1. WYGŁADZANIE WYKŁADNICZE

5. Zapisać równanie modelu wygładzania wykładniczego w zastosowaniu do wyznaczania prognozy. Przyjąć oznaczenia y_i - wartość zmiennej prognozowanej w chwili t, y*_t - wartość prognozy w chwili t.

y*_t =a y_t-1+(1- a)y*_t-1

7. Dane jest równanie wygładzania wykładniczego: y*_t =a y_t-1+(1- a)y*_t-1 . Na czym polega zjawisko niestabilności tego równania? Jak można je pokazać?

Niestabilność to zjawisko, gdy przy ograniczonym wejściu pojawia się nieograniczone wyjście. Czyli jeśli parametr a będzie dobrany tak, że wejście będzie wynosić 0, a wyjście będzie dążyć do nieskończoności. Warunkiem niestabilności jest:

1-a > 1, 1-a < -1  a < 0, a > 2

Można to zilustrować na wykresie:

y_t



0

t

8. Jaki jest warunek stabilności równania wygładzania wykładniczego.

Warunek stabilności:

1-a  1, 1-a ≥ -1  a ≥ 0, a  2

10. Wykonywano prognozowanie w oparciu o równanie: y*_t=0,8 y_t-1+0,2y*_t-1
    Jak nazywa się ten rodzaj modelu matematycznego? Uzupełnić poniższą tabelkę.

Model ten to model wygładzania wykładniczego.

t	yt	yt-1	0.8 yt-1	y*t	y*t-1	0,2y*t-1
0	3 	0	0	0 	0	0
1	4 	3	2,4	2,4 	0	0
2	6 	4	3,2	3,68 	2,4	0,48
3	7 	6	4,2	4,936 	3,68	0,736
4	9 	7	5,6	6,5872	4,936	0,9872
5	12	9	7,2	8,5174	6,5872	1,317

Skomentować poczynione założenia.

Zakładam, że y_t-1 = 0 w momencie t=1 oraz, że w tym samym momencie y*_t-1 = 0, ponieważ nie mam informacji o poprzednich wartościach, nie istnieją dla mnie, więc nie mają żadnej wartości.

12. Czy równanie modelu średniej ważonej może się charakteryzować niestabilnością? Dlaczego?

Jest to równanie absolutnie stabilne, ponieważ po prawej stronie równania nie występują sygnały pojawiające się na wyjściu:

y*_t= W₁y_t-1 +W₂y_t-2+...+W_ny_t-n

W₁+W₂+...+W_n = 1

14. Wykonywano prognozowanie w oparciu o równanie: : y*_t=0,7 y_t-1+0,3 y_t-2
    Jak nazywa się ten rodzaj modelu matematycznego? Uzupełnić poniższą tabelkę.

Jest to model średniej ważonej.

t	yt	yt-1	0.7 yt-1	yt-2	0,3yt-2	y*t
0	3 	0	0	0	0	0
1	4 	3	2,1	0	0	2,1
2	6 	4	2,8	3	0,9	3,7
3	7 	6	4,2	4	1,2	5,4
4	9 	7	4,9	6	1,8	6,7
5	12	9	6,3	7	2,1	8,4

Skomentować poczynione założenia.

Zakładam, że y_t-1 = 0 w momencie t=1 oraz, że w tym samym momencie y*_t-2 = 0, ponieważ nie mam informacji o poprzednich wartościach, nie istnieją dla mnie, więc nie mają żadnej wartości.

2. MODELE HOLTA, MODELE TENDENCJI ROZWOJOWEJ

1. Model Holta wykorzystywany w prognozowaniu bywa zapisywany za pomocą następujących równań:

F_t-1 = ay_t-1 + (1-a)(F_t-2 + S_t-2)- jest to wzór na model wygładzania wykładniczego ???

S_t-1 = b(F_t-1 - F_t-2 ) + (1-b)S_t-2- do oceny przyrostu trendu F_t - F_t-1 stosujemy prosty model wygładzania wykładniczego przyjmując jako wagę parametr .

y*_t = F_n + (t-n)S_n , t>n - równanie prognozy, model charakteryzuje się podwójnym wygładzaniem wykładniczym

???

Zinterpretować poszczególne równania i symbole. Czy model taki może być niestabilny? Dlaczego?

y_t - wartość obserwowana zmiennej prognozowanej w momencie t

y*_t - wartość prognozowana zmiennej w momencie t.

F_t-1 - wygładzona wartość zmiennej prognozowanej w momencie t.

S_{t -1}- wygładzona wartość przyrostu trendu w momencie t.

a, b - parametry modelu (z przedziału [0,2]).

???

3. Typowy Model Holta przedstawiony w punkcie 1 może być zmodyfikowany i zapisany w następującej postaci:

F_t-1 = ay_t-1 + (1-a) F_t-2

S_t-1 = b(F_t-1 - F_t-2 ) + (1-b)S_t-2

y*_t = F_n + (t-n)S_n , t>n

Podać warunki jakie muszą spełniać parametry a i b , aby model ten był stabilny.

Ponieważ jest to model z podwójnym wygładzaniem wykładniczym, parametry a i b muszą być zawarte w przedziale [0,2], czyli:

1-a  1, 1-a ≥ -1  a ≥ 0, a  2

1-b  1, 1-b ≥ -1  b ≥ 0, b  2

• W firmie sprzedającej komputery wyznaczono następujący trend sprzedaży na podstawie 4 kwartałów roku 2002

y_t = 60+ t + 4t², dla t=1,2,3,4

Wyznaczyć prognozę sprzedaży komputerów na I kwartał roku 2003.

