = 1, 2, ..., n

nazywamy równaniem liniowym

o

n

niewiadomych

x

1

,

x

2

, ...,

x

n

.

Definicja 67

Układem

m

równań liniowych z

n

niewiadomymi

x

1

,

x

2

, ...,

x

n

, gdzie

m, n ∈ N

nazywamy układ równań postaci























a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ ... + a

1n

x

n

= b

1

,

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ ... + a

2n

x

n

= b

2

,

..

.

a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ ... + a

mn

x

n

= b

m

,

gdzie

a

ij

∈ R

,

b

i

∈ R

dla każdego

i = 1, 2, ..., m

i

j = 1, 2, ..., n

.

Uwaga 25

Układ równań z poprzedniej definicji możemy zapisać w postaci
macierzowej

AX = B,

gdzie

A =








a

11

a

12

· · ·

a

1n

a

21

a

22

· · ·

a

2n

..

.

..

.

. ..

..

.

a

m1

a

m2

· · ·

a

mn








,

X =








x

1

x

2

..

.

a

n








,

B =








b

1

b

2

..

.

b

m








.

Definicja 68

Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych

AX = B,

w którym

A

jest macierzą kwadratową nieosobliwą.

Twierdzenie 39

Układ Cramera

AX = B

ma dokładnie jedno rozwiązanie określone

wzorem

X =

1

det A








det A

1

det A

2

..

.

det A

n








,

gdzie

A

i

dla każdego

i = 1, 2, ..., n

oznacza macierz powstałą z macierzy

A

przez zastąpienie

i

-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych

B

.

Uwaga 26

Układ

n

równań liniowych z

n

niewiadomymi, w którym

det A 6= 0

ma

dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami (tzw. wzorami Cramera):

x

1

=

det A

1

det A

,

x

2

=

det A

2

det A

,

...,

x

n

=

det A

n

det A

.

Twierdzenie 40

(Kroneckera-Capellego) Układ równań liniowych

AX = B

ma rozwiązanie

wtedy i tylko wtedy, gdy

rz A = rz U

, gdzie

U

oznacza macierz (tzw.

macierz uzupełnioną) powstałą z macierzy

A

przez dodanie kolumny

wyrazów wolnych

B

.

Twierdzenie 41

Niech

AX = B

będzie układem równań liniowych z

n

niewiadomymi.

Wówczas:
(i) jeżeli

rz A 6= rz B

, to układ nie ma rozwiązanie (jest sprzeczny),

(ii) jeżeli

rz A = rz B = n

, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie (jest

oznaczony),
(i) jeżeli

rz A = rz B = r < n

, to układ ma nieskończenie wiele

rozwiązań zależnych od

n − r

parametrów (jest nieoznaczony).

7. Rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej
zmiennej

7.1. Granice i ciągłość funkcji

Definicja 69

Otoczeniem o promieniu

r > 0

punktu

x

0

∈ R

nazywamy zbiór

O(x

0

, r ) = (x

0

− r , x

0

+ r ).

Sąsiedztwem o promieniu

r > 0

punktu

x

0

∈ R

nazywamy zbiór

S (x

0

, r ) = (x

0

− r , x

0

) ∪ (x

0

, x

0

+ r ).

Sąsiedztwem lewostronnym o promieniu

r > 0

punktu

x

0

∈ R

nazywamy

zbiór

S (x

−

0

, r ) = (x

0

− r , x

0

).

Sąsiedztwem prawostronnym o promieniu

r > 0

punktu

x

0

∈ R

nazywamy

zbiór

S (x

+

0

, r ) = (x

0

, x

0

+ r ).

Definicja 70 (Heinego granicy funkcji w punkcie)

Niech

x

0

∈ R

oraz niech funkcja

f : X → R

będzie określona przynajmniej w

pewnym sąsiedztwie

S(x

0

, r )

punktu

x

0

. Liczba

g

jest granicą właściwą funkcji

f

w punkcie

x

0

(

lim

x→x

0

f (x) = g

), gdy

∀

(x

n

)⊂S(x

0

,r )

h

( lim

n→∞

x

n

= x

0

) ⇒ ( lim

n→∞

f (x

n

) = g )

i

.

Definicja 71 (Heinego granicy lewostronnej funkcji w punkcie)

Niech

x

0

∈ R

oraz niech funkcja

f : X → R

będzie określona przynajmniej w

pewnym sąsiedztwie lewostronnym

S(x

−

0

, r )

punktu

x

0

. Liczba

g

jest granicą

lewostronną funkcji

f

w punkcie

x

0

(

lim

x→x

−

0

f (x) = g

), gdy

∀

(x

n

)⊂S(x

−

0

,r )

h

( lim

n→∞

x

n

= x

0

) ⇒ ( lim

n→∞

f (x

n

) = g )

i

.

