1. Wstęp

Celem niniejszego projektu jest obliczenie stateczności skarpy, dla zadanych warunków wodno-gruntowych. Obliczana skarpa jest złożona 3 warstw. W pierwszej warstwie zalega piasek drobny, w drugiej glina zaś trzecią warstwę stanowi podłoże skalne. Do wyznaczenia stateczności skarpy zostanie wykorzystana metoda Felleniusa zwana inaczej metodą szwedzką.

1. Podstawa formalna

Niniejsze opracowanie zostało wykonane na potrzebę ćwiczeń projektowych z mechaniki gruntów z dnia 8 maja 2008r.

1.2. Przedmiot opracowania

Rysunek 1. Warunki gruntowo-wodne oraz schemat obciążenia.

3. Zakres opracowania

• Charakterystyka geotechniczna podłoża

• Założenia teoretyczne

• Wzory

• Obliczenia

  3. Założenia

• Płaski stan odkształcenia

• Występowanie jednocześnie na całej powierzchni poślizgu stanu granicznego naprężeń według hipotezy Coulomba-Mohra

• Nie zmienność parametrów wytrzymałościowych w czasie

• Jednakowe przemieszczenia wzdłuż całej powierzchni poślizgu

• Brak sił bocznych między blokami

• W podstawie każdego bloku tylko jeden rodzaj gruntów

• Powierzchnia poślizgu przechodzi przez dolną krawędź skarpy

  3. Literatura

Pisarczyk, S., 1998. Mechanika gruntów, Oficyna wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa.

Obrycki, M., Pisarczyk, S.,2002 Zbiór zadań z mechaniki gruntów, Oficyna wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa.

Wiłun, Z., 2000. Zarys geotechniki, Wydawnictwo Komunikacji i Łączności, Warszawa

Polska Norma, Grunty budowlane. Posadowienie bezpośrednie budowli. Obliczenia statyczne i projektowanie. PN-81/B-03020.

• Parametry geotechniczne

Nr warstwy	Nazwa gruntu	Symbol	Grupa konsolidacyjna	Stan gruntu	Stan wilgotności
1	Piasek drobny	Pd			0,45
2	Glina	G	A	0,55	-

Tabela 1. Bazowe parametry geotechniczne poszczególnych warstw.

Nr warstwy	ps	ρ	γ	γs	Wn	n	φ	C
	[T/m^3]	[T/m^3]	[kN/m^3]	[kN/m^3]	[%]		[°]	[kPa]
1	2,65	1,75	17,2	26,00	16	0,43	30	0
2	2,67	1,95	19,1	26,19	27	0,42	16	28

Tabela 2. Parametry geotechniczne obliczone oraz odczytane z normy PN-81/B-03020

Legenda:

• I_L-stopień plastyczności gruntu.

• I_D-stopień zagęszczenia gruntu.

• S_r-stopień wilgotności gruntu.

• p_s-gęstość objętościowa gruntu.

• p-gęstość właściwa gruntu.

• γ-cięzar objętościowy gruntu.

• γ_s-cięzar właściwy szkieletu gruntowego

• W_n-wilgotność naturalna gruntu.

• n- współczynnik porowatości

• φ- kąt tarcia wewnętrznego

• c- spójność

2.1. Metoda obliczeniowa

2.1.1. Obliczenie parametrów geotechnicznych

• Ciężar objętościowy gruntu:

$$\gamma = p*g = \frac{kg*10^{3}}{m^{3}}*\frac{m}{s^{2}} = \left\lbrack \frac{\text{kN}}{m^{3}} \right\rbrack$$

Gdzie:

g- przyspieszenie zmiemskie równe 9,81$\frac{m}{s^{2}}$

p-gęstość objętościowa gruntu

Pd=1,75*9,81=17,2$\frac{\text{kN}}{m^{3}}$

G=2,00*9,81=19,1$\frac{\text{kN}}{m^{3}}$

• Ciężar właściwy szkieletu gruntowego.

$$\gamma_{s} = p_{s}*g = \frac{kg*10^{3}}{m^{3}}*\frac{m}{s^{2}} = \left\lbrack \frac{\text{kN}}{m^{3}} \right\rbrack$$

