1. Postulaty statyki

1)Zasada równoległoboku R=P₁+P₂

2)Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się tylko wtedy, gdy działają wzdłuż tej samej prostej, są przeciwnie skierowane i mają te same wartości liczbowe

3)Działanie układu sił przyłożonych do ciał sztywnego nie ulegnie zmianie, gdy do układu dodamy lub odejmiemy dowolny układ równoważących się sił tzw. układ zerowy

4)Zasada zesztywnienia – równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie naruszona przez zesztywnienie tego ciała

5)Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości i przeciwnie skierowane wzdłuż tej samej prostej przeciwdziałanie

6)Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić od więzów, zastępując przy tym ich działanie odpowiednimi reakcjami.

1. Twierdzenie o trzech siłach

Aby 3 nierównoległe do siebie siły działające na ciało sztywne były

w równowadze, linie działania tych sił muszą się przecinać w jednym

punkcie, a same siły tworzyć trójkąt zamknięty.

1. Twierdzenie Varigonon

Moment względem dowolnego punktu O wypadkowej

dwóch sił równy jest sumie momentów sił wypadkowych

względem tego punktu. ${\overrightarrow{M}}^{0} = \overrightarrow{r\ } \times \ \overrightarrow{R}\ $ gdzie $\overrightarrow{R} = {\overrightarrow{F}}_{1} + {\overrightarrow{F}}_{2}$

1. Para sił

Układ dwóch sił równoległych ${\overrightarrow{P}}^{'} = - \overrightarrow{P},\ \ P^{'} = P\text{\ \ \ \ }$nie leżących

na jednej prostej Aby pary sił działające w jednej płaszczyźnie

znajdowały się w równowadze, suma momentów tych par musi

być równa zeru. M₀ + M₀^′ = P(h₁−h₂) = Pa = M

1. Moment siły Momentem wektora a względem punktu (bieguna) O nazywamy iloczyn wektorowy wektora r_A = OA o początku w punkcie O i końcu w początku wektora a przez wektor a. Moment wektora względem punktu będziemy oznaczać w następujący sposób M₀(a) = r_A × a  Wektor momentu pary sił jest wektorem swobodnym. Jeżeli mamy n par sił działających na ciało w jednej płaszczyźnie, to moment wypadkowy jest równy sumie momentów poszczególnych par.

2. Kratownice

Jest to układ złożony z prętów połączonych przegubowo, mający niezmienną postać geometryczną. Warunek sztywności p=2w-3; Przy rozwiązywaniu kratownicy w prętach siły w prętach zakłada się następująco:

rozciąganie: ściskanie

1. Redukcja płaskiego układu sił

Dana siła $\overrightarrow{P}$. Do dowolnego punktu O ciała przykładamy układ zerowy. $\overrightarrow{P}\ i\ {\overrightarrow{P}}^{'\ } = \ - \overrightarrow{P}$ Otrzymujemy układ: siła $\overrightarrow{P}$, para sił o momencie M_O = aP

1. Redukcja przestrzennego dowolnego układu sił

dowolny układ sił przyłożonych do jednego punktu

zastąpić możemy jedną siłą wypadkową przyłożoną

w tym punkcie i równą sumie geometrycznej sił.

$$\overrightarrow{R} = \ \sum_{}^{}\overrightarrow{P_{i}}$$

1. Tarcie zjawisko powstawania sił stycznych do powierzchni styku dwóch ciał. Siły te nazywamy siłami tarcia. Możemy je opisać jako siły oporu zapobiegające ruchowi, który by powstał gdyby tarcia nie było. Tarcie spoczynkowe (statyczne), występujące między dwoma ciałami gdy nie przemieszczają się względem siebie. Tarciem ruchowym (kinematyczne)- nazywa się gdy dwa ciała ślizgają się lub toczą po sobie. Siła tarcia przeciwstawia się wówczas ruchowi.

