Matematyka 2 wykład

Elementy wykªadu z Matematyki 2

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

Politechnika ódzka, ód¹ 2014

Spis tre±ci

Wst¦p

1 Caªka oznaczona

1.1 Zastosowania geometryczne caªki oznaczonej . . . . . . . . . . . . . .

2 Caªka niewªa±ciwa

2.1 Caªka niewªa±ciwa pierwszego rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Kryteria zbie»no±ci caªek niewªa±ciwych pierwszego rodzaju . . . . . . 13
2.3 Caªka niewªa±ciwa drugiego rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Geometria

3.1 Wektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Pªaszczyzna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Prosta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Przestrzenie metryczne

4.1 Rodzaje zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Ci¡gi w przestrzeniach metrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Funkcje rzeczywiste wielu zmiennych

5.1 Granica i ci¡gªo±¢ funkcji dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . 24

6 Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych

6.1 Pochodne kierunkowe, cz¡stkowe i ró»niczkowalno±¢ funkcji . . . . . . 28
6.2 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7 Funkcje uwikªane

8 Caªki wielokrotne

8.1 Wªasno±ci caªki podwójnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.2 Zamiana zmiennych w caªkach podwójnych . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.3 Caªki potrójna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.4 Wªasno±ci caªki potrójnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.5 Zamiana zmiennych w caªkach potrójnych . . . . . . . . . . . . . . . 46

9 Caªki krzywoliniowe nieskierowane

9.1 Równania parametryczne ªuków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9.2 Zastosowania caªki nieskierowanej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

10 Caªki krzywoliniowe skierowane

10.1 Zastosowania caªki skierowanej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

Wst¦p

Zakres tematyki wykªadu z Matematyki 2 obejmuje nast¦puj¡ce zaganienia:
Caªka oznaczona.
Caªka niewªa±ciwa.
Funkcje wielu zmiennych.
Granice funkcji wielu zmiennych, ci¡gªo±¢ i ograniczono±¢.
Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych.
Pochodne cz¡stkowe.
Pochodna kierunkowa i jej zwi¡zek z pochodnymi cz¡stkowymi.
Ekstrema lokalne, globalne funkcji wielu zmiennych.
Funkcja uwikªana jednej zmiennej.
Caªki krzywoliniowe nieskierowane.
Caªki krzywoliniowe skierowane.

Niniejsza publikacja nie zawiera wszystkich tre±ci przekazywanych podczas wy-

kªadu.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

1 Caªka oznaczona

Rozdziaª 1

Caªka oznaczona

Niech a, b ∈ R, a < b.

Podziaªem przedziaªu [a, b] nazywamy zbiór P

= {x

, x

, ..., x

gdzie

a = x

< x

< ... < x

= b.

Niech M x

= x

− x

k−1

oznacza dªugo±¢ k-tego odcinka podziaªu P

gdzie 1 ≤ k ≤

rednic¡ podziaªu P

nazywamy liczb¦ δ(P

) = max{M x

: 1 ≤ k ≤ n}.

Punktem po±rednim k-tego odcinka podziaªu P

gdzie 1 ≤ k ≤ n nazy-

wamy x

∗
k

∈ [x

k−1

, x

Denicja 1.1

Niech f b¦dzie funkcj¡ ograniczon¡ na przedziale [a, b] oraz P

dowol-

nym podziaªem przedziaªu [a, b].
Sum¡ caªkow¡ funkcji f na przedziale [a, b] odpowiadaj¡c¡ podziaªowi P

oraz

punktom po±rednim x

tego podziaªu, gdzie 1 ≤ k ≤ n, nazywamy liczb¦

(f, P

) :=

k=1

f (x

∗
k

) M x

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

1 Caªka oznaczona

Denicja 1.2 (Caªka oznaczona Riemanna)

Niech f b¦dzie funkcj¡ ograniczon¡

na przedziale [a, b] oraz P

dowolnym podziaªem przedziaªu [a, b].

Caªk¦ oznaczon¡ Riemanna z funkcji f na przedziale [a, b] deniujemy wzorem

f (x)dx :=

lim

δ(P

)→0

(f, P

o ile istnieje granica wªa±ciwa wyst¦puj¡ca po prawej stronie znaku równo±ci oraz
granica ta nie zale»y od sposobu wyboru podziaªów P

przedziaªu [a, b] ani od spo-

sobu wyboru punktów po±rednich x

∗
k

gdzie 1 ≤ k ≤ n.

Ponadto przyjmujemy

f (x)dx := 0

oraz

f (x)dx := −

f (x)dx.

Funkcj¦, dla której istnieje caªka oznaczona Riemanna na [a, b] nazywamy funk-

cj¡ caªkowaln¡ w sensie Riemanna na przedziale [a, b].
Rodzin¦ funkcji caªkowalnych na przedziale [a, b] oznaczamy przez R[a, b].

Uwaga: Ka»da funkcja caªkowalna jest ograniczona, ale nie ka»da funkcja ograniczona na

przedziale jest na nim caªkowalna np. funkcja Dirichleta na przedziale [0, 1].

Twierdzenie 1.1

Je»eli funkcja f jest caªkowalna na przedziale I = [a, b], to jest

rownie» caªkowalna na ka»dym podprzedziale [c, d] ⊂ I.

Twierdzenie 1.2

Je»eli funkcja f jest caªkowalna na przedziale I, za± ϕ jest funkcj¡

ci¡gª¡, to funkcja ϕ ◦ f jest caªkowalna na I.

Twierdzenie 1.3

Je»eli a = t

< t

n−1

< t

= b

oraz f jest caªkowalna na ka»dym

przedziale [t

, t

i+1

gdzie i ∈ {0, 1, ..., n − 1}, to f jest caªkowalna na [a, b].

Twierdzenie 1.4 (Warunek wystarczaj¡cy caªkowalno±ci)

Je±li funkcja f jest

ograniczona na przedziale [a, b] i ma na tym przedziale sko«czon¡ liczb¦ punktów
nieci¡gªo±ci I rodzaju, to jest na nim caªkowalna.

Uwaga: Z powy»szego twierdzenia wynika, »e funkcja ci¡gªa na przedziale jest na nim caªko-

walna. Z drugiej strony funkcja caªkowalna na przedziale mo»e mie¢ niesko«czenie wiele punktów
nieci¡gªo±ci.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

1 Caªka oznaczona

Twierdzenie 1.5

Je»eli funkcja f jest monotoniczna i ograniczona na przedziale [a, b],

to jest caªkowalna na [a, b].

Twierdzenie 1.6

Je»eli funkcje f i g s¡ caªkowalne na przedziale [a, b], to

funkcja f + g jest caªkowalna oraz

(f (x) + g(x))dx =

f (x)dx +

g(x)dx;

dla dowolnej liczby c ∈ R, funkcja c · f jest caªkowalna oraz

c · f (x)dx = c ·

f (x)dx.

Twierdzenie 1.7

Je»eli funkcje f i g s¡ caªkowalne na przedziale [a, b], to

funkcja h ◦ f jest caªkowalna dla dowolnej funkcji h ci¡gªej na f([a, b]);

funkcja |f| jest caªkowalna;

funkcja f · g jest caªkowalna.

Twierdzenie 1.8

Niech funkcja f b¦dzie caªkowalna na przedziale [a, b] oraz niech

funkcja g ró»ni si¦ od funkcji f tylko w sko«czonej liczbie punktow tego przedziaªu.
Wówczas funkcja g tak»e jest caªkowalna na przedziale [a, b] oraz

g(x)dx =

f (x)dx.

Twierdzenie 1.9 (Addytywno±¢ caªki wzgl¦dem przedziaªu caªkowania)

Je»eli

funkcja f jest caªkowalna na przedziale [a, b] oraz c ∈ [a, b], to

f (x)dx =

f (x)dx +

f (x)dx.

Twierdzenie 1.10 (Monotoniczno±¢ caªki oznaczonej)

Je»eli funkcje f i g speª-

niaj¡ warunki

1. s¡ caªkowalne na przedziale [a, b],

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

1 Caªka oznaczona

2. ∀

∈ [a, b] f (x) ≤ g(x),

f (x)dx ≤

g(x)dx.

Uwaga: Je»eli nierówno±¢ w zaªo»eniu Twierdzenia 1.10 jest ostra, to tak»e nierówno±¢ w tezie

jest ostra.

Twierdzenie 1.11 (Newtona - Leibnitza, I podstawowe twierdzenie rachunku caª-
kowego)

Je»eli funkcja f : [a, b] → R jest ci¡gªa na przedziale [a, b], to

f (x)dx = F (b) − F (a),

gdzie F oznacza dowoln¡ funkcj¦ pierwotn¡ funkcji f na tym przedziale.
Ró»nic¦ F (b) − F (a) oznaczamy F (x)|

b
a

Twierdzenie 1.12

Je»eli funkcja f jest caªkowalna na [−a, a], gdzie a > 0, oraz

f jest parzysta, to

−a

f (x)dx = 2

f (x)dx;

f jest nieparzysta, to

−a

f (x)dx = 0;

f ma okres T , to

a+T

f (x)dx =

f (x)dx.

Twierdzenie 1.13 (O caªkowaniu przez cz¦±ci)

Je»eli funkcje f i g maj¡ ci¡gªe

pochodne, to

f (x)g

(x)dx = f (x)g(x)|

b
a

−

(x)g(x)dx.

Twierdzenie 1.14 (O caªkowaniu przez podstawienie)

Je»eli

1. funkcja g : [α, β]

−

→

[a, b]

ma ci¡gª¡ pochodn¡ na [α, β],

2. g(α) = a, g(β) = b,

3. funkcja f : [a, b] → R jest ci¡gªa na [a, b],

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

1.1 Zastosowania geometryczne caªki oznaczonej

f (x)dx =

f (g(t))g

(t)dt.

Twierdzenie 1.15

Je»eli funkcja f jest caªkowalna na przedziale [a, b] oraz istniej¡

takie liczby m, M ∈ R, »e

∀

x∈[a,b]

m ≤ f (x) ≤ M,

m(b − a) ≤

f (x)dx ≤ M (b − a).

Denicja 1.3

Niech funkcja f b¦dzie caªkowalna na przedziale [a, b]. Warto±ci¡

±redni¡ funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy liczb¦

f±r :=

b − a

f (x)dx.

Twierdzenie 1.16 (caªkowe o warto±ci ±redniej)

Je»eli funkcja f : [a, b] → R jest

ci¡gªa na przedziale [a, b], to

∃

c∈[a,b]

f±r = f(c),

tzn.

∃

c∈[a,b]

f (x)dx = (b − a)f (c).

1.1 Zastosowania geometryczne caªki oznaczonej

Pole gury pªaskiej

Twierdzenie 1.17

Niech krzywa AB b¦dzie okre±lona równaniem y = f(x) dla

x ∈ [a, b],

gdzie f jest funkcj¡ dodatni¡ i ci¡gª¡ na przedziale [a, b]. Wówczas

pole |P | trapezu krzywoliniowego ograniczonego krzyw¡ AB oraz prostymi
y = 0, x = a

oraz x = b, wyra»a si¦ wzorem:

|P | =

f (x)dx.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

1.1 Zastosowania geometryczne caªki oznaczonej

Wniosek 1

Je»eli krzywa AB ograniczaj¡ca z góry trapez krzywoliniowy P opisany w Twier-
dzeniu 1.17 jest okre±lona za pomoc¡ równa« parametrycznych

x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β],

(1.1)

gdzie x = a dla t = α, x = b dla t = β, funkcje x i y maj¡ ci¡gªe pochodne oraz y
jest dodatnia w przedziale [a, b], za± krzywa AB nie ma punktów wielokrotnych, to
pole trapezu krzywoliniowego |P | wyra»a si¦ wzorem

|P | =

y(t) · x

(t)dt.

Wniosek 2

Je»eli trapez krzywoliniowy P okre±lony jest nast¦puj¡co

P = {(x, y) ∈ R

: a ≤ x ≤ b ∧ f

(x) ≤ y ≤ f

(x)},

gdzie funkcje f

i f

s¡ ci¡gªe na przedziale [a, b] oraz f

(x) ≤ f

(x)

dla ka»dego

x ∈ [a, b],

to pole trapezu krzywoliniowego wyra»a si¦ wzorem

|P | =

(x) − f

(x)) dx.

Twierdzenie 1.18

Niech AOB b¦dzie wycinkiem ograniczonym krzyw¡ AB i dwoma

promieniami wodz¡cymi OA i OB (z których ka»dy mo»e by¢ punktem) oraz niech
krzywa AB b¦dzie okre±lona równaniem biegunowym

r = g(θ), θ ∈ [θ

, θ

gdzie g jest funkcj¡ ci¡gª¡ i dodatni¡ w przedziale [θ

, θ

Wówczas pole |P | wycinka

AOB

ograniczonego ªukiem danej krzywej oraz promieniami wodz¡cymi OA i OB

wyra»a si¦ wzorem

|P | =

(g(θ))

dθ.