Gdzie:

g- przyspieszenie zmiemskie równe 9,81$\frac{m}{s^{2}}$

p_s-gęstość właściwa gruntu

P_d=2,65*9,81=26$\frac{\text{kN}}{m^{3}}$

G=2,67*9,81=26,2$\frac{\text{kN}}{m^{3}}$

2.1.2. Obliczenie wskaźnika stateczności F dla poszczególnych klinów odłamu.

Ze względu na zasadę działania metody Falleniusa, poszczególne kliny odłamu dzieli się na paseczki a następnie oblicza się ich objętości i wyznacza się ich ciężar mnożąc razy ciężar objętościowy gruntu znajdującego się w danym pasku. Poniżej przedstawiono wzory oraz przykłady obliczeń.

• Ciężar paska

$$\mathbf{G}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\sum_{}^{}{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}\mathbf{*}\mathbf{\gamma}_{\mathbf{1}}\mathbf{*1 +}\mathbf{A}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{\gamma}_{\mathbf{2}}\mathbf{*1 = \lbrack kN\rbrack}}$$

gdzie:

A_i- pole powierzchni poszczególnych pasków [m²]

γ_i- cięzar objętościowy gruntu [kN/m³]

• Wypadkowa obciążenia

W_i=G_i+q*b_i=[kN]

gdzie:

Gi- ciężar bloku [kN]

q- naprężenie od obciążenia zewnętrznego [kPa]

bi- szerokość obciążonego paska [m]

• B_i składowa styczna siły W (siła destabilizująca)

B_i=W_i*sin(α_i)=[kN]

gdzie:

W_i- wypadkowa obciążenia [kN]

sin(α_i)- funkcja trygonometryczna kąta pozwalająca obliczyć składową styczną

• N_i reakcja podłoża na składową normalną siły W_i

N_i=W_i*cos(α_i)=[kN]

gdzie:

W_i- wypadkowa obciążenia [kN]

sin(α_i)- funkcja trygonometryczna kąta pozwalająca obliczyć składową styczną

• T_i opór tarcia i spójności (siła utrzymująca)

T_i=N_i*tan(φ)+c_i*l_i=[kN]

gdzie:

N_i- reakcja podłoża [kN]

φ- kąt tarcia wewnętrznego [°]

c_i- spójność [kPa]

l_i- długość podstawy bloku w danym gruncie [m]

• Obliczenie wskaźnika stateczności F

$$\mathbf{F}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\frac{\sum_{}^{}\mathbf{M}_{\mathbf{\text{utrzym}}}}{\sum_{}^{}\mathbf{M}_{\mathbf{\text{obrac}}}}\mathbf{=}\frac{{\sum_{}^{}\mathbf{T}}_{\mathbf{i}}}{\sum_{}^{}\mathbf{B}_{\mathbf{i}}}\mathbf{= \lbrack - \rbrack}$$

2.2. Prosta najniebezpieczniejszego środka obrotu

Aby móc obliczyć wskaźnik stateczności, należy zgodnie w myśl teorii Falleniusa znaleźć taki punkt obrotu przez, który poprowadzony łuk będzie stanowić najniebezpieczniejszą powierzchnie poślizgu. Do określenia najniebezpieczniejszej powierzchni poślizgu wykorzystano metodę uproszczoną, która polega na określeniu 3 punktów obrotów, a następnie za pomocą pewnych metod matematycznych określenie przybliżonego środka obrotu, który określa najniebezpieczniejszą powierzchnie poślizgu.

2.3. Przykłady obliczeń

Przykłady obliczeń:

• Pierwszy środek obrotu O₁

$$G_{2} = \sum_{}^{}{91,2*17,2*1 + 25,84*19,1*1 = 2061,42,74\lbrack kN\rbrack}$$

W₂ = 2061, 74 + 110 * 7, 6 = 2897, 42[kN]

B₂ = 2897, 42 * sin(39, 9) = 1858, 55[kN]

N₂ = 2897, 42 * cos(39, 9) = 2222, 8[kN]

