Rozdział 1

Statyka

1.1 Twierdzenie o trzech siłach

Twierdzenie dotyczy równowagi płaskiego zbiez˙ nego układu sił.

Twierdzenie 1 (Twierdzenie o trzech siłach) Aby trzy nierówno- ległe do siebie siły działaja˛ce na ciało sztywne były w równowadze, linie działania tych sił musza˛ przecina´c sie˛ w jednym punkcie, a same siły musza˛ tworzy´c trójka˛t zamknie˛ty.

Niech be˛da˛ dane trzy siły P1, P2, P3.

Zakładamy, z˙ e sa˛ w równowadze. Zaste˛pujemy P2 i P3 siła˛ R

(wypad-

kowa˛ tych dwóch).

R = P2 + P3.

Pozostaja˛ wie˛c dwie siły:

wie˛c

P1 i R . Poniewaz˙ układ jest w równowadze,

Sta˛d

P1 = −R , P1 = R.

P1, P2, P3 sa˛ zbiez˙ ne i tworza˛ wielobok zamknie˛ty. W kaz˙ dym

przypadku jest to trójka˛t.

1.2 Równania równowagi płaskiego zbiez˙ nego układu sił

Wprowad´zmy układ współrze˛dnych.

Poniewaz˙ siła jest wektorem, moz˙ emy ja˛ zapisa´c naste˛puja˛co

P =

Px + Py = Pxi + Pyj,

Px = P cos α, Py = P sin α,

P = q

+ P 2.

x y

Jez˙ eli mamy układ n sił zbiez˙ nych, to wypadkowa

R = X Pi .

Stosuja˛c twierdzenie, rzut sumy geometrycznej wektorów na dowolna˛ o´s

równa sie˛ sumie rzutów tych wektorów na ta˛ sama˛ o´s, otrzymujemy

⎨ Rx = P1x + P2x + ... + Pnx = P Pix

,

⎩ Ry = P1y + P2y + ... + Pny = P Piy

r 2 2

R = q

+ R2 =

³X Pix´

+ ³X Piy ´ .

x y

Warunkiem równowagi jest, aby

R = 0.

Sta˛d otrzymujemy równania równowagi:

⎨ Rx = P1x + P2x + ... + Pnx = P Pix = 0

.

⎩ Ry = P1y + P2y + ... + Pny = P Piy = 0

1.3 Moment siły

M O = r × F

r = r1 + A−→B

M O = r1 × F + −A−→B × F = r1 × F .

MO = rF sin ³ F ´

r, 

MO = hF

Aby siły zbiez˙ ne lez˙ a˛ce w jednej płaszczy´znie były w równowadze, sumy rzutów tych sił na osie układu musza˛ by´c równe zeru.

Równania równowagi moz˙ na przedstawi´c równiez˙

W tym celu udowodnimy twierdzenie Varignona.

w innej postaci.

Twierdzenie 2 (Varignon) Moment wzgle˛dem dowolnego punktu O

wypadkowej dwóch sił równy jest sumie momentów sił wypadkowych wzgle˛dem tegoz˙ punktu.

Zgodnie z definicja˛ momentu wektora wzgle˛dem punktu moz˙ emy napisa´c

M O = r × R ,

gdzie R = F1 + F2.

1 = r × F1,

2 = r × F2.

Otrzymujemy

M O = r × R = r × ³ 

= r × F1 + r × F2

+ F2´

= M O + M O .

1 2

Twierdzenie to moz˙ na uogólni´c na dowolna˛ ilo´s´c sił zbiez˙ nych

M O = X M 0.

Analitycznie

M O = Py x − Pxy.

We´zmy układ n sił przyłoz˙ onych do punktu A ciała. Jez˙ eli suma mo- mentów tych sił wzgle˛dem jakiego´s punktu B jest równa zero, to albo ich wypadkowa jest równa zeru, albo linia jej działania przechodzi przez punkt B (ramie˛ wypadkowej równe zero). Jez˙ eli dodatkowo suma mo- mentów tych sił wzgle˛dem innego punktu C , nie lez˙ a˛cego na jednej

prostej z punktami A i B jest takz˙ e równa zeru, wówczas wypadkowa

R musi by´c równa zero.