Definicja 72 (Heinego granicy prawostronnej funkcji w punkcie)

Niech

x

0

∈ R

oraz funkcja

f : X → R

będzie określona przynajmniej w pewnym

sąsiedztwie prawostronnym

S(x

+

0

, r )

punktu

x

0

. Liczba

g

jest granicą

prawostronną funkcji

f

w punkcie

x

0

(

lim

x→x

+

0

f (x) = g

), gdy

∀

(x

n

)⊂S(x

+

0

,r )

h

( lim

n→∞

x

n

= x

0

) ⇒ ( lim

n→∞

f (x

n

) = g )

i

.

Definicja 73 (Heinego granicy niewłaściwej funkcji w punkcie)

Niech

x

0

∈ R

oraz niech funkcja

f : X → R

będzie określona przynajmniej w

pewnym sąsiedztwie

S(x

0

, r )

punktu

x

0

. Funkcja

f

ma granicą niewłaściwą

±∞

w punkcie

x

0

(

lim

x→x

0

f (x) = ±∞

) gdy

∀

(x

n

)⊂S(x

0

,r )

h

( lim

n→∞

x

n

= x

0

) ⇒ ( lim

n→∞

f (x

n

) = ±∞)

i

.

Definicja 74 (Heinego granicy funkcji w nieskończoności)

Niech

x

0

∈ R

oraz niech funkcja

f : X → R

będzie określona przynajmniej w

pewnym przedziale

(a, +∞)

(

(−∞, a)

). Liczba

g

jest granicą funkcji

f

w

±∞

(

lim

x→±∞

f (x) = g

), gdy

∀

(x

n

)⊂(a,+∞)((−∞,a))

h

( lim

n→∞

x

n

= ±∞) ⇒ ( lim

n→∞

f (x

n

) = g )

i

.

Definicja 75 (Heinego granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności)

Niech

x

0

∈ R

oraz niech funkcja

f : X → R

będzie określona przynajmniej w

pewnym przedziale

(a, +∞)

(

(−∞, a)

). Funkcja

f

ma granicą niewłaściwą

±∞

w nieskończoności (

lim

x→±∞

f (x) = ±∞

) gdy

∀

(x

n

)⊂(a,+∞)((−∞,a))

h

( lim

n→∞

x

n

= ±∞) ⇒ ( lim

n→∞

f (x

n

) = ±∞)

i

.

Twierdzenie 42

Funkcja

f

ma w punkcie

x

0

granicę (właściwą lub niewłaściwą) wtedy i

tylko wtedy, gdy

lim

x →x

−

0

f (x) = lim

x →x

+

0

f (x ).

Wspólna wartość granic jednostronnych jest wtedy granicą funkcji.

Twierdzenie 43

Jeżeli funkcje

f

i

g

spełniają warunki:

1.

lim

x →x

0

f (x ) = y

0

,

2.

istnieje takie

r > 0

, że

f (x) 6= y

0

dla każdego

x ∈ S (x

0

, r )

,

3.

lim

y →y

0

g (y ) = q

,

to

lim

x →x

0

g (f (x )) = q

.

Twierdzenie 44

Jeżeli funkcje

f

i

g

mają granice właściwe w punkcie

x

0

, to:

1.

lim

x →x

0

(f (x ) + g (x )) = lim

x →x

0

f (x ) + lim

x →x

0

g (x )

,

2.

lim

x →x

0

(f (x ) − g (x )) = lim

x →x

0

f (x ) − lim

x →x

0

g (x )

,

3.

lim

x →x

0

c · f (x ) = c · lim

x →x

0

f (x )

,

4.

lim

x →x

0

(f (x ) · g (x )) = lim

x →x

0

f (x ) · lim

x →x

0

g (x)

,

5.

lim

x →x

0

f (x )

g (x )

=

lim

x→x0

f (x )

lim

x→x0

g (x )

, o ile

lim

x →x

0

g (x) 6= 0

,

6.

lim

x →x

0

f (x )

g (x )

= lim

x →x

0

f (x )

lim

x→x0

g (x )

, o ile wyrażenia po obu stronach

równości mają sens.

Uwaga 27

Poniższe wyrażenia nazywamy symbolami nieoznaczonymi:

∞ − ∞,

0 · ∞,

0
0

,

∞
∞

,

1

∞

,

∞

0

,

0

0

.