Wniosek 3

Je»eli krzywa AB jest okre±lona równaniami parametrycznymi (1.1) i speªnia zaªo-
»enia Wniosku 1, to pole wycinka AOB wyra»a si¦ wzorem

|P | =

(x(t) · y

(t) − x

(t) · y(t)) dt.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

1.1 Zastosowania geometryczne caªki oznaczonej

Dªugo±¢ ªuku krzywej

Twierdzenie 1.19

Je»eli ªuk l dany jest równaniami parametrycznymi

x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β],

przy czym l nie ma punktów wielokrotnych oraz funkcje x i y posiadaj¡ ci¡gªe
pochodne na przedziale [a, b], to dªugo±¢ |l| ªuku l wyra»a si¦ wzorem

|l| =

(t))

+ (y

(t))

dt.

Twierdzenie 1.20

Je»eli ªuk l dany jest równaniem jawnym y = f(x), x ∈ [a, b], gdzie

jest funkcj¡ posiadaj¡c¡ ci¡gª¡ pochodn¡ na przedziale [a, b], to dªugo±¢ |l| tego

ªuku wyra»a si¦ wzorem

|l| =

1 + (f

(x))

dx.

Twierdzenie 1.21

Je»eli ªuk l dany jest równaniem biegunowym

r = g(θ), θ ∈ [θ

, θ

gdzie g jest nieujemn¡ funkcj¡ posiadaj¡c¡ pochodn¡ ci¡gª¡ na przedziale [θ

, θ

dªugo±¢ |l| ªuku l wyra»a si¦ wzorem

|l| =

(θ) + (g

(θ))

dθ.

Obj¦to±¢ bryªy obrotowej

Twierdzenie 1.22

Niech S(x), gdzie x ∈ [a, b], oznacza pole przekroju bryªy

pªaszczyzn¡ prostopadª¡ do osi Ox w przestrzeni X oraz niech S b¦dzie

funkcj¡ ci¡gª¡ na przedziale [a, b]. Wtedy obj¦to±¢ bryªy V wyra»a si¦ wzorem

|V | =

S(x)dx.

Twierdzenie 1.23

Niech

D = {(x, y) ∈ R

: a ≤ x ≤ b ∧ 0 ≤ y ≤ f (x)},

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

1.1 Zastosowania geometryczne caªki oznaczonej

gdzie f jest funkcj¡ ci¡gª¡ na przedziale [a, b], oznacza trapez krzywoliniowy. Wtedy
obj¦to±¢ bryªy V powstaªej z obrotu trapezu krzywoliniowego D wokóª osi 0x wyra»a
si¦ wzorem

|V | = π

(x)dx.

Pole powierzchni obrotowej

Twierdzenie 1.24

Niech krzywa AB b¦dzie dana równaniem y = f(x), x ∈

[a, b],

gdzie f jest funkcj¡ nieujemn¡ posiadaj¡c¡ ci¡gª¡ pochodn¡ na przedziale

[a, b].

Wówczas pole powierzchni S powstaªej w wyniku obrotu krzywej AB

dokoªa osi Ox wyra»a si¦ wzorem

|S| = 2π

f (x)

1 + (f

(x))

dx.

Twierdzenie 1.25

Niech krzywa AB b¦dzie dana równaniami parametrycznymi

x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β],

gdzie funkcje x i y posiadaj¡ ci¡gªe pochodne i y jest nieujemna na przedziale [α, β],
oraz krzywa AB nie posiada punktów wielokrotnych. Wówczas pole powierzchni S
powstaªej w wyniku obrotu krzywej AB wokóª osi Ox wyra»a si¦ wzorem

|S| = 2π

y(t)

(t))

+ (y

(t))

dt.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

2 Caªka niewªa±ciwa

Rozdziaª 2

Caªka niewªa±ciwa

2.1 Caªka niewªa±ciwa pierwszego rodzaju

Niech funkcja f b¦dzie caªkowalna na ka»dym przedziale domkni¦tym zawartym w
jej dziedzinie.

Denicja 2.1 (Caªka niewªa±ciwa pierwszego rodzaju)

Niech f : [a, +∞) → R.

Caªk¡ niewªa±ciw¡ funkcji f na przedziale [a, +∞) nazywamy granic¦ lim

β→+∞

f (x)dx

i oznaczamy

+∞

f (x)dx.

Je»eli granica po prawej stronie znaku równo±ci jest wªa±ciwa, to mówimy, »e caªka
niewªa±ciwa funkcji f na [a, +∞) jest zbie»na.
Je»eli granica ta jest równa +∞ lub −∞, to mówimy, »e caªka jest rozbie»na od-
powiednio do +∞ lub do −∞.
W pozostaªych przypadkach mówimy, »e caªka jest rozbie»na.

Denicja 2.2

Niech f : (−∞, b] → R. Caªk¡ niewªa±ciw¡ funkcji f na przedziale

(−∞, b]

nazywamy

−∞

f (x)dx := lim

α→−∞

f (x)dx.

Denicja 2.3

Niech f : R → R. Caªk¡ niewªa±ciw¡ z funkcji f na prostej

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

2.2 Kryteria zbie»no±ci caªek niewªa±ciwych pierwszego rodzaju

(−∞, +∞)

nazywamy

+∞

−∞

f (x)dx :=

−∞

f (x)dx +

+∞

f (x)dx,

gdzie a oznacza dowoln¡ liczb¦ rzeczywist¡.
Je»eli obie caªki po prawej stronie znaku równo±ci s¡ zbie»ne, to mówimy, »e caªka
niewªa±ciwa funkcji f na (−∞, +∞) jest zbie»na.

Uwaga: Zbie»no±¢ caªki niewªa±ciwej na (−∞, +∞) nie zale»y od wyboru liczby a.

Wnioski:

1. Caªka niewªa±ciwa postaci

+∞

gdzie a > 0, jest zbie»na dla p > 1 i

rozbie»na do +∞ dla p ≤ 1.

2. Analogiczny fakt jest prawdziwy dla caªek

−∞

gdzie b < 0, o ile funkcja

podcaªkowa jest poprawnie okre±lona.

2.2 Kryteria zbie»no±ci caªek niewªa±ciwych pierw-

szego rodzaju

Twierdzenie 2.1 (Kryterium porównawcze)

Niech funkcje f i g speªniaj¡ warunek

∀

x∈[a,∞)

0 ≤ f (x) ≤ g(x).

Wówczas

je»eli caªka

+∞

g(x)dx

jest zbie»na, to tak»e caªka

+∞

f (x)dx

jest zbie»na;

je»eli caªka

+∞

f (x)dx

jest rozbie»na, to tak»e caªka

+∞

g(x)dx

jest roz-

bie»na.

Uwaga: Twierdzenie to zachodzi tak»e dla funkcji f i g niedodatnich. Ponadto prawdziwe jest

analogiczne twierdzenie dla caªek niewªa±ciwych na póªprostej (−∞, b].

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

2.3 Caªka niewªa±ciwa drugiego rodzaju

Twierdzenie 2.2 (Kryterium ilorazowe)

Niech funkcje f i g b¦d¡ dodatnie (ujemne)

na póªprostej [a, ∞) oraz niech speªniaj¡ warunek

lim

x→+∞

f (x)

g(x)

= k,

gdzie 0 < k < +∞.

Wówczas caªki

+∞

f (x)dx

+∞

g(x)dx

s¡ jednocze±nie zbie»ne albo rozbie»ne.

2.3 Caªka niewªa±ciwa drugiego rodzaju

Denicja 2.4 (Caªka niewªa±ciwa drugiego rodzaju)

Niech funkcja f : (a, b] → R

b¦dzie nieograniczona tylko na prawostronnym s¡siedztwie punktu a oraz caªkowalna
na ka»dym przedziale domkni¦tym zawartym w jej dziedzinie.
Caªk¦ niewªa±ciw¡ drugiego rodzaju funkcji f na przedziale (a, b] deniu-
jemy nast¦puj¡co:

f (x)dx := lim

α→a

f (x)dx.

Je»eli granica po prawej stronie znaku równo±ci jest wªa±ciwa, to mówimy, »e caªka
niewªa±ciwa z funkcji f na (a, b] jest zbie»na.
Je»eli granica ta jest równa +∞ lub −∞, to mówimy, »e caªka jest rozbie»na
odpowiednio do +∞ lub −∞.
W pozostaªych przypadkach mówimy, »e caªka jest rozbie»na.

Uwaga: Analogicznie deniuje si¦ caªk¦ niewªa±ciw¡ drugiego rodzaju funkcji f : [a, b) → R

nieograniczonej na lewostronnym s¡siedztwie punktu b:

f (x)dx := lim

β→b

−

f (x)dx.

Denicja 2.5

Niech funkcja f : [a, c) ∪ (c, b] → R b¦dzie nieograniczona tylko na obu

jednostronnych s¡siedztwach punktu c. Caªk¦ niewªa±ciw¡ funkcji f na prze-
dziale [a, b] deniujemy nast¦puj¡co:

f (x)dx :=

f (x)dx +

f (x)dx.

Je»eli obie caªki po prawej stronie znaku równo±ci s¡ zbie»ne to mówimy, »e caªka
niewªa±ciwa funkcji f na [a, b] jest zbie»na.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

2.3 Caªka niewªa±ciwa drugiego rodzaju

Denicja 2.6

Je»eli f : (a, b) → R jest nieograniczona na prawostronnym s¡siedztwie

punktu a i na lewostronnym s¡siedztwie punktu b, to caªk¦ niewªa±ciw¡ funkcji
f

na przedziale (a, b) deniujemy nast¦puj¡co:

f (x)dx :=

f (x)dx +

f (x)dx,

gdzie d jest dowolnym punktem przedziaªu (a, b), przy czym zbie»no±¢ powy»szej
caªki niewªa±ciwej nie zale»y od wyboru punktu d.

Uwagi:

Dla caªek niewªa±ciwych drugiego rodzaju (analogicznie jak dla caªek niewªa±ciwych pierw-

szego rodzaju) caªka niewªa±ciwa postaci

gdzie b > 0 jest zbie»na dla p < 1 i

rozbie»na do +∞ dla p ≥ 1.

Dla caªek niewªa±ciwych drugiego rodzaju funkcji f na przedziale (a, b] (lub [a, b)) prawdziwe

s¡ kryteria zbie»no±ci porównawcze i ilorazowe analogiczne jak dla caªek pierwszego rodzaju.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

3 Geometria

Rozdziaª 3

Geometria

3.1 Wektory

Denicja 3.1 (Punkty i wektory)

Rozwa»my przestrze« uporz¡dkowanych trójek

Elementy przestrzeni R

nazywamy

punktami i oznaczamy je wtedy przez A, B, itd. lub (a

, a

), (b

, b

);

wektorami i oznaczamy je wtedy przez −

→

−

→

lub [a

, a

], [b

, b

Elementy przestrzeni R nazywamy skalarami.

Denicja 3.2

Wektor [0, 0, 0] nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy go sym-

bolem

−

→

lub ϑ.

Wektory [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] nazywamy wersorami osi odpowiednio Ox, Oy i
Oz

i oznaczamy symbolami

i, b

j, b

Denicja 3.3 (Wektory równe)

Wektory [a

, a

]

i [b

, b

]

s¡ równe, gdy

= b

, a

= b

oraz a

= b

Denicja 3.4 (Dziaªania na wektorach)

Niech −

→

a = [a

, a

]

−

→

b = [b

, b

]

oraz α ∈ R.
Deniujemy nast¦puj¡ce dziaªania na wektorach:

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

3.1 Wektory

suma wektorów −

→

−

→

to wektor

−

→

a +

−

→

b := [a

+ b

, a

+ b

, a

+ b

];

iloczyn wektora −

→

przez skalar α to wektor

−

→

αa := [αa

, αa

Denicja 3.5 (Dªugo±¢ wektora)

Niech −

→

a = [a

, a

Dªugo±ci¡ wektora −

→

nazywamy liczb¦

|−

→

a | :=

+ a

Denicja 3.6 (Iloczyn skalarny)

Niech −

→

a = [a

, a

]

oraz

−

→

b = [b

, b

Iloczynem skalarnym wektorów −

→

−

→

nazywamy liczb¦

−

→

a ◦

−

→

b := a

· b

+ a

· b

+ a

· b

Twierdzenie 3.1

Iloczyn skalarny wektorów −

→

−

→

wynosi

−

→

a ◦

−

→

b = |−

→

a ||

−

→

b | cos ∠(

−

→

a ,

−

→

b ).

Twierdzenie 3.2

Dla dowolnych wektorów −

→

−

→

prawdziwa jest równowa»no±¢

−

→

a ◦

−

→

b = 0 ⇔ −

→

a ⊥

−

→

b .

