13-15

DEFINICJA HEINE’GO

Lim f(x)=g V xn : xn -> xo f(xn) = g

xn≠x0

g c R U { +∞} U {-∞}

WARUNEK WYSTARCZAJĄCY ISTNIENIA EKSTREMUM

f’(xo) = 0 i f’ zmienia znak przy przejściu przez xo

WZÓR CAŁKOWANIA PRZEZ CZĘŚCI

∫f(x)g^′(x)dx = f(x)g(x) −  ∫f^′(x)g(x)dx

FUNKCJA DWÓCH ZMIENNYCH

Jeżeli każdemu punktowi x,y ze zbioru E płaszczyzny OXY przyporządkowujemy pewną liczbe rzeczywistą z, to mówimy, żę na zbiorze E określona została funkcja z=f(x,y)

Zbiór E to pole funkcji dwóch zmiennych, inaczej dziedziną funkcji. Jest to część płaszczyzny.

Wykresem funkcji dwóch zmiennych nazywamy zbiór W punktów w przestrzeni R³ spełniających warunek: W= [(x,y,z) : (x,y) należy E i z = f(x,y)]

REGÓŁA DEL’ HOSPITALA DLA NIEOZNACZNOŚCI 0/0

Jeżeli funkcja f i g są różniczkowalne w sąsiedztwie punktóu xo i są spełnione warunki

1. f(x) =  g(x) = 0   lub  f(x) =  g(x) =  ∞ 

2. Istnieje granica

$\operatorname{}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} = k$ to istnieje również granica;

$$\operatorname{}\frac{f(x)}{g(x)} = k$$

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ JEDNOSTRONNA

Funkcja f określona w otoczeniu punktu xo nazywamy ciągłą w tym punkcie, jeżeli posiada ona granice w punkcie xo równa swej wartości w tym punkcie

f(x) = F(xo)

Funkcje f nazywamy ciągłą prawostronnie w punkcie xo, jeżeli

f(x) = f(xo)

-/- lewostronnie w punkcie xo, jeżeli

f(x) = f(xo)

WZÓR EULERA I POSTAĆ WYKŁADNICZA LICZBY ZESPOLONEJ

Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą. 

Niech , zaś  jest jednostką urojoną, wtedy wzór Eulera ma postać

.

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Rozpatrzmy liczbę  wyrażając funkcje sin i cos za pomocą funkcji wykładniczej (zob. wzory Eulera):

Mamy .

Zatem ostatecznie .

Pierwiastki zespolone wyrażają się wówczas wzorem

 dla .

EKSTREMA FUNKCJI

Funkcja  o wartościach w zbiorze uporządkowanym określona na przestrzeni topologicznej ma w punkcie  tej przestrzeni:

• minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie otwarte U punktu  takie, że dla każdego 

więc nie występują w okolicy punktu  wartości funkcji mniejsze od  , choć mogą występować wartości równe;

• maksimum lokalne, gdy istnieje otoczenie otwarte  punktu  takie, że dla każdego 

więc nie występują w okolicy punktu  wartości funkcji większe od  choć mogą występować wartości równe;

WARUNEK D’ALAMBERT’A WYSTARCZAJĄCY ZBIERZNOŚCI SZEREGU

Jeśli  jest szeregiem o wyrazach dodatnich (to znaczy  dla ), to
(1) szereg   jest zbieżny 
(2) szereg   jest rozbieżny ]

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ NA PRZEDZIALE OTWARTYM

Funkcja jest ciągła na przedziale otwartym (a, b), gdzie − ∞ ≤ a < b ≤ +∞

jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału

CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH. UŁAMKI PROSTE

Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci:

dx = dx.

Każda całka z funkcji wymiernej jest kombinacją liniową następujących funkcji: funkcji wymiernej, logarytmu funkcji liniowej, logarytmu funkcji kwadratowej o ujemnym wyróżniku i arcustangensa funkcji liniowej. Przy obliczaniu całek z funkcji wymiernych postępujemy w następujący sposób:

1. Jeżeli n  m, to licznik dzielimy przez mianownik i funkcję podcałkową przedstawiamy jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej, w której stopień licznika jest już mniejszy niż stopień mianownika (n < m). Posługujemy się przy tym algorytmem pisemnego dzielenia wielomianów

2. Jeżeli n < m, to funkcję podcałkową rozkładamy na tzw. ułamki proste, tj. na wyrażenia postaci

 oraz ,

gdzie A, B, C, a, b, c, d, e są stałe, przy czym d² -4ce < 0 (wyróżnik trójmianu cx² + dx + e jest ujemny), zaś k i p są liczbami naturalnymi.

DEFINICJA MACIERZY. I JEJ WYMIARY

Macierzą sączoną (prostokątną) o wymiarach n x m nazywamy funkcje A, która każdej uporządkowanej parze zmiennych naturalnych (i, j) spełniających nierówność 1≤ i ≤ m, oraz 1 ≤ j ≤ n, przyporządkowuje liczbę rzeczywistą, którą będziemy oznaczali a_ij

A: (i, j) -> a_ij, gdzie 1≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

Macierz zapisujemy często w postaci tablicy prostokątnej mającej n wierszy i m kolumn

lub A= [a_ij]nxm

Jeżeli macierz ma n wierszy i m kolumn, to parę (n, m) nazywamy wymiarem macierzy

Jeżeli n = m to macierz nazywamy kwadratową, a liczbę n stopniem macierzy

Macierz jednostkowa o elementach e_ij stopnia n;

$e_{\text{ij}} = \ \left\{ \begin{matrix} 1\ dla\ i = j \\ 0\ dla\ i \neq j \\ \end{matrix} \right.\ $ postaci I = $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

Macierz prostokątna której wszystkie elementy są równe 0, nazywamy macierzą zerową.

TW. NEWTONA- LEIBNITZA

F( x + Δx ) – F(x) = F’(x) Δx = f(x) Δx

∫_a^xf(y)dy = F(x) −  F(a)

F’(x) = f(x)

RÓWNANIE PROSTEJ W POSTACI GEOMETRYCZNEJ W PRZESTRZENIE EUKLIDESOWEJ

Równanie parametryczne $\overset{\overline{}}{\mathbf{r}}$ = Po + s * $\overset{\overline{}}{\mathbf{u}}$

Po (x_o, y_o, z_o) $\overset{\overline{}}{\mathbf{u}}$ (a,b,c)

R. kierunkowe $\frac{\mathbf{x -}\mathbf{x}_{\mathbf{o}}}{\mathbf{a}}$ = $\frac{\mathbf{y -}\mathbf{y}_{\mathbf{o}}}{\mathbf{b}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{z -}\mathbf{z}_{\mathbf{o}}}{\mathbf{c}}$

Po (x_o, y_o, z_o) $\overset{\overline{}}{\mathbf{u}}$ (a,b,c)

R. krawędziowe l = $\left\{ \begin{matrix} A_{1x} + \ B_{1y} + C_{1z} + \ D_{1} = 0\ \\ A_{2x} + \ B_{2y} + C_{2z} + \ D_{2} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $

$\overset{\overline{}}{\mathbf{u}}$ = ( A₁, B₁, C₁,  D₁ ) x (A₂, B₂, C₂,  D2)