Twierdzenie 45

lim

x →0

sin x

x

= 1

lim

x →±∞



1 +

a

x



x

= e

a

lim

x →0

(1 + x )

1

x

= e

Definicja 76

Prostą

x = a

nazywamy asymptotą pionową funkcji

f

, gdy

lim

x →x

0

f (x ) = ±∞.

Uwaga 28

Funkcja elementarna może mieć asymptoty pionowe jedynie w
skończonych krańcach swojej dziedziny, które do niej nie należą.

Definicja 77

Prostą

y = ax + b

nazywamy asymptotą ukośną funkcji

f

w

∞

, gdy

a =

lim

x →±∞

f (x )

x

,

b =

lim

x →±∞

f (x ) − ax .

Definicja 78

Funkcję

f

nazywamy ciągłą w punkcie

x

0

, gdy

lim

x →x

0

f (x) = f (x

0

)

.

Definicja 79

Funkcję

f

nazywamy ciągłą, gdy jest ciągła w całej swojej dziedzinie.

Uwaga 29

Funkcje elementarne są funkcjami ciągłymi.

Twierdzenie 46

Suma (różnica, iloczyn, iloraz - w punktach dla których dzielnik się nie
zeruje) funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

7.2. Pochodne funkcji

Definicja 80

Niech

x

0

∈ R

i niech funkcja

f

będzie określona w

O(x

0

, r )

, gdzie

r > 0

.

Ilorazem różnicowym funkcji

f

w punkcie

x

0

nazywamy liczbę

f (x ) − f (x

0

)

x − x

0

.

Definicja 81

Niech

x

0

∈ R

i niech funkcja

f

będzie określona w

O(x

0

, r )

, gdzie

r > 0

.

Pochodną funkcji

f

w punkcie

x

0

nazywamy granicę właściwą

f

0

(x

0

) =

lim

x →x

0

f (x) − f (x

0

)

x − x

0

.

Twierdzenie 47

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie

x

0

to równanie stycznej do

wykresu funkcji i w punkcie

(x

0

, f (x

0

))

ma postać:

y = f (x

0

) + f

0

(x

0

)(x − x

0

).

Twierdzenie 48

(c)

0

= 0

c ∈ R

(x

α

)

0

= αx

α−1

(sin x )

0

= cos x

(cos x )

0

= − sin x

(e

x

)

0

= e

x

(ln x )

0

=

1
x

Twierdzenie 49

Jeżeli funkcje

f

i

g

mają pochodne w punkcie

x

0

, to

(f ± g )

0

(x

0

) = f

0

(x

0

) ± g

0

(x

0

),

(c f )

0

(x

0

) = c f

0

(x

0

),

(f · g )

0

(x

0

) = f

0

(x

0

)g (x

0

) + f (x

0

)g

0

(x

0

),



f

g



0

(x

0

) =

f

0

(x

0

)g (x

0

) − f (x

0

)g

0

(x

0

)

g

2

(x

0

)

,

o ile

g (x

0

) 6= 0.

Twierdzenie 50

Jeżeli

1.

funkcja

f

ma pochodną w punkcie

x

0

,

2.

funkcja

g

ma pochodną w punkcie

f (x

0

)

,

to

(g ◦ f )

0

(x

0

) = g

0

(f (x

0

))f

0

(x

0

).

Definicja 82

Pochodną

n

-tego rzędu funkcji

f

w punkcie

x

0

definiujemy indukcyjnie:

f

(1)

(x

0

) = f

0

(x

0

)

f

(n)

(x

0

) =

f

(n−1)



0

(x

0

)

dla n ­ 2

Funkcję określoną na zbiorze, której wartości w punktach

x

tego zbioru są

równe

f

(n)

(x )

, nazywamy pochodną

n

-tego rzędu funkcji

f

na tym

zbiorze i oznaczamy przez

f

(n)

.

Zamiast

f

(1)

,

f

(2)

,

f

(3)

piszemy

f

0

,

f

00

,

f

000

.

Twierdzenie 51

Niech

A ⊂ R

będzie przedziałem.

1.

Jeżeli dla każdego

x ∈ A f

0

(x ) = 0

, to funkcja jest stała na

A

.

2.

Jeżeli dla każdego

x ∈ A f

0

(x ) > 0

, to funkcja jest rosnąca na

A

.

3.

Jeżeli dla każdego

x ∈ A f

0

(x ) < 0

, to funkcja jest malejąca na

A

.

Definicja 83

Funkcja

f

ma w punkcie

x

0

∈ R

minimum lokalne, jeżeli

∃

r >0

∀

x ∈S(x

0

,r )

f (x ) > f (x

0

).

