+ Politechnika Poznańska

Instytut Konstrukcji Budowlanych

Zakład Konstrukcji Stalowych

ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2

Paweł Linowiecki

Grupa KBI 2, semestr VIII

Rok akad. 2010/2011

1. Geometria stropu

Rys. 1 Schemat stropu

Rys. 2 Przekrój przez strop

Obciążenia płyty stropowej

Rodzaj obciążenia	Ciężar wg PN-82/B-02001	Obciążenie charakterystyczne [kN/m^2]	Współczynnik obciążenia f	Obciążenie obliczeniowe [kN/m^2]
Płytki betonowe na klej	23 kN/m^3 x 0,03	0,460	1,2	0,552
Betonu zbrojony grubości 5 cm	25 kN/m^3	1,000	1,3	1,300
Styropian grubości 5 cm	0,45 kN/m^3	0,023	1,2	0,028
Folia poliuretanowa grubości 3 mm (1warstwa = 1,5mm)	0,45 kN/m^3	0,0014	1,2	0,0017
Płyta żelbetowa z betonu klasy B25 grubości 12 cm	25 kN/m^3	3,0	1,1	3,3
Razem obciążenie stałe gk	4,48	1,2	5,18
Obciążenie użytkowe	8,0	1,2	9,6
Razem q* = g + p	12,48		14,78

Tabela nr 1

2.1 Belka stropowa

Schematem statycznym żebra stropu jest belka dwuprzęsłowa o rozpiętości obliczeniowej

B^obl = 1,025 x B

B^obl = 1,025 x 5,5=5,64

B^obl = 5,64 m

2.2 Obciążenia belki stropowej

Rodzaj obciążenia	Ciężar [kN/m­2]	Szerokość [m]	Wartość charakterystyczna	γf	Wartość obliczeniowa
Obciążenia stałe
Płyta stropowa	4,48	2,25	10,08	1,2	12,10
Ciężar belki	-	-	0,5	1,1	0,55
			gk	1,15	12,65
Obciążenia zmienne
Użytkowe	8,0	2,25	18,0	1,2	21,6

3. Siły wewnętrzne (tablice Winklera)

Wartości momentów zginających oraz sił poprzecznych wyznaczono za pomocą tablic Winklera.

- moment przęsłowy:

M₁=(0,070*12,65+0,096*21,6)*5,64²=94,12kN

-moment nad podporą pośrednią:

M_B=(-0,125*12,65-0,125*21,6)* 5,64²=-136,18kN

-reakcje na podporach zewnętrznych

V_a=V­­_c=(0,375*12,65+00,437*21,6)* 5,64=79,99kN

-siły poprzeczne przy podporze pośredniej

V_b(L)=-V_B(p)=-0,625*34,25*5,64=-120,73kN

Wykres momentów zginających:

Wykres sił tnących

3. Wymiarowanie przekroju

Element zostanie wykonany ze stali St3S o wytrzymałości obliczeniowej f_d=215MPa=21.5kN/cm².

M_max=136,18kNm=13618kNcm

W­_potr≥$\frac{M_{\max}^{}}{f_{d}}$=$\frac{13618}{21,5}$=633,39cm­³

Jako belkę stropową przyjęto dwuteownik IPE330, o wskaźniku wytrzymałości przekroju W_x=713cm³.

A=72.7cm²

m=57.1kg/mb

Ix=11770cm⁴

1. Klasa przekroju

ε=$\sqrt{\frac{215}{f_{d}}}$= $\sqrt{\frac{215}{215}}$=1,00

Pasy przekroju:

$\frac{b}{t_{f}}$=$\frac{0,5*b_{f} - 0,5tw - R}{t_{f}}$= $\frac{0,5*(17,00 - 0,8) - 1,5}{1,27}$=$\frac{6,6}{0,8}$=5,19≤9* ε=9*1,0=9

Środnik:

$\frac{h}{\text{tw}}$=$\frac{h - 2tf - 2R}{t_{w}}$= $\frac{33,0 - 2*1,27 - 2*1,5}{0,8}$=$\frac{27,46}{0,8}$=34,32≤66* ε=66*1,0=66

Zgodnie z PN-90/B-03200 spełnienie powyższych warunków smukłości kwalifikuje przekrój do przekrojów klasy 1.