I kwartał to piąty z kolei okres prognozowania, więc uznaję t=5:

t₅= 60 +4 + 4*5² = 164

5. Modelem tendencji rozwojowej pewnego zjawiska jest funkcja wielomianowa o postaci: y_t= a₀ +a₁ t+...+ a_ntⁿ. Dokonano N obserwacji i wyniki zamieszczono w poniższej tabelce. Pokazać jak wyznacza się parametry (a₀ ,a₁,...,a_n). Napisać odpowiednie równania.

t	yt
t1	yt1
t2	yt2
...	...
tN	ytN

Tworzę macierze:

1	t1	…	t1^n		a0		yt0
1	t2	…	t2^n	*	a1	=	yt1
. . .	. . .	…	. . .				. . .
1	tN	…	…				ytN

X p y

X * p = y  p =


8. Pokazać, że model tendencji rozwojowej o postaciach y_t= e^a+bt da się sprowadzić do modelu wielomianowego (przy pewnych założeniach) i dla wyznaczenia jego parametrów można skorzystać z metody pseudoinversji. Zapisać odpowiednie równania.

y_t= e^a+bt (każdy człon logarytmujemy) WZORY:

lny_t = (a+bt)(lne) lnx^y = ylnx

lne = 1

lnxy = lnx + lny

lnx = y  x = e^y

12. Pokazać, że model tendencji rozwojowej o postaci y_t=at^b daje się sprowadzić do modelu wielomianowego. Podać procedurę wyznaczania parametrów modelu.

y_t = at^b (znów logarytmy)

lny_t = lna + t*lnb

y_t' = a' + t*b' (mamy tendencję liniową charakterystyczną dla wielomianów)

3. SKŁADOWE OKRESOWE, MODELE ARMA, MODELE NARMA, SIECI NEURONOWE

6. Model szeregu czasowego zawiera tendencję rozwojową oraz półroczne wahania okresowe. Zapisać postać multiplikatywną tego modelu, podać długość cyklu i ilość faz.

???

7. Do czego w prognozowaniu używana jest analiza Fouriera?

Używa się jej do przedstawienia zawartości harmonicznych w przebiegu czasowym. Podstawą analizy jest stwierdzenie, że każdy przebieg czasowy można rozłożyć na składowe harmoniczne.

9. Zapisać równanie modelu ARMA(2,3) przyjmując, że u oznacza zmienną objaśniającą, a y zmienną objaśnianą.

y_t = a₁y_t-1 + a₂y_t-2 + b₁u_t-1 + b₂u_t-2 + b₃u_t-3

AR-2 MA-3

11. Czy model AR może być niestabilny?

TAK, ponieważ posiada dane pochodzące z wyjścia (y_t-n)

13. Czy model MA może być niestabilny?

NIE, ponieważ posiada dane tylko z wejścia i zawsze jest stabilny (u_t-n)

15. Czy model ARMA może być niestabilny?

TAK, ponieważ może posiadać dane z wejścia i wyjścia.

18. Zapisać równanie modelu ARMA(1,3) i podać warunek jego stabilności.

y_t = a₁y_t-1 + b₁u_t-1 + b₂u_t-2 + b₃u_t-3

Warunek stabilności:

(a,b)  [0,2]

21. Zapisać równanie modelu ARMA(1,1) i podać jak wyznacza się jego parametry
    (z wykorzystaniem arkusza Excel).

y_t =a y_t-1+ bu_t-1

W EXCELU wykorzystuje się narzędzie SOLVER_, ustalając jako warunki ograniczające punkty 0 i 2, natomiast a musi być dobrane tak, by osiągnąć minimum w [w=(u-y)²]

24. Narysować schemat neuronu (używanego do aproksymacji funkcji) i zapisać jego równanie matematyczne.







26. Narysować schemat sieci neuronowej do aproksymacji funkcji z jedną warstwą ukrytą.




28. Podać, na czym polega zadanie aproksymacji funkcji za pomocą sieci neuronowej (co jest dane, czego szukamy etc.).

32. Sieć neuronowa do aproksymacji funkcji dwóch zmiennych zawiera w warstwie ukrytej 3 neurony. Podać ile parametrów strojonych (wag) zawiera ta sieć.

Wzór: n*(d+1)+n gdzie:

n- liczba neuronów w warstwie ukrytej tu: 3

d- zmienne tu: 2

[każdy neuron warstwy ukrytej posiada d+1 parametrów (wag) i neuron warstwy wyjściowej- stąd +n]

WIĘC: 3*(2+1)+3 = 12

34. Zakładając, że funkcja zadana jest za pomocą N przykładów realizacji,
    {x_i ,y_i}^N_i=1 zapisać równania sieci z zadania 12 oraz wskaźnik błędu podlegający minimalizacji.

???

37. Dla wyznaczenia prognozy użyto następującego modelu NARMA y*_t= f (y*_t-1, u_t-1) Nieznana funkcja f jest aproksymowana za pomocą sieci neuronowej z 7-mioma neuronami w warstwie ukrytej. Podać ile parametrów strojonych (wag) zawiera ta sieć.

n = 7

d = 2

7*(2+1)+7 = 28

---