Denicja 3.7 (Iloczyn wektorowy)

Niech −

→

a = [a

, a

]

oraz

−

→

b = [b

, b

Iloczynem wektorowym wektorów −

→

−

→

nazywamy wektor

−

→

a ×

−

→

b :=

i −

j +

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

3.2 Pªaszczyzna

Twierdzenie 3.3

Dla dowolnych wektorów −

→

−

→

mamy

−

→

a ×

−

→

b = −

−

→

b × −

→

a ;

−

→

a ×

−

→

b ⊥ −

→

oraz −

→

a ×

−

→

b ⊥

−

→

b ;

|−

→

a ×

−

→

b | = |−

→

a ||

−

→

b | sin ∠(

−

→

a ,

−

→

b );

−

→

a ×

−

→

b = ϑ ⇔ −

→

a ||

−

→

b .

Denicja 3.8 (Iloczyn mieszany)

Niech −

→

a ,

−

→

b , −

→

c ∈ R

Iloczynem mieszanym

wektorów −

→

a ,

−

→

oraz −

→

nazywamy liczb¦ okre±lon¡ wzorem

(−

→

a ×

−

→

b ) ◦ −

→

c .

Twierdzenie 3.4

Dla dowolnych wektorów −

→

−

→

mamy

(−

→

a ×

−

→

b ) ◦ −

→

c =

3.2 Pªaszczyzna

Denicja 3.9 (Równanie parametryczne pªaszczyzny)

Niech P

, y

, z

) ∈ R

oraz −

→

a = [a

, a

]

−

→

b = [b

, b

]

niech b¦d¡ wektorami nierównolegªymi.

Wówczas równania











x = x

+ a

t + b

y = y

+ a

t + b

z = z

+ a

t + b

gdzie t, s ∈ R, opisuj¡ pªaszczyzn¦ π tak¡, »e P

∈ π

oraz −

→

a ||π||

−

→

i nazywaj¡ si¦

równaniami parametrycznymi pªaszczyzny π.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

3.3 Prosta

Denicja 3.10 (Równanie ogólne pªaszczyzny)

Niech P

, y

, z

) ∈ R

oraz

−

→

n = [A, B, C].

Wówczas równanie

A(x − x

) + B(y − y

) + C(z − z

) = 0

opisuje pªaszczyzn¦ π tak¡, »e P

∈ π

oraz −

→

n ⊥ π

i nazywa si¦ równaniem ogól-

nym pªaszczyzny π.

Denicja 3.11 (Równanie parametryczne prostej)

Niech P

, y

, z

) ∈ R

oraz

−

→

a = [a

, a

]

Wówczas równania











x = x

+ a

y = y

+ a

z = z

+ a

gdzie t ∈ R, opisuj¡ prost¡ l tak¡, »e P

∈ l

oraz −

→

a ||l

i nazywaj¡ si¦ równaniami

parametrycznymi prostej l.

Denicja 3.12 (Równanie kierunkowe prostej)

Niech P

, y

, z

) ∈ R

oraz

−

→

a = [a

, a

Wówczas równania

x − x

y − y

z − z

opisuj¡ prost¡ l tak¡, »e P

∈ l

oraz −

→

a ||l

i nazywa si¦ równaniami kierunkowymi

prostej l.

Denicja 3.13 (Równanie kraw¦dziowe prostej)

Niech π

: A

x + B

y + C

z +

= 0

oraz π

: A

x + B

y + C

z + D

= 0

b¦d¡ pªaszczyznami nierównolegªymi.

Wówczas równania

(

x + B

y + C

z + D

= 0

x + B

y + C

z + D

= 0

opisuj¡ prost¡ l i nazywa si¦ je równaniami kraw¦dziowymi prostej l.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

4 Przestrzenie metryczne

Rozdziaª 4

Przestrzenie metryczne

4.1 Rodzaje zbiorów

Denicja 4.1 (Przestrze« metryczna)

Niech X b¦dzie dowolnym zbiorem niepu-

stym.
Funkcj¦ d : X × X → R nazywamy metryk¡ (lub funkcj¡ odlegªo±ci), je»eli
speªnione s¡ nast¦puj¡ce warunki:

1. ∀

x,y∈X

d(x, y) ≥ 0,

2. ∀

x,y∈X

(d(x, y) = 0 ⇔ x = y),

3. ∀

x,y∈X

d(x, y) = d(y, x).

4. ∀

x,y,z∈X

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Par¦ uporz¡dkowan¡ (X, d), gdzie d jest metryk¡, nazywamy przestrzeni¡ me-
tryczn¡. Zbiór X nazywamy zbiorem punktów przestrzeni metrycznej (X, d),
za± warto±¢ funkcji d dla ustalonych x, y ∈ X, tj. d(x, y), nazywamy odlegªo±ci¡
punktów x i y.

Uwaga 4.1

Niech X = R

oraz

d(x, y) :=

v
u
u
t

i=1

− y

)

gdzie x = (x

, ..., x

), y = (y

, ..., y

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

4.1 Rodzaje zbiorów

Dowodzi si¦, »e funkcja d jest metryk¡.
Tak zdeniowan¡ przestrze« metryczn¡ (X, d) nazywamy przestrzeni¡ euklide-
sow¡ n - wymiarow¡, za± funkcj¦ d - metryk¡ euklidesow¡.
W szczególnym przypadku, dla n = 1, metryka euklidesowa w zbiorze R przyjmuje
posta¢

d(x, y) = |x − y|

dla x, y ∈ R

i nazywana jest rownie» metryk¡ naturaln¡ na prostej.

Denicja 4.2 (Kula w przestrzeni metrycznej)

Niech (X, d) b¦dzie przestrzeni¡

metryczn¡, a ∈ X oraz r - dodatni¡ liczb¡ rzeczywist¡.
Kul¡ o ±rodku a i promieniu r (lub kul¡ otwart¡) nazywamy zbiór

K(a, r) := {x ∈ X : d(x, a) < r}.

Denicja 4.3 (Punkt wewn¦trzny zbioru)

Niech A ⊆ X.

Punkt a ∈ X nazywamy punktem wewn¦trznym zbioru A, je»eli

∃

r∈R

K(a, r) ⊆ A.

Denicja 4.4 (Zbiór otwarty i otoczenie punktu)

Zbiór A ⊆ X, którego ka»dy

punkt jest punktem wewn¦trznym, nazywamy zbiorem otwartym.
Otoczeniem punktu x

∈ X

nazywamy dowolny zbiór U(x

)

otwarty w przestrzeni

(X, d)

i zawieraj¡cy punkt x

Twierdzenie 4.1

Ka»da kula otwarta jest zbiorem otwartym.

Denicja 4.5 (Zbiór domkni¦ty)

Zbior B ⊆ X, którego dopeªnienie X \ B jest

zbiorem otwartym, nazywamy zbiorem domkni¦tym.

Denicja 4.6 (Zbiór ograniczony)

Niech A b¦dzie niepustym podzbiorem prze-

strzeni metrycznej (X, d). rednic¡ zbioru A nazywamy liczb¦

δ(A) := sup{d(x, y) : x, y ∈ A}.

Zbiór A nazywamy ograniczonym, je»eli δ(A) < ∞. W przeciwnym przypadku
mówimy, »e zbiór A jest nieograniczony.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

4.2 Ci¡gi w przestrzeniach metrycznych

Denicja 4.7 (Wn¦trze zbioru)

Wn¦trzem podzbioru A przestrzeni metrycznej

(X, d)

nazywamy sum¦ rodziny wszystkich zbiorów otwartych zawartych w zbiorze

i oznaczamy Int(A).

Twierdzenie 4.2

Zbiór A jest otwarty w przestrzeni metrycznej (X, d) wtedy i tylko

wtedy, gdy A = Int(A).

4.2 Ci¡gi w przestrzeniach metrycznych

Denicja 4.8 (Zbie»no±¢ ci¡gu w przestrzeni metrycznej)

Niech (X, d) b¦dzie

przestrzeni¡ metryczn¡ i p

∈ X

dla n ∈ N.

Mówimy, »e ci¡g (p

)

jest zbie»ny w przestrzeni metrycznej (X, d) do punktu

∈ X,

co oznaczamy lim

n→∞

= p

je»eli

lim

n→∞

d(p

, p

) = 0.

Twierdzenie 4.3

Niech (p

)

b¦dzie ci¡giem punktów przestrzeni euklidesowej R

niech p

∈ R

oraz p

= (x

k
1

, ..., x

k
n

), k = 1, 2, ..., p

= (x

0
1

, ..., x

0
n

Wówczas

lim

k→∞

= p

⇔ ∀

i∈{1,...,n}

lim

k→∞

k
i

= x

0
i

Twierdzenie 4.4

Ka»dy ci¡g zbie»ny w przestrzeni metrycznej jest ograniczony.

Denicja 4.9 (Punkt skupienia zbioru i punkt izolowany)

Niech (X, d) b¦dzie

przestrzeni¡ metryczn¡, zbiór A ⊂ X.
Punkt p

∈ X

nazywamy punktem skupienia zbioru A, je»eli istnieje taki ci¡g

»e

∀

n∈N

∈ A ∧ p

6= p

∧ lim

n→∞

= p

Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A oznaczamy A

Punkt p ∈ A \ A

nazywamy punktem izolowanym zbioru A.

Denicja 4.10 (Domkni¦cie zbioru)

Niech A b¦dzie podzbiorem przestrzeni me-

trycznej (X, d).
Domkni¦ciem zbioru A nazywamy zbiór A := A ∪ A

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

4.2 Ci¡gi w przestrzeniach metrycznych

Twierdzenie 4.5

Zbiór A jest domkni¦ty w przestrzeni metrycznej (X, d) wtedy i

tylko wtedy, gdy A = A.

Denicja 4.11 (Zbiór zwarty)

Niech A ⊂ X.

Zbiór A nazywamy zbiorem zwartym w przestrzeni metrycznej (X, d), je»eli z
ka»dego ci¡gu punktów zbioru A mo»na wybra¢ podci¡g zbie»ny do pewnego punktu
zbioru A.

Twierdzenie 4.6

Podzbiór A przestrzeni euklidesowej R

jest zwarty wtedy i tylko

wtedy, gdy jest domkni¦ty i ograniczony.

Denicja 4.12 (Zbiór spójny)

Zbiór A 6= ∅ nazywamy zbiorem spójnym w prze-

strzeni metrycznej (X, d), je»eli dla dowolnych niepustych zbiorów A

⊂ A

i A

⊂ A

takich, »e A

∪ A

= A,

mamy

∩ A

∪ A

∩ A

6= ∅.

Uwaga 4.2

Zbiór otwarty A ⊂ R

jest spójny, je»eli ka»de dwa jego punkty mo»na

poª¡czy¢ ªaman¡ zawart¡ w A.

Denicja 4.13 (Obszar i obszar domkni¦ty)

Zbiór otwarty i spójny w R

nazy-

wamy obszarem.
Obszar ª¡cznie ze swoim brzegiem nazywamy obszarem domkni¦tym.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

5 Funkcje rzeczywiste wielu zmiennych

Rozdziaª 5

Funkcje rzeczywiste wielu zmiennych

Denicja 5.1 (Funkcja wielu zmiennych)

Funkcj¦ f odwzorowuj¡c¡ zbiór A ⊂ R

w zbiór R nazywamy funkcj¡ rzeczywist¡ n zmiennych i oznaczamy f : A → R.
Warto±¢ funkcji f w punkcie p = (x

, ..., x

) ∈ A

oznaczamy f(p) lub f(x

, ..., x

Denicja 5.2 (Wykres i poziomica funkcji dwóch zmiennych)

Wykresem

funkcji f dwóch zmiennych nazywamy zbiór

{(x, y, z) ∈ R

: (x, y) ∈ D

∧ z = f (x, y)},

gdzie D

oznacza dziedzin¦ funkcji f.

Poziomic¡ wykresu funkcji f odpowiadaj¡c¡ poziomowi h ∈ R nazywamy zbiór

{(x, y) ∈ D

: f (x, y) = h}.

5.1 Granica i ci¡gªo±¢ funkcji dwóch zmiennych

Denicja 5.3 (Granica n-krotna. Denicja Cauchy'ego)

Niech f : A → R,

A ⊂ R

oraz niech p

b¦dzie punktem skupienia zbioru A.

Liczb¦ g nazywamy granic¡ funkcji f w punkcie p

je»eli

∀

ε>0

∃

δ>0

∀

p∈A

(d(p, p

) < δ ⇒ |f (p) − g| < ε)

i zapisujemy lim

p→p

f (p) = g.

Granic¦ g nazywamy tak»e granic¡ n-krotn¡.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

5.1 Granica i ci¡gªo±¢ funkcji dwóch zmiennych

Je»eli g jest liczb¡ sko«czon¡, to mówimy, »e g jest granic¡ wªa±ciw¡ funkcji f
w punkcie p

Denicja 5.4 (Granica n-krotna. Denicja Heinego)

Niech f : A → R, A ⊂ R

oraz niech p

b¦dzie punktem skupienia zbioru A.