1. Stan granicznej nośności

Warunek nośności przekroju klasy 1 na zginanie wynosi α_p=1

M_R= α_p*W_x*f_d=1,0*713*21,5=153,29kNm

$\frac{M}{M_{R}}$=$\frac{136,18}{153,29}$=0,88≤1,0

Warunek smukłości przy ścinaniu dla środnika:

$\frac{h_{w}}{\text{tw}}$=$\frac{27,46}{0,8}$=34,32≤70*1=70

Zgodnie z powyższym warunkiem środnik jest odporny na miejscową utratę stateczności przy czystym ścinaniu (φ_pv = 1, 0).

Warunek nośności przekroju na ścinanie:

A_v=h_w*t_w=27,46*0,8=21,96cm²

V_R=0,58*φ_pv*A_v*f_d=0,58*1,0*21,96*21,5=273,84kN

$\frac{V}{V_{R}}$=$\frac{120,73}{273,84}$=0,44≤1,0

Warunek nośności ze względu na zginanie z uwzględnieniem ścinania, należy sprawdzić w przekroju, w którym działa M_max, występuje siła poprzeczna i spełnia następujący warunek:

V=120,73kN≥V₀=0,3V_r=0,3*273,84=82,152kN

Nośność obliczeniową zredukowaną wyznaczono zgodnie ze wzorem:

M_r,v=M_r*$\left\lbrack 1 - \frac{I_{V}}{I}*\left( \frac{V}{V_{R}} \right)^{2} \right\rbrack$

Moment bezwładności środnika I_V wynosi:

I_v=$\frac{0,8*{27,46}^{3}}{12}$=1380cm⁴

M_r,v=153,29*$\left\lbrack 1 - \frac{1380}{11770}*\left( \frac{120,73}{273,84} \right)^{2} \right\rbrack$=149,79kNm

$\frac{M}{M_{R,V}}$=$\frac{136,18}{149,79}$=0,91≤1,0

Utrata stateczności ogólnej ( zwichrzenie):

Belka stropowa jest zabezpieczona przed zwichrzeniem sztywna płytą stropową ((φ_L = 1, 0).

$\frac{M}{{\varphi_{L}*M}_{R,V}}$=$\frac{136,18}{1,0*149,79}$=0,91≤1,0

1. Stan graniczny użytkowania

Ugięcie przęseł:

Przyjmuję wartości współczynników redukcyjnych α_g i α_q :

α_g=0,5 dla przęsła skrajnego i obciążenia stałego

α_q=0,75 dla przęsła skrajnego i obciążenia użytkowego

Ugięcie rzeczywiste:

f=$\frac{5}{384}$*$\frac{\left( \alpha_{g}*g_{k} + \alpha_{q}*q_{k} \right)*I^{4}}{\text{EI}}$=$\frac{5}{384}$*$\frac{\left( 0,5*12,65 + 0,75*21,6 \right)*{5,64}^{4}}{205*10^{6}*11770*10^{- 8}}$=0,01229=12,29mm

f_gr=$\frac{l}{250}$=$\frac{5,64}{250}$=0,0225m=22,5mm

f≤ f_gr

Warunek docisku do betonu przy oparciu belki stropowej bezpośrednio na murze:

a$\leq \frac{h}{3}$+15=$\frac{33}{3}$+15=26cm

Założono oparcie na murze a=20cm

Siła docisku do betonu C20/25 wynosi:

f_j=0,8*f_cd=0,8*13,3=10,64MPa

Siła działająca na podporze wynosi: V=79,99kN

Naprężenia od docisku do muru wynoszą: σ_cd=$\frac{V}{a*b} = \frac{79,99}{20*15}$=0,266kN/cm²=2,66MPa

σ_cd ≤f_j

3. Podciąg

Schematem statycznym podciągu jest belka trójprzęsłowa o rozpiętości obliczeniowej :

L=L*α=9*1,025=9,23 – dla przęseł skrajnych,

L=9 – dla przęsła pośredniego.