T₂ = 2222, 8 * tan(16) + 28 * 10 = 917, 38[kN]

$$F_{1} = \frac{6436,23}{4817,79} = 1,34$$

• Drugi środek obrotu O₂

$$G_{1} = \sum_{}^{}{40*17,2*1 = 688\lbrack kN\rbrack}$$

W₁ = 688 + 880 = 1568[kN]

B₁ = 1568 * sin(49, 1) = 1185, 18[kN]

N₁ = 1568 * cos(49, 1) = 1026, 63[kN]

T₁ = 1026, 63 * tan(30) = 592, 73[kN]

$$F_{2} = \frac{4314,,79}{3314,12} = 1,30$$

• Trzeci środek obrotu O₃

$$G_{1} = \sum_{}^{}{10,4*17,2*1 = 178,88\lbrack kN\rbrack}$$

W₁ = 178, 88 + 440 = 618, 88[kN]

B₁ = 618, 88 * sin(50) = 474, 09[kN]

N₁ = 618, 88 * cos(50) = 397, 81[kN]

T₁ = 397, 81 * tan(30) = 229, 67[kN]

$$F_{2} = \frac{3301,16}{2402,46} = 1,37$$

Tabela 1. Wyniki dla pierwszego środka obrotu. R=44,8 [m]

Nr paska	Lp	g	V	Q	Gi=V·g	G	W	α	sin(α)	cos(α)	B	N	T	φ	c	l
		kN/m^3	m^3	kN	kN	kN	kN	[°]	-	-	kN	kN	kN	[°]	[kPa]	[m]
1	1	17,2	48	836	825,60	1661,6	1661,6	56	0,829038	0,559193	1377,53	929,15	536,45	30	0	14,4
2	1	17,2	91,2	836	1568,64	2404,64	2897,42	39,9	0,64145	0,767165	1858,55	2222,80	917,38	16	28	10
	2	19,1	25,8		492,78	492,78
3	1	17,2	83,2		1431,04	1431,04	2775,68	27,3	0,45865	0,888617	1273,06	2466,52	964,86	16	28	9,2
	2	19,1	70,4		1344,64	1344,64
4	1	17,2	57,6		990,72	990,72	2763,2	16,5	0,285688	0,958323	789,41	2648,04	1005,71	16	28	8,8
	2	19,1	92,8		1772,48	1772,48
5	1	17,2	18,4		316,48	316,48	1340,24	8,8	0,152986	0,988228	205,04	1324,46	502,98	16	28	4,4
	2	19,1	53,6		1023,76	1023,76
6	1	17,2	12		206,40	206,4	1260,72	3,6	0,062791	0,998027	79,16	1258,23	483,99	16	28	4,4,
	2	19,1	55,2		1054,32	1054,32
7	1	17,2	1,8		30,96	30,96	244,88	0,6	0,010472	0,999945	2,56	244,87	92,61	16	28	0,8
	2	19,1	11,2		213,92	213,92
8	1	17,2	3,8		65,36	65,36	1935,25	-4,7	-0,08194	0,996637	-158,57	1928,74	872,25	16	28	11,4
	2	19,1	97,9		1869,89	1869,89
9	2	19,1	44,8		855,68	855,68	855,68	-12	-0,20791	0,978148	-177,91	836,98	363,2	16	28	4,4
10	2	19,1	34,4		657,04	657,04	657,04	-17,5	-0,30071	0,953717	-197,58	626,63	302,88	16	28	4,4
11	2	19,1	22,4		427,84	427,84	427,84	-23,1	-0,39234	0,919821	-167,86	393,54	236,04	16	28	4,4
12	2	19,1	7,2		137,52	137,52	137,52	-28,5	-0,47716	0,878817	-65,62	120,85	157,85	16	28	4,4
										Σobrac	4817,79	Σutrzy	6436,23