Liczb¦ g nazywamy granic¡ funkcji f w punkcie p

je»eli

∀

)⊂A

∀

n∈N

6= p

∧ lim

n→∞

= p

⇒ lim

n→∞

f (p

) = g

Uwaga 5.1

1. Denicje Cauchy'ego i Heinego granicy funkcji n zmiennych s¡ równowa»ne.

2. Granic¦ niewªa±ciw¡ ∞ w punkcie p

deniuje si¦ analogicznie jak dla funkcji

jednej zmiennej.

Denicja 5.5 (Granice iterowane)

Niech f : A → R, A ⊂ R

oraz niech p

, y

)

b¦dzie punktem skupienia zbioru A.

Je»eli istniej¡ liczby

= lim

x→x

lim

y→y

f (x, y)

i g

= lim

y→y

lim

x→x

f (x, y)

to nazywamy je granicami iterowanymi funkcji f.

Uwaga 5.2

Istnienie granicy funkcji w punkcie p

= (x

, y

)

jest niezale»ne od istnie-

nia granic iterowanych g

i g

Granica podwójna funkcji f mo»e nie istnie¢, natomiast granice g

i g

mog¡ istnie¢

i na odwrót.
Ponadto, je»eli granice iterowane g

i g

istniej¡, to mog¡ by¢ ró»ne.

Mo»na te» udowodni¢, »e je»eli istnieje granica podwójna funkcji f w punkcie p

co najmniej jedna z granic iterowanych g

lub g

to granica podwójna jest równa

tej granicy iterowanej.

Uwaga 5.3

Dla granicy n-krotnej funkcji zachodz¡ twierdzenia o arytmetyce granic

funkcji oraz o granicy funkcji zªo»onej podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

5.1 Granica i ci¡gªo±¢ funkcji dwóch zmiennych

Denicja 5.6 (Ci¡gªo±¢ funkcji n zmiennych)

Niech f : A → R, A ⊂ R

oraz

niech p

= (x

, y

)

b¦dzie punktem skupienia zbioru A.

Mówimy, »e funkcja f jest ci¡gªa w punkcie p

je»eli lim

p→p

f (p) = f (p

Mówimy,

»e funkcja f jest ci¡gªa na zbiorze A, je»eli jest ci¡gªa w ka»dym punkcie tego
zbioru.

Twierdzenie 5.1

Ka»da funkcja f n zmiennych jest ci¡gªa w punktach izolowanych

swojej dziedziny.

Uwaga 5.4

Je»eli funkcja n zmiennych (x

, ..., x

) 7→ f (x

, ..., x

)

okre±lona w pew-

nym otoczeniu punktu p

= (x

0
1

, ..., x

0
n

)

jest w tym punkcie ci¡gªa, to dla ka»dego

k ∈ {1, ..., n}

funkcja x

7→ f (x

0
1

, ..., x

0
k−1

, x

0
k+1

, ..., x

0
n

)

jednej zmiennej x

jest

ci¡gªa w punkcie x

0
k

(

inaczej mówimy, »e funkcja f jest ci¡gªa w punkcie p

wzgl¦du na ka»d¡ zmienn¡ oddzielnie).
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.

Twierdzenie 5.2 (O dziaªaniach arytmetycznych)

Je»eli funkcje f, g s¡ ci¡gªe w

punkcie p

∈ R

to równie» funkcje

f + g, f − g, f · g

oraz

(

o ile g(x) 6= 0 dla x ∈ X)

s¡ ci¡gªe w punkcie p

Twierdzenie 5.3 (O ci¡gªo±ci funkcji zªo»onej)

Je»eli funkcje f, g

, g

, ..., g

speª-

niaj¡ warunki:

1. funkcje g

, g

, ..., g

s¡ ci¡gªe w punkcie p

2. funkcja f jest ci¡gªa w punkcie q

= (g

), ..., g

)),

to funkcja zªo»ona f(g

, ..., g

)

jest ci¡gªa w punkcie p

Twierdzenie 5.4 (O lokalnym zachowaniu znaku)

Je»eli funkcja f, okre±lona w

pewnym otoczeniu punktu p

jest w tym punkcie ci¡gªa oraz f(p

) > 0 (

albo f(p

) <

0),

to istnieje s¡siedztwo S(p

)

punktu p

takie, »e

∀

p∈S(p

)

f (p) > 0

albo ∀

p∈S(p

)

f (p) < 0

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

5.1 Granica i ci¡gªo±¢ funkcji dwóch zmiennych

Twierdzenie 5.5 (Weierstrassa o osi¡ganiu kresów)

Je»eli funkcja f jest ci¡gªa

na zbiorze zwartym D ⊂ R

to jest w tym zbiorze ograniczona oraz

∃

∈D

∃

∈D

f (p

) = inf

p∈D

f (p) ∧ f (p

) = sup

p∈D

f (p)

Twierdzenie 5.6

Niech f b¦dzie funkcj¡ rzeczywist¡ ci¡gª¡, okre±lon¡ na zbiorze spój-

nym D ⊂ R

Wówczas obraz f(D) jest zbiorem spójnym w R.

Twierdzenie 5.7 (Darboux, o przyjmowaniu warto±ci po±rednich)

Je»eli funk-

cja f jest ci¡gªa na obszarze domkni¦tym i ograniczonym D ⊂ R

∀

z∈R

inf

p∈D

f (p) ≤ z ≤ sup

p∈D

f (p)

⇒ ∃

∈D

z = f (p

)

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

6 Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych

Rozdziaª 6

Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu
zmiennych

6.1 Pochodne kierunkowe, cz¡stkowe i ró»niczkowal-

no±¢ funkcji

Denicja 6.1 (Pochodna kierunkowa)

Niech f : U(p

) → R, gdzie U (p

)

jest pew-

nym otoczeniem punktu p

= (x

0
1

, ..., x

0
n

) ∈ R

oraz niech

−

→

h = [h

, ..., h

]

b¦dzie

wektorem w przestrzeni R

Pochodn¡ kierunkow¡ funkcji f w punkcie p

w kierunku wektora

−

→

okre-

±lamy wzorem:

−

→

) := lim

t→0

f (p

+ t

−

→

h ) − f (p

)

gdzie

+ t

−

→

h = (x

0
1

+ th

, x

0
2

+ th

, ..., x

0
n

+ th

Uwaga: Zauwa»my, »e je»eli okre±limy funkcj¦

ϕ(t) := f

+ t

−

→

gdzie p

∈ R

za±

−

→

jest wektorem w R

(0) = lim

t→0

ϕ(t) − ϕ(0)

Zatem

−

→

) = ϕ

(0).

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

6.1 Pochodne kierunkowe, cz¡stkowe i ró»niczkowalno±¢ funkcji

Wynika st¡d, »e dla pochodnej kierunkowej mamy takie same wzory rachunkowe (tzn. wzory doty-
cz¡ce pochodnej sumy, iloczynu i ilorazu funkcji) jak dla zwykªej pochodnej funkcji jednej zmiennej.
Na przykªad,

(f + g)

−

→

) = f

−

→

) + g

−

→

Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej dla funkcji dwóch

zmiennych

Niech z = f(x, y) oraz niech

−

→

b¦dzie wektorem w przestrzeni R

Oznaczmy przez l styczn¡ do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju wykresu

funkcji póªpªaszczyzn¡ przechodz¡c¡ przez punkt (x

, y

, 0),

równolegª¡ do wektora

−

→

oraz do osi Oz.

Wówczas

−

→

, y

) = tg γ,

gdzie γ oznacza k¡t nachylenia prostej l do pªaszczyzny Oxy.

Pochodna kierunkowa okre±la szybko±¢ zmiany warto±ci funkcji w kierunku

−

→

h .

Twierdzenie 6.1

Niech f : U(p

) → R, gdzie U (p

)

jest pewnym otoczeniem punktu

∈ R

Niech

−

→

b¦dzie wektorem w przestrzeni R

oraz r dowoln¡ liczb¡ rzeczy-

wist¡.
Wówczas, je»eli pochodna f

−

→

)

istnieje, to równie» istnieje f

−

→

)

i zachodzi

równo±¢

−

→

) = rf

−

→

Uwaga: W ogólnym przypadku f

(

−

→

−

→

)

) 6= f

−

→

) + f

−

→

Równo±¢ zachodzi przy dodatkowych zaªo»eniach o pochodnych kierunkowych.

Mamy mianowicie:

Twierdzenie 6.2

Niech f : U(p

) → R, gdzie U (p

)

jest pewnym otoczeniem punktu

∈ R

Niech

−

→

−

→

b¦d¡ wektorami w przestrzeni R

Je»eli pochodna f

−

→

istnieje w punkcie p

za± f

−

→

istnieje i jest ci¡gªa w p

(

−

→

−

→

)

) = f

−

→

) + f

−

→

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

6.1 Pochodne kierunkowe, cz¡stkowe i ró»niczkowalno±¢ funkcji

Twierdzenie 6.3

Niech f : U(p

) → R, gdzie U (p

)

jest pewnym otoczeniem punktu

∈ R

−

→

niech b¦dzie dowolnym wektorem w R

oraz niech liczba λ > 0 b¦dzie

taka, »e odcinek ª¡cz¡cy punkty p

i p

+ λ

−

→

le»y caªkowicie w otoczeniu U(p

Je»eli w ka»dym punkcie tego odcinka istnieje pochodna kierunkowa w kierunku
wektora

−

→

h ,

to istnieje liczba θ ∈ (0, 1) taka, »e

+ λ

−

→

− f (p

)

= f

−

→

+ θλ

−

→

Szczególnym przypadkiem pochodnej kierunkowej funkcji s¡ pochodne cz¡stkowe

funkcji.

Denicja 6.2 (Pochodne cz¡stkowe)

Niech e

, ..., e

oznaczaj¡ wersory osi wspóª-

rz¦dnych w przestrzeni R

Pochodn¡ kierunkow¡ funkcji f w punkcie p

∈ R

w kierunku wektora e

nazywamy

pochodn¡ cz¡stkow¡ funkcji f w punkcie p

wzgl¦dem i-tej zmiennej (lub

-tej wspóªrz¦dnej) i oznaczamy

)

lub

∂f

∂x

Uwaga: Dla funkcji f : U(p

) → R, gdzie U (p

) ⊂ R

mog¡ istnie¢ wszystkie pochodne

cz¡stkowe w punkcie p

za± funkcja f mo»e nie by¢ ci¡gªa w tym punkcie.

Z istnienia pochodnych cz¡stkowych wynika jedynie ci¡gªo±¢ funkcji ze wzgl¦du na ka»d¡ zmienn¡
oddzielnie.
Jednak przy dodatkowym zaªo»eniu, mamy:

Twierdzenie 6.4

Je»eli funkcja f ma ci¡gªe pochodne cz¡stkowe w pewnym obszarze

D ⊂ R

to f jest w tym obszarze ci¡gªa.

Ci¡gªo±¢ pochodnych cz¡stkowych funkcji f pozwala równie» na inny sposób

obliczania pochodnej kierunkowej funkcji f.

Denicja 6.3 (Gradient funkcji)

Niech f : A → R, A ⊂ R

Gradientem funkcji

w punkcie p

nazywamy wektor

(∇f )

∂f

∂x

) , ...,

∂f

∂x

)

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

6.1 Pochodne kierunkowe, cz¡stkowe i ró»niczkowalno±¢ funkcji

Zmieniaj¡c punkt p

otrzymujemy pole wektorowe

∇f :=

∂f

∂x

, ...,

∂f

∂x

które nazywamy gradientem funkcji f.

Zale»no±¢ pomi¦dzy pochodn¡ kierunkow¡ funkcji a jej gradientem podaje na-

st¦puj¡ce

Twierdzenie 6.5

Je»eli pochodne cz¡stkowe

∂f

∂x

dla i = 1, ..., n s¡ funkcjami ci¡gªymi

w punkcie p

∈ R

to pochodna kierunkowa f

−

→

)

istnieje w ka»dym kierunku

−

→

i wyra»a si¦ wzorem

−

→

) = (∇f )

◦

−

→

h .

Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w

tym punkcie.

Gradient funkcji w punkcie jest prostopadªy do poziomicy funkcji przechodz¡cej

przez ten punkt.

Denicja 6.4 (Funkcja ró»niczkowalna)

Niech p

∈ R

oraz f : U(p

) → R,

gdzie U(p

) ⊂ R

Rozwa»my wektor

−

→

h = [h

, ..., h

]

taki, »e

−

→

∈ U (p

Je»eli istniej¡ pochodne cz¡stkowe f

)

dla i ∈ {1, ..., n}, to funkcj¦ f nazywamy

ró»niczkowaln¡ w p

gdy

lim

−

→

h →0

f (p

−

→

h ) − f (p

) − [f

+ ... + f

]

−

→

h k

= 0,

gdzie k

−

→

h k

oznacza dªugo±¢ wektora

−

→

h ,

za± przez zbie»no±¢

−

→

h → 0

rozumiemy , »e

→ 0

dla ka»dego i ∈ {1, ..., n}.