Definicja 84

Funkcja

f

ma w punkcie

x

0

∈ R

maksimum lokalne, jeżeli

∃

r >0

∀

x ∈S(x

0

,r )

f (x ) < f (x

0

).

Twierdzenie 52

Jeżeli funkcja różniczkowalna osiąga w punkcie

x

0

ekstremum lokalne

(minimum lub maksimum), to

f

0

(x

0

) = 0

.

Uwaga 30

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. dla

f (x) = x

3

Twierdzenie 53 (Warunek wystarczający istnienia ekstremum
(maksimum))

Jeżeli funkcja

f

spełnia warunki:

1.

f

0

(x

0

) = 0

,

2.

∃

r >0



f

0

(x ) > 0 dla każdego x < x

0

i x ∈ S (x

0

, r ),

f

0

(x ) < 0 dla każdego x > x

0

i x ∈ S (x

0

, r ),

to w punkcie

x

0

funkcja ma maksimum lokalne.

Twierdzenie 54 (Warunek wystarczający istnienia ekstremum
(minimum))

Jeżeli funkcja

f

spełnia warunki:

1.

f

0

(x

0

) = 0

,

2.

∃

r >0



f

0

(x ) < 0 dla każdego x < x

0

i x ∈ S (x

0

, r ),

f

0

(x ) > 0 dla każdego x > x

0

i x ∈ S (x

0

, r ),

to w punkcie

x

0

funkcja ma minimum lokalne.

Definicja 85

Funkcja

f

jest wypukła w przedziale

(a, b) ⊂ R

, jeżeli

∀

a<x

1

<x

2

<b

∀

0<λ<1

f (λx

1

+ (1 − λ)x

2

) ¬ λf (x

1

) + (1 − λ)f (x

2

).

Definicja 86

Funkcja

f

jest ściśle wypukła w przedziale

(a, b) ⊂ R

, jeżeli

∀

a<x

1

<x

2

<b

∀

0<λ<1

f (λx

1

+ (1 − λ)x

2

) < λf (x

1

) + (1 − λ)f (x

2

).

Twierdzenie 55

Jeżeli

f

00

(x ) ­ 0

(

f

00

(x ) > 0

) dla każdego

x ∈ (a, b)

, to funkcja

f

jest

wypukła (ściśle wypukła) na

(a, b)

.

Definicja 87

Funkcja

f

jest wklęsła w przedziale

(a, b) ⊂ R

, jeżeli

∀

a<x

1

<x

2

<b

∀

0<λ<1

f (λx

1

+ (1 − λ)x

2

) ­ λf (x

1

) + (1 − λ)f (x

2

).

Definicja 88

Funkcja

f

jest ściśle wklęsła w przedziale

(a, b) ⊂ R

, jeżeli

∀

a<x

1

<x

2

<b

∀

0<λ<1

f (λx

1

+ (1 − λ)x

2

) > λf (x

1

) + (1 − λ)f (x

2

).

Twierdzenie 56

Jeżeli

f

00

(x ) ¬ 0

(

f

00

(x ) < 0

) dla każdego

x ∈ (a, b)

, to funkcja

f

jest

wklęsła (ściśle wklęsła) na

(a, b)

.

Definicja 89

Niech funkcja

f

będzie określona na otoczeniu punktu

x

0

i niech ma tam

pochodną. Punkt

(x

0

, f (x

0

))

jest punktem przegięcia wykresu funkcji

f

gdy

istnieje takie

r > 0

, że w otoczeniu

O(x

0

, r )

funkcja

f

jest ściśle wypukła dla

x < x

0

i ściśle wklęsła dla

x > x

0

; albo w otoczeniu

O(x

0

, r )

funkcja

f

jest

ściśle wklęsła dla

x < x

0

i ściśle wypukła dla

x > x

0

.

Twierdzenie 57

Jeżeli funkcja

f

spełnia warunki:

1.

punkt

(x

0

, f (x

0

))

jest punktem przegięcia,

2.

istnieje

f

00

(x

0

)

,

to

f

00

(x

0

) = 0.

Uwaga 31

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. dla funkcji

f (x) = x

4

.

Twierdzenie 58 (Warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia)

Jeżeli funkcja

f

spełnia warunki:

1.

w punkcie

x

0

funkcja ma pochodną,

2.

∃

r >0



f

00

(x ) < 0 dla każdego x < x

0

i x ∈ S(x

0

, r ),

f

00

(x ) > 0 dla każdego x > x

0

i x ∈ S(x

0

, r ),

to punkt

(x

0

, f (x

0

))

jest punktem przegięcia jej wykresu.

