1) Koncepcja i ogólna zasade metody elementów skończonych

2) Pojęcie funkcjonału i jego wariancji

3) Dualizm formalny modeli (rownanie Euler-Lagrangea)

a)Zasada metody Ritza rozwiązań przybliżonych

b)Zasada metody Rayleigha – Ritza rozwiązań przybliżonych

c)Zasada metody ważonych rozwiązań przybliżonych

5) Twierdzenie Banacha o punkcie stałym

6) Pojęcie normy. Umiejętność obliczania norm wskazanej macierzy.

7) Koncepcja i rozumienie przestrzeni Sobolewa

8) Zasady aproksymacji na przestrzeniach Sobolewa. Warunek konieczny i wystarczający

9) Sformułowania aproksymacji słabej w metodzie wazonych residuów

10) Pojęcie elementu skończonego i aproksymacja na elemencie

11) Zasada aproksymacji Lagrange’a , Serendip, Hermita na elemencie skończonym

12) Parameryzacje lokalne i globalne

13) Parameryzacje lokalne i globalne

14) Dyskretyzacja strukturalna metodą MAPPED

15) Algorytm dyskretyzacji ADVANCING FRONT, OCTREE/QUADTREE, DALAUNAY:

16) Kryteria oceny jakości siatki: I. Aspect Ratio (Q_AR): II. Edge Ratio(Q_ER): III.Squish(Q_SQ): IV.Size change(Q_SC): V.Stretch(Q_S): VI. Equiangle Skew/ Equisize Skew

1) Koncepcja i ogólna zasade metody elementów skończonych

Metoda elementów skończonych jest to przybliżona metodą poszukiwań rozwiązań analizy matematycznej. Korzysta się, w przypadku tej metody z narzędzi numerycznych, które wykorzystują do rozpatrzenia numerycznych modeli obliczeniowych dyskretyzacje. Czyli transformacja modelu od postaci reprezentacji ciągłej do reprezentacji dyskretnej.

Generalnie istnieją współcześnie cztery główne tego rodzaju techniki , w postaci metod:

• FDM , różnic skończonych wprowadzająca aproksymacje pochodnych za pomocą

ilorazu różnicowego;

• FVM , objętości skończonych, która posługuje się wartościami dyskretnymi jako

uśrednionymi w obrębie pewnej objętości;

• FEM , elementów skończonych zakładająca arbitralną aproksymację dla

poszukiwanych pól wielkości fizycznych, którą następnie łączy z modelem

dyskretnym geometrii;

• BEM , elementów brzegowych -całkowicie odmienna o trzech wcześniejszych bowiem

wprowadzająca wyłącznie dyskretyzację brzegu, aczkolwiek o znacznie mniejszych zakresie zastosowań.

2) Pojęcie funkcjonału i jego wariancji

Funkcjonał:

J(u) = ∫_a^bF(x,u(x),u^′(x))dx

$$\text{gdzie}\ u^{'}\left( x \right) = \frac{\text{du}\left( x \right)}{\text{dx}}$$

Oczekujemy iż funkcja u(x),:

R ⊃  a,b ∋ x → u(x)∈R

I oznaczona przez

$$\left\{ \begin{matrix} u(a) \\ u(b) \\ \end{matrix} \right.\ $$

Minimalizuje funkcjonał J

Podstawiając założoną u(x)

mamy definiowany funkcja :

J(u(x)) = ∫_a^bF(x,u(x)+h(x),u^′(x)+h^′(x))dx

Definicja (Warjacja funkcjonału)

Niech J :U -> R będzie funkcjonałem określonym na przestrzeni funkcyjnej U danej ε - otoczeniem u(x). Jeżeli funkcjonał J jest różniczkowalny, to przyrost jego wartości odpowiadający zmianie h

J = J(u+h) − J(u) można wyrazić jako J = F(h) + ε(u,h)||h||

Funkcjonał F(h) jest liniowy względem h zaś ε(u,h) = 0

Funkcjonał F(h) określający przyrost funkcjonału J przy ||h|| → 0,  nazywamy warjacją funkcjonału δJ.

Warunek konieczny ekstremum funkcjonału

Jeżeli funkcjonał J (u) posiada ekstremum dla u = u₀ oraz istnieje wariacja funkcjonału δJ, to

warunkiem koniecznym wystąpienia ekstremum jest δJ = 0, dla u = u₀;

3) Dualizm formalny modeli (rownanie Euler-Lagrangea)

Funkcjał J:U→R określany na przestrzeni funkcyjnej U osiąga ekstremum wtedy i tylko wtedy gdy:

$$\frac{\text{ϑF}}{\text{ϑu}} - \frac{d}{\text{dx}}\frac{\text{ϑF}}{\text{ϑu}'} = 0$$

a)Zasada metody Ritza rozwiązań przybliżonych

Aproksymacja $\tilde{u}(x)$rozwiązanie u(x) powinna dawać sumarycznie zerowe residuum w obszarze rozwiązania x  ∈ < a;  b >, czyli

∫_a^br(x)dx = 0

b)Zasada metody Rayleigha – Ritza rozwiązań przybliżonych

Zakłada poszukiwanie rozwiązania korzystając wprost z twierdzenia Eulera-Lagrange'a, czyli stara się sprowadzić problem od minimalizacji odpowiedniego funkcjonału

$$\mathcal{L}\tilde{u} - f = 0 \Rightarrow \frac{D\mathcal{F}(\tilde{u})}{D\tilde{u}} - \frac{d}{\text{dx}}\frac{D\mathcal{F}(\tilde{u})}{D\tilde{u}'} = 0 \Longleftrightarrow \delta\mathcal{J}\left( \mathcal{F}\left( \tilde{u} \right) \right) = 0$$

c)Zasada metody ważonych rozwiązań przybliżonych

Aproksymacja rozwiązania powinna przynosić zerową wartość sumy ważonej residuów

∫_a^b𝓌(x)r(x)dx = 0

Generalnie jednak istnieje wiele sformułowań , odpowiednio do sposobu doboru funkcji wagowej

w(x) - mamy metody

• Kollokacji, która przyjmuje wagi w postaci funkcji δ−Diraca

∫_a^bδ(x_i−x)r(x)dx = 0,   ∫_a^bδ(x_i−x)dx = 1,   x  ∈ < a;  b >

• najmniejszych kwadratów gdzie jako funkcję wagową przyjmuje się residuum, czyli

∫_a^br(x)r(x)dx = ∫_a^br²(x)dx

• galerkina która poszukuje rozwiązanie w postaci kombinacji liniowej wielomianów $\tilde{u} = \sum_{i}^{}{c_{i}\psi_{i}}$ a funkcje wagową przyjmuję jako bazę aproksymacji

∫_a^bψ_i(x)r(x,c_i)dx

Posługując się metodą Ritza, Rayleigha – Ritza, Galerkina, rozwiązać wskazane równanie różniczkowe.

Weźmy równanie różniczkowe

$$\frac{d^{2}u\left( x \right)}{dx^{2}} - 6x = 0,\ \ $$

Przy warunkach brzegowych $\left\{ \begin{matrix} u\left( 0 \right) = 0 \\ u\left( 1 \right) = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $

Wyznaczając równanie na drodze analitycznej, ammy

$$\frac{d^{2}u\left( x \right)}{dx^{2}} - 6x = 0 \rightarrow \frac{d^{2}u\left( x \right)}{dx^{2}} = 6x$$

I całkując dwukrotnie

$$\int_{}^{}{\frac{d^{2}u\left( x \right)}{dx^{2}}\text{dx}} = \int_{}^{}{6\text{xdx}} + c \rightarrow \frac{\text{du}\left( x \right)}{\text{dx}} = 6\frac{x^{2}}{2} + c = 3x^{2} + c$$

$$\int_{}^{}\frac{\text{du}\left( x \right)}{\text{dx}}\text{dx} = \int_{}^{}{\left( 3x^{2} + c \right)\text{dx} + c^{'} = x^{3} + \text{cx} + c^{'}}$$

Wprowadzając warunki brzegowe

u(0) = 0 = 0³ − c • 0 + c^′ → c^′ = 0

u(1) = 0 = 1³ − c • 1 → c = −1

Otrzymujemy poszukiwaną całkę szczególną wyjściowego zagadnienia brzegowego

u(x) = x³ − x

Załóżmy w sposób całkowicie arbitralny, że rozwiązanie będziemy poszukiwać w postaci aproksymacji wielomianowej

$$\tilde{u}\left( x \right) = c_{0} + c_{1}x + c_{2}x^{2}$$

Co oczywiste musi ona czynić za dość warunkom brzegowym czyli musi być

$$\left\{ \begin{matrix} \tilde{u}\left( 0 \right) = 0 \\ \tilde{u}\left( 1 \right) = 0 \\ \end{matrix} \rightarrow \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} \tilde{u}\left( 0 \right) = c_{0} + c_{1} \bullet 0 + \\ {\ c}_{2} \bullet 0^{2} \rightarrow c_{0} = 0 \\ \tilde{u}\left( 1 \right) = c_{0} + c_{1} \bullet 1 + \\ \text{\ \ \ \ }c_{2}{\bullet 1}^{2} \rightarrow c_{1} = - c_{2} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Zatem na to aby założona na wstępie funkcja $\tilde{u}\left( x \right)$ spełniała warunki brzegowe zadania musi mieć postać

$$\tilde{u}\left( x \right) = - c_{2}x + c_{2}x^{2} = c_{2}x(x - 1)$$

Przyjmijmy że parametr c₂ oznaczymy jako k, więc

$$\tilde{u}\left( x \right) = \text{kx}(x - 1)$$

Ponieważ dla każdej z metod potrzebna jest znajomość pochodnych $\tilde{u}$ więc obliczamy już teraz

$$\frac{d\tilde{u}\left( x \right)}{\text{dx}} = {\tilde{u}}^{'} = \frac{d}{\text{dx}}\left( kx^{2} - kx \right) = 2kx - k = k\left( 2x - 1 \right)$$

I druga pochodna

$$\frac{d^{2}\tilde{u}\left( x \right)}{dx^{2}} = {\tilde{u}}^{''} = \frac{d}{\text{dx}}\left( 2kx - k \right) = 2k$$

Mamy w takim razie równanie

u^″ − 6x = 0; x ∈ <0; 1 > , u(0) = u(1) = 0

I poszukujemy jego rozwiązania postaci

$$\tilde{u} = \text{kx}\left( x - 1 \right);\ {\tilde{u}}^{'} = k\left( 2x - 1 \right);\ \ {\tilde{u}}^{''} = 2k$$

Metoda Ritza:

Residuum wynosi:

r(x) = u^″ − 6x = 2k − 6x

Zgodnie z założeniem metody Ritza, $\tilde{u}(x)$ stanowić będzie rozwiązanie wyjściowego równania jeżeli sumaryczne residuum w obszarze rozwiązanie było zerowe czyli:

∫₀¹r(x)dx

$$\int_{0}^{1}{\left( 2k - 6x \right)\text{dx}} = 2kx - 6\frac{x^{2}}{2}|\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix} = 2k - 3$$

Jeżeli sumaryczne residuum musi być zerowe to

2k − 3 = 0

To

$$k = \frac{3}{2}$$

Metoda Rayleigha – Ritza

Tutaj nie tylko trzeba założyć aproksymację $\tilde{u}(x)$, jak w innych metodach, ale dodatkowo znaleźć takie $F(\tilde{u}\left( x \right))$, aby równanie Eulera – Lagrange’a

$$\frac{\partial F}{\partial\tilde{u}} - \frac{d}{\text{dx}}\frac{\partial F}{\partial\ {\tilde{u}}^{'}} = 0$$

generowało wyjściowe równanie.

Zauważmy że przyjmując $F = - 6x\tilde{u} - 1/2{({\tilde{u}}^{'})}^{2}$, istotnie uzyskujemy $- 6x + {\tilde{u}}^{''} = 0$ Zatem rozwiązaniem będzie ekstremum funkcjonału

$$\int_{0}^{1}\text{Fdx} = \int_{0}^{1}{(6x\left( kx^{2} - kx \right) + \frac{1}{2}\left( 2kx - k \right)^{2})\text{dx}} = - \frac{1}{12}\frac{\left( 2kx - k \right)^{3}}{k} - 6k(\frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{3}x^{3})|\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix} = - \frac{1}{6}k^{2} + \frac{1}{2}k$$

Jeżeli wyjściowy funkcjonał ma mieć ekstremum to

$$\frac{d}{\text{dk}}\left( - \frac{1}{6}k^{2} + \frac{1}{2}k \right) = - \frac{1}{3}k + \frac{1}{2} = 0$$

Czemu odpowiada wartość parametru

$$k = \frac{3}{2}$$

Metoda Galerkina

Podobnie jak w metodzie Ritza wychodzimy od residuum

r(x) = u^″ − 6x = 2k − 6x

A jako funkcję wagową przyjmujemy funkcję bazową aproksymacji, czyli tutaj

w(x) = x(x−1)

Zgodnie ze sformułowaniem Galerkina powinno być

∫₀⁰w(x)r(x)dx

$$\int_{0}^{0}{\left( x\left( x - 1 \right) \right)\left( 2k - 6x \right)\text{dx} = - \frac{3}{2}x^{4} + \frac{1}{3}\left( 6 + 2k \right)x^{3} - kx^{2}|\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}k$$

Jeżeli wartość całki reprezentująca sumaryczne residuum ważone ma być zerowa czyli

$$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}k = 0$$

To

$$k = \frac{3}{2}$$

5) Twierdzenie Banacha o punkcie stałym i jego znaczenie dla metod iteracyjnych.

Niech dana będzie pewna zupełna przestrzeń metryczna <X, 𝜚> (lub domknięta jej podprzestrzeń) i odwzorowanie F : X → X, o cechach zwężających, to znaczy że

∃ε ∈ (0, 1)𝜚(Fx_n + 1, Fx_n)≤ε • 𝜚(x_n + 1, x_n)

Wówczas to

- Dla dowolnie wybranego x₀ ∈ Xi kolejnych x_n(n=0,1,2,…)

Fx_n = x_n + 1 ∈ X

- Ciąg jest zbieżny x_n → α ∈ X 

α ∈ X jest punktem stałym F, czyli Fα = α

- Odwzorowanie F ma tylko jeden punkt stały

- Błąd przybliżenia w iteracji n można szacować jako α ∈ X

$$\varrho(\alpha,x_{n}) \leq \frac{\varepsilon^{n}}{1 - \varepsilon}\varrho(x_{1},x_{0})$$

Twierdzenie Banacha o punkcie stałym wyraża fakt, że każda kontrakcja przestrzeni metrycznej zupełnej, w samą siebie, posiada punkt stały i jest on jednoznaczny.

6) Pojęcie normy. Umiejętność obliczania norm wskazanej macierzy.

Def.(Norma):

Niech x będzie przestrzenią liniową nad ciałem C. Funkcję ||.||: x × x → R₊ nazywamy normą na x, a parę x = (x,  ||.||) przestrzenią unormowaną nad ciałem C, jeżeli dla dowolnych x_i , x_j ∈ x i dowolnego c ∈C jest:

Dodatnio określona ||x_i||≥0 oraz ||x_i||=0 ↔ x_i

Jednorodna ||cx_i||=|c|*||x_i||

Nierówność trójkąta ||x_i+x_j||≤||x_i||+||x_j||

Macierz zdefiniowana w tradycyjny sposób nad ciałem liczb rzeczywistych tworzy przestrzeń liniową.

7) Koncepcja i rozumienie przestrzeni Sobolewa.a

Jeżeli zbiorowość funkcji u tworzy przestrzeń ℒ^P(Ω) a ich pochodne rzędu nie większego niż k także posiadają tę własność

$$W_{k}^{P}\left( \Omega \right) = \{ u \in \mathcal{L}^{P}\left( \Omega \right):\frac{\vartheta^{\alpha 1}\ldots\vartheta^{\alpha n}}{\vartheta x_{1}^{\alpha 1}\ldots\ \vartheta x_{n}^{\alpha n}}u \in \mathcal{L}^{P}\left( \Omega \right),\ {\ }_{\propto 1} + \ldots \propto_{n} \leq k\}$$

To tego rodzaju przestrzeń funkcyjną nazywamy przestrzenią Sobolewa i oznaczamy W_k^P(Ω)

Dla przestrzeni funkcyjnej tworzącej wraz z pochodnymi przestrzeń Sobolewa można zdefiniować nową normę

Def: Niech k będzie pewną nieujemną liczbą całkowitą, a funkcje u określone na Ω tworzą przestrzeń Sobolewa W_k^P(Ω) dla dowolnych ∝₁ + … + ∝_n ≤ k,  to

$${|\left| u\left( \Omega \right) \right||}_{W_{k}^{P}\left( \Omega \right)} = (\sum_{\propto_{1} + \ldots + \propto_{n} \leq k}^{}{||\frac{\vartheta^{\alpha 1}\ldots\vartheta^{\text{αn}}}{\text{ϑx}_{1}^{\alpha 1}\ldots\ \text{ϑx}_{n}^{\text{αn}}}u{||}_{\mathcal{L}^{P}\left( \Omega \right)}^{0P})^{\frac{1}{P}}}$$

Posiada cechy normy i nazywane jest normą Sobolewa ||u(Ω)||_Wk^P(Ω)

W tym kontekscie przestrzeń Sobolewa możemy zdefiniować także jako

W_k^P(Ω) = {u ∈ ℒ^P(Ω) : ||u(Ω)||_Wk^P(Ω) < ∞

W_k^P(Ω) jest tożsama z ℒ^P(Ω), natomiast W₁^P(Ω)

$$W_{k}^{P}\left( \Omega \right) = \{ u\left( \Omega \right) \in \mathcal{L}^{P}\left( \Omega \right):\frac{{\vartheta u}^{}}{\vartheta x} \in \mathcal{L}^{P}\left( \Omega \right)\hat{}\frac{{\vartheta u}^{}}{\vartheta z} \in \mathcal{L}^{P}\left( \Omega \right)$$

8) Zasady aproksymacji na przestrzeniach Sobolewa. Warunek konieczny i wystarczający.

O ile istnieje wiele sposobów podejścia i rozumienia aproksymacji, to w gruncie metody elementów skończonych dla pól wielkości fizycznych zakłada się zawsze aproksymacje w postaci kombinacji liniowych.

Definicja (Aproksymacja)

Niech dana będzie przestrzeń Hilberta ℋ. Problem najlepszej aproksymacji pewnego jej elementu u∈ℋ, względem danego układu {φ_n}, polega na znalezieniu takiego układu liczb {c_n} aby

$$\left\| u - \tilde{u} \right\| = \min\left\| u - \sum_{i = 1}^{n}{c_{i}\varphi_{i}} \right\|$$

Przy czym ∥ • ∥ jest pewną arbitralnie obraną normą, stanowiącą kryterium aproksymacji.

Twierdzenie ( Warunek konieczny i wystarczający)

Zadanie aproksymacji kombinacja liniową w przestrzeni Hilberta ma jednoznaczne rozwiązanie a warunkiem koniecznym i wystarczającym aby $\tilde{u} \in \chi\ \subset \ \mathcal{H}$ było elementem optymalnym aproksymacji u∈ℋ względem przestrzeni χ, jest ortogonalność.

$$\forall x \in \chi\ \left\langle u - \tilde{u},x \right\rangle = 0$$

Postaci i sformułowania warunków granicznych dla zagadnienia brzegowo-początkowego

Budowę modelu obliczeniowego zawsze rozpoczyna sformułowanie modelu fenomenologicznego wraz z uzupełniającymi go warunkami granicznymi.

Jest to tak zwane sformułowanie silne ( strong form).

O ile same równania modelowe mają zwykle charakter ogólny, to warunki brzegowe są zawsze specyficzne dla rozpatrywanego problemu i niejako umiejscawiają równanie w konkretnym kontekście.

Gdyby odnieść się do stanów równowagi, to w sensie formalnym związek modelowy stanowi równanie Poissona

−∇²u = f,

Przy czym $f \in C^{0}(\overset{\overline{}}{\Omega})$, zaś co do rozwiązania $u \in C^{2}(\overset{\overline{}}{\Omega})$, wymagane jest aby spełniało ( warunek brzegowy)

αu + βn∇u = αu_D + βh na Γ = Γ_D ∪  Γ_N

Gdzie α i β są pewnymi stałymi liczbowymi. W szczególnym przypadku gdyby:

α ≠ 0,  β = 0 mamy zagadnienie brzgowe

 z warunkiem Dirichleta

α = 0,  β ≠ 0 z warunkiem von Neumana

9) Sformułowania aproksymacji słabej w metodzie wazonych residuów

Twierdzenie ( metoda ważonych residuów )

Dla zagadnienia brzegowego ℒ(u) = f , jako adekwatną i optymalną aproksymacje $\overrightarrow{u} \in S$ rozwiązania u ∈  C², w sensie metody ważonych residuów, uznaje siętakąktóra jest ortogonalna względem przestrzeni funkcji wagowych ω ∈ W

$$\int_{\mathbf{\Omega}}^{}{\mathbf{(}\mathcal{L}\mathbf{(}{\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{-}\mathbf{f}\mathbf{)}\mathbf{\bullet}\mathbf{\omega}\mathbf{\ }\mathbf{d}\mathbf{\Omega =}\int_{\mathbf{\Omega}}^{}{\mathbf{f}\mathbf{\bullet}\mathbf{\omega}\mathbf{\ }\mathbf{d}\mathbf{\Omega}}}}\mathbf{= 0}$$

W rozpatrywanym przypadku mamy

-$\int_{\mathbf{\Omega}}^{}{\mathbf{\nabla}^{\mathbf{2}}{\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{\bullet}\mathbf{\omega}\mathbf{\ }\mathbf{d}\mathbf{\Omega =}\int_{\mathbf{\Omega}}^{}{\mathbf{f}\mathbf{\bullet}\mathbf{\omega}\mathbf{\ }\mathbf{d}\mathbf{\Omega}}}}$

Zauważmy, że stosując bezpośrednio metodę ważonych residuów, musielibyśmy poszukiwać rozwiązań próbnych $\tilde{u}\ $w przestrzeni Sobolewa funkcji całkowitych w kwadracie wraz z drugą pochodną W₂²(Ω). Zatem założona przestrzeń S(Ω) byłaby nieodpowiednia. Takie posuniecie nie jest jednak celowe ani zasadne.

Aby wyeliminować ten problem dokonamy przekształcenia:

$$- \int_{\Omega}^{}{\nabla^{2}\tilde{u} \bullet \omega d\Omega = \int_{\Omega}^{}{\nabla\tilde{u} \bullet \nabla\text{ωd}\Omega - \int_{\Gamma}^{}{(n\nabla\tilde{u}) \bullet \text{ωd}\Gamma}}}$$

Biorąc Pod uwagę że Γ = Γ_D ∪ Γ_N,  to

$$\int_{\Gamma}^{}{\left( n\nabla\tilde{u} \right) \bullet \omega d\Gamma =}\int_{\Gamma_{D}}^{}{\left( n\nabla\tilde{u} \right) \bullet \omega d\Gamma + \int_{\Gamma_{N}}^{}{\left( n\nabla\tilde{u} \right) \bullet \omega d\Gamma =}\int_{\Gamma_{N}}^{}{\left( n\nabla\tilde{u} \right) \bullet \omega d\Gamma}}$$

Co nie oznacza ze pierwsza z całek ( po części brzegu Γ_D jest zerowa ale – tak czy inaczej – będzie zastąpiona warunkiem Dirichleta (u_D). Stąd ostatecznie:

$$\mathbf{-}\int_{\mathbf{\Omega}}^{}{\mathbf{\nabla}^{\mathbf{2}}\tilde{\mathbf{u}}}\mathbf{\bullet}\mathbf{\omega}\mathbf{\ }\mathbf{d}\mathbf{\Omega =}\int_{\mathbf{\Omega}}^{}{\mathbf{\nabla}\tilde{\mathbf{u}}\mathbf{\bullet}\mathbf{\nabla}\mathbf{\text{ωd}}\mathbf{\Omega}\mathbf{-}\int_{\mathbf{\Gamma}_{\mathbf{N}}}^{}{\mathbf{(}\mathbf{n}\mathbf{\nabla}\tilde{\mathbf{u}}}}\mathbf{)}\mathbf{\bullet}\mathbf{\text{ωd}}\mathbf{\Gamma}$$

Dzięki zastosowanemu przekształceniu osiągnęliśmy nie tylko możliwość aproksymacji rozwiązań z przestrzeni S a więc niższej klasy funkcji ale i łatwość wprowadzenia warunku drugiego rodzaju von Neumana.

Ostatecznie postać sformułowania weak zagadnienia brzegowego przestawia się następująco

Znaleźć $\tilde{u} \in S(\overset{\overline{}}{\Omega)}\ $takie że

$$\int_{\Omega}^{}{\nabla\tilde{u} \bullet \nabla\omega\ d}\Omega = \int_{\Omega}^{}{\text{f\ } \bullet \omega\ d\Omega + \int_{\Gamma_{N}}^{}{\left( n\nabla\tilde{u} \right) \bullet \omega d\Gamma,\ \forall\omega \in W(\overset{\overline{}}{\Omega})}}$$

Lub też korzystając z definicji iloczynu skalarnego, w równoważnym sformułowaniu

Znaleźć $\tilde{u} \in S(\overset{\overline{}}{\Omega)}\ $takie że

$$\left\langle \nabla\tilde{u},\nabla\omega \right\rangle = \left\langle f,\omega \right\rangle + \left\langle n\nabla\tilde{u},\omega \right\rangle,\ \forall\omega \in W(\overset{\overline{}}{\Omega})$$

Możliwe jest także trzecia postać sformułowania, wykorzystując pojęcie formy n - liniowej, które definiują poszczególne iloczyny skalarne.

Zauważmy, że iloczyny skalarne występujące w podanych wcześniej sformułowaniach WEAK mają cechy form n - liniowych, bowiem

$$\int_{\Omega}^{}{\nabla\tilde{u} \bullet \nabla\text{ωd}\Omega = a\left( \tilde{u},\omega \right),}$$

$$\int_{\Omega}^{}{f \bullet \omega\text{\ d}\Omega + \int_{\Gamma_{N}}^{}{\left( n\nabla\tilde{u} \right) \bullet \omega d\Gamma = l\left( \omega \right)}}$$

Można zatem powiedzieć że rozwiązanie podstawionego na wstępie zagadnienia sprowadza się do problemu:

Znaleźć $\tilde{u} \in S(\overset{\overline{}}{\Omega)}\ $takie że $a\left( \tilde{u},\omega \right) = l\left( \omega \right),\forall\omega \in W(\overset{\overline{}}{\Omega})$

10) Pojęcie elementu skończonego i aproksymacja na elemencie.

Element skończony

Definicja

Załóżmy, że z wielościanem związane są:

• N wymiarowa przestrzeń liniowa Ψ, funkcji ciągłych {ψ_I}_I = 1^Nokreślonych na , które nazywać będziemy funkcjami kształtu (shape function);

• zbiór   ⊂   punktów {N_I}_I = 1^N, nazwanych dalej węzłami (node);

wówczas trójkę (, Ψ,  ) nazywamy elementem skończonym Ω^(e).

Aproksymacja

Jeśli celem jest znalezienie aproksymacji globalnej

$$u^{h}\sum_{\propto}^{}{\psi_{\propto}U_{\propto}}$$

konieczne jest przyjęcie arbitralnie:

• punktów stanowiących węzły aproksymacji, co jest stosunkowo proste;

• postaci analitycznej funkcji bazowych aproksymacji ψ_i, co jest praktycznie niemożliwe.

Jednak jeśli rozważamy element skończony, dla którego dziedzina aproksymacji jest ograniczona, przyjęcie funkcji bazowych staje się dużo łatwiejsze.

Jeżeli w takim razie przy odpowiednio małej średnicy triangulacji h -> 0, potrafimy konstruować aproksymacje elementowe

$$u^{h}\sum_{I = 1}^{N}{\psi_{I}^{(e)}U_{I}^{(e)}}$$

z dowolną dokładnością, to aproksymację globalną budujemy jako

$$u^{h} = \sum_{\propto}^{}{\psi_{\propto}^{}U_{\propto}^{}} = \sum_{\propto}^{}{}(\sum_{e = 1}^{E}{}\sum_{I = 1}^{N}{\psi_{I}^{(e)}_{I \propto}^{(e)})U_{\propto}}$$

a więc dokonując superpozycji lokalnych (elementowych) wyników aproksymacji.

11) Zasada aproksymacji Lagrange’a , Serendip, Hermita na elemencie skończonym.

Lagrangea

Ogólna zasadą aproksymacji Lagrange’a jest

$$u^{(e)} = \sum_{I = 1}^{N}{U_{I}^{(e)}\psi_{I}^{(e)} =}\sum_{I = 1}^{N}{U_{I}^{(e)}l_{I}^{(e)}}$$

Przykład.

Element 1D o N = 3 węzłach i dziedzinie [-1, +1], jak na rysunku.

Przyjmijmy, że współrzędną parametryzującą domenę geometryczną będzie ξ. Założone położenia węzłów i odpowiadające im wartości dyskretne zestawiono w tabeli.

Dla podanego przykładu trzech węzłów interpolacji

czyli

Bazę aproksymacji (a właściwie interpolacji) stanowić będzie zbiór trzech funkcji:

a interpolować dowolną wielkość będzie zawsze wg

przyjmując ξ∈ [-1,+1].

Zasada aproksymacji serendip na elemencie skończonym.

Autorzy założyli następujący wielomian:

Przyjmując N=3 węzły interpolacji

To po podstawieniu, wartości dla kolejnych węzłów otrzymamy układ trzech równań

Równoważne będzie temu równanie macierzowe

Przekształcamy do ogólnej postaci

Otrzymana zależność interpolacyjna:

Oraz bazę interpolacji określa:

Zasada aproksymacji Hermita na elemencie skończonym.

Jedna z metod konstruowania przybliżeń funkcji wywodząca się od Charlesa Hermita, która zapewnia ciągłość pochodnej.

Tutaj interpolacji podlegają nie tylko wartości pola fizycznego U_i^(e) ale równocześnie ich pochodne, zwykle dotyczy to pochodnej rzędu pierwszego, czyli U_i^′(e) = dU_i^(e)/dξ .

Podobnie jak wcześniej, także i w tym przypadku jest to interpolacja wielomianowa, chociaż mamy osobne funkcje dla wartości a osobne dla pochodnych.

Interpolacja na pojedynczym elemencie, z dwoma węzłami:

Bazę interpolacji stanowią funkcje Hermita:

$$H_{10} = \frac{1}{4} \bullet \left( 2 - 3\xi + \xi^{3} \right);\ H_{11} = \frac{1}{4} \bullet \left( 1 - \xi - \xi^{2} + \xi^{3} \right)$$

$$H_{20} = \frac{1}{4} \bullet \left( 2 + 3\xi - \xi^{3} \right);\ H_{21} = \frac{1}{4} \bullet \left( - 1 - \xi + \xi^{2} + \xi^{3} \right)$$

12 i 13) Lokalne bazy elementowe i aproksymacje elementowe

W przestrzeni dyskretyzacji można zdefiniować wiele układów odniesienia wprowadzające różne,

choć wzajemnie jednoznaczne, jej parametryzacje. W szczególności może to być parametryzacja:

• globalna czyli związana z całością przestrzeni , wynikająca z wykorzystywanych związków fenomenologicznych, zwykle wprowadza się w formie układ współrzędnych kartezjańskich oznaczanych x; y; z;

• lokalna czyli elementowa, wynikająca z faktu, baza interpolacji odnosi się zawsze do węzłów elementu skończonego.

O ile baza globalna i całość parametryzacji globalnej jest zwykle tylko jedna i nie budzi

wątpliwości, lokalnych będzie tyle ile elementów skończonych a każda z nich będzie

najprawdopodobniej inaczej zorientowana w przestrzeni. Dodatkowo całość komplikuje fakt, że

sposobów wprowadzania parametryzacji lokalnych jest wiele, zwykle są nie-ortokartezjańskie (o ile

nie krzywoliniowe), dodatkowo zależy one od typu elementu skończonego.

W najprostszym przypadku wprowadzony lokalnie na elemencie układ ortokartezjański, nie jest to

zbyt często stosowane rozwiązanie. Znacznie popularniejsze polega na zdefiniowaniu

parametryzacji naturalnej.

14) Dyskretyzacja strukturalna metodą MAPPED

Dyskretyzacja D^h obszaru Ω nazywamy skończoną rodzinę wielościanów K spełniającą następujące warunki:

• stanowią one pokrycie dziedziny $\overset{\overline{}}{\Omega} = \Omega\bigcup_{}^{}\Gamma = \bigcup_{i}^{}K_{i}$;

• wnętrza różnych wielościanów są rozłączne $K_{i}\bigcap_{}^{}{K_{j} = \varnothing,\ \bigvee_{}^{}{(i \neq j)}}$;

• każda ściana wielościanu Ω^(e) jest albo częścią brzegu Γ, albo ścianą tego samego wymiaru innego wielościanu, który nazywamy sąsiednim;

• liczbę h  =  sup(diam(K)) nazywamy średnicą dyskretyzacji.

Metoda MAPPED konstruuje odwzorowanie między modelem geometrii a pewnym umownym kwadratem lub sześcianem, odpowiednio w przypadku 2D albo 3D.

O ile niekoniecznie geometrię musi określać kwadrat czy sześcian, to musi zachodzić tutaj zgodność topologiczna.

Obszar MAPP’owalny może być czworobokiem krzywoliniowym.

15) Algorytm dyskretyzacji ADVANCING FRONT:

• Identyfikowany jest brzeg obszaru i dokonuje się jego dyskretyzacji;

• Inicjowanie frontu, jako dyskretyzowany brzeg;

• Wybierana jest kolejna krawędź do usunięcia i w relacji do niej wstawiany nowy węzeł próbny;

• Sprawdzenie, czy w otoczeniu węzła próbnego znajduje się już jakiś inny węzeł: NIE-węzeł próbny staje się rzeczywistym; TAK-będzie użyty;

• Usunięcie krawędzi zaznaczonej z frotu i zastąpienie dwoma nowymi.

Procedura powtarzana jest, aż do momentu wyczerpania.

Metoda skuteczna, ale wolna- złożoność obliczenia.

Pierwsze kroki algorytmu ADVANCING FRONT:

O($N\sqrt{N}$) lub O(N logN)

Algorytm dyskretyzacji OCTREE/QUADTREE:

Dokonuje rekursywny podział obszaru przez konstruowanie jego pokrycia, wg pewnego regularnego schematu, za pośrednictwem rodziny podanych geometrycznie prymitywów.

Algorytm dyskretyzacji DALAUNAY:

Algorytm dla triangulacji obejmuje następujące kroki:

• Wprowadzone są 3 punkty, na których zbudowany trójkąt zawiera całość obszaru poddawanego dyskretyzacji;

• Wstawiany jest nowy punkt;

• Dla powstałych, w wyniku podziału, trójkątów potomnych, wyznaczane są okręgi opisane na nich;

• Trójkąty, których okręgi zawierają nowy punkt są usuwane i zastępowane nowymi.

16) Kryteria oceny jakości siatki:

I. Aspect Ratio (Q_AR):

Jest ilorazem promieni:

R- koła(sfery) opisanej

r- koła(sfery) wpisanej

$$Q_{\text{AR}}\sim\frac{R}{r}$$

$$Q_{\text{AR}}\sim\frac{\max(\lambda_{1,}\lambda_{2},\lambda_{3})}{\min(\lambda_{1,}\lambda_{2},\lambda_{3})}$$

λ_1,λ₂, λ₃-długości krawędzi

Dla idealnie równomiernej siatki: Q_AR=1

Dla siatki rzeczywistej: Q_AR>1

II. Edge Ratio(Q_ER):

Jest relacją maksymalnej do minimalnej długości krawędzi elementu.

$$Q_{\text{ER}} = \frac{\max(\lambda_{i}^{(e)})}{\min(\lambda_{j}^{(e)})}$$

Dla idealnie równomiernej siatki: Q_ER=1

Dla siatki rzeczywistej: Q_ER>1

III.Squish(Q_SQ):

Stanowi miarę nie nieortogonalności ścian elementu. Określa się jako wartość maksymalną z obliczonych dla poszczególnych ścian danego elementu.

Ponieważ zgodnie z definicją iloczynu skalarnego wektorów mamy:

To zawsze będzie: 0,0<Q_SQ<1,0

IV.Size change(Q_SC):

Odnosi się do relacji objętości elementu (lub pola powierzchni dla 2D) danego do sąsiadującego z nim. Zgodnie z definicją:

$$Q_{\text{SC}} = max\left( \frac{V_{i}^{(e)}}{V_{j}^{(e)}} \right)$$

Zgodnie z definicją:

0,0<Q_SC<1,0

Dla siatki idealnej Q_SC=1,0

V.Stretch(Q_S):

Charakteryzuje relację długości krawędzi do długości przekątnych elementu. Jeżeli krawędzie mają kolejno długości λ_i, a przekątne 𝛿_j to:

$$Q_{S} = \sqrt{K \bullet \frac{\min(\lambda_{i}^{(e)})}{\max(\delta_{j}^{(e)})}}$$

Parametr skalujący K przyjmuje się dla siatek:

TETRA jako 2

HEXA jako 3

Zgodnie z definicją:

0,0<Q_S<1,0

Dla siatki idealnej Q_S=1,0

VI. Equiangle Skew/ Equisize Skew(Q_EA/Q_EV):

Czyli skośności kątowe albo rozmiaru, stanowią de facto równoważnie miary stopnia degradacji kształtu elementu. Definiowano, jako względne różnice kątów między krawędziami, albo- w drugim przypadku- względne różnice objętości między: danym elementem, a opisanym na nim, kiedy wszystkie krawędzie są równe

$$Q_{\text{EV}} = \frac{V_{\text{eq}} - V^{(e)}}{V_{\text{eq}}}$$

Zgodnie z definicją:

0,0<Q_EA/ Q_EV <1,0

Jako siatkę wysokiej jakości w praktyce uznaje się dla elementów:

2D wartości wyróżnika do 0,1

3D wartości wyróżnika do 0,4

1) Koncepcja i ogólna zasade metody elementów skończonych

2) Pojęcie funkcjonału i jego wariancji

3) Dualizm formalny modeli (rownanie Euler-Lagrangea)

a)Zasada metody Ritza rozwiązań przybliżonych

b)Zasada metody Rayleigha – Ritza rozwiązań przybliżonych

c)Zasada metody ważonych rozwiązań przybliżonych

5) Twierdzenie Banacha o punkcie stałym

6) Pojęcie normy. Umiejętność obliczania norm wskazanej macierzy.

7) Koncepcja i rozumienie przestrzeni Sobolewa

8) Zasady aproksymacji na przestrzeniach Sobolewa. Warunek konieczny i wystarczający

9) Sformułowania aproksymacji słabej w metodzie wazonych residuów

10) Pojęcie elementu skończonego i aproksymacja na elemencie

11) Zasada aproksymacji Lagrange’a , Serendip, Hermita na elemencie skończonym

12) Parameryzacje lokalne i globalne

13) Parameryzacje lokalne i globalne

14) Dyskretyzacja strukturalna metodą MAPPED

15) Algorytm dyskretyzacji ADVANCING FRONT, OCTREE/QUADTREE, DALAUNAY:

16) Kryteria oceny jakości siatki: I. Aspect Ratio (Q_AR): II. Edge Ratio(Q_ER): III.Squish(Q_SQ): IV.Size change(Q_SC): V.Stretch(Q_S): VI. Equiangle Skew/ Equisize Skew

1) Koncepcja i ogólna zasade metody elementów skończonych

2) Pojęcie funkcjonału i jego wariancji

3) Dualizm formalny modeli (rownanie Euler-Lagrangea)

a)Zasada metody Ritza rozwiązań przybliżonych

b)Zasada metody Rayleigha – Ritza rozwiązań przybliżonych

c)Zasada metody ważonych rozwiązań przybliżonych

5) Twierdzenie Banacha o punkcie stałym

6) Pojęcie normy. Umiejętność obliczania norm wskazanej macierzy.

7) Koncepcja i rozumienie przestrzeni Sobolewa

8) Zasady aproksymacji na przestrzeniach Sobolewa. Warunek konieczny i wystarczający

9) Sformułowania aproksymacji słabej w metodzie wazonych residuów

10) Pojęcie elementu skończonego i aproksymacja na elemencie

11) Zasada aproksymacji Lagrange’a , Serendip, Hermita na elemencie skończonym

12) Parameryzacje lokalne i globalne

13) Parameryzacje lokalne i globalne

14) Dyskretyzacja strukturalna metodą MAPPED

15) Algorytm dyskretyzacji ADVANCING FRONT, OCTREE/QUADTREE, DALAUNAY:

16) Kryteria oceny jakości siatki:

I. Aspect Ratio (Q_AR): II. Edge Ratio(Q_ER): III.Squish(Q_SQ): IV.Size change(Q_SC): V.Stretch(Q_S): VI. Equiangle Skew/ Equisize Skew

1) Koncepcja i ogólna zasade metody elementów skończonych

2) Pojęcie funkcjonału i jego wariancji

3) Dualizm formalny modeli (rownanie Euler-Lagrangea)

a)Zasada metody Ritza rozwiązań przybliżonych

b)Zasada metody Rayleigha – Ritza rozwiązań przybliżonych

c)Zasada metody ważonych rozwiązań przybliżonych

5) Twierdzenie Banacha o punkcie stałym

6) Pojęcie normy. Umiejętność obliczania norm wskazanej macierzy.

7) Koncepcja i rozumienie przestrzeni Sobolewa

8) Zasady aproksymacji na przestrzeniach Sobolewa. Warunek konieczny i wystarczający

9) Sformułowania aproksymacji słabej w metodzie wazonych residuów

10) Pojęcie elementu skończonego i aproksymacja na elemencie

11) Zasada aproksymacji Lagrange’a , Serendip, Hermita na elemencie skończonym

12) Parameryzacje lokalne i globalne

13) Parameryzacje lokalne i globalne

14) Dyskretyzacja strukturalna metodą MAPPED

15) Algorytm dyskretyzacji ADVANCING FRONT, OCTREE/QUADTREE, DALAUNAY:

16) Kryteria oceny jakości siatki:

I. Aspect Ratio (Q_AR): II. Edge Ratio(Q_ER): III.Squish(Q_SQ): IV.Size change(Q_SC): V.Stretch(Q_S): VI. Equiangle Skew/ Equisize Skew