Wyra»enie w nawiasie nazywamy ró»niczk¡ zupeªn¡ funkcji f w punkcie p

Rozwa»my teraz przypadek przestrzeni R

Uwaga: Je»eli p

= (x

, y

) ∈ R

oraz (x, y) ∈ U(x

to rozwa»aj¡c wektor

−

→

h = [∆x, ∆y],

gdzie ∆x = x − x

, ∆y = y − y

warunek ró»niczkowalno±ci funkcji f w punkcie p

przyjmuje

posta¢

lim

∆x→0, ∆y→0

f (x

+ ∆x, y

+ ∆y) − f (x

, y

) − [f

)∆x + f

)∆y]

p(∆x)

+ (∆y)

= 0

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

6.1 Pochodne kierunkowe, cz¡stkowe i ró»niczkowalno±¢ funkcji

i wówczas wyra»enie w nawiasie jest ró»niczk¡ zupeªn¡ funkcji f w punkcie p

Wniosek: Je»eli oznaczymy ∆f(p

) = f (x

+ ∆x, y

+ ∆y) − f (p

gdzie p

= (x

, y

to z

ró»niczkowalno±ci funkcji f w p

wynika, »e

∆f (p

) ≈ f

)∆x + f

)∆y.

Twierdzenie 6.6 (Warunek konieczny ró»niczkowalno±ci funkcji)

Je»eli funkcja

jest ró»niczkowalna w punkcie p

∈ R

to jest ci¡gªa w tym punkcie.

Uwaga: Implikacja odwrotna do Twierdzenia 6.6 nie jest prawdziwa.

Twierdzenie 6.7 (Warunek wystarczaj¡cy ró»niczkowalno±ci funkcji)

Je»eli

dla funkcji f n zmiennych istniej¡ pochodne cz¡stkowe f

)

dla ka»dego i ∈

{1, ..., n}

i s¡ ci¡gªe w punkcie p

∈ R

to funkcja f jest ró»niczkowalna w p

Uwaga: Ci¡gªo±¢ pochodnych cz¡stkowych nie jest warunkiem koniecznym ró»niczkowalno±ci

funkcji.

Denicja 6.5 (Pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du)

Niech p

∈ R

oraz funkcja

f : U (p

) → R, gdzie U (p

) ⊂ R

ma pochodne cz¡stkowe

∂f

∂x

dla i = 1, ..., n

okre±lone przynajmniej na pewnym otoczeniu punktu p

Pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du funkcji f w punkcie p

okre±lamy wzorami

∂

∂x

) =

∂

∂x

∂

∂x

), i, j = 1, ..., n.

Je»eli i = j, to zamiast

∂

∂x

piszemy

∂

∂x

2
i

Pochodne

∂

∂x

)

oznaczamy te» f

Je»eli i 6= j, to pochodn¡ f

nazywamy te» pochodn¡ cz¡stkow¡ mieszan¡

drugiego rz¦du.

Twierdzenie 6.8 (Schwarza)

Je»eli dla funkcji f : U(p

) → R wszystkie pochodne

cz¡stkowe rz¦du drugiego

∂

∂x

s¡ funkcjami ci¡gªymi w p

to zachodzi równo±¢

∂

∂x

) =

∂

∂x

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

6.2 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Twierdzenie 6.9 (O pochodnej funkcji zªo»onej)

Je»eli funkcja f : U → R, gdzie

U ⊂ R

ma ci¡gªe pochodne cz¡stkowe

∂f

∂x

dla i = 1, ..., n, za± funkcje t 7→ x

(t),

gdzie t ∈ (α, β), s¡ ró»niczkowalne na (α, β) dla i = 1, ..., n, oraz (x

(t), ..., x

(t)) ∈

dla t ∈ (α, β), to funkcja zªo»ona f(x

, ..., x

)

jest te» ró»niczkowalna na (α, β),

przy czym

f x

), ..., x

)

i=1

∂f

∂x

), ..., x

)

, t

∈ (α, β).

Twierdzenie 6.10 (O pochodnych cz¡stkowych funkcji zªo»onej)

Je»eli funkcja

f : U → R, gdzie U ⊂ R

ma ci¡gªe pochodne cz¡stkowe

∂f

∂x

dla i = 1, ..., n w U oraz

funkcje (t

, ..., t

) 7→ x

, ..., t

)

te» maj¡ ci¡gªe pochodne cz¡stkowe w pewnym

obszarze D ⊂ R

i punkty (x

, ..., t

), ..., x

, ..., t

)) ∈ U

dla (t

, ..., t

) ∈ D,

to funkcja zªo»ona f(x

, ..., x

)

te» ma pochodne cz¡stkowe dla t

= (t

, ..., t

) ∈ D

równe

∂ (x

), ..., x

))

∂t

k=1

∂f

∂x

), ..., x

)

∂ x

∂t

, j − 1, ..., m.

6.2 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Denicja 6.6 (Ekstrema lokalne funkcji)

Niech f : D → R, gdzie D ⊂ R

Mówimy, »e funkcja f ma w punkcie p

∈ D

minimum lokalne, gdy ∃

U (p

)⊂D

∀

p∈U (p

)

f (p) ≥ f (p

);

minimum lokalne wªa±ciwe, gdy ∃

S(p

)⊂D

∀

p∈S(p

)

f (p) > f (p

(U (p

)

- oznacza otoczenie punktu p

za± S(p

)

- s¡siedztwo punktu p

)

Analogicznie

okre±la si¦ maksimum lokalne w punkcie p

oraz maksimum lokalne wªa±ciwe.

Twierdzenie 6.11 (Warunek konieczny istnienia ekstremum)

Je»eli funkcja f :

U → R, gdzie U ⊂ R

speªnia warunki:

1. ma ekstremum lokalne w punkcie (x

, y

2. istniej¡ pochodne cz¡stkowe

∂f
∂x

, y

∂f
∂y

, y

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

6.2 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

∂f

∂x

, y

) = 0,

∂f

∂y

, y

) = 0.

Uwaga: Prawdziwe jest równie» analogiczne twierdzenie dla funkcji n zmiennych.

Implikacja odwrotna do Twierdzenia 6.11 nie jest prawdziwa.

Twierdzenie 6.12 (Warunek wystarczaj¡cy istnienia ekstremum funkcji dwóch
zmiennych)

Je»eli funkcja f : U → R, gdzie U ⊂ R

ma ci¡gªe pochodne cz¡stkowe

rz¦du drugiego na otoczeniu punktu (x

, y

)

oraz

∂f
∂x

, y

) = 0,

∂f
∂y

, y

) = 0,

2. det

∂

∂x

, y

)

∂

∂x∂y

, y

)

∂

∂y∂x

, y

)

∂

∂y

, y

)

> 0,

to w punkcie (x

, y

)

funkcja f ma ekstremum lokalne wªa±ciwe i jest to:

minimum, gdy

∂

∂x

, y

) > 0

albo

maksimum, gdy

∂

∂x

, y

) < 0.

Denicja 6.7 (Wyznacznik funkcyjny, inaczej jakobian)

Je»eli funkcje y

, .., x

), i ∈ {1, ..., n},

maj¡ pochodne cz¡stkowe w pewnym obszarze G ⊂ R

to wyznacznikiem funkcyjnym lub jakobianem nazywamy

∂f

∂x

...

∂f

∂x

..... ... .....

∂f

∂x

...

∂f

∂x

i oznaczamy

D(y

,...,y

)

D(x

,...,x

)

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

7 Funkcje uwikªane

Rozdziaª 7

Funkcje uwikªane

Denicja 7.1

Niech F b¦dzie funkcj¡ dwóch zmiennych okre±lon¡ na pewnym obsza-

rze. Funkcj¡ uwikªan¡ okre±lon¡ równaniem

F (x, y) = 0

nazywamy ka»d¡ funkcj¦ y = y(x) ci¡gª¡ na pewnym przedziale I, speªniaj¡c¡ rów-
no±¢

F (x, y(x)) = 0

dla wszystkich x z przedziaªu I. Podobnie okre±la si¦ funkcj¦ uwikªan¡ postaci x =
x(y),

gdzie y ∈ J.

Twierdzenie 7.1 (O istnieniu i ró»niczkowalno±ci funkcji uwikªanej)

Je»eli

funkcja F ma ci¡gªe pochodne cz¡stkowe rz¦du pierwszego na pewnym otoczeniu
punktu (x

, y

)

oraz speªnia warunki:

1. F (x

, y

) = 0,

2. F

, y

) 6= 0,

to na pewnym otoczeniu punktu x

istnieje dokªadnie jedna funkcja uwikªana y =

y(x)

okre±lona równaniem F (x, y) = 0, speªniaj¡ca warunek y(x

) = y

Jej pochodna jest wówczas ci¡gªa i wyra»a si¦ wzorem:

(x) = −

(x, y(x))

dla ka»dego x z otoczenia punktu x

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

7 Funkcje uwikªane

Uwaga: Je»eli w Twierdzeniu 7.1 zaªo»ymy dodatkowo, »e funkcja F ma ci¡gªe pochodne cz¡st-

kowe drugiego rz¦du na otoczeniu punktu (x

, y

to funkcja uwikªana y = y(x) jest dwukrotnie

ró»niczkowalna na pewnym otoczeniu punktu x

i jej pochodna wyra»a si¦ wzorem

= −

)

− 2F

+ F

)

Twierdzenie 7.2 (O ekstremach lokalnych funkcji uwikªanej)

Je»eli funkcja F

ma ci¡gªe pochodne cz¡stkowe rz¦du drugiego na pewnym otoczeniu punktu (x

, y

)

oraz speªnia warunki:

1. F (x

, y

) = 0,

2. F

, y

) 6= 0,

3. F

, y

) = 0,

4. F

, y

) 6= 0,

to funkcja uwikªana y = y(x) okre±lona równaniem F (x, y) = 0, i speªniaj¡ca waru-
nek y(x

) = y

ma w punkcie x

ekstremum lokalne wªa±ciwe i jest to

minimum, gdy −

)

> 0,

maksimum, gdy −

)

< 0.

Uwaga: Równo±¢ F

, y

) = 0

jest warunkiem koniecznym, a ukªad F

, y

) = 0

, y

) 6= 0

warunkiem wystarczaj¡cym istnienia w punkcie (x

, y

)

ekstremum funkcji uwi-

kªanej okre±lonej przez równanie F (x

, y

) = 0.

Prawdziwe jest tak»e analogiczne twierdzenie o ekstremach funkcji uwikªanej postaci x = x(y).

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

8 Caªki wielokrotne

Rozdziaª 8

Caªki wielokrotne

Denicja 8.1 (uk zwykªy)

Krzyw¡ K ⊂ R

okre±lon¡ równaniami parametrycz-

nymi

x = x(t), y = y(t)

dla t ∈ [α, β],

nazywamy ªukiem zwykªym, je»eli x i y s¡ funkcjami ci¡gªymi na przedziale [α, β]
oraz ró»nym warto±ciom parametru t ∈ (α, β) odpowiadaj¡ ró»ne punkty krzywej K.
Je»eli ponadto (x(α), y(α)) = (x(β), y(β)), to ªuk zwykªy K nazywamy zamkni¦-
tym.

Denicja 8.2 (Obszar regularny)

Ograniczony obszar D ⊂ R

nazywamy regular-

nym, gdy brzeg tego obszaru jest sum¡ sko«czonej liczby ªuków zwykªych danych
równaniami:

y = y(x)

dla x ∈ [a, b] lub x = x(y) dla y ∈ [c, d],

przy czym ªuki te mog¡ redukowa¢ si¦ do punktów.

Denicja 8.3 (Caªka podwójna)

Niech f b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ na domkni¦tym

regularnym obszarze D ⊂ R

i niech P

oznacza podziaª obszaru D w dowolny sposób

na n domkni¦tych obszarów cz¦±ciowych D

odpowiednio o polach |D

|, i = 1, 2, ..., n

w ten sposób, aby:

1. »adne dwa obszary D

, D

dla i 6= j nie miaªy wspólnych punktów wewn¦trz-

nych,

2. D = D

∪ D

∪ ... ∪ D

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

8.1 Wªasno±ci caªki podwójnej

Liczb¦

= max{δ(D

) : i ∈ {1, 2, ..., n}},

gdzie δ(D

)

jest ±rednic¡ zbioru D

nazywamy ±rednic¡ podziaªu P

W ka»dym obszarze D

wybieramy punkt po-

±redni (x

, y

)

i tworzymy sum¦ caªkow¡

i=1

f (x

, y

) · |D

Je»eli dla ka»dego ci¡gu {P

}

n∈N

podziaªów obszaru D na obszary cz¦±ciowe speª-

niaj¡cego warunek lim

n→∞

= 0

i dla ka»dego wyboru punktów po±rednich w obsza-

rach cz¦±ciowych istnieje ta sama sko«czona granica ci¡gu {S

}

n∈N

sum cz¦±ciowych

funkcji f, to granic¦ t¦ nazywamy caªk¡ podwójn¡ funkcji f na obszarze D i
oznaczamy

Z Z

f (x, y)dxdy.

Funkcj¦ f, dla której istnieje caªka podwójna na obszarze D nazywamy funkcj¡
caªkowaln¡ na obszarze D.