7.3. Całki nieoznaczone

Definicja 90

Funkcja

F

jest funkcją pierwotną funkcji

f

na przedziale

I ⊂ R

, jeżeli

F

0

(x ) = f (x ) dla każdego x ∈ I .

Twierdzenie 59

Niech

F

będzie funkcją pierwotną funkcji

f

na przedziale

I

. Wtedy:

G (x ) = F (x ) + C

, gdzie

C ∈ R

jest funkcją pierwotną funkcji

f

na

przedziale

I

;

Każdą funkcję pierwotną funkcji

f

można przedstawić w postaci

F (x ) + C

, gdzie

C ∈ R

.

Definicja 91

Niech

F

będzie funkcją pierwotną funkcji

f

na przedziale

I

. Całką

nieoznaczoną funkcji

f

na przedziale

I

nazywamy zbiór funkcji

{F (x) + C : C ∈ R}

Całkę nieoznaczoną funkcji

f

oznaczamy przez

R f (x)dx

.

Twierdzenie 60

Niech funkcja

f

ma funkcję pierwotną na przedziale

I

. Wtedy dla każdego

x ∈ I

Z

f (x)dx



0

= f (x )

Twierdzenie 61

Niech funkcja

f

0

ma funkcję pierwotną na przedziale

I

. Wtedy dla

każdego

x ∈ I

Z

f

0

(x )dx = f (x ) + C ,

gdzie

C ∈ R

.

Twierdzenie 62

R 0dx = C

R x

a

dx =

x

a+1

a+1

+ C

R

1
x

dx = ln |x | + C

R e

x

dx = e

x

+ C

R sin xdx = − cos x + C

R cos xdx = sin x + C

Twierdzenie 63

Jeżeli funkcje

f

i

g

mają funkcje pierwotne, to

1.

R

(f (x ) ± g (x )) dx =

R

f (x)dx ±

R

g (x)dx

2.

R

(cf (x ))dx = c

R

f (x)dx

Twierdzenie 64 (O całkowaniu przez części)

Jeżeli funkcje

f

i

g

mają ciągłe pochodne, to

Z

f (x)g

0

(x )dx = f (x )g (x ) −

Z

f

0

(x )g (x )dx .

Twierdzenie 65 (O całkowaniu przez podstawienie)

Jeżeli

1.

funkcja

f : I → R

jest ciągła na przedziale

I

,

2.

funkcja

ϕ : J → I

ma ciągłą pochodną na przedziale

J

,

to

Z

f (x)dx =

Z

f (ϕ(t))ϕ

0

(t)dt = F (ϕ(t)) + C

gdzie

F

jest dowolną funkcją pierwotną funkcji

f

oraz

C ∈ R

.

8. Elementy geometrii analitycznej

8.1. Wektory

R

2

= {(x , y ) : x , y ∈ R}

R

3

= {(x , y , z) : x , y , z ∈ R}

Definicja 92

Wektor

−→

AB

to uporządkowana para punktów

A

,

B

, gdzie punkt

A

jest

początkiem wektora (punktem zaczepienia) a punkt

B

jego końcem.

Wektor – obiekt geometryczny mający wartość (długość), kierunek i
zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku.

Definicja 93

Wektorem swobodnym

−

→

u

w przestrzeni nazywamy zbiór wszystkich

wektorów zaczepionych, które mają ten sam kierunek, zwrot oraz długość.

Twierdzenie 66

Niech

−

→

u

,

−

→

v

,

−

→

w

będą dowolnymi wektorami i

α, β ∈ R

1.

−

→

u + −

→

v = −

→

v + −

→

u

,

2.

−

→

u + (−

→

v + −

→

w ) = (−

→

u + −

→

v ) + −

→

w

3.

−

→

u +

−

→

0 = −

→

u

4.

−

→

u + (−−

→

u ) =

−

→

0

5.

1 · −

→

u = −

→

u

6.

(αβ)−

→

u = α(β−

→

u )

7.

(α + β)−

→

u = α−

→

u + β−

→

u

8.

α(−

→

u + −

→

v ) = α−

→

u + α−

→

v

Definicja 94

Wektory

−

→

u

i

−

→

v

są współliniowe, gdy istnieje prosta w której zawarte są te

wektory. Wektory te nazywamy również równoległymi.
Wektory

−

→

u

i

−

→

v −

→

w

są współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna w której

zawarte są te wektory.
Jeżeli dwa wektory na płaszczyźnie nie są współliniowe to nazywamy je liniowo
niezależnymi.
Jeżeli trzy wektory w przestrzeni nie są współpłaszczyznowe to nazywamy je
liniowo niezależnymi.