3.1 Obciążenia podciągu

Współczynnik C_g= 1,25 odczytano z tablic Winklera C_g=2*0,625=1,25

Rodzaj obciążenia	Ciężar [kN/m­2]	Szerokość [m]	Wartość charakterystyczna	γf	Wartość obliczeniowa
Obciążenia stałe
Ciężar stropu	1,25*10,58	5,5	72,73	1,23	89,47
Ciężar belki	1,0	2,25	2,25	1,1	2,48
			gk		91,95
Obciążenia zmienne
Użytkowe	1,25*8	5,5	55	1,2	66
		suma	129,99		157,95

3.2 Siły wewnętrzne

Wartości momentów zginających oraz sił poprzecznych wyznaczono za pomocą tablic Winklera.

Moment w przęśle skrajnym:

M_A-B=(0,313*91,95+0,406*66)*9,23=512,97kNm

Moment w przęśle środkowym:

M_B-C=(0,125*91,95+0,313*66)*9,0=289,37kNm

Reakcje w podporach zewnętrznych:

V_A=V_D=1,125*91,95+1,313*66,0=190,1kN

Siły poprzeczne w podporach zewnętrznych:

V_B^L=-1,875*91,95-1,938*66-$\frac{157,95}{2}$=-379,29kN

V_B^P=1,5*91,95+1,812*66+$\frac{157,95}{2}$=336,49kN

Reakcje na podporach pośrednich:

V_B=V_C=3,375*91,95+3,75*66+157,95=715,78kN

Wykres momentów

Wykres sił tnących

Moment nad podporą pośrednią:

M_B=(-0,375*91,95-0,437*66)$\frac{9,23 + 9}{2}$=-577,51kNm

3.3 Wymiarowanie przekroju

Przekrój zaprojektowano jako blachownicę ze stali St3S o wytrzymałości obliczeniowej f­_d=215MPa.

Wskaźnik wytrzymałości przekroju wyznaczono ze względu na max. moment zginający.

M_max=577,51kNm=57751kNm

W­_potr≥$\frac{M_{\max}^{}}{f_{d}}$=$\frac{57751}{21,5}$=2686,09cm­³

Wymiary środnika:

H=$\frac{L_{sr}}{20}$=$\frac{(9,23 + 9)/2}{20}$=0,46m

Przyjęto H=0,4m

t_w>$\frac{H}{100}$=$\frac{0,40}{100}$=0,004m=0,4cm

Przyjęto t_w=0,9cm (L/1000).

h_wopt=1,3*√$\frac{W_{\text{potrz}}}{t_{w}}$=1,3*√$\frac{2686,09}{0,9}$=71,02cm

h_w>106*t_w=106*0,9=95,04cm

Wysokość środnika dopasowano do wymiarów blach uniwersalnych:

h_w=100-2*1,0=98cm

t_w=0,9cm

Wymiary pasów

t_f≥2*t_w=2*0,9=1,8cm

Niezbędny moment bezwładności przekroju:

I_potrz= W_potrz*($\frac{h_{w}}{2}$+t_f)=2686,99($\frac{98}{2}$+1,8)

I_potrz=136499,1cm⁴

Moment bezwładności środnika:

I_potrz=$\frac{h_{w}^{3}*t_{w}}{12}$ =$\frac{98^{3}*0,9}{12}$=70589,4cm⁴

Niezbędny moment bezwładności pasów:

I_potrz,pas=I_potrz-I_v=136499,1-70589,4=65909,7cm⁴

Moment bezwładności pasów:

I_pas=2(($\frac{b_{f}*{t_{f}}_{}^{3}}{12} + b_{f} + t_{f}\frac{h_{w}*{t_{f}}_{}^{}}{2})$²)= 2(($\frac{b_{f}*{1,8}_{}^{3}}{12} + b_{f} + 1,8\frac{98*1,8}{2})$²=8965,02b_f>I_potrz,pas=65909,7

b_f>7,35cm

Przyjęto b_f=30,0cm

A=196,0 I=339540

3.4 Klasa przekroju

ε=$\sqrt{\frac{215}{f_{d}}}$= $\sqrt{\frac{215}{215}}$=1,00

Pasy przekroju:

$\frac{b}{t_{f}}$=$\frac{0,5*b_{f} - 0,5tw - R}{t_{f}}$= $\frac{0,5*(30 - 0,9) - 1,5}{1,8}$=8,1≤9* ε=9*1,0=9

Klasa 1

Środnik:

$\frac{h_{w}}{t_{w}}$= $\frac{98}{0,9}$=108,88≥105* ε=105

Klasa 4

3.5 Stan granicznej nośności

Dla przekroju klasy 4 a=2,25m

b=h_w=0,98m

β=$\frac{a}{b}$=$\frac{2,25}{0,98}$=2,29>1,0 v=0

Smukłość względna wynosi:

k₂=0,4+0,6*v=0,4

λ_p=$\frac{b}{t}$*$\frac{k_{2}}{56}\sqrt{\frac{f_{d}}{215}}$= $\frac{98}{0,9}$*$\frac{0,4}{56}$*$\sqrt{\frac{215}{215}}$=0,7777→φ_p0,98<1

Nośność obliczeniowa z uwzględnieniem współczynnika niestateczności miejscowej wynosi:

W_x=$\frac{I}{y}$=$\frac{339540}{50,8}$=6683,85cm³

M_R= φ_p*W_x*f_d=0,98*6683,85*21,5=140828,72kNcm=1408,29kNm

$\frac{M}{M_{R}}$=$\frac{577,51}{1408,29}$=0,41≤1,0

Nośność przekroju na ścinanie:

β=$\frac{a}{b}$=$\frac{2,25}{0,98}$=2,29>1,0

k_v=0,65*$\sqrt{2 - \frac{1}{2,29}}$=0,81

λ_p=$\frac{b}{t}$*$\frac{k_{v}}{56}$*$\sqrt{\frac{f_{d}}{215}}$=$\frac{98}{0,9}$*$\frac{0,81}{56}$*$\sqrt{\frac{215}{215}}$=1,58

Współczynnik niestateczności przy ścinaniu

φ_pv=$\frac{1}{\lambda_{p}}$=$\frac{1}{1,58}$= 0,63

Pole przekroju czynnego

A_v=h_w*t_w=95*0,9=88,2cm²

Nośność obl. przekroju

V_R=0,58* φ_pv*A_V*f_d=0,58*0,63*88,2*21,5=692,91kN

$\frac{V}{V_{R}}$=$\frac{379,29}{692,91}$=0,547≤1,0

Nośność ze względu na zginanie z uwzględnieniem ścinania:

V=379,29>V₀=0,3*V_R=0,3*V_R=0,3*692,91=207,87kN

Nośność obl. zredukowana

M_R,V=M_R$\left\lbrack 1 - \frac{I_{V}}{I}*\left( \frac{V}{V_{R}} \right)^{2} \right\rbrack$

M_R,V=1408,29$\left\lbrack 1 - \frac{70589,4}{}*\left( \frac{379,29}{692,91} \right)^{2} \right\rbrack$=1320,69kNm

$\frac{M}{M_{R,V}}$=$\frac{577,51}{1320,69}$0,43<1,0

Warunek nośności w złożonym stanie naprężeń

M_W=M*$\frac{I_{V}}{I}$=577,51*$\frac{70589,4}{339540}$=12,06kNm

M_RW=ψ*$\frac{{h_{w}}^{2}*t_{w}}{6}$*f_d=1,0*$\frac{98^{2}*0,9}{6}$*21,5=30972,9kNm

$\left( \frac{M_{W}}{M_{\text{RW}}} \right)^{2} + \left( \frac{V}{V_{R}} \right)^{2}$=$\left( \frac{120,06}{30972,9} \right)^{2} + \left( \frac{379,29}{692,91} \right)^{2}$=0,299≤1,0

3.6 Stan graniczny użytkowania

Ugięcie graniczne podciągu

f_gr=$\frac{1}{350}$*l=$\frac{1}{350}$*9,23=2,64cm

f=$\frac{5,5}{48}$*$\frac{\text{Ml}^{2}}{\text{EI}}$=$\frac{5,5}{48}$*$\frac{577,51*{9,23}^{2}}{2,05*10^{8}*339540*10^{- 8}}$=0,008

f=0,8cm<f_gr=2,64cm