1. Kinematyczne równania ruchu punktu

Położenie punktu w przestrzeni określić możemy za pomocą trzech

współrzędnych w prostokątnym układzie współrzędnych 0xyz

który traktujemy jako nieruchomy układ odniesienia. W przypadku

gdy punkt porusza się czyli zmienia z upływem czasu swe położenie

współrzędne x,y i z tego punktu które oznaczamy przez A,

ulęgają również zmianie czyli sa pewnymi funkcjami czasu t.

x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t) – równania parametryczne toru punktu lub

1. Definicja prędkości

Prędkość punktu jest wektorem określonym przez

pierwszą pochodną wektora położenia względem czasu.

1. Definicja przyspieszenia

Wektor dany przez pierwszą pochodną wektora prędkości lub

dugą pochodną wektora położenia względem czasu

1. Przyspieszenie styczne, przyspieszenie normalne

przysp. styczne - przysp. normalne - , gdzie p- promień krzywizny

s = ∫vdt

15. Rodzaje ruchów bryły

Ruch postępowy- jeżeli bryła porusza się tak że jej chwilowe położenia są równoległe do położenia początkowego

Ruch obrotowy- Jeżeli dwa punkty bryły są stałe, tworzą wtedy oś obrotu bryły

Ruch płaski -taki ruch, w którym tory wszystkich punktów bryły są równoległe do pewnej płaszczyzny nazywanej płaszczyzną ruchu.

Ruchem kulistym nazywamy taki ruch bryły, w czasie którego jeden z punktów z nią związanych jest nieruchomy.

15. Prędkość i przyspieszeni punku bryły w ruchu postępowym

$${\overrightarrow{r}}_{i} = {\overrightarrow{r}}_{A} + {\overrightarrow{p}}_{i}\text{\ \ \ \ \ \ \ }{\overrightarrow{p}}_{i} = 0$$

$${\overrightarrow{v}}_{i} = {\overrightarrow{v}}_{A}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{\overrightarrow{a}}_{i} = {\overrightarrow{a}}_{A}$$

15. Prędkość i przyspieszenie punktu bryły w ruchu obrotowym

Prędkość liniowa dowolnego punktu bryły w ruchu

obrotowym jest równa iloczynowi wektorowemu

wektora prędkości kątowej przez wektor położenia

punktu (początek układu na osi obrotu).

Przyspieszenie:

Całkowite przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu

obrotowym jest sumą geometryczną przyspieszeń: Obrotowego i do osiowego

15. Prędkość kątowa wielkość wektorowa opisująca ruch

obrotowy ciała, określona wzorem: ω = dθ/dt, gdzie:

dθ - elementarny skierowany kąt płaski opisujący obrót

ciała w chwili dt wokół chwilowej osi obrotu.

15. Przyspieszenie kątowe jest wektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt α, a wartość prędkości kątowej oznaczymy jako ω, to wartość przyspieszenia kątowego ε wynosi

23. Prędkość liniowa punktu, a prędkość kątowa bryły

Każdy punkt obracającej się bryły ma inną prędkość liniową, natomiast prędkość kątowa wszystkich punktów bryły jest taka sama. Punkt odległy od osi obrotu o r ma prędkość liniową v.

24. Prędkość i przyspieszenie bryły w ruchu płaskim

Prędkość (sum. Geo.V.pot+V.obrot) : Przyspieszenie( sum.geo.a post+a.obrot+a.doosiowego)

25.Twierdzenie o rzutach prędkości dwóch punktów bryły sztywnej poruszającej się w ruchu płaskim.

Metoda rzutów prędkości – oparta jest na twierdzeniu Charlesa.

Twierdzenie Charlesa – w bryle sztywnej podczas dowolnego

ruchu, rzuty wektorów prędkości dwóch dowolnych punktów na

prostą łączącą te punkty są sobie równe. vAcosα=vBcosβ

26. Chwilowy środek obrotu

Punkt, którego prędkość w danej chwili jest równa zeru.