Aby płaski układ sił zbiez˙ nych znajdował sie˛

w równowadze

musza równa´c sie˛

zeru rzuty momentów wszystkich sił tego

układu wzgle˛dem dowolnych dwóch punktów nie lez˙ a˛cych z punktem przyłoz˙ enia sił na jednej prostej. Sta˛d druga posta´c równa´n równowagi

X MiB = 0, X MiC = 0.

Gdy w zadaniach mamy trzy niewiadome, to do pierwszej postaci rów- na´n dodajemy jedno równanie momentów.

1.4 Wypadkowa dwóch sił równoległych

Gdy na ciało działaja˛ dwie siły równoległe pojawiaja˛ sie˛

kłopoty ze

znalezieniem wypadkowej metoda˛ równoległoboku. Poste˛pujemy naste˛pu- ja˛co:

Mamy dwie siły P1 i P2 zgodnie skierowane przyłoz˙ one w punktach

A i B. Przykładamy do tych punktów układ zerowy S 0 = −S . Otrzy-

mujemy wypadkowe

R 1 = P1 + S

i R 2 = P2 + S .

Siły R 1 i R 2 moz˙ emy juz˙ złoz˙ y´c. Przesuwamy je do punktu D i składamy

R =

R =

R 1 + R 2,

P1 + S + P2 + S 0 = P1 + P2,

R = P1 + P2.

Linia działania wypadkowej przechodzi przez punkt C .

Połoz˙ enie tego punktu okre´slaja˛ odcinki (Twierdzenie Talesa)

AC = AB

P2

P1 + P2

, BC = AB

P1 . P1 + P2

Jez˙ eli siły równoległe sa˛ przeciwnie skierowane, to

R =

R 1 + R 2,

R = P1 − P2,

AC = AB

P2

P1 − P2

, BC = AB

P1 . P1 − P2

1.5 Para sił

Układ dwóch sił równoległych P 0 = −P , P 0 = P nie lez˙ a˛cych na jednej prostej nazywamy para˛ sił. Odległo´s´c mie˛dzy siłami nazywamy ramie-

niem pary sił.

M = P a.

MO = P h1, M 0

= −P 0 h2 = −P h2,

gdzie h1, h2- ramiona sił wzgle˛dem punktu O, h1 − h2 = a.

MO + M 0

= P (h1 − h2) = Pa = M.

Wektor momentu pary sił jest wektorem swobodnym.

Jez˙ eli mamy n par sił działaja˛cych na ciało w jednej płaszczy´znie, to moment wypadkowy jest równy sumie momentów poszczególnych par

M = X Mi.

Aby pary sił działaja˛ce w jednej płaszczy´znie na ciało sztywne znajdowały sie˛ w równowadze, suma momentów tych par musi

sie˛ równa´c zeru.

X Mi = 0.

Warunek równowagi par sił w jednej płaszczy´znie.

Pary sił o tej samej płaszczy´znie działania i równych momen- tach sa˛ sobie statycznie równowaz˙ ne.

Składanie par sił w jednej płaszczy´znie.

Aby pary sił działaja˛ce w jednej płaszczy´znie na ciało sztywne znajdowały sie˛ w równowadze, suma momentów tych par musi sie˛ równa´c zeru.

X Mi = M1 + M2 + ... + Mn = Qb,

X Mi = 0 - warunek równowagi.

1.6 Redukcja dowolnego płaskiego układu

Rozpatrzmy przypadek:

Dana siła P . Do dowolnego punktu O ciała przykładamy układ zerowy.

P i P 0 = −P .

Otrzymujemy układ:

siła P ,

para sił o momencie MO = aP .

Jez˙ eli mamy układ n sił, to moz˙ na go spróbowa´c do siły i pary sił, gdzie

R = X Pi - wektor główny,

MO = X MiO -moment główny wzgle˛dem ´srodka redukcji O.

Redukcja w układzie współrze˛dnych

Rx = X Pix, Ry = X Piy .

Moment kaz˙ dej siły wzgle˛dem ´srodka redukcji, którym jest pocza˛tek

układu, wynosi

MiO = Piy xi − Pixyi.