8.1 Wªasno±ci caªki podwójnej

Twierdzenie 8.1 (Warunek konieczny caªkowalno±ci)

Je»eli funkcja f jest caªko-

walna na domkni¦tym regularnym obszarze D ⊂ R

to jest funkcj¡ ograniczon¡ na

tym obszarze.

Twierdzenie 8.2 (I Warunek wystarczaj¡cy caªkowalno±ci)

Je»eli funkcja f jest

ci¡gªa na domkni¦tym i regularnym obszarze D ⊂ R

to jest funkcj¡ caªkowaln¡ na

tym obszarze.

Twierdzenie 8.3 (II Warunek wystarczaj¡cy caªkowalno±ci)

Je»eli funkcja f

jest ograniczona na domkni¦tym i regularnym obszarze D ⊂ R

oraz jest ci¡gªa na

tym obszarze z wyj¡tkiem sko«czonej liczby ªuków zwykªych o równaniach y = y(x)
lub x = x(y), to jest funkcj¡ caªkowaln¡ na obszarze D.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

8.1 Wªasno±ci caªki podwójnej

Twierdzenie 8.4

Je»eli funkcja f jest caªkowalna na domkni¦tym i regularnym ob-

szarze D ⊂ R

za± ograniczona funkcja g pokrywa si¦ z funkcj¡ f poza sko«czon¡

liczb¡ ªuków zwykªych o równaniach y = y(x) lub x = x(y) zawartych w obszarze
D,

to funkcja g te» jest caªkowalna na D oraz

Z Z

f (x, y)dxdy =

Z Z

g(x, y)dxdy.

Twierdzenie 8.5

Je»eli funkcje f i g s¡ caªkowalne na domkni¦tym, regularnym ob-

szarze D ⊂ R

1. dla dowolnej liczby k ∈ R funkcja k · f jest caªkowalna na D oraz

Z Z

k · f (x, y)dxdy = k

Z Z

f (x, y)dxdy.

2. funkcja f + g jest te» funkcj¡ caªkowaln¡ na D oraz

Z Z

(f (x, y) + g(x, y))dxdy =

Z Z

f (x, y)dxdy +

Z Z

g(x, y)dxdy.

Twierdzenie 8.6 (Addytywno±¢ caªki wzgl¦dem obszaru caªkowania)

Zaªó»my,

»e domkni¦ty regularny obszar D ⊂ R

jest sum¡ domkni¦tych regularnych obszarów

i D

nie maj¡cych wspólnych punktów wewn¦trznych.

Wówczas funkcja f jest caªkowalna na obszarze D wtedy i tylko wtedy, gdy jest
caªkowalna na ka»dym z obszarów D

i D

przy czym

Z Z

f (x, y)dxdy =

Z Z

f (x, y)dxdy +

Z Z

f (x, y)dxdy.

Twierdzenie 8.7 (Monotoniczno±¢ caªki podwójnej)

Je»eli funkcje f i g s¡ caª-

kowalne na domkni¦tym regularnym obszarze D ⊂ R

oraz f(x, y) ≤ g(x, y) dla

(x, y) ∈ D,

Z Z

f (x, y)dxdy ≤

Z Z

g(x, y)dxdy.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

8.1 Wªasno±ci caªki podwójnej

Twierdzenie 8.8

Je»eli f jest funkcj¡ caªkowaln¡ na domkni¦tym i regularnym ob-

szarze D ⊂ R

oraz m ≤ f(x, y) ≤ M dla ka»dego (x, y) ∈ D, to

m · |D| ≤

Z Z

f (x, y)dxdy ≤ M · |D|.

Denicja 8.4 (Warto±¢ ±rednia funkcji na obszarze)

Warto±ci¡ ±redni¡ funk-

cji f na obszarze D nazywamy liczb¦

f±r =

|D|

Z Z

f (x, y)dxdy.

Twierdzenie 8.9 (O warto±ci ±redniej dla caªek podwójnych)

Niech funkcja f

b¦dzie ci¡gªa na obszarze normalnym D ⊂ R

Wówczas istnieje punkt (x

, y

) ∈ D,

dla którego zachodzi równo±¢

f±r = f(x

, y

Twierdzenie 8.10 (O zamianie caªki podwójnej na iterowan¡)

1. Je»eli funk-

cja f jest ci¡gªa na obszarze D ⊂ R

normalnym wzgl¦dem osi Ox, przy czym

D = {(x, y) ∈ R

: a ≤ x ≤ b ∧ g(x) ≤ y ≤ h(x)},

Z Z

f (x, y)dxdy =

h(x)

g(x)

f (x, y)dy

dx.

2. Je»eli funkcja f jest ci¡gªa na obszarze D ⊂ R

normalnym wzgl¦dem osi Oy,

przy czym

D = {(x, y) ∈ R

: a ≤ y ≤ b ∧ k(y) ≤ x ≤ l(y)},

Z Z

f (x, y)dxdy =

l(y)

k(y)

f (x, y)dx

dy.

3. W szczególnym przypadku, gdy obszar D jest prostok¡tem o bokach równole-

gªych do osi Ox i Oy, przy czym

D = {(x, y) ∈ R

: a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d}

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

8.2 Zamiana zmiennych w caªkach podwójnych

oraz f jest ci¡gªa na D, to

Z Z

f (x, y)dxdy =

f (x, y)dy

dx =

f (x, y)dx

dy.

8.2 Zamiana zmiennych w caªkach podwójnych

Denicja 8.5 (Przeksztaªcenie obszarów na pªaszczy¹nie)

Niech ∆ i D b¦d¡

obszarami odpowiednio w pªaszczyznach Ouv i Oxy. Przeksztaªceniem obszaru
∆

w obszar D nazywamy funkcj¦ T : ∆ → D okre±lon¡ wzorem

(x, y) = T (u, v) = (Φ(u, v), Ψ(u, v)),

gdzie (u, v) ∈ ∆.

Obrazem zbioru ∆ przy przeksztaªceniu T nazywamy zbiór

T (∆) := {(x, y) : x = Φ(u, v), y = Ψ(u, v), (u, v) ∈ ∆}.

Przeksztaªcenie T nazywamy:

ci¡gªym, je»eli funkcje Φ i Ψ s¡ ci¡gªe na obszarze ∆;

wzajemnie jednoznacznym, je±li ró»nym punktom obszaru ∆ odpowiadaj¡

ró»ne punkty jego obrazu D.

Twierdzenie 8.11 (O zamianie zmiennych w caªce podwójnej)

Niech

1. odwzorowanie (x, y) = T (u, v), gdzie x = Φ(u, v), y = Ψ(u, v) przeksztaªca

wzajemnie jednoznacznie wn¦trze obszaru regularnego ∆ na wn¦trze obszaru
regularnego D ∈ R

2. funkcje Φ i Ψ maj¡ ci¡gªe pochodne cz¡stkowe na pewnym zbiorze otwartym

zawieraj¡cym obszar ∆,

3. funkcja f b¦dzie ci¡gªa na obszarze D,

4. jakobian J przeksztaªcenia T b¦dzie ró»ny od zera wewn¡trz obszaru D.

Wówczas

Z Z

f (x, y)dxdy =

Z Z

∆

f (Φ(u, v), Ψ(u, v))|J (u, v)|dudv.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

8.2 Zamiana zmiennych w caªkach podwójnych

Denicja 8.6 (Wspóªrz¦dne biegunowe)

Poªo»enie punktu na pªaszczy¹nie mo»na

opisa¢ par¡ liczb (ϕ, r), gdzie:

ϕ-oznacza miar¦ k¡ta mi¦dzy dodatni¡ cz¦±ci¡ osi Ox a promieniem wodz¡cym

punktu p, 0 ≤ ϕ ≤ 2π (albo −π ≤ ϕ ≤ π),

r-oznacza odlegªo±¢ punktu p od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych, 0 ≤ r < ∞.

Par¦ liczb (ϕ, r) nazywamy wspóªrz¦dnymi biegunowymi punktu pªaszczyzny.

Twierdzenie 8.12 (O obj¦to±ci obszaru przestrzennego)

Je»eli obszar przestrzenny

okre±lony jest nast¦puj¡co:

V = {(x, y, z) ∈ R

: f

(x, y) ≤ z ≤ f

(x, y) ∧ (x, y) ∈ D}

oraz funkcje f

i f

s¡ ci¡gªe na domkni¦tym, regularnym obszarze D, to obj¦to±¢

|V |

obszaru V jest równa

Z Z

(x, y) − f

(x, y)) dxdy.

Denicja 8.7 (Pªat powierzchniowy)

Zbiór punktów S = {(x, y, z) ∈ R

: z =

f (x, y) ∧ (x, y) ∈ D},

gdzie f jest funkcj¡ ci¡gª¡ na domkni¦tym obszarze D ⊂ R

nazywamy pªatem powierzchniowym.
Je»eli ponadto obszar D jest regularny, za± funkcja f posiada ci¡gªe pochodne cz¡st-
kowe pierwszego rz¦du na D, to pªat powierzchniowy S nazywamy regularnym.

Twierdzenie 8.13 (Pole pªata powierzchniowego)

Je»eli S jest pªatem powierzch-

niowym regularnym okre±lonym za pomoc¡ funkcji F : D → R (tzn. f ma ci¡gªe po-
chodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du na obszarze domkni¦tym, regularnym D ⊂ R

to pole |S| pªata powierzchniowego S wyra»a si¦ wzorem

|S| =

Z Z

1 + (f

(x, y))

+ f

(x, y)

dxdy.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

8.3 Caªki potrójna

Denicja 8.8 (Obszar normalny wzgl¦dem pªaszczyzn ukªadu wspóªrz¦d-
nych)

Obszar domkni¦ty V ⊂ R

nazywamy obszarem normalnym wzgl¦dem

pªaszczyzny Oxy, je±li mo»na go zapisa¢ w postaci

V = {(x, y, z) ∈ R

: (x, y) ∈ D

∧ h(x, y) ≤ z ≤ g(x, y)},

gdzie D

jest obszarem regularnym na pªaszczy¹nie Oxy, funkcje h i g s¡ ci¡gªe na

przy czym

h(x, y) < g(x, y)

dla (x, y) ∈ Int(D

Mo»na zauwa»y¢, »e je±li V jest obszarem normalnym wzgl¦dem pªaszczyzny Oxy,
to obszar pªaski D

jest rzutem obszaru V na t¦ pªaszczyzn¦.

Analogicznie deniuje si¦ obszary przestrzenne normalne wzgl¦dem pªaszczyzny Oxz
oraz obszary normalne wzgl¦dem pªaszczyzny Oyz.

Denicja 8.9 (Obszar regularny w przestrzeni)

Sum¦ sko«czonej liczby obsza-

rów normalnych wzgl¦dem pªaszczyzn ukªadu wspóªrz¦dnych o parami rozª¡cznych
wn¦trzach nazywamy obszarem regularnym w przestrzeni.

Denicja 8.10 (Caªka potrójna)

Niech f b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ na domkni¦tym

regularnym obszarze V ⊂ R

i niech P

oznacza podziaª obszaru V w dowolny

sposób na n domkni¦tych obszarów cz¦±ciowych V

odpowiednio o obj¦to±ciach |V

i = 1, 2, ..., n

w ten sposób, aby:

1. »adne dwa obszary V

, V

dla i 6= j nie miaªy wspólnych punktów wewn¦trz-

nych,

2. V = V

∪ V

∪ ... ∪ V

Liczb¦

= max{δ(V

) : i ∈ {1, 2, ..., n}},

gdzie δ(V

)

jest ±rednic¡ zbioruV

nazywamy ±rednic¡ podziaªu P

W ka»dym obszarze V

wybieramy punkt po-

±redni (x

, y

, z

) (i = 1, ..., n)

i tworzymy sum¦ caªkow¡

i=1

f (x

, y

, z

) · |V

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

8.4 Wªasno±ci caªki potrójnej

Je»eli dla ka»dego ci¡gu {P

}

n∈N

podziaªów obszaru V na obszary cz¦±ciowe speª-

niaj¡cego warunek lim

n→∞

= 0

i dla ka»dego wyboru punktów po±rednich w obsza-

rach cz¦±ciowych istnieje ta sama sko«czona granica ci¡gu {S

}

n∈N

sum cz¦±ciowych

funkcji f, to granic¦ t¦ nazywamy caªk¡ podwójn¡ funkcji f na obszarze V i
oznaczamy

Z Z Z

f (x, y, z)dxdydz.

Funkcj¦ f, dla której istnieje caªka podwójna na obszarze V nazywamy funkcj¡
caªkowaln¡ na obszarze V.

8.4 Wªasno±ci caªki potrójnej

Twierdzenie 8.14 (Warunek konieczny caªkowalno±ci)

Je»eli funkcja f jest caª-

kowalna na domkni¦tym, regularnym obszarze V ⊂ R

to jest funkcj¡ ograniczon¡

na tym obszarze.

