1280. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{n}{1 + \ 4^{n}}}$ jest zbieżny

Kryterium porównawcze :

$\frac{n}{1 + \ 4^{n}}$ < $\frac{n}{4^{n}}$

Kryterium Cauchy’ego :

$\operatorname{}\sqrt[n]{\frac{n}{4^{n}}}$ = $\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{\sqrt[n]{n}}{4} = \ \frac{1}{4}\ < 1 \Rightarrow \ \ \sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{n}{4^{n}}}\text{\ jest\ \ zbie}z\text{ny}$

1281. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{n - 1}{n^{3} + \ 1}\ \sqrt{n}}\text{\ \ jest\ \ zbie}z\text{ny\ }$

Kryterium porównawcze :

$\frac{n - 1}{n^{3}}\ \sqrt{n}\ < \ \frac{n}{n^{3} + \ 1}\ \sqrt{n}\ < \ \ \frac{n}{n^{3}}\ \sqrt{n} = \ \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\text{\ \ jest\ \ szeregiem\ \ harmonicznym\ \ zbie}z\text{nym}}$

1282. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{1}{\sqrt{n + 1}}}\ 2^{n}\ jest\ \ rozbiezny$

Warunek konieczny zbieżności : 

$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{2^{n}}{\sqrt{n + 1}}\ \begin{matrix} \lbrack H\rbrack \\ = \\ \end{matrix}$ $\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}2^{n + 1}\ln\left( 2 \right)\sqrt{n + 1} = \infty \Rightarrow \ $. $\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{2^{n}}{\sqrt{n + 1}}\text{\ jest\ rozbie}z\text{ny}}$

1283. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{1}{{4n}^{2} - \ 1}}\text{\ jest\ \ zbie}z\text{ny\ }$

Kryterium porównawcze :

$\frac{1}{{4n}^{2} - \ 1}\ < \ \frac{1}{n^{2}}$

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{1}{n^{2}}}\ jest\ \ szeregiem\ \ \ harmonicznym\ \ zbieznym$

1284.$\ \sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{1}{n(\ 1 + \ \sqrt{\ln(n)}}\text{\ \ jest\ rozbie}z\text{ny\ }}$ Kryterium kondensacyjne :

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\ 2^{n}\ \frac{2}{2^{n}\lbrack 1 + \ \sqrt{\ln\left( 2^{n} \right)}\rbrack} = \ }\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{2}{1 + \ \sqrt{\ln\left( 2 \right)}\ \sqrt{n}}}$ Kryterium porównawcze :

$\frac{2}{1 + \ \sqrt{ln(2)}\sqrt{n}}\ > \ \frac{2}{1 + \ \sqrt{n}}\ > \ \frac{2}{2\sqrt{n}} = \ \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}$

$$\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\text{\ \ jest\ \ szeregiem\ \ harmonicznym\ \ rozbie}z\text{nym\ }}$$

1285. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{(3 + \ \sqrt{\text{n\ }})^{n}}{(n + 1)^{n + 2}}\text{\ \ jest\ zbie}z\text{ny\ }}$

Kryterium porównawcze :

$\frac{(\ 3 + \ {\sqrt{n})}^{n}}{{(n + 1\ )}^{n + 2}}\ < \ \frac{{(\ 3 + \ \sqrt{n})}^{n}}{n^{n + 2}}\ < \ \frac{{(\ 4\ \sqrt{n})}^{n}}{n^{n + 2}}$

Kryterium Cauchy’ego :

$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\ \sqrt[n]{\frac{{(4\ \sqrt{n})}^{n}}{n^{n + 2}} = \ \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{4\ \sqrt{n}}{n^{\frac{n + 2}{n}}}} = \ \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{4}{n^{\frac{3n + 4}{2n}}} = 0\ < 1\ \Rightarrow \ $ $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{(4\sqrt{\text{n\ }})^{n}}{n^{n + 2}}\text{\ \ jest\ zbie}z\text{ny\ }}$

1286. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{\sqrt{n!\ }}{n^{\frac{n}{2}}}\text{\ \ jest\ zbie}z\text{ny\ }}$

Kryterium d’Alamberta :