Moment główny

MO = X MiO = X (Piy xi − Pixyi)

1.6.1 Redukcja układu do wypadkowej

Jez˙ eli moment główny układu da sie˛ przedstawi´c w postaci

MO = hR, R- wektor główny, to układ redukuje sie˛ do wypadkowej.

W przypadku, gdy suma geometryczna układu sił P1, P2, ..., Pn działaja˛cych w jednej płaszczy´znie na ciało sztywne jest róz˙ na od zera, układ zasta˛pi´c moz˙ emy jedna˛ siła˛ wypadkowa˛ równa˛

wektorowi głównemu

R = X Pi .

Moment tej siły wypadkowej

MO ³  ´

MO ³  ´

= X MiO ,

= Ry x − Rxy- równanie prostej, na której lez˙ y wypadkowa.

1.7 Warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił

Aby układ znajdował sie˛ w równowadze wektor i moment główny musi by´c równy 0.

R = 0, MO = 0.

Równania równowagi dowolnego płaskiego układu

X Pix	=	0,	X Piy = 0,	X MiO = 0,
X Pix	=	0,	X MiA = 0,	X MiB = 0,
X MiA	=	0,	X MiB = 0,	X MiC = 0.

1.8 Siły zbiez˙ ne w przestrzeni

Wypadkowa zbiez˙ nego przestrzennego układu sił

R = X Pi .

Dowolny układ sił przyłoz˙ onych do jednego punktu zasta˛pi´c

moz˙ emy jedna˛

siła˛

wypadkowa˛

przyłoz˙ ona˛

w tym punkcie i

równa˛ sumie geometrycznej sił.

R = P1 + P2 + P3.

Px = P cos α, Py = P cos β, Pz = P cos γ,

P = pOA02 + AA02, AA0 = Pz , OA02 = P 2 + P 2,

P = q

+ P 2

x y

+ P 2.

x y z

Sta˛d wypadkowa układu

R = Rxi + Ryj + Rzk,

Rx = X Pix, Ry = X Piy , Rz = X Piz ,

R = q

+ R2

+ R2.

x y z

Równania równowagi

X Pix = 0, X Piy = 0, X Piz = 0,

z warunku

R = X Pi = 0.

1.9 Przestrzenny układ sił równoległych

Dany jest układ n sił w przestrzeni

Wektor główny tego układu jest

R = X Pi = Rxi + Ryj + Rzk.

Moment główny wzgle˛dem pocza˛tku układu

M O = X M i = MxOi + MyOj + MzOk,

gdzie

Rx = X Pix, Ry = X Piy , Rz = X Piz ,

MxO = X (Piy zi − Piz yi ) = Ry z − Rz y,

MyO = X (Piz xi − Pixzi) = Rz x − Rxz, (1.1)

MzO = X (Pixyi − Piy xi) = Rxy − Ry x.

Ka˛ty nachylenia sił do osi układu sa˛ α, β, γ.

(1.2)

Podstawiamy 2.2 do 2.1

X (Pi cos β · zi − Pi cos γ · yi )	=	R cos β · z − R cos γ · y,
X (Pi cos γ · xi − Pi cos α · zi )	=	R cos γ · x − R cos α · z,
X (Pi cos α · yi − Pi cos β · xi )	=	R cos α · y − R cos β · x.

Po uporza˛dkowaniu wg kosinusów kierunkowych otrzymujemy

Rz − X Pizi´

cos β =

Ry − X Piyi´

cos γ,

Rx − X Pi xi´

cos γ =

Rz − X Pizi´

cos α,

Ry − X Pi yi´

cos α =

Rx − X Pi xi´

cos β.

Sta˛d otrzymujemy

Rx − P Pi xi = Ry − P Pi yi = Rz − P Pizi .

cos α

cos β

cos γ

Dziela˛c stronami przez R mamy

Rx P

Pi xi

Ry P

Pi yi

Rz P

Pi zi

R = R = R .

cos α

cos β

cos γ

Oznaczaja˛c

x0 =

P Pixi

, y0 =

R

P Piyi

, z0 =

R

P Pizi

, (1.3)

R

otrzymujemy równanie wypadkowej

x − x0 = y − y0 = z − z0 .

cos α

cos β

cos γ

Punkt S (x0, y0, z0) nazywamy ´srodkiem sił równoległych.

