Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery

Laboratorium

Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu

SPRAWOZDANIE

Ćwiczenie nr 2

Temat ćwiczenia: Błędy w pomiarach bezpośrednich.

Wykonawca:

Imię i Nazwisko: Agata Matras

Nr indeksu: 192901

Wydział: Mechaniczno – Energetyczny

Rok studiów: I

Data wykonania ćwiczenia: 21.03.2013r.

Imię i Nazwisko prowadzącego: Dr inż. Monika Tkaczuk – Serafin

Data oddania sprawozdania: 04.04.2013r.

Ocena:

Poprawa:

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie niepewności rozszerzonej pomiaru grubości ścianki przewodu.

1. Opis przebiegu ćwiczenia

Przebieg ćwiczenia polegał na pomiarze za pomocą grubościomierza ultradźwiękowego grubości ścianki przewodu z aluminium. W celu otrzymania jak najlepszych wyników należało posmarować czujnik grubościomierza wazeliną. Pomiary wykonano 11 razy.

1. Wyniki pomiarów

Tabela 1. Wyniki pomiarów grubości ścianki przewodu z aluminium.

Lp.	[g]mm
1.	6,9
2.	6,8
3.	6,8
4.	6,8
5.	6,0
6.	6,7
7.	7,1
8.	6,7
9.	6,8
10.	6,1
11.	6,8

1. Opracowanie wyników.

   1. Analityczne sprawdzenie błędów nadmiernych (omyłek).

Z serii otrzymanych wyników wątpliwe mogą być wyniki: 6,0; 7,1 i 6,1. Wyniki te zostają odrzucone. Liczebność próby wynosi więc n = 8.

• Wartość średnia dla n = 8 wyznaczana jest z równania:

$$\overset{\overline{}}{g} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}g_{i}$$

gdzie: g_i – pojedynczy pomiar

n – liczba pomiarów

$$\overset{\overline{}}{g} = \frac{1}{8}\left( 6,9 + 6,8 + 6,8 + 6,8 + 6,7 + 6,7 + 6,8 + 6,8 \right) = 6,7875mm \approx 6,8mm$$

• Odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru należy obliczyć z równania:

$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}\left( g_{i} - \overset{\overline{}}{g} \right)^{2}}$$

gdzie: g_i – pojedynczy pomiar

$\overset{\overline{}}{g}$ – średnia pomiarów

n – liczba pomiarów

$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{7}\left\lbrack \left( 6,9 - 6,8 \right)^{2} + \left( 6,8 - 6,8 \right)^{2} + \left( 6,8 - 6,8 \right)^{2}\ldots + \left( 6,8 - 6,8 \right)^{2} \right\rbrack} =$$

$$= \sqrt{\frac{0,01 + 0 + 0 + \ldots + 0}{7}} = \sqrt{\frac{0,03}{7}} = \sqrt{0,004285714286} = 0,065465367 \approx 0,07\text{mm}$$

• Wyznaczenie przedziału ufności:

$$P\left( \overset{\overline{}}{g} - t_{\text{qm}}\sigma < g < \overset{\overline{}}{g} + t_{\text{qm}}\sigma \right) = \alpha$$

gdzie: $\overset{\overline{}}{g}$ – średnia pomiarów

σ – odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru

t_qm – współczynnik

α = 0, 95

Dla parametrów q = 1 − α i m = n − 1 wartość współczynnika t_qm wynosi t_qm = 2, 365

Zatem przedział ufności ma postać:

P(6,63445<g<6,96555) = 0, 95

Podejrzane wyniki nie mieszczą się w przedziale ufności, zostają one więc usunięte z dalszej analizy niepewności.

1. Wyznaczenie niepewności wskazania.

Niepewność tę oblicza się najczęściej z rozrzutu wyników wskazania, metodą typu A, z równania:

$$u\left( \overset{\overline{}}{W} \right) = \sqrt{\frac{1}{n\left( n - 1 \right)}\sum_{i = 1}^{n}\left( w_{i} - \overset{\overline{}}{W} \right)^{2}}$$

Należy przyjąć, że: w_i = g_i - pojedyncze wskazanie przyrządu

$\overset{\overline{}}{W} = \overset{\overline{}}{g}$ - średnia ze wskazań przyrządu

$u\left( \overset{\overline{}}{W} \right) = u\left( \overset{\overline{}}{g} \right)$ - niepewność wskazania

n - liczba pomiarów

$$u\left( \overset{\overline{}}{W} \right) = \sqrt{\frac{1}{8\left( 8 - 1 \right)}\left\lbrack \left( 6,9 - 6,8 \right)^{2} + \left( 6,8 - 6,8 \right)^{2} + \left( 6,8 - 6,8 \right)^{2} + \ldots + \left( 6,8 - 6,8 \right)^{2} \right\rbrack} =$$

$$= \sqrt{\frac{0,03}{56}} = \sqrt{0,0005357142857} = 0,023145502 \approx 0,024mm$$