Twierdzenie 8.15 (Warunek wystarczaj¡cy caªkowalno±ci)

Je»eli funkcja f jest

ci¡gªa na domkni¦tym i regularnym obszarze V ⊂ R

to jest funkcj¡ caªkowaln¡ na

obszarze V.

Twierdzenie 8.16

Je»eli funkcje f i g s¡ caªkowalne na domkni¦tym, regularnym

obszarze V ⊂ R

1. dla dowolnej liczby k ∈ R funkcja k · f jest caªkowalna na V oraz

Z Z Z

k · f (x, y, z)dxdyz = k

Z Z Z

f (x, y, z)dxdydz.

2. funkcja f + g jest te» funkcj¡ caªkowaln¡ na V oraz

Z Z Z

(f (x, y, z) + g(x, y, z))dxdydz =

Z Z Z

f (x, y, z)dxdydz

Z Z Z

g(x, y, z)dxdydz.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

8.4 Wªasno±ci caªki potrójnej

Twierdzenie 8.17 (Addytywno±¢ caªki wzgl¦dem obszaru caªkowania)

Zaªó»my,

»e domkni¦ty regularny obszar V ⊂ R

jest sum¡ domkni¦tych regularnych obsza-

rów V

i V

nie maj¡cych wspólnych punktów wewn¦trznych.

Wówczas funkcja f jest caªkowalna na obszarze V wtedy i tylko wtedy, gdy jest
caªkowalna na ka»dym z obszarów V

i V

przy czym

Z Z Z

f (x, y, z)dxdydz =

Z Z Z

f (x, y, z)dxdydz +

Z Z Z

f (x, y, z)dxdydz.

Twierdzenie 8.18 (Monotoniczno±¢ caªki potrójnej)

Je»eli funkcje f i g s¡ caª-

kowalne na domkni¦tym regularnym obszarze V ⊂ R

oraz f(x, y, z) ≤ g(x, y, z) dla

(x, y, z) ∈ V,

Z Z Z

f (x, y, z)dxdydz ≤

Z Z Z

g(x, y, z)dxdydz.

Twierdzenie 8.19

Je»eli f jest funkcj¡ caªkowaln¡ na domkni¦tym i regularnym ob-

szarze V ⊂ R

oraz m ≤ f(x, y, z) ≤ M dla ka»dego (x, y, z) ∈ V, to

m · |V | ≤

Z Z Z

f (x, y, z)dxdydz ≤ M · |V |.

Denicja 8.11 (Warto±¢ ±rednia funkcji na obszarze przestrzennym V )

War-

to±ci¡ ±redni¡ funkcji f na domkni¦tym, regularnym obszarze V ⊂ R

nazywamy

liczb¦

f±r =

|V |

Z Z Z

f (x, y, z)dxdydz,

gdzie |V | oznacza obj¦to±¢ obszaru V.

Twierdzenie 8.20 (O warto±ci ±redniej dla caªek potrójnych)

Niech funkcja f

b¦dzie ci¡gªa na domkni¦tym, regularnym obszarze V ⊂ R

Wówczas istnieje punkt

, y

, z

) ∈ V,

dla którego zachodzi równo±¢

f±r = f(x

, y

, z

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

8.5 Zamiana zmiennych w caªkach potrójnych

Twierdzenie 8.21 (O caªkach iterowanych)

Je»eli funkcja f jest ci¡gªa na domkni¦-

tym obszarze

V = {(x, y, z) ∈ R

: (x, y) ∈ D

∧ h(x, y) ≤ z ≤ g(x, y)},

normalnym wzgl¦dem pªaszczyzny Oxy, gdzie funkcje h i g s¡ ci¡gªe na obszarze
regularnym D

⊂ R

Z Z Z

f (x, y, z)dxdydz =

Z Z






g(x,y)

h(x,y)

f (x, y, z)dz






dxdy.

Uwagi:

1. Prawdziwe s¡ tak»e analogiczne wzory z caªkami iterowanymi dla funkcji f na obszarach

normalnych wzgl¦dem pozostaªych pªaszczyzn ukªadu wspóªrz¦dnych.

2. Je»eli obszar V ⊂ R

normalny wzgl¦dem pªaszczyzny Oxy mo»na zapisa¢ w postaci

V = {(x, y, z) ∈ R

: a ≤ x ≤ b ∧ g

(x) ≤ y ≤ g

(x) ∧ h

(x, y) ≤ z ≤ h

(x, y)},

to zachodzi równo±¢

Z Z Z

f (x, y, z)dxdydz =






(x)






(x,y)

f (x, y, z)dz











dx.

3. W szczególnym przypadku, gdy funkcja f jest ci¡gªa na domkni¦tym prostopadªo±cianie

V = {(x, y, z) ∈ R

: a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ p ≤ z ≤ q},

to zachodzi równo±¢

Z Z Z

f (x, y, z)dxdydz =









f (x, y, z)dz









dx.

Ponadto ostatnia równo±¢ pozostaje prawdziwa, gdy po prawej stronie zmienimy kolejno±¢
caªkowania (tzn. napiszemy inny rodzaj caªki iterowanej).

8.5 Zamiana zmiennych w caªkach potrójnych

Twierdzenie 8.22 (O zamianie zmiennych w caªkach potrójnych)

Niech odwzo-

rowanie T = (x, y, z) : U → V, U, V ⊂ R

okre±lone nast¦puj¡co:

x = x(u, v, w)

y = y(u, v, w)

z = z(u, v, w)

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

8.5 Zamiana zmiennych w caªkach potrójnych

odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie wn¦trze obszaru domkni¦tego, regularnego
V,

przy czym funkcje x, y, z maj¡ ci¡gªe pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du w

Je»eli funkcja f jest ci¡gªa w obszarze V oraz jakobian przeksztaªcenia T

D(x, y, z)

D(u, v, w)

∂x
∂u

∂x
∂v

∂x

∂w

∂y
∂u

∂y
∂v

∂y

∂w

∂z

∂u

∂z
∂v

∂z

∂w

6= 0

wewn¡trz obszaru U,

Z Z Z

f (x, y, z)dxdydz =

Z Z Z

f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))|J

|dudvdw.

Denicja 8.12 (Wspóªrz¦dne walcowe)

Poªo»enie punktu p = (x, y, z) w prze-

strzeni R

mo»na opisa¢ trójk¡ liczb (ϕ, r, h), gdzie:

ϕ - oznacza miar¦ k¡ta mi¦dzy rzutem promienia wodz¡cego punktu p na

pªaszczyzn¦ Oxy a dodatni¡ cz¦±ci¡ osi Ox, 0 ≤ ϕ < 2π (albo −π < ϕ ≤ π),

r - oznacza odlegªo±¢ rzutu punktu p na pªaszczyzn¦ Oxy od pocz¡tku ukªadu

wspóªrz¦dnych, 0 ≤ r < ∞,

h - oznacza odlegªo±¢ punktu p od pªaszczyzny Oxy poprzedzon¡ znakiem +

dla z > 0 i poprzedzon¡ znakiem − dla z < 0, −∞ < h < +∞.

Trójk¦ liczb (ϕ, r, h) nazywamy wspóªrz¦dnymi walcowymi punktu przestrzeni

Uwaga: Zale»no±¢ mi¦dzy wspóªczynnikami walcowymi i kartezja«skimi podaje przeksztaªce-

nie W okre±lone wzorami

x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

z = h.

Powy»sze przeksztaªcenie W, które punktowi (ϕ, r, h) przyporz¡dkowuje punkt (x, y, z) nazywamy
przeksztaªceniem walcowym. Jakobian tego przeksztaªcenia J

= r.

Denicja 8.13 (Wspóªrz¦dne sferyczne)

Poªo»enie punktu p = (x, y, z) w prze-

strzeni R

mo»na opisa¢ trójk¡ liczb (ϕ, φ, r), gdzie:

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

8.5 Zamiana zmiennych w caªkach potrójnych

ϕ - oznacza miar¦ k¡ta mi¦dzy rzutem promienia wodz¡cego punktu p na

pªaszczyzn¦ Oxy a dodatni¡ cz¦±ci¡ osi Ox, 0 ≤ ϕ < 2π (albo −π < ϕ ≤ π),

φ - oznacza miar¦ k¡ta mi¦dzy promieniem wodz¡cym punktu p a pªaszczyzn¡

Oxy, −

≤ φ ≤

r - oznacza odlegªo±¢ punktu p od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych 0 ≤ r < ∞.

Trójk¦ liczb (ϕ, φ, r) nazywamy wspóªrz¦dnymi sferycznymi punktu przestrzeni

Uwaga: Zale»no±¢ mi¦dzy wspóªczynnikami sferycznymi i kartezja«skimi podaje przeksztaª-

cenie S przyporz¡dkowuj¡ce punktowi (ϕ, phi, r) punkt (x, y, z) wedªug wzoru

x = r cos ϕ cos φ

y = r sin ϕ cos φ

z = r sin φ.

Powy»sze przeksztaªcenie S nazywamy przeksztaªceniem sferycznym. Jakobian tego prze-
ksztaªcenia J

= r

cos φ.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

9 Caªki krzywoliniowe nieskierowane

Rozdziaª 9

Caªki krzywoliniowe nieskierowane

Denicja 9.1 (Krzywa)

Zbiór K = {r(t) : t ∈ I} nazywamy krzyw¡ lub ªukiem,

gdy r : I → R

lub r : I → R

jest funkcj¡ ci¡gª¡ (tj. r(t) = (x(t), y(t)) oraz funkcje

i y s¡ ci¡gªe). Wówczas r nazywamy parametryzacj¡ krzywej K.

Denicja 9.2

uk K nazywamy zwykªym, gdy r jest ró»nowarto±ciowa na I.

Denicja 9.3

uk zwykªy K nazywamy gªadkim, gdy r

jest ci¡gªa (tj. r(t) =

(x(t), y(t))

oraz funkcje x i y maj¡ ci¡gªe pochodne).

Denicja 9.4

uk zwykªy K nazywamy kawaªkami gªadkim, gdy r

jest ci¡gªa i

zbiór {t ∈ I : r

(t) = 0}

jest sko«czony.

Denicja 9.5

Krzyw¡ K = r([a, b]), a < b nazywamy zamkni¦t¡, gdy r(a) = r(b).

Denicja 9.6

Krzyw¡ zamkni¦t¡ K = r([a, b]), a < b nazywamy krzyw¡ Jordana,

gdy ka»dy ze zbiorów r([a, b)) i r((a, b]) jest ªukiem kawaªkami gªadkim.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

9.1 Równania parametryczne ªuków

K :

(

x = x

+ (x

− x

y = y

+ (y

− y

t ∈ [0, 1]

K :











x = x

+ (x

− x

y = y

+ (y

− y

t ∈ [0, 1]

z = z

+ (z

− z

K :

(

x = x

+ R cos t

y = y

+ R sin t

t ∈ [0, 2π]

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

9.1 Równania parametryczne ªuków

Przykªad 9.1

K :

(

x = x

+ a cos t

y = y

+ b sin t

t ∈ [0, 2π]

Denicja 9.7 (Caªka krzywoliniowa nieskierowana)

Niech L b¦dzie gªadkim ªu-

kiem zwykªym okre±lonym równaniami parametrycznymi

x = x(t), y = y(t)

dla t ∈ [α, β].

Niech f b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ i ograniczon¡ na ªuku L i niech P

oznacza podziaª

przedziaªu [α, β] w dowolny sposób na n domkni¦tych podprzedziaªów [t

, t

i+1

]

tak,

»e t

= α

oraz t

= β.

Niech L

oznacza podziaª ªuku L odpowiadaj¡cy podziaªowi P

, tj. podziaª ªuku L

punktami A

= (x(t

), y(t

)).

Liczb¦

δP

:= max{∆t

: i ∈ {1, 2, ..., n}},

gdzie ∆t

jest dªugo±ci¡ przedziaªu [t

i−1

, t

nazywamy ±rednic¡ podziaªu P

Przez δL

oznaczamy dªugo±¢ ªuku L

W ka»dym przedziale [t

, t

i+1

]

wybieramy punkt po±redni τ

któremu odpowiada

punkt B

= (x(τ

), y(τ

)) = (x

, y

)

i tworzymy sum¦ caªkow¡

i=1

f (x

, y

) · δL

Je»eli dla ka»dego ci¡gu {P

}

n∈N

podziaªów przedziaªu [α, β], speªniaj¡cego warunek

lim

n→∞

δP

= 0

i dla ka»dego wyboru punktów po±rednich τ

istnieje ta sama sko«czona

granica ci¡gu {S

}

n∈N

sum cz¦±ciowych funkcji f, to granic¦ t¦ nazywamy caªk¡

krzywoliniow¡ nieskierowan¡ funkcji f po ªuku L i oznaczamy

f (x, y)dl = lim

δP

→0

i=1

f (x

, y

) · δL

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

9.2 Zastosowania caªki nieskierowanej

Denicja 9.8

Je»eli L jest ªukiem kawaªkami gªadkim oraz L skªada si¦ z ªuków

gªadkich L

, L

, ..., L

oraz f jest funkcj¡ ograniczon¡ na L, to caªk¦ krzywoliniow¡

nieskierowan¡ z funkcji f po ªuku L deniujemy nast¦puj¡co:

f dl :=

f dl +

f dl + ... +

f dl.