Zwia˛zki 2.3 moz˙ na zapisa´c naste˛puja˛co:

r0 =

P Pi ri

P Pi

, x0 =

P Pixxi

P Pix

, y0 =

P Piy yi

P Piy

, z0 =

P Piz zi

P Piz

1.10 ´Srodki cie˛z˙ ko´sci

Mamy bryłe˛. Moz˙ na ja˛ podzieli´c na n elementów.

´Srodkiem cie˛z˙ ko´sci nazywamy punkt, wzgle˛dem którego suma mo-

mentów wszystkich sił ∆Gi równa sie˛

cie˛z˙ ko´sci).

P ∆Gi = G- wypadkowa

zero (´srodek równoległych sił

xo X ∆Vi γi = X ∆Gixi ,

xo X ∆Vi γi = X ∆Vi γixi,

P γixi ∆Vi

xo =

P γ ∆V .

i i

Obracaja˛c układ otrzymujemy

yo =

P γiyi∆Vi ,

P γ ∆V

i i

zo =

P γizi∆Vi .

P γ ∆V

i i

Przechodza˛c do granicy przy n →∞ mamy

R γxdV

xo =

yo =

zo =

R γdV ,

V

R γydV

R γdV ,

V

R γzdV

R γdV .

V

Jez˙ eli ρ = const. (ciało jednorodne), to

xo =

yo =

zo =

R xdV

V , V

R ydV

V , V

R zdV

V . V

Jez˙ eli uwzgle˛dnimy,

z˙ e γ = ρg, ρ = const., to otrzymamy wzory na

współrze˛dne ´srodka masy:

xo =

P ρi xi∆Vi

P ρ ∆V

P xi ∆mi

= P ∆m

P xi ∆mi

= ,

M

i i i

yo =

P ρi yi∆Vi

P ρ ∆V

P yi∆mi

= P ∆m

P yi ∆mi

= ,

M

i i i

zo =

P ρi zi ∆Vi

P ρ ∆V

P zi ∆mi

= P ∆m

P zi ∆mi

= .

M

i i i

Przechodza˛c do granicy przy n →∞ otrzymujemy

xo =

yo =

zo =

R ρxdV

R ρdV =

R ρydV

R ρdV =

R ρzdV

R ρdV =

R xdm

, M

R ydm

, M

R zdm

, M

gdzie

Z

xdm

Z

ydm - momenty statyczne.

Z

zdm

1.11 Uogólnienie redukcji układu na układ przestrzenny

Mamy siłe˛ P w punkcie A. Przykładaja˛c układ P , −P w punkcie O,

otrzymujemy P

i M O = r × P .

Kaz˙ da˛ siłe˛ działaja˛ca˛ na ciało sztywne moz˙ na sprowadzi´c do dowolnego punktu O przykładaja˛c siłe˛ o momencie równym momentowi siły.

Podobnie moz˙ na posta˛pi´c ze wszystkimi siłami układu przestrzennego:

R =

P1 + P2 + ... + Pn = X Pi,

M O =

M O1 + M O2 + .. . + M On = X M Oi

= r1 × P1 + r2 × P2 + .. . + rn × Pn,

gdzie r1 =

→A1, r2 =

→A2,.. ., rn =

→An,

R - wektor główny,

M O - moment główny. Analitycznie:

Momenty wzgle˛dem osi:

MOx = X Mix = X (Piz yi − Piy zi ) , MOy = X Mix = X (Pixzi − Piz xi) , MOz = X Mix = X (Piy xi − Pixyi) ,

gdzie xi , yi, zi - współrze˛dne punktów przyłoz˙ enia sił Pi .

MO = q

+ M 2

+ M 2 .

Ox Oy Oz

1.12 Ogólne warunki i równania równowagi dowol- nego przestrzennego układu sił

Aby dowolny układ był w równowadze, musi by´c

R = 0,

M O = 0.

Ogólne równania równowagi

⎧

⎪ Pix = 0, Mix = 0,

⎪⎨

P Piy = 0,

⎪

P Miy = 0,

P Piz = 0, P Miz = 0.

1.13 Zmiana bieguna redukcji

Załóz˙ my, z˙ e układ sił P1,.. ., Pn zredukowali´smy wzgle˛dem punktu

O.