8.2. Płaszczyzna

Niech

−

→

a = [a

x

, a

y

]

. Dla

i = [1, 0]

,

j = [0, 1]

mamy

−

→

a = a

x

i + a

y

j

.

Definicja 95

Iloczynem skalarnym wektorów niezerowych

−

→

a

i

−

→

b

nazywamy liczbę

równą

−

→

a ◦

−

→

b = |−

→

a ||

−

→

b | cos ϕ

gdzie

ϕ

jest kątem pomiędzy wektorami

−

→

a

i

−

→

b

. Jeżeli jeden z wektorów

jest wektorem zerowym to iloczyn skalarny jest równy zero.

Jeżeli

−

→

a = [a

x

, a

y

]

i

−

→

b = [b

x

, b

y

]

to

−

→

a ◦

−

→

b = a

x

b

x

+ a

y

b

y

.

Cosinus kąta pomiędzy niezerowymi wektorami

−

→

a

i

−

→

b

wynosi

cos ϕ =

a

x

b

x

+a

y

b

y

|−

→

a ||

−

→

b |

.

Lemat 1

Wektory

−

→

a

i

−

→

b

są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy

−

→

a ◦

−

→

b = 0

.

Lemat 2

Wektory

−

→

a

i

−

→

b

są równoległe wtedy i tylko wtedy gdy

det



a

x

a

y

b

x

b

y



= 0.

Twierdzenie 67

Jeżeli wektory

−

→

a

i

−

→

b

nie są równoległe to każdy wektor

−

→

c

można

wyrazić jako kombinację liniową wektorów

−

→

a

i

−

→

b

, tzn. istnieją liczby

α, β

takie, że

−

→

c = α−

→

a + β

−

→

b

.

Pole równoległoboku rozpiętego na wektorach

−

→

u

,

−

→

v

wynosi






det



u

x

u

y

v

x

v

y







.

8.3. Proste

Ax + By + C = 0

- równanie prostej w postaci ogólnej, gdzie

[A, B]

jest

wektorem prostopadłym do prostej.
Gdy prosta przechodzi przez punkty

(x

1

, y

1

)

i

(x

2

, y

2

)

to równanie ma

postać:

(x

2

− x

1

)(y − y

1

) = (y

2

− y

1

)(x − x

1

)

.

Gdy prosta przechodzi przez punkt

(x

1

, y

1

)

i jest prostopadła do wektora

[A, B]

to równanie ma postać:

A(x − x

1

) = B(y − y

1

)

.

y = ax + b

- równanie prostej w postaci kierunkowej, gdzie

a

jest

współczynnikiem kierunkowym prostej (

a = tg α

, gdzie

α

jest kątem

nachylenia prostej do osi

OX

).

x
a

+

y
b

= 1

- równanie odcinkowe prostej, gdzie

ab 6= 0

i

a, b

są odcinkami

(skierowanymi) wyznaczonymi przez prostą na osiach

OX

i

OY

.



x = x

0

+ at

y = y

0

+ bt

- równanie parametryczne prostej przechodzącej przez

punkt

(x

0

, y

0

)

i równoległej do wektora

[a, b]

.

Inny sposób zapisu równania parametrycznego (postać wektorowa):

[x , y ] = [x

0

, y

0

] + t[a, b]

.

Twierdzenie 68 (Warunki równoległości prostych)

Proste

A

1

x + B

1

y + C

1

i

A

2

x + B

2

y + C

2

są równoległe gdy

det



A

1

B

1

A

2

B

2



= 0.

Proste

y = a

1

x + b

1

i

a

2

x + b

2

są równoległe, gdy

a

1

= a

2

.

Twierdzenie 69 (Warunki prostopadłości prostych)

Proste

A

1

x + B

1

y + C

1

i

A

2

x + B

2

y + C

2

są prostopadłe gdy

[A

1

, B

1

] ◦ [A

2

, B

2

] = 0.

Proste

y = a

1

x + b

1

i

a

2

x + b

2

są prostopadłe, gdy

a

1

= −

1

a

2

.

Odległość punktów

P

1

= (x

1

, y

1

)

i

P

2

= (x

2

, y

2

)

dana jest wzorem

d (P

1

, P

2

) =

p

(x

2

− x

1

)

2

+ (y

2

− y

1

)

2

.

Odległość punktu od prostej wyraża się wzorem

d (P

0

, l ) =

|Ax

0

+ Bx

0

+ C |

√

A

2

+ B

2

.