Twierdzenie 9.1

Je»eli istniej¡ caªki krzywoliniowe nieskierowane z funkcji f i g po

ªuku kawaªkami gªadkim L, to

(f + g)dl =

f dl +

gdl

oraz

(c · f )dl = c ·

f dl.

Twierdzenie 9.2 (O zamianie caªki nieskierowanej na oznaczon¡)

Je»eli L =

{(x(t), y(t)) : t ∈ [a, b]}

jest ªukiem gªadkim oraz funkcja f jest na ªuku L ograni-

czona, to

f (x, y)dl =

f (x(t), y(t))

(t))

+ (y

(t))

dt.

Uwaga: Caªka krzywoliniowa niezorientowana nie zale»y od parametryzacji krzywej.

9.2 Zastosowania caªki nieskierowanej

Twierdzenie 9.3 (Dªugo±¢ ªuku)

Dªugo±¢ ªuku L wyra»a si¦ wzorem

|L| =

dl.

Twierdzenie 9.4

Niech S oznacza powierzchni¦ boczn¡ walca o tworz¡cych przecho-

dz¡cych przez ªuk L ⊂ R

równolegªych do osi Oz o dªugo±ci f(x, y) ≥ 0 w punkcie

(x, y).
Wtedy pole pªata S wyra»a si¦ wzorem

|S| =

f (x, y)dl.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

9.2 Zastosowania caªki nieskierowanej

Twierdzenie 9.5 (Masa ªuku)

Masa ªuku L o g¦sto±ci liniowej ρ wyra»a si¦ wzorem

M =

ρ(x, y)dl.

Twierdzenie 9.6 (Momenty statyczne)

Momenty statyczne wzgl¦dem pªaszczyzn

ukªadu wspóªrz¦dnych ªuku materialnego L o g¦sto±ci liniowej ρ wyra»aj¡ si¦ wzo-
rami

M S

yρ(x, y)dl,

M S

xρ(x, y)dl.

Twierdzenie 9.7 (Wspóªrz¦dne ±rodka masy)

Wspóªrz¦dne ±rodka masy ªuku ma-

terialnego L o g¦sto±ci liniowej ρ wyra»aj¡ si¦ wzorami

x =

M S

y =

M S

Twierdzenie 9.8 (Momenty bezwªadno±ci)

Momenty bezwªadno±ci wzgl¦dem osi

Ox, Oy, Oz

ªuku materialnego L ⊂ R

o g¦sto±ci liniowej masy ρ wyra»aj¡ si¦

wzorami

+ z

)ρ(x, y, z)dl,

+ z

)ρ(x, y, z)dl,

+ y

)ρ(x, y, z)dl.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

10 Caªki krzywoliniowe skierowane

Rozdziaª 10

Caªki krzywoliniowe skierowane

Denicja 10.1

uk gªadki, w którym jeden z dwóch ko«ców wyró»niono nazywa-

j¡c go pocz¡tkiem, a drugi ko«cem, nazywamy ªukiem gªadkim skierowanym
(zorientowanym).

Denicja 10.2

Niech równania

x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β]

okre±laj¡ ªuk gªadki.
uk skierowany opisany tymi równaniami, którego pocz¡tkiem jest punkt A =
(x(α), y(α)),

a ko«cem punkt B = (x(β), y(β)) oznaczamy symbolem .

Mówimy wówczas, »e skierowanie ªuku jest zgodne z jego parametryzacj¡. uk skie-
rowany opisany tymi równaniami, którego pocz¡tkiem jest punkt B = (x(β), y(β)),
a ko«cem punkt A = (x(α), y(α)) oznaczamy symbolem BA.
Mówimy wówczas, »e skierowanie ªuku jest przeciwne do jego parametryzacji. Po-
nadto, mówimy wówczas, »e ªuki AB i BA s¡ przeciwnie skierowane i zapisujemy
AB = −BA.

Denicja 10.3

Krzywa zamkni¦ta kawaªkami gªadka jest skierowana dodatnio,

gdy obserwator poruszaj¡cy si¦ po tej krzywej zgodnie z jej skierowaniem obchodzi
obszar ograniczony t¡ krzyw¡ w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
W przeciwnym przypadku krzywa jest skierowana ujemnie.

Denicja 10.4 (Caªka krzywoliniowa skierowana)

Niech L b¦dzie skierowanym

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

10 Caªki krzywoliniowe skierowane

ªukiem o pocz¡tku A i ko«cu B. okre±lonym równaniami parametrycznymi

x = x(t), y = y(t)

dla t ∈ [α, β].

Niech P i Q b¦d¡ funkcjami okre±lonymi w ka»dym punkcie ªuku L i niech U

ozna-

cza podziaª przedziaªu [α, β] w dowolny sposób na n domkni¦tych podprzedziaªów
[t

, t

i+1

]

tak, »e t

= α

oraz t

= β.

Niech L

oznacza podziaª ªuku L odpowiadaj¡cy podziaªowi U

, tj. podziaª ªuku L

punktami A

= (x(t

), y(t

)).

Liczb¦

δU

:= max{∆t

: i ∈ {1, 2, ..., n}},

gdzie ∆t

jest dªugo±ci¡ przedziaªu [t

i−1

, t

nazywamy ±rednic¡ podziaªu U

Oznaczmy

ponadto: ∆x

= x(t

) − x(t

i−1

)

oraz ∆y

= y(t

) − y(t

i−1

Przez δL

oznaczamy dªugo±¢ ªuku L

W ka»dym przedziale [t

, t

i+1

]

wybieramy punkt po±redni τ

któremu odpowiada

punkt B

= (x(τ

), y(τ

)) = (x

, y

)

i tworzymy sum¦ caªkow¡

i=1

[P (x

, y

)∆x

+ Q(x

, y

)∆y

] .

Je»eli dla ka»dego ci¡gu {U

}

n∈N

podziaªów przedziaªu [α, β], speªniaj¡cego warunek

lim

n→∞

δU

= 0

i dla ka»dego wyboru punktów po±rednich τ

istnieje ta sama sko«-

czona granica ci¡gu {S

}

n∈N

sum cz¦±ciowych S

to granic¦ t¦ nazywamy caªk¡

krzywoliniow¡ skierowan¡ pary funkcji P i Q po ªuku L i oznaczamy

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = lim

δU

→0

i=1

P (x

, y

) · ∆x

+ Q(x

, y

) · ∆y

Uwaga: J»eeli istnieje caªka krzywoliniowa skierowana pary funkcji P i Q po ªuku skierowanym

to istnieje caªka krzywoliniowa skierowana pary funkcji P i Q po ªuku przeciwnie skierowanym

−L,

przy czym

−L

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = −

P (x, y)dx + Q(x, y)dy.

Denicja 10.5

Je»eli L jest krzyw¡ skierowan¡ kawaªkami gªadk¡ oraz L skªada si¦

z krzywych skierowanych kawaªkami gªadkich L

, L

, ..., L

oraz f jest funkcj¡ ogra-

niczon¡ na L, to caªk¦ krzywoliniow¡ skierowan¡ z funkcji f po ªuku L de-
niujemy nast¦puj¡co:

P (x, y)dx + Q(x, y)dy :=

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

10.1 Zastosowania caªki skierowanej

P (x, y)dx + Q(x, y)dy + ... +

P (x, y)dx + Q(x, y)dy.

Twierdzenie 10.1

Je»eli funkcje P i Q s¡ ci¡gªe na ªuku gªadkim skierowanym L, to

s¡ caªkowalne na tym ªuku.

Twierdzenie 10.2 (O zamianie caªki skierowanej na oznaczon¡)

Je»eli funkcje

i Q s¡ ci¡gªe na ªuku gªadkim

x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β]

skierowanym zgodnie z jego parametryzacj¡, to

P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

[P (x(t), y(t))(x

(t)) + Q(x(t), y(t))(y

(t))] dt.

10.1 Zastosowania caªki skierowanej

Twierdzenie 10.3 (Praca siªy)

Praca zmiennej siªy F (x, y) = [P (x, y), Q(x, y)] na

ªuku L wyra»a si¦ wzorem

W =

P (x, y)dx + Q(x, y)dy.

Twierdzenie 10.4 (Twierdzenie Greena)

Je»eli funkcje P, Q oraz ich pochodne P

i Q

0
x

s¡ ci¡gªe na obszarze D normalnym wzgl¦dem obu osi ukªadu wspóªrz¦dnych,

a brzegiem obszaru D jest dodatnio skierowana krzywa kawaªkami gªadka L, to

P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

Z Z

0
x

(x, y) − P

(x, y))dxdy.

Przykªad 10.1

Obliczy¢ caªk¦ krzywoliniow¡ R

√

y − xdx + xdy,

gdzie krzywa L jest

odcinkiem o pocz¡tku w punkcie A(2, 3) i ko«cu w punkcie B(0, 9).

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

10.1 Zastosowania caªki skierowanej

Denicja 10.6

Obszar D nazywamy jednospójnym, gdy wn¦trze ka»dej krzywej

zamkni¦tej zawartej w obszarze D równie» zawiera si¦ w tym obszarze.

Twierdzenie 10.5

Obszar D jest jednospójny, gdy jego dopeªnienie jest zbiorem spój-

nym.

Denicja 10.7

Mówimy, »e caªka krzywoliniowa skierowana pary funkcji P, Q

nie zale»y od drogi caªkowania w jednospójnym obszarze D, a zale»y jedunie
od punktu pocz¡tkowego i ko«cowego drogi caªkowania, gdy dla ka»dych dwóch
krzywych L

i L

o wspólnym pocz¡tku i wspólnym ko«cu, zawartych w obszarze

caªki

P (x, y)dx + Q(x, y)dy,

P (x, y)dx + Q(x, y)dy

s¡ równe.

Twierdzenie 10.6 (Warunek konieczny i wystarczaj¡cy niezale»no±ci caªki
krzywoliniowej skierowanej od drogi caªkowania)

Niech P i Q s¡ klasy C

jednospójnym obszarze D.
Wówczas caªka krzywoliniowa pary funkcji P, Q nie zale»y od drogi caªkowania w
obszarze D wtedy i tylko wtedy, gdy wyra»enie

P (x, y)dx + Q(x, y)dy

jest ró»niczk¡ zupeªn¡ pewnej funkcji w tym obszarze.
W takim przypadku, je»eli F jest t¡ funkcj¡, R

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = F (B) −

F (A).

Twierdzenie 10.7

Niech P i Q s¡ klasy C

na jednospójnym obszarze D.

Wówczas P (x, y)dx+Q(x, y)dy jest ró»niczk¡ zupeªn¡ pewnej funkcji w tym obszarze
wtedy i tylko wtedy, gdy

∂P

∂y

∂Q

∂x

dla (x, y) ∈ D.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

BIBLIOGRAFIA

Bibliograa

[1] Gewert M., Skoczylas Z.: Matematyka dla studentów politechnik: Ana-

liza Matematyczna 2. Defnicje, twierdzenia, wzory. Zadania, przykªady.
Ocyna Wydawnicza GiS. Wrocªaw 2000.

[2] Dobrowolska K., Dyczka W., Jakuszenkow H.: Matematyka dla studen-

tów studiów technicznych, cz. 2, HELPMATH, ód¹ 1999.

[3] Terepeta M., Dems K., Jó¹wik I., Szymczak D.: Analiza Matematyczna

i Algebra, Kolokwia i Egzaminy cz. 2, Wydawnictwo P, ód¹ 2009.

[4] Fichtenholz G.M.: Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, PWN, Warszawa

1985.

[5] Krysicki W., Wªodarski L.: Analiza matematyczna w zadaniach, PWN,

Warszawa 1996.

CMF P 2014

dr in». Gertruda Gwó¹d¹-ukawska

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Matematyka wykład 1
Matematyka Wykład 1 10 14
mat, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, Sprawozdania, studia, Matematyka, MATEMATYKA WYKŁADY
Matematyka wykład
Fizyka Matematyczna Wykłady
Analiza matematyczna Wykłady, GRANICE FUNKCJI
matematyka wykłady
Statystyka matematyczna, Wykład 9
Analiza matematyczna Wykłady, CIAGI LICZBOWE
Analiza matematyczna wykład(1)(1)
Analiza matematyczna. Wykłady CAŁKI NIEOZNACZONE
29 04 07r matematyka, wykład
matematyka wykłady z równan różniczkowych
Statystyka matematyczna - wyklad 1, Studia materiały
Analiza matematyczna. Wykłady GRANICE FUNKCJI
Matematyka wyklad
tablice-matematyczne, Matematyka wykład
Analiza matematyczna, Analiza matematyczna - wykład, Ściąga z wykładów
Matematyka - Wykład 1, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Matematyka

więcej podobnych podstron