F₁=1,34

Nr paska	Lp	g	V	Q	Gi=V·g	G	W	α	sin(α)	cos(α)	B	N	T	φ	c	l
[-]	[-]	kN/m^3	m^3	kN	kN	kN	kN	[°]	-	-	kN	kN	kN	[°]	[kPa]	[m]
1	1	17,2	40	880	688	1568	1568	49,1	0,755853	0,654741	1185,178	1026,63	592,73	30	0	12,4
2	1	17,2	25,4		436,88	436,88	436,88	40,6	0,650774	0,759271	284,3102	331,71	191,51	30	0	2,4
3	1	17,2	56		963,2	963,2	1169,48	35,6	0,582123	0,813101	680,7812	950,90	440,67	16	28	6
	2	19,1	10,8		206,28	206,28
4	1	17,2	32		550,4	550,4	932,4	27,2	0,457098	0,889416	426,1981	829,29	360,99	16	28	4,4
	2	19,1	20		382	382
5	1	17,2	25,6		440,32	440,32	959,84	22	0,374607	0,927184	359,5624	889,95	378,39	16	28	4,4
	2	19,1	27,2		519,52	519,52
6	1	17,2	19,2		330,24	330,24	956,72	17	0,292372	0,956305	279,7179	914,92	385,55	16	28	4,4
	2	19,1	32,8		626,48	626,48
7	1	17,2	19,2		330,24	330,24	1766,56	9,4	0,163326	0,986572	288,5251	1742,84	723,75	16	28	8
	2	19,1	75,2		1436,32	1436,32
8	2	19,1	35,4		676,14	676,14	676,14	2,5	0,043619	0,999048	29,49281	675,5	294,49	16	28	3,6
9	2	19,1	37,8		721,98	721,98	721,98	-3,2	-0,05582	0,998441	-40,302	720,85	329,9	16	28	4,4
10	2	19,1	26,4		504,24	504,24	504,24	-8	-0,13917	0,990268	-70,1766	499,33	266,38	16	28	4,4
11	2	19,1	21,8		416,38	416,38	416,38	-15,2	-0,26219	0,965016	-109,17	401,81	350,42	16	28	8,4
	Σobrac	3314,12	Σutrzy	4314,79

Tabela 2. Wyniki dla drugiego środka obrotu. R=46,8 [m]

F₂=1,30

Tabela 3. Wyniki dla trzeciego środka obrotu. R=49,6[m]

Nr paska	Lp	γ	V	Q	Gi=V·γ	G	W	α	sin(α)	cos(α)	B	N	T	φ	c	l
		kN/m^3	m^3	kN	kN	kN	kN	[°]	-	-	kN	kN	kN	[°]	[kPa]	[m]
1	1	17,2	10,4	440	178,88	618,88	618,88	50	0,766044	0,642788	474,09	397,81	229,67	30	0	6,4
2	1	17,2	56		963,2	963,2	963,2	40,8	0,653421	0,756995	629,37	729,14	420,97	30	0	10,4
3	1	17,2	32		550,4	550,4	642,08	31,8	0,526956	0,849893	338,35	545,7	290,88	16	28	4,8
	2	19,1	4,8		91,68	91,68
4	1	17,2	25,6		440,32	440,32	700,08	26,4	0,444635	0,895712	311,28	627,07	303,01	16	28	4,4
	2	19,1	13,6		259,76	259,76
5	1	17,2	19,2		330,24	330,24	729,6	21,6	0,368125	0,929776	268,58	678,361	317,78	16	28	4,4
	2	19,2	20,8		399,36	399,36
6	1	17,2	12,8		220,16	220,16	727,04	16,8	0,289032	0,957319	210,14	696,01	322,78	16	28	4,4
	2	19,2	26,4		506,88	506,88
7	1	17,2	6,4		110,08	110,08	693,76	12	0,207912	0,978148	144,24	678,6	317,78	16	28	4,4
	2	19,2	30,4		583,68	583,68
8	1	17,2	0,48		8,256	8,256	590,016	7	0,121869	0,992546	71,90	585,6	291,12	16	28	4,4
	2	19,2	30,3		581,76	581,76
9	2	19,2	27,2		522,24	522,24	522,24	2,3	0,040132	0,999194	20,96	521,82	261,63	16	28	4
10	2	19,2	21,6		414,72	414,72	414,72	-2,1	-0,03664	0,999328	-15,2	414,44	230,84	16	28	4
11	2	19,2	16,7		320,64	320,64	320,64	-9,2	-0,15988	0,987136	-51,26	316,51	314,76	16	28	8
	Σobrac	2402,46	Σutrzy	3301,16

F₃=1,37

2.4. Kontrola poprawności

W celu sprawdzenia poprawności obliczeń wskaźników stateczności F dokonano kontroli poprawności. Aby obliczone wskaźniki stateczności zostały przyjęte jako poprawne muszą one spełniać pewne założenia:

• F₁ > F₂ < F₃

• F₁ < F₂ < F₃dla gruntów słabonośnych

1,34>1,30<1,37

W opracowywanym przypadku wskaźniki stateczności F_i (i=1,2,3), spełniają pierwsze założenia co oznacza poprawność metody obliczeniowej.