8.4. Przestrzeń

R

3

−

→

a = [a

x

, a

y

, a

z

]

; dla

i = [1, 0, 0]

,

j = [0, 1, 0]

,

k = [0, 0, 1]

mamy

−

→

a = a

x

i + a

y

j + a

z

k

;

Definicja 96

Iloczynem skalarnym wektorów niezerowych

−

→

a

i

−

→

b

nazywamy liczbę

równą

−

→

a ◦

−

→

b = |−

→

a ||

−

→

b | cos ϕ,

gdzie

ϕ

jest kątem pomiędzy wektorami

−

→

a

i

−

→

b

. Jeżeli jeden z wektorów

jest wektorem zerowym to iloczyn skalarny jest równy zero.

Jeżeli

−

→

a = [a

x

, a

y

, a

z

]

i

−

→

b = [b

x

, b

y

, b

z

]

to

−

→

a ◦

−

→

b = a

x

b

x

+ a

y

b

y

+ a

z

b

z

.

Cosinus kąta pomiędzy niezerowymi wektorami

−

→

a

i

−

→

b

wynosi

cos ϕ =

a

x

b

x

+a

y

b

y

+a

z

b

z

|−

→

a ||

−

→

b |

.

Lemat 3

Wektory

−

→

a

i

−

→

b

są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy

−

→

a ◦

−

→

b = 0

.

Lemat 4

Wektory

−

→

a

,

−

→

b

i

−

→

c

są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy

det

"

a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z

c

x

c

y

c

z

#

= 0.

Twierdzenie 70

Jeżeli wektory

−

→

a

,

−

→

b

,

−

→

c

nie są współpłaszczyznowe to każdy wektor

−

→

d

można

wyrazić jako kombinację liniową wektorów

−

→

a

,

−

→

b

i

−

→

c

tzn. istnieją liczby

α, β, γ

takie, że

−

→

d = α−

→

a + β

−

→

b + γ−

→

c

.

Definicja 97

Niech

−

→

u

i

−

→

v −

→

w

będą wektorami w

R

3

. Mówimy że wektory

−

→

u

,

−

→

v

,

−

→

w

tworzą

układ o orientacji zgodnej z orientacją układu współrzędnych, gdy

det

"

u

x

u

y

u

z

v

x

v

y

v

z

w

x

w

y

w

z

#

> 0.

Gdy wyznacznik jest ujemny to mówimy że orientacja układu jest przeciwna.

Definicja 98

Niech

−

→

u

i

−

→

v

będą niewspółliniowymi wektorami w

R

3

. Iloczynem wektorowym

uporządkowanej pary wektorów

−

→

u

i

−

→

v

nazywamy wektor

−

→

w

, który spełnia

warunki:

1.

jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach

−

→

v

i

−

→

v

2.

jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach

−

→

u

i

−

→

v

, tzn

|−

→

u | · |−

→

v | sin ϕ

gdzie

ϕ

jest kątem pomiędzy wektorami

−

→

u

i

−

→

v

3.

orientacja trójki wektorów

−

→

u

,

−

→

v

,

−

→

w

jest zgodna z orientacją układu

współrzędnych

Oxyz

Iloczyn wektorowy wektorów

−

→

u

i

−

→

v

oznaczamy przez

−

→

u × −

→

v

. Jeżeli jeden z

wektorów jest wektorem zerowym lub wektory te są współliniowe to iloczyn
wektorowy jest równy wektorowi zerowemu.

Twierdzenie 71

−

→

u × −

→

v = det

"

i

j

k

u

x

u

y

u

z

v

x

v

y

v

z

#

Definicja 99

Niech

−

→

u

,

−

→

v

,

−

→

w

będą wektorami w

R

3

. Iloczyn mieszany uporządkowanej

trójki wektorów

−

→

u

i

−

→

v −

→

w

określamy następująco:

(−

→

u , −

→

v , −

→

w ) = (−

→

u × −

→

v ) ◦ −

→

w .

Objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach

−

→

u

,

−

→

v

,

−

→

w

wynosi

|(−

→

u , −

→

v , −

→

w )|

(−

→

u , −

→

v , −

→

w ) = det





u

x

u

y

u

z

v

x

v

y

v

z

w

x

w

y

w

z





.