1. Wyznaczenie niepewności poprawki wskazania.

Niepewność poprawki wskazania oblicza się ze wzoru:

$$u\left( P_{w} \right) = \frac{_{g}}{\sqrt{3}}$$

gdzie: _g - błąd graniczny; _g = ±1% wskazania ± 0, 1mm = ±0, 01 • 6, 8  ± 0, 1 = 0, 168mm

$$u\left( P_{w} \right) = \frac{0,168}{\sqrt{3}} = 0,096994845 \approx 0,1\text{mm}$$

1. Wyznaczenie niepewności rozdzielczości.

Niepewność rozdzielczości wyraża równanie:

$$u\left( P_{\text{rw}} \right) = \frac{d}{\sqrt{12}}$$

gdzie: d – rozdzielczość przyrządu; d = 0, 1mm

$$u\left( P_{\text{rw}} \right) = \frac{0,1}{\sqrt{12}} = 0,0288667513 \approx 0,03mm$$

1. Obliczenie niepewności standardowej pomiaru.

Niepewność standardowa pomiaru grubości ścianki przewodu wyznacza się z równania:

$$u\left( X \right) = \sqrt{u^{2}\left( \overset{\overline{}}{W} \right) + u^{2}\left( P_{w} \right) + u^{2}\left( P_{\text{rw}} \right) + u^{2}\left( P_{\text{ws}} \right)}$$

gdzie: $u\left( \overset{\overline{}}{W} \right)$ - niepewność wskazania

u(P_w) - niepewność poprawki wskazania

u(P_rw) - niepewność rozdzielczości przyrządu

u(P_ws) - niepewność związana z warunkami środowiskowymi

Należy skorzystać z wartości obliczonych powyżej.

$$u\left( X \right) = \sqrt{\left( 0,024 \right)^{2} + \left( 0,10 \right)^{2} + \left( 0,03 \right)^{2}} = \sqrt{0,000576 + 0,01 + 0,0009} = \sqrt{0,011476} =$$

=0, 107126093 ≈ 0, 11mm

Ostatni człon nie ma znaczenia, ponieważ pomiary były wykonywane w budynku, przy stałej, pokojowej temperaturze. Temperatura przyrządu i mierzonego elementu były takie same.

1. Dobór współczynnika rozszerzenia k.

Niepewność wynikająca z rozrzutu wyników pomiarów $u\left( \overset{\overline{}}{W} \right)$ jest mniejsza od niepewności związanej z rozdzielczością u(P_rw), zatem w skład równania na niepewność standardową u(X) wchodzą dwie składowe $u\left( \overset{\overline{}}{W} \right)$ i u(P_w) o rozkładach normalnym i jednostajnym. Współczynnik rozszerzenia oblicza się badając relacje między odchyleniami standardowymi dla pojedynczego pomiaru:

dla rozkładu normalnego: $\sigma_{n} = \sqrt{n} \bullet u\left( \overset{\overline{}}{W} \right)$

dla rozkłady jednostajnego: σ_j = u_B

$$\sigma_{n} = \sqrt{8} \bullet 0,024 = 0,06788225$$

σ_j = u_B = u(P_w) = 0, 1

σ_n < σ_j, więc współczynnik rozszerzenia wyraża się równaniem: $k = \sqrt{3} \bullet \alpha$

Dla α = 0, 95 współczynnik k wynosi:

$$k = \sqrt{3} \bullet 0,95 = 1,645448267 \approx 1,7$$

U(X) = k • u(X) = 1, 7 • 0, 11 = 0, 187 ≈ 0, 2mm

1. Poprawny zapis końcowego wyniku pomiaru.

g = (6,8±0,2)mm z P = 95%

1. Wnioski.

• Z końcowego zapisu wyniku pomiaru wynika, że odrzucone na początku wyniki zostały poprawnie odrzucone, ponieważ nadal nie mieszczą się w przedziale.

• Obliczona niepewność wynika z ograniczeń technicznych przyrządu. Wazelina, którą trzeba było rozsmarować na czujniku, ścierała się i przy kolejnych pomiarach było jej mniej co wpływało na dokładność wyników. Warto też zauważyć, że czujnik był płaski a powierzchnia aluminiowego przewodu zaokrąglona.

• Istotne jest również to, że na niepewność pomiaru składa się wiele czynników, które należy brać pod uwagę w analizie niepewności.