M O = X M iO = X ri × Pi = X

→Ai × Pi.

Obierzmy teraz punkt O1 jako punkt redukcji

M O1 = X M iO1 = X −O−−A→ × P ,

1 i i

−O−−A→ =

−→O + −O−A→.

1 i 1 i

Wtedy

³−−→

−−→´

M O1 = X −O−−A→ × P = X

O O + OA

× P

1 i i

1 i i

= −→O × X P

+ X O−A→ × P ,

1 i i i

X Pi =

R , X −O−A→ × P

= M .

i i O

Zatem

M O1 = M O +

−→O × R .

1.14 Niezmienniki redukcji układu sił

1. Wektor główny nie zalez˙ y od ´srodka redukcji.

2. Rzut momentu głównego na kierunek wektora głównego

M O1 ◦ R = M O ◦ R +

³ ´

O1O × R

◦ R ,

czyli

M O1 ◦ R

= M O ◦ R = const.

M O ◦ R

= MO R cos α.

Poniewaz˙ R = const. wzgle˛dem ´srodka redukcji, to

MO cos α = const.

1.15 Przypadki redukcji układu

Gdy moment główny jest prostopadły do wektora głównego, układ sił

moz˙ emy zredukowa´c do jednej siły wypadkowej

R = X Pi .

Wówczas moment wypadkowej równa sie˛ momentowi głównemu.

1. R = 0,	MO = 0	- siła, para sił.
2. R = 0,	MO = 0	- wypadkowa.

3. R = 0, MO = 0 - para sił.

4. R = 0, MO = 0 - równowaga.

1.16 Kratownice

Układ złoz˙ ony z pre˛tów, których ko´nce sa˛ ze soba˛ poła˛czone przegubowo, maja˛cy niezmienna˛ posta´c geometryczna˛ nazy- wamy kratownica˛. Poła˛czenia przegubowe nazywamy we˛złami. Warunek sztywno´sci (kratownice˛ traktujemy jako ciało sztywne): p =

2w − 3.

1. Kratownica niedosztywniona

p < 2w − 3.

2. Kratownica sztywna

p = 2w − 3.

3. Kratownica przesztywniona

p > 2w − 3.

Przy rozwia˛zywaniu kratownicy w pre˛tach siły w pre˛tach zakłada sie˛ naste˛puja˛co:

siły od we˛zła- rozcia˛ganie

siły do we˛zła- ´sciskanie

Zakładamy zawsze rozcia˛ganie.

1.17 Metoda we˛złów rozwia˛zywania kratownic

Najpierw znajdujemy reakcje traktuja˛c kratownice˛ jako ciało szty- wne, naste˛pnie liczymy siły w pre˛tach rozpatruja˛c kolejno równowage˛

wszystkich we˛złów. Wycinamy (uwalniamy od wie˛zów) we˛zeł np. A

zaste˛puja˛c pre˛ty siłami

⎨ P Pix = −S2 − S1 cos 45o = 0

⎩ P Piy = −P + S1 sin 45o = 0

⎨ S1 = √2P

=⇒ .

⎩ S2 = −P

Jez˙ eli w jednym we˛´zle schodza˛ sie˛ trzy pre˛ty, przy czym dwa z nich lez˙ a˛

na jednej prostej, to trzeci jest pre˛tem zerowym.

1.18 Metoda Rittera

Metoda Rittera polega na rozpatrywaniu równowagi cze˛´sci kratownicy powstałej na skutek jej przekroju przez trzy pre˛ty.

Odcie˛ta˛ cze˛´s´c traktujemy jako ciało sztywne i układamy dla niej rów- nania momentów wzgle˛dem punktów, w których parami przecinaja˛ sie˛ kierunki sił niwiadomych.

Równanie momentów wzgle˛dem punktu O1

S1h1 + P p1 − RAr1 = 0

S1 = RA r1 −Pp1

Równanie momentów wzgle˛dem punktu O2

S2h2 + RAr2 − P p2 = 0

S2 = Pp2 −RA r2

Równanie momentów wzgle˛dem punktu O3

−S3h3 − RAr3 + P p3 = 0

S3 = Pp3 −RA r3