2.5. Wyznaczenie minimalnej wartości wskaźnika stateczności F_min

Do wyznaczenia minimalnej wartości wskaźnika stateczności F_min zostanie wykorzystana metoda matematyczna. Zostanie rozwiązany układ 3 równań dzięki, których zostanie wyznaczona wartość minimalna współczynnika stateczności.

a*(0²)+b*(0)+c = 1, 34a*(9, 2²)+b*(9, 2)+c = 1, 30a*(15²)+(15)*b + c = 1, 37

a = 0, 001095b = −0, 01442c = 1, 34

$$\mathbf{x}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{- b}}{\mathbf{2}\mathbf{a}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,01442}}{\mathbf{2*0,001095}}\mathbf{= 6,58}$$

$$\mathbf{y}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}}{\mathbf{4}\mathbf{a}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,00566}}{\mathbf{4*0,001095}}\mathbf{= 1,29}$$

Współrzędna y₀ wierzchołka paraboli określa wartość minimalnego współczynnika stateczności zbocza. Dzięki uzyskaniu współrzędnej x₀ uzyskaliśmy punkt obrotu, dzięki któremu możemy wkreślić powierzchnie najniebezpieczniejszego poślizgu. Został ona przedstawiona na rysunku 4.

• Sprawdzenie warunku obliczeniowego

Aby stateczność skarpy była niezagrożona, jej współczynnik stateczności F_min musi być większy aniżeli wartość współczynnika dopuszczalnego. W zależności od rodzaju przeznaczenia skarpy, norma określa dopuszczalną wartość współczynnika stateczności. W projektowanym przypadku, skarpa ma być skarpą stałą, dlatego też jej wartość współczynnika dopuszczalnego wynosi 1,5.

F_min>F_dop

Zatem:

1, 29 < 1, 5

Powyższa nierówność oznacza, że analizowana skarpa nie spełnia tego warunku, co oznacza, że skarpa jest potencjalnym niebezpieczeństwem dla ludzi maszyn przebywających w jej sąsiedztwie.

4. Wnioski i zalecenia

Analizę stateczności skarpy przeprowadzono metodą Felleniusa. Pierwszym etapem obliczeń było wyznaczenie położenia najniekorzystniejszych środków obrotu. Kolejnym etapem było wrysowanie płaszczyzn poślizgu. Obliczenia wykonano dla trzech płaszczyzn poślizgu i wyznaczono trzy współczynniki stateczności skarpy. Jako współczynnik stateczności ostateczny skarpy przyjęto F_min=1,29. Taka wartość współczynnika stateczności nie spełnia warunku równowagi dla skarpy stałej dla, której wartość minimalna współczynnika stateczności musi wynosić 1,5.

Ponieważ skarpa jest potencjalnym miejscem zagrożenia dla ludzi i maszyn, dlatego też należy uczynić pewne kroki mające na celu poprawienie jej stateczności na przykład:

• odwodnienie- obniżenie poziomu wody lub odcięcie jej dopływu,

• drenaż z kamienia łamanego- wykonuje się poniżej warstwy wodonośnej,

• filtry wiertnicze- poziome otwory w głąb skarpy,

• zastrzyki uszczelniające lub wzmacniające spękane skały,

• zmniejszenie nachylenia skarp i zboczy- powoduje zmniejszenie sił zsuwających,

• podparcie skarpy nasypem,

• podparcie murem oporowym,

• wzmocnienie skarpy rusztem żelbetonowym,

• pale lub kotwie,

• wymiana gruntu osuwiskowego u podnóża skarpy