Wyznaczenie środka obrotu:

W układzie ruchomym W układzie nie ruchomym

29. Układ Eulera

Prędkość

φ Kąt obrotu własnego, ψ Kąt precesji, υ Kąt nutacji

31. Przyspieszeni kątowe w przypadku precesji regularnej

Przyspieszenie kątowe występuje w ruchu obrotowym - jest pseudowektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. prędkość kątową oznaczymy jako ω, a wartość przyspieszenia kątowego jako ε

33. Ruch złożony punktu

Ruch punktu względem układu nieruchomego nazywamy

ruchem bezwzględnym, a względem układu ruchomego

ruchem względnym. Ruch układu ruchomego względem

układu nieruchomego nazywamy ruchem unoszenia

34. Prędkość bezwzględna

Jest wypadkową prędkości unoszenia i prędkości względnej Prędkość punktu M względem układu nieruchomego współrzędnych  Oxyz  nazywamy prędkością bezwzględną (absolutną) i oznaczamy ją symbolem .

35. Przyspieszenie bezwz. Jest sumą wektorową przyspieszenia unoszenia,

względnego i przyspieszenia Coriolisa

36. Przyspieszenie Coriolisa - związane z ruchem obrotowym ziemi, występuje w ruchu złożonym

${\overrightarrow{a}}_{c} = {2\overrightarrow{\omega}}_{u} \times {\overrightarrow{V}}_{w}$ (Przyśpieszenie Coriolisa jest podwojonym iloczynem wektorowym prędkości kątowej i prędkości względnej) Nie ma przyspieszenia Coriolisa (${\overrightarrow{a}}_{c} = 0$), gdy nie ma obrotu ${\overrightarrow{\omega}}_{u} = 0$, albo ${\overrightarrow{V}}_{w} = 0$, lub jeżeli ${\overrightarrow{\omega}}_{u}$jest równoległy do ${\overrightarrow{V}}_{w}$ (${\overrightarrow{\omega}}_{u} \parallel {\overrightarrow{V}}_{w}$)

37. Prawa ruchu Newtona

Prawo pierwsze. Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub w stanie ruchu jednostajnego prostoliniowego dopóty, dopóki siły nań działające tego stanu nie zmienią.

Prawo drugie. Zmiana ilości ruchu (czyli pędu lub impulsu) jest proporcjonalna do siły działającej i ma kierunek prostej, wzdłuż której ta siła działa. Oznaczając przez P siłę działającą na punkt materialny, a przez mv jego pęd (m - masa, v - prędkość), treść drugiego prawa Newtona możemy wyrazić następującym równaniem wektorowym F=m*a

Prawo trzecie. Każdemu działaniu towarzyszy równe i przeciwne zwrócone oddziaływanie, czyli wzajemne działania dwóch ciał są zawsze równe i skierowane przeciwnie.

Prawo czwarte. Jeżeli na punkt materialny o masie m działa jednocześni kilka sił, to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają tak, jak jedna tylko siła równa wektorowej sumie wektorów danych sił.

Prawo piąte (grawitacji). Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas (m₁, m₂) i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty.

W ruchu punktu materialnego układ sił czynnych i reakcji więzów równoważy się z pomyślaną siłą bezwładności.

39. Zasada zachowania pędu:

Równanie:

Wyraża zasadę pędu dla punktu materialnego. Pochodna pędu punktu materialnego jest równa sumie sił działających na dany punkt. Powyższe równanie jest ogólniejszym sformułowaniem drugiej zasady dynamiki. Jeżeli teraz:

Jest to zasada zachowania pędu dla punktu.

40. Zasada pędu i popędu - (lub inaczej, prawo zmienności pędu) Przyrost pędu układu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy popędowi wektora głównego sił zewnętrznych działających na ten układ.

41. Zasada zachowania krętu.

Pochodna względem czasu krętu ukł. Obliczonego względem pkt. nieruchom S lub wzg. Środka masy równa jest sumie momentów sil zewn. Działających na układ obliczonych względem pkt S Lub środka masy Ks_=sum(n;i=1) pi_x(mi*vi_)

42. Zasada krętu i pokrętu.

Przyrost krętu układu materialnego względem dowolnego nieruchomego punktu jest równy pokrętowi momentu głównego sił zewnętrznych względem tego samego punktu.

43. Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego.

Powstają z podwójnego całkowania

44. Definicja pracy.

Jeśli na jakiś pkt. działa siła P_ i przesuwa się o s_, to mówimy, ze P_ wykonała prace: L=P_*S_=P*s*cosa [J=(kg*m^2)/s^2]

45. Moc mechaniczna. Mocą siły nazywamy pracą wykonaną w jednostce czasu. Jeśli praca siły zmienia się z czasem to wówczas moc jest pochodna pracy względem czasu: M=dL/dt=P_*dr_/dt=P_*V_ M=P_*v_=P*v*cosa [W=J/s]

46. Zasada równoważności pracy i energii kinetycznej. Jeżeli na poruszający się punkt materialny o masie m działa siła czynna P to przyrost en. kinetycznej tego punktu jest równy pracy wykonanej przez siłę działającą na ten punkt: L=1/2mV²_k - 1/2mV²_p

48. Potencjalne (zachowawcze) pole sił takie pole sił, w którym praca wykonywana podczas przesuwania jakiegoś ciała nie zależy od toru, po którym porusza się ciało, a jedynie od jego położenia początkowego i końcowego. Polem zachowawczym jest np. pole grawitacyjne i pole elektryczne.
Wyobraźmy sobie, że na parapecie okna na drugim piętrze stoją dwie identyczne rośliny w doniczkach. Jedna z nich została przywieziona windą a druga wniesiona po schodach. Nagle doniczki zaczynaja spadać, w tym samym momencie. Która będzie miała większą energię kinetyczną, gdy osiągnie chodnik? Nie będzie żadnej różnicy. Dlaczego? Ponieważ wartość energii na danej wysokości nie zależy od toru, po którym wniesiono donice

49. Twierdzenie o ruchu środka masy układu punktów materialnych.

, gdzie -R, =0 ; Mr₀’’=R

Ruch układów punktów materialnych odbywa się tak jakby cała masa układu skupiona była w jego środku masy i na który to punkt działają wszystkie siły zewnętrzne. → →

M ro = R

50. Pęd układu punktów materialnych.

; Q=MV₀= - pęd ukł. Punktów materialnych; - zasada pędu

Na pęd ma tylko wpływ siła zew, a nie wew.

R=0 >> Q=const

Jeżeli jedno ciało zyskuje pęd to drugie też go zyskuje lecz z przeciwnym znakiem.Pęd dotyczy tylko ruchu postępowego, nie obrotowego, bo nie ma masy, bezwładności, prędkości kątowej.

Zasada zachowania pędu:

Jeżeli na układ nie działają siły lub działające siły się znoszą to pęd jest stały, czyli zachowany R=0 to Q=const. Określa się go tylko przy ruchu postępowym, przy ruchu obrotowym nie istnieje.

51. Kręt układu punktów materialnych.

K^s=ρ_i*mV_i – kręt

Zmiana krętu ukł. punktów mat. W czasie wywołana jest przez moment główny działający na układ brany względem nieruchomego punktu lub środka masy.

M^c=0 >> K^c=const

52. Energia kinetyczna układu punktów materialnych.

Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa sumie energii poszczególnych pkt.

T=sum (mi*vi^2)/2

53. Twierdzenie Koeniga. Energia kinetyczna układu punktów materialnych równa jest sumie energii kinetycznej, jaką miałby pkt materialny o masie całego układu, poruszający się z prędkością środka masy oraz energii kinetycznej tegoż układu względem środka masy.

54. Zasada zachowania energii mechanicznej –w układzie izolowanym suma składników wszystkich rodzajów energii całości (suma energii wszystkich jego części) układu jest stała (nie zmienia się w czasie).

55. Wahadło matematyczne

56. Wahadłem fizycznym nazywamy swobodnie obracające się ciało materialne względem stałego punktu.

Porównując to równanie z wahadłem matematycznym otrzymujemy

długość zredukowana

Okres wahadła

Rozwiązanie:

57. Drgania swobodne

Aby wystąpiły drgania, punkt musi poruszać się ruchem prostoