WBMiI Data przeprowadzenia zajęć: 22.10.2014
Automatyka i Robotyka
2013/2014
semestr 3

ĆWICZENIE NR 72

Wyznaczenie współczynnika załamania światła przy pomocy mikroskopu

Nr grupy: 108

1)Artur Puda
2) Marcin Szabla
3) Mateusz Raj

1. Cel ćwiczenia
   Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika załamania światła dwóch płytek, szklanej i wykonanej z pleksi, przy pomocy mikroskopu.

2. Teoria

   1. Współczynnik załamania światła
      Bezwzględny współczynnik załamania światła dla danego ośrodka nazywamy stosunek prędkości światła w próżni c, do prędkości światła w tym ośrodku v.

$$n = \frac{c}{v}$$

Względny współczynnik załamania światła charakteryzuje przejście światła przez dwa ośrodki materialne. Względnym współczynnikiem załamania ośrodka, do którego światło wchodzi względem ośrodka, z którego wychodzi nazywamy bezwzględny stosunek załamania światła tych ośrodków.

$$n_{21} = \frac{n2}{n1} = \frac{v2}{v1} = \frac{sin \propto}{\text{sinβ}} = \frac{2}{1}$$

1. Prawo Snelliusa

Gdzie:
n₁ – współczynnik załamania światła ośrodka pierwszego,

n₂ – współczynnik załamania światła ośrodka drugiego,

n₂₁ – względny współczynnik załamania światła ośrodka drugiego względem pierwszego,

θ₁ – kąt padania, kąt między promieniem padającym a normalną do powierzchni granicznej ośrodków,

θ₂ – kąt załamania, kąt między promieniem załamanym a normalną.

2.3 Dyspersja
Jest to zależność współczynnika załamania światłą od częstotliwości fali. Związki światła o różnych barwach, padające pod kątem różnym od zera na granicę ośrodków, załamują się pod różnymi kątami. Zjawisko to można zaobserwować przy przepuszczeniu światła przez pryzmat. Dla niemalże każdego materiału rozchodzenie się światła jest dyspersyjne. Miarą dyspersji dla danej długości fali jest pochodna współczynnika załamania po długości fali lub po liczbie falowej

Aby liczbowo określić wielkość dyspersji w całym zakresie światła widzialnego, definiuje się dyspersję średnią, czyli:

n_F – współczynnik załamania dla światła niebieskiego (linia Fraunhofera F – 486,1 nm)

n_C – współczynnik załamania dla światła czerwonego (linia Fraunhofera C – 656,3 nm)

2.4 Opis metody pomiarowej i stosowanych przyrządów.

W ćwiczeniu wykorzystywane są następujące przyrządy:
- płytka szklana
- płytka z tworzywa sztucznego (pleksi)
- śruba mikrometryczna do pomiaru grubości płytek

- mikroskop optyczny wyposażony w czujnik zegarowy (służący do pomiaru wielkości

przesuwu obiektywu względem stolika).

Pomiar polega na obserwacji przez mikroskop dwóch punktów zaznaczonych na górnej i dolnej powierzchni danej płytki ułożonej na jego stoliku. Oglądając punkt A leżący na dolnej powierzchni płytki widzimy jego obraz O. Obraz ten jest wyraźnie

bliżej górnej powierzchni płytki niż sam punkt A. Mamy zatem wrażenie pozornego

zmniejszenia sie grubości płytki. Odległość x od punktu B lezącego na powierzchni górnej płytki do obrazu O to tzw. grubość pozorna płytki. Jest ona zależna od rzeczywistej grubości płytki d i współczynnika załamania n materiału z którego płytka jest wykonana. Zgodnie z prawem Snelliusa, względny współczynnik załamania n materiału płytki względem powietrza spełnia następujący związek :

$$n = \frac{sin \propto 2}{sin \propto 1}$$

gdzie kąty ∝1 i ∝2 to odpowiednio kat padania i załamania przy przejściu światła z wnętrza materiału płytki do powietrza. Ponieważ średnica obiektywu soczewki jest niewielka, kąty te są bardzo małe. Dlatego też, z bardzo dobrym przybliżeniem spełniają związek:

sin∝ = ∼tg∝

Z rysunku 1 wynika, że:

Aby wyznaczyć współczynnik załamania materiału z którego wykonana jest płytka należy zmierzyć jej grubość rzeczywista d oraz grubość pozorna x. Pomiar grubości rzeczywistej płytki wykonujemy przy pomocy śruby mikrometrycznej, natomiast do wyznaczenia grubości pozornej wykorzystujemy czujnik zegarowy w jaki wyposażony jest mikroskop. Za pomocą czujnika możemy zmierzyć wielkość przesunięcia obiektywu mikroskopu względem stolika. Grubość pozorna to różnica miedzy położeniami obiektywu nad stolikiem wtedy gdy oglądamy ostre obrazy punktów A i B, czyli dolnej i górnej powierzchni płytki. Wyznaczony tą metoda współczynnik załamania światła jest względnym współczynnikiem załamania materiału płytki w odniesieniu do powietrza. Ponieważ jednak bezwzględny współczynnik załamania światła dla powietrza jest bardzo bliski jedności ( np =1.000292), otrzymany rezultat jest jednocześnie bardzo dobrym przybliżeniem bezwzględnego współczynnika załamania światła dla materiału z którego wykonana jest płytka.