8.5. Proste i płaszczyzny w przestrzeni

R

3

Ax + By + Cz + D = 0

- równanie płaszczyzny w postaci ogólnej, gdzie

[A, B, C ]

jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny.







x = x

0

+ a

1

t + b

1

s

y = y

0

+ b

1

t + b

2

s

z = z

0

+ c

1

t + c

2

s

- równanie parametryczne płaszczyzny

przechodzącej przez punkt

(x

0

, y

0

, z

0

)

i rozpiętej na wektorach

[a

1

, b

1

, c

1

]

,

[a

2

, b

2

, c

2

]

.







x = x

0

+ a

1

t

y = y

0

+ b

1

t

z = z

0

+ c

1

t

- równanie parametryczne prostej przechodzącej przez

punkt

(x

0

, y

0

, z

0

)

i równoległej do wektora

[a

1

, b

1

, c

1

]

.



A

1

x + B

1

y + C

1

z = D

1

A

2

x + B

2

y + C

2

z = D

2

-równanie krawędziowe prostej

8.6. Interpretacja geometryczna układów

ax + by = c

- równanie prostej na płaszczyźnie



a

1

x + b

1

y = c

1

a

2

x + b

2

y = c

2

- dwie proste na płaszczyźnie







a

1

x + b

1

y = c

1

a

2

x + b

2

y = c

2

a

3

x + b

3

y = c

3

- trzy proste na płaszczyźnie

ax + by + cz = d

- równanie płaszczyzny







a

1

x + b

1

y + c

1

= d

1

a

2

x + b

2

y + c

2

= d

2

a

3

x + b

3

y + c

3

= d

3

- trzy płaszczyzny

9. Elementy rachunku prawdopodobieństwa
i statystyki matematycznej

Definicja 100 (Klasyczna definicja prawdopodobieństwa)

Jeżeli wszystkie zdarzenia elementarne należące do zbioru

Ω

są

jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia

A

(

A ⊂ Ω

) wyraża sie wzorem

P(A) =

¯

¯

A

¯

¯

Ω

.

Twierdzenie 72

Jeżeli

Ω

jest zbiorem zdarzeń elementarnych, a

P

prawdopodobieństwem

określonym na zdarzeniach zawartych w zbiorze

Ω

, to dla dowolnych

A, B ⊂ Ω

(i)

P(A) 6 1

,

(ii)

P(A) = 1 − P(A

0

)

, gdzie

A

0

jest zdarzeniem przeciwnym do

A

,

(iii)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

.

Definicja 101

Zdarzenia

A

i

B

(

A, B ⊂ Ω

) nazywamy niezależnymi, gdy

P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Twierdzenie 73 (Schemat Bernoulliego)

Prawdopodobieństwo

P(S

n

= k)

uzyskania

k

sukcesów w

n

próbach

Bernoulliego wyraża się wzorem

P(S

n

= k) =

n

k



p

k

(1 − p)

n−k

,

gdzie

p

jest prawdopodobieństwem sukcesu w jednej próbie.

Twierdzenie 74

Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia

A

pod warunkiem,

że zaszło zdarzenie

B

, gdzie

P(B) > 0

nazywamy liczbę

P(A/B)

określoną wzorem

P(A/B) =

P(A ∩ B)

P(B)

.

Twierdzenie 75 (Prawdopodobieństwo całkowite)

Jeżeli zdarzenia

B

1

, B

2

, ..., B

n

⊂ Ω

są takimi zdarzeniami, że

(i)

B

i

∪ B

j

= ∅

dla

i 6= j

(są parami rozłączne),

(ii)

P(B

k

) > 0

dla każdego

k ∈ {1, 2, ..., n}

,

(iii)

B

1

∪ B

2

∪ ... ∪ B

n

= Ω

,

to dla dowolnego zdarzenia

A ⊂ Ω

mamy

P(A) = P(A/B

1

) · P(B

1

) + P(A/B

2

) · P(B

2

) + ... + P(A/B

n

) · P(B

n

).

Definicja 102

Liczbę:
(i)

x

A

=

x

1

+x

2

+...+x

n

n

nazywamy średnią arytmetyczną,

(ii)

x

G

=

n

√

x

1

· x

2

· ... · x

n

nazywamy średnią geometryczną,

(iii)

x

H

=

n

1

x1

+

1

x2

+...+

1

xn

nazywamy średnią harmoniczną

liczb

x

1

, x

2

, ..., x

n

.

Definicja 103

Wariancją zestawu danych

x

1

, x

2

, ..., x

n

nazywamy liczbę

σ

2

=

(x

1

− x

A

)

2

+ (x

2

− x

A

)

2

+ ... + (x

n

− x

A

)

2

n

,

gdzie

x

A

oznacza średnią arytmetyczną liczb

x

1

, x

2

, ..., x

n

.

Definicja 104

Niech

σ

2

oznacza wariancję pewnego zestawu danych. Odchyleniem

standardowym tego zestawu danych nazywamy liczbę

σ =

√

σ

2

.