$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\ \frac{\frac{\sqrt{\left( n + 1 \right)!}}{{(n + 1)}^{\frac{n + 1}{2}}}}{\frac{\sqrt{n!}}{n^{\frac{n}{2}}}} = \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\text{\ \ }\frac{\frac{\sqrt{n!}{(n + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(n + 1)}^{\frac{n + 1}{2}}}}{\frac{\sqrt{n!}}{n^{\frac{n}{2}}}} = \ \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\ (\frac{n}{n + 1})^{\frac{n}{2}} = \ \frac{1}{\sqrt{e}}\ < 1 \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{\sqrt{n!\ }}{n^{\frac{n}{2}}}\text{\ \ jest\ zbie}z\text{ny\ }}\ $

1287. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\ \ (\frac{n}{\sqrt{\text{n\ }} + 1})^{n}\text{\ \ jest\ rozbie}z\text{ny\ }}$

Warunek konieczny zbieżności :

$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\ (\frac{n}{\sqrt{n} + 1})^{n} = \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\ (\frac{\sqrt{n}}{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}})^{n} = \infty\ \Rightarrow \backslash t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{n = 1}^{\infty}{\ \frac{2^{n}}{\sqrt{n + 1}}\text{\ \ jest\ rozbie}z\text{ny\ }}\ $

1288.$\ \sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{n}{3^{n}}\text{\ jest\ zbie}z\text{ny\ }}$

Kryterium Cauchy’ego:

$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\ \sqrt[n]{\frac{n}{3^{n}} = \ }\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\ \frac{\sqrt[n]{n}}{3} = \ \frac{1}{3}\ < 1\ \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{n}{3^{n}}\text{\ jest\ zbie}z\text{ny\ }}\ $

1289. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{1}{\sqrt{2n^{2} - 1}}\text{\ jest\ rozbie}z\text{ny\ }}$

Kryterium porównawcze:

$\frac{1}{\sqrt{2n^{2} - 1}}\ > \ \frac{1}{\sqrt{2n^{2}}} = \ \frac{1}{\sqrt{2}n}$

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{1}{\sqrt{2}n}\text{\ jest\ szeregiem\ \ harmonicznym\ \ rozbie}z\text{nym\ }}$

1290. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{2^{n}}{nn!}\text{\ jest\ zbie}z\text{ny\ }}$

Kryterium d’Alamberta :

$\text{\ \ \ \ }\lim_{n\ \rightarrow \ \infty} = \ \frac{\frac{2^{n + 1}}{\left( n + 1 \right)\left( n + 1 \right)!}}{\frac{2^{n}}{nn!}} = \ \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{\frac{2 \bullet 2^{n}}{\left( n + 1 \right)n!(n + 1)}}{\frac{2^{n}}{nn!}} = \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{2n}{n^{2} + 2n + 1} = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{2}{n + 2 + \frac{1}{n}} = 0 < 1 \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{2^{n}}{nn!}\text{\ jest\ zbie}z\text{ny\ }}$

1291. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{n - 1}{n \bullet 2^{n}}\text{\ jest\ zbie}z\text{ny\ }}$

Kryterium porównawcze :

$\frac{n - 1}{n \bullet 2^{n}}\ < \ \frac{n}{n \bullet 2^{n}} = \frac{1}{2^{n}}$

Kryterium Cauchy’ego:

$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{2^{n}}} = \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{1}{2} = \frac{1}{2} < 1 \Rightarrow \ \sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{1}{2^{n}}\text{\ jest\ zbie}z\text{ny\ }}\text{\ \ }$

1292. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{\ln(n)}{n + 1}\text{\ jest\ rozbie}z\text{ny\ }}$

Kryterium kondensacyjne:

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\ 2^{n}\ \frac{\ln(2^{n})}{2^{n} + 1}\text{\ \ }} = \ \sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{2^{n}\text{nln}(2)}{2^{n} + 1}}$

Kryterium porównawcze:

$\frac{2^{n}nln(2)}{2^{n} + 1}\ > \frac{2^{n}nln(2)}{{2 \bullet 2}^{n}} = \ \frac{nln(2)}{2}\ $

Warunek konieczny zbieżności :

$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\ \frac{nln(2)}{2}\ = \ \infty\ \Rightarrow \ \sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{\text{nln}(2)}{2}\text{\ jest\ rozbie}z\text{ny\ }}$

1293. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{\sqrt{n} + arc\ tg(n)}{n^{2} + arc\ tg(n)}\text{\ jest\ zbie}z\text{ny\ }}$

Kryterium porównawcze :

$\frac{\sqrt{n} + arc\ tg(n)}{n^{2} + arc\ tg\ (n)}\ < \ \frac{\sqrt{n} + \sqrt{n}}{n^{2} + arc\ tg(n)}\ < \ \frac{2\sqrt{n}}{n^{2}} = \ \frac{2}{n^{\frac{3}{2}}}$

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{2}{n^{\frac{3}{2}}}\text{\ jest\ \ szeregiem\ \ harmonicznym\ zbie}z\text{nym\ }}$

1294. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{n}{\sqrt{n^{4} + 2}}\text{\ jest\ rozbie}z\text{ny\ }}$

Kryterium porównawcze:

$\frac{n}{\sqrt{n^{4} + 2}} > \frac{n}{\sqrt{3n^{4}}} = \frac{1}{\sqrt{3}n}$

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{1}{\sqrt{3}n}\text{\ jest\ \ szeregiem\ \ harmonicznym\ rozbie}z\text{nym\ }}$

1295. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\ ( - 1)^{n}\ \frac{n^{4}}{e^{n}}\text{\ jest\ bezwzgl}e\text{dnie\ zbie}z\text{ny\ }}$

Kryterium bezwzględnej zbieżności:

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\ \left| ( - 1)^{n}\ \frac{n^{4}}{e^{n}} \right| = \ }\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{n^{4}}{e^{n}}\text{\ \ }}$

Kryterium Cauchy’ego:

$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\ \sqrt[n]{\frac{n^{4}}{e^{n}} =}\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\ \frac{\sqrt[n]{n^{4}}}{e} = \ \frac{1}{e} < 1 \Rightarrow \ \sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{n^{4}}{e^{n}}\text{\ \ }}\text{\ jest\ \ zbie}z\text{ny}$

1296. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{1}{\left( n + 1 \right)(2n + 1)}\text{\ jest\ \ zbie}z\text{ny\ }}$

Kryterium porównawcze:

$\frac{1}{\left( n + 1 \right)(2n + 1)}\ < \ \frac{1}{n(2n + 1)}\ < \frac{1}{2n^{2}}$

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{1}{2n^{2}}\text{\ jest\ szeregiem\ harmonicznym\ zbie}z\text{nym\ }}$

1297. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\ \ (\frac{2n - 1}{3n - 1})^{n}\text{\ jest\ \ zbie}z\text{ny\ }}$

Kryterium Cauchy’ego:

$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\ \sqrt[n]{(\frac{2n - 1}{3n - 1})^{n}} = \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\ \frac{2n - 1}{3n - 1} = \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{2 - \frac{1}{n}}{3 - \frac{1}{n}} = \frac{2}{3}\ < 1\ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{n = 1}^{\infty}{\ \ (\frac{2n - 1}{3n - 1})^{n}\text{\ jest\ \ zbie}z\text{ny\ }}$

1298. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{n!}{2^{n} + n^{2}}\text{\ jest\ \ rozbie}z\text{ny\ }}$

Kryterium porównawcze :

$\frac{n!}{2^{n} + 2^{2}} > \frac{n!}{2^{n} + 2^{n}} = \frac{n!}{2^{n + 1}}$

Kryterium d’Alamberta:

$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{\frac{\left( n + 1 \right)!}{2^{n + 2}}}{\frac{n!}{2^{n + 1}}} = \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{\frac{n!\left( n + 1 \right)}{{2 \bullet 2}^{n + 1}}}{\frac{n!}{2^{n + 1}}} = \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{n + 1}{2} = \infty\ > 1\ \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{n!}{2^{n + 1}}\text{\ jest\ \ rozbie}z\text{ny\ }}$

1299. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{\sqrt{n + 6}}{n^{2}}\text{\ jest\ \ zbie}z\text{ny\ }}$

Kryterium porównawcze:

$\frac{\sqrt{n + 6}}{n^{2}} < \frac{\sqrt{7n}}{n^{2}} = \frac{\sqrt{7}}{n^{\frac{3}{2}}}$

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\ \frac{\sqrt{7}}{n^{\frac{3}{2}}}\text{\ \ jest\ szeregiem\ \ harmonicznym\ zbie}z\text{nym\ }}$

1300.$\ \sum_{n = 2}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{1}{(\ln\left( n \right))^{n}}\text{\ jest\ \ zbie}z\text{ny\ }}$

Kryterium Cauchy’ego:

$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{(ln(n))^{n}}} = \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{1}{ln(n)} = 0 < 1 \Rightarrow \sum_{n = 2}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{1}{(\ln\left( n \right))^{n}}\text{\ jest\ \ zbie}z\text{ny\ }}$

1301. $\sum_{n = 2}^{\infty}{\ \ ( - 1)^{n}\frac{1}{n - \sqrt{n}}\text{\ jest\ \ zbie}z\text{ny\ }}$

Kryterium Leibniza:

1. $\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\ ( - 1)^{n}\ \frac{1}{n - \sqrt{n}} = \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}( - 1)^{n}\ \frac{1}{n\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{n}} \right)} = 0$

2. $\left| ( - 1)^{n + 1}\frac{1}{n + 1 - \sqrt{n + 1}} \right| < \left| ( - 1)^{n}\frac{1}{n - \sqrt{n}} \right|$

$\frac{1}{n + 1 - \sqrt{n + 1}} < \frac{1}{n - \sqrt{n}}$

n+1-$\sqrt{n + 1}\ > n - \sqrt{n}$

$\sqrt{n + 1}\ < \sqrt{n + 1}\ $

Ponieważ obydwa warunki są spełnione ⇒ $\sum_{n = 2}^{\infty}{\ \ ( - 1)^{n}\frac{1}{n - \sqrt{n}}\text{\ jest\ \ zbie}z\text{ny\ }}$

1302. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\ \ (\frac{1 - n}{n^{2}})^{n}\text{\ jest\ \ bezwzgl}e\text{dnie\ \ zbie}z\text{ny\ }}$

Kryterium bezwzględnej zbieżności :

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ \ }\left| (\frac{1 - n}{n^{2}})^{n} \right| = \sum_{n = 1}^{\infty}{\ \ (\frac{n - 1}{n^{2}})^{n}\ }\ }$

Kryterium Cauchy’ego:

$\text{\ \ }\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\sqrt[n]{(\frac{n - 1}{n^{2}})^{n}} = \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\ \frac{n - 1}{n^{2}} = \ \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\ \frac{1 - \frac{1}{n}}{n} = 0 < 1 \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{n = 1}^{\infty}{\ \ (\frac{1 - n}{n^{2}})^{n}\text{\ jest\ \ zbie}z\text{ny\ }}$

1303. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{ln(n)}{n\sqrt{n}}\text{\ jest\ \ zbie}z\text{ny\ }}$

Kryterium kondensacyjne:

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }2^{n}\frac{ln(2^{n})}{2^{n}\sqrt{2^{n}}}\ = \ \sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{nln(2)}{\sqrt{2^{n}}}\text{\ \ }}}$

Kryterium Cauchy’ego:

$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\sqrt[n]{\frac{nln(2)}{\sqrt{2^{n}}}} = \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{\sqrt[n]{n}\sqrt[n]{ln(2)}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1 \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{nln(2)}{\sqrt{2^{n}}}\text{\ \ }}\text{jest\ \ zbie}z\text{ny}$

1304. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\sqrt{n}\text{\ arc\ }\text{ctg}^{n}\left( n \right)\text{\ \ jest\ \ zbie}z\text{ny\ \ }}$

Kryterium Cauchy’ego:$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\sqrt[n]{\sqrt{n}\text{\ arc\ }\text{ctg}^{n}(n)\ } = \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\ \sqrt[n]{n^{\frac{1}{2}}}$ arc ctg(n) = 0 < 1⇒$\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\sqrt{n}\text{\ arc\ }\text{ctg}^{n}\left( n \right)\text{\ \ jest\ \ zbie}z\text{ny\ \ }}$

1305. $\sum_{n = 2}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{1}{\sqrt{n}ln(n)}\text{\ \ jest\ \ rozbie}z\text{ny\ \ }}$

Kryterium porównawcze :

$\frac{1}{\sqrt{n}ln(n)} > \frac{1}{\sqrt{n\sqrt{n}}} = \frac{1}{n}$

$\sum_{n = 2}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{1}{n}\text{\ \ jest\ \ szeregiem\ \ harmonicznym\ \ rozbie}z\text{nym\ \ }}$

1306. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\ \ (\frac{\pi}{4})^{n}\text{\ \ jest\ \ zbie}z\text{ny\ \ }}$

Kryterium Cauchy’ego:

$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\sqrt[n]{(\frac{\pi}{4})^{n}} = \ \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\ \frac{\pi}{4} = \ \frac{\pi}{4}\ < 1 \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty}{\ \ (\frac{\pi}{4})^{n}\text{\ \ jest\ \ zbie}z\text{ny\ \ }}$

1307. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{2^{n} + n}{n! + n}\text{\ \ jest\ \ zbie}z\text{ny\ \ }}$

Kryterium porównawcze:

$\frac{2^{n} + n}{n! + n} < \frac{2 \bullet 2^{n}}{n! + n} < \frac{2 \bullet 2^{n}}{n!}$

Kryterium dAlamberta:

$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{\frac{2 \bullet 2^{n + 1}}{\left( n + 1 \right)!}}{\frac{2 \bullet 2^{n}}{n!}} = \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{\frac{4 \bullet 2^{n}}{\left( n + 1 \right)n!}}{\frac{2 \bullet 2^{n}}{n!}} = \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{2}{n + 1} = 0 < 1 \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{2^{n} + n}{n! + n}\text{\ \ jest\ \ zbie}z\text{ny\ \ }}$

1308. $\ \sum_{n = 2}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{1}{\sqrt{n^{3} - n}}\text{\ \ jest\ \ zbie}z\text{ny\ \ }}$

Kryterium porównawcze:

$\frac{1}{\sqrt{n^{3} - n}} < \frac{1}{\sqrt{n^{3} - {\frac{1}{2}n^{3}}}} = \frac{\sqrt{2}}{n^{\frac{3}{2}}}$

$\sum_{n = 2}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{\sqrt{2}}{n^{\frac{3}{2}}}\text{\ \ jest\ szeregiem\ harmonicznym\ \ zbie}z\text{nym\ \ }}$

1309. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{ln(n)}{n^{2}}\text{\ \ jest\ \ zbie}z\text{ny}}$

Kryterium kondensacyjne:

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{ln(2^{n})}{2^{n2}} = \sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{2^{n}nln(2)}{2^{n} \bullet 2^{n}} = \ \ }\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{nln(2)}{2^{n}}\ }\text{\ \ }}$

Kryterium Cauchy’ego:

$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\sqrt[n]{\frac{nln(2)}{2^{n}} =}\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{\sqrt[n]{n}\sqrt[n]{ln(2)}}{2^{n} \bullet 2^{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{nln(2)}{2^{n}}\ }$

Kryterium Cauchy’ego:

$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\sqrt[n]{\frac{nln(2)}{2^{n}} =}\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{\sqrt[n]{n}\sqrt[n]{ln(2)}}{2} = \frac{1}{2} < 1 \Rightarrow \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{nln(2)}{2^{n}}\ }\text{jest\ \ zbie}z\text{ny}$

1310. $\sum_{n = 2}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{ln^{2}(n)}{2n(\sqrt{n} - \sqrt[3]{n)}}\text{\ \ jest\ \ zbie}z\text{ny}}$

Kryterium kondensacyjne :

$\sum_{n = 2}^{\infty}{2^{n}\text{\ \ }\frac{ln^{2}(2^{n})}{2 \bullet 2^{n}(\sqrt{2^{n}} - \sqrt[3]{2^{n})}} = \sum_{n = 2}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{n^{2}ln^{2}(2)}{2\sqrt{2^{n}}(1 - \frac{\sqrt[3]{2^{n}}}{\sqrt{2^{n}}})}}}$

Kryterium Cauchy’ego:

$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\sqrt[n]{\frac{n^{2}\ln^{2}(2)}{2\sqrt{2^{n}}(1 - \frac{\sqrt[3]{2^{n}}}{\sqrt{2^{n}}})}} = \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{\sqrt[n]{n^{2}}\sqrt[3]{\ln^{2}(2)}}{\sqrt[n]{2}\sqrt{2}(1 - \frac{1}{\sqrt[6]{2^{n}}})^{\frac{1}{n}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1 \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{n = 2}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{n^{2}ln^{2}(2)}{2\sqrt{2^{n}}(1 - \frac{\sqrt[3]{2^{n}}}{\sqrt{2^{n}}})}}\text{\ jest\ \ zbie}z\text{ny}$

1311. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{\sqrt{n!}}{n^{2}2^{n}}\text{\ \ jest\ \ rozbie}z\text{ny}}$

Kryterium d’Alamberta:

$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{\frac{\sqrt{\left( n + 1 \right)!}}{(n + 1)^{2}2^{n + 1}}}{\frac{\sqrt{n!}}{n^{2}2^{n}}} = \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{\frac{\sqrt{n!}\sqrt{n + 1}}{2(n + 1)^{2}2^{n}}}{\frac{\sqrt{n!}}{n^{2}2^{n}}} = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{n^{2}\sqrt{n + 1}}{2(n + 1)^{2}}$=$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{\sqrt{n + 1}}{2(n + 1)^{2}}$=$\lim_{n\ \rightarrow \ \infty}\frac{\sqrt{n + 1}}{2(1 + \frac{1}{n})^{2}} = \infty > 1 \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{\sqrt{n!}}{n^{2}2^{n}}\text{\ \ jest\ \ rozbie}z\text{ny}}$

1312. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{\sqrt{arc\ tg(n)}}{2n}\text{\ \ jest\ \ rozbie}z\text{ny}}$

Kryterium porównawcze:

$\frac{\sqrt{arc\ tg(n)}}{2n} > \frac{1}{2n}$

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{1}{2n}\text{\ \ jest\ \ szeregiem\ \ harmonicznym\ \ rozbie}z\text{ny}}m$

1313. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\ (\ \frac{1}{1 - 2n})^{2}\text{\ \ jest\ \ zbie}z\text{ny}}$

Kryterium porównawcze:

$\frac{1}{(1 - 2n)^{2}} < \frac{1}{(2n - n)^{2}} = \frac{1}{n^{2}}$

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{1}{n^{2}}\text{\ jest\ \ szeregiem\ \ harmonicznym\ \ zbie}z\text{ny}}$m

1314. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{\sqrt[3]{n}}{n\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} + 1}\text{\ \ jest\ \ zbie}z\text{ny}}$

Kryterium porównawcze:

$\ \frac{\sqrt[3]{n}}{n\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} + 1} < \frac{\sqrt[3]{n}}{n\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}} < \frac{\sqrt[3]{n}}{n\sqrt{n} - \sqrt{n}} < \frac{\sqrt[3]{n}}{n\sqrt{n} - \frac{1}{2}n\sqrt{n}} = \frac{\sqrt[3]{n}}{\frac{1}{2}n\sqrt{n}} = \frac{2}{n^{\frac{7}{6}}}$

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{2}{n^{\frac{7}{6}}}\text{\ \ jest\ \ szeregiem\ \ harmonicznym\ \ zbie}z\text{nym}}$

1315. $\sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{\ln\left( n \right)}{n(\ln^{2}\left( n \right) + 1)}\text{\ \ jest\ \ rozbie}z\text{ny}}$

Kryterium kondensacyjne:

$\sum_{n = 1}^{\infty}{\ 2^{n}\ \frac{ln(2^{n})}{2^{n}\lbrack\ln^{2}\left( 2^{n} \right) + 1\rbrack} = \ \sum_{n = 1}^{\infty}{\text{\ \ }\frac{nln(2)}{n^{2}\ln^{2}\left( 2 \right) + 1}}\ }$

Kryterium porównawcze:

$\frac{nln(2)}{n^{2}\ln^{2}\left( 2 \right) + 1} > \frac{nln(2)}{n^{2}\ln^{2}\left( 2 \right) + n^{2}} = \frac{ln(2)}{\left\lbrack ln^{2}\left( 2 \right) + 1 \right\rbrack n}$

$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\sum_{n = 1}^{\infty}\text{\ \ }\frac{ln(2)}{\left\lbrack ln^{2}\left( 2 \right) + 1 \right\rbrack n}\ \ jest\ \ szeregiem\ \ harmonicznym\ \ rozbieznym$

Uwagi:

- Kryterium porównawcze jest prawdziwe dla odpowiednio dużych n.

- W kryterium porównawczym znaki „<” i „>” są w domyśle „≤” i „≥” odpowiednio,chociaż nie zawsze jest to konieczne.

-W kryterium kondensacyjnym (zagęszczenia) $\sum_{}^{}a_{n}$ jest zbieżny kiedy $\sum_{}^{}p^{n}$ |a_pⁿ| jest zbieżny, a p jest dowolną liczbą naturalną większą od 1 i domyślnie równą 2.

- Dla funkcji y=arc tg(x),zbiór wartości yЄ $\left( \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right).$

- Dla funkcji y=arc ctg(x), zbiór wartości yЄ (0,π).