2.5 Powiększenie.

Jest to stosunek rozmiaru obrazu widocznego w mikroskopie, do faktycznego rozmiaru badanego obiektu. Jest to wielkość bezwymiarowa przyjmująca wartości większe od 0.

Powiększenie mikroskopu zależy od iloczynu:

- powiększenia obiektywu,

- powiększenia okularu,

- powiększenia nasadki okularowej (jeżeli jest różne od 1).

1. Przebieg ćwiczenia

Za pomocą śruby mikrometrycznej zmierzono grubość płytki szklanej i fleksyjnej. Umieszczono płytkę szklaną na stoliku mikroskopu i podniesiono stolik mikroskopu tak, aby obiektyw znajdował się tuż nad powierzchnią płytki. Patrząc w okular, przesuwać stolik w dół tak, aby uzyskać ostry obraz rysy na dolnej powierzchni płytki i odczytano wskazanie X11 czujnika zegarowego. Pomiar ten powtórzono czterokrotnie. Czynności te powtórzono dla rysy znajdującej się na górnej powierzchni płytki.

1. Obliczenia

1. Obliczenia dla płytki szklanej :

• Wartości średnie <X_1i> wskazań czujnika zegarowego dla dolnej powierzchni płytki szklanej

<X₁> = ∑ $\frac{X_{1i}}{5}$

<X₁> = $\frac{6,76 + 6,76 + 6,.75 + 6,76 + 6,.75}{5}$

<X₁> = $\frac{33,78}{5}$ = 6,76 [mm]

• Wartości średnie <X_2i> wskazań czujnika zegarowego dla dolnej powierzchni płytki szklanej

<X₂> = ∑ $\frac{X_{2i}}{5}$

<X₂> =$\ \frac{4,86 + 4,85 + 4,88 + 4,87 + 4,88}{5}$

<X₂> = $\frac{24,34}{5}$ = 4,87 [mm]

• Średni błąd kwadratowy <S_X1>

<S_X1> = $\sqrt{\frac{{(6,76 - 6,76)}^{2} + {(6,76 - 6,76)}^{2}{(6,75 - 6,76)}^{2} + {(6,76 - 6,76)}^{2} + {(6,75 - 6,76)}^{2}}{5 - 1}}$

<S_X1> = $\sqrt{\frac{0,0002}{4}} \times 1,141 = \ $0,0081 [mm] ≈ 0,01 [mm]

• Średni błąd kwadratowy <S_X2>

<S_X2> = $\sqrt{\frac{{(4,87 - 4,86)}^{2} + {(4,87 - 4,85)}^{2} + {(4,87 - 4,88)}^{2} + {(4,87 - 4,87)}^{2} + {(4,87 - 4,88)}^{2}}{5 - 1}}$

<S_X2> =$\sqrt{\frac{0,0007}{4}\ } \times 1,141$ = 0,015 [mm] ≈ 0,02[mm]

• Błąd bezwzględny wskazania ∆X₁

∆X₁ = $\sqrt{{\ {(S}_{X1})}^{2}\ + \ \ \delta^{2}}$

∆X₁ = $\sqrt{{(0,0081)}^{2}\ + \ {(0,01)}^{2}}$ = 0,013 [mm] ≈ 0,01[mm]

• Błąd bezwzględny wskaźnika ∆X₂

∆X₂ = $\sqrt{{\ {(S}_{X2})}^{2}\ + \ \ \delta^{2}}$

∆X₂ = $\sqrt{{(0,015)}^{2}\ + \ {(0,01)}^{2}}$ = 0,018[mm] ≈ 0,02[mm]

• Wartość pozorna obu badanych płytek

X = |<X₁> - <X₂> |= | 6,76 - 4,87| = |1,89| = 1,89 [mm]

• Wartość współczynnika załamania n

n = $\frac{d}{x}$

n = $\frac{2,89}{1,89}$ = 1,53 [mm]

• Błąd bezwzględny współczynnika załamania

∆n = n×($\frac{d}{d} + \frac{X_{1 + X_{2}}}{x}$)

∆n = 1,53×($\frac{0,01}{2,89} + \frac{0,013 + 0,018}{1,89}$) = 0,03 [mm]

1. Obliczenia dla płytki z pleksi

• Wartości średnie <X_1i> wskazań czujnika zegarowego dla dolnej powierzchni płytki z pleksi

<X₁> = ∑ $\frac{X_{1i}}{5}$

<X₁> = $\frac{4,61 + 4,62 + 4,57 + 4,59 + 4,58}{5}$

<X₁> = $\frac{22,97}{5}$ = 4,59 [mm]

• Wartości średnie <X_2i> wskazań czujnika zegarowego dla dolnej powierzchni płytki z pleksi

<X₂> = ∑ $\frac{X_{2i}}{5}$

<X₂> =$\ \frac{6,02 + 5,98 + 5,99 + 5,99 + 5,98}{5}$

<X₂> = $\frac{29,96}{5}$ = 5,99 [mm]

• Średni błąd kwadratowy <S_X1>

<S_X1> = $\sqrt{\frac{{(4,59 - 4,61)}^{2} + {(4,59 - 4,62)}^{2}{(4,59 - 4,57)}^{2} + {(4,59 - 4,59)}^{2} + {(4,59 - 4,58)}^{2}}{5 - 1}}$

<S_X1> = $\sqrt{\frac{0,0018}{4}} \times 1,141 = \ $0,024 [mm] ≈ 0,02[mm]

• Średni błąd kwadratowy <S_X2>

<S_X2> = $\sqrt{\frac{{(5,99 - 6,02)}^{2} + {(5,99 - 5,98)}^{2}{(5,99 - 5,99)}^{2} + {(5,99 - 5,99)}^{2} + {(5,99 - 5,98)}^{2}}{5 - 1}}$

<S_X2> =$\sqrt{\frac{0,0011}{4}\ }$ = 0,019 [mm] ≈ 0,02[mm]

• Błąd bezwzględny wskazania ∆X₁

∆X₁ = $\sqrt{{\ {(S}_{X1})}^{2}\ + \ \ \delta^{2}}$

∆X₁ = $\sqrt{{(0,024)}^{2}\ + \ {(0,01)}^{2}}$ = 0,026 [mm] ≈ 0,03[mm]

• Błąd bezwzględny wskaźnika ∆X₂

∆X₂ = $\sqrt{{\ {(S}_{X2})}^{2}\ + \ \ \delta^{2}}$

∆X₂ = $\sqrt{{(0,019)}^{2}\ + \ {(0,01)}^{2}}$ = 0,021 [mm] ≈ 0,02[mm]

• Wartość pozorna obu badanych płytek

X = |<X₁> - <X₂> |= | 4,59 – 5,99 | = | -1,4| = 1,4 [mm]

• Wartość współczynnika załamania n

n = $\frac{d}{x}$

n = $\frac{2,11}{1,4}$ = 1,51 [mm]

• Błąd bezwzględny współczynnika załamania

∆n = n×($\frac{d}{d} + \frac{X_{1 + X_{2}}}{x}$)

∆n = 1,56×($\frac{0,01}{2,11} + \frac{0,026 + 0,021}{1,4}$) = 0,054 [mm] ≈ 0,05[mm]

1. Wyniki pomiarów- tabele

Wyniki pomiarów przedstawiono w tabeli:

X1i [mm]	<X1> [mm]	Sx1 [mm]	ΔX1 [mm]	X2i [mm]	<X2> [mm]	Sx2 [mm]	ΔX2 [mm]	d [mm]	Δd [mm]
6.76	6.76	0.01	0.01	4.86	4.87	0.02	0.02	2.89	0.01
6.76				4.85
6.75				4.88
6.76				4.87
6.75				4.88

Te same czynności wykonano dla płytki z pleksji, wyniki wpisano do tabeli pomiarowej:

X1i [mm]	<X1> [mm]	Sx1 [mm]	ΔX1 [mm]	X2i [mm]	<X2> [mm]	Sx2 [mm]	ΔX2 [mm]	d [mm]	Δd [mm]
4.61	4.59	0.02	0.03	6.02	5.99	0.02	0.02	2.11	0.01
4.62				5.98
4.57				5.99
4.59				5.99
4.58				5.98

Po obliczeniu wszystkich wartości (Dowód obliczeń dołączony do sprawozdania) wyliczono wartości współczynników załamania światła:

Tworzywo Płytki	d [mm]	x [mm]	n	Δn
Szkło	2.89	1.89	1.53	0.03
Pleksi	2.11	1.40	1.51	0.05

4. Wnioski
Ćwiczenie zostało wykonane poprawnie ponieważ wartości współczynników załamania światła (z uwzględnieniem błędów pomiarowych) są takie same jak w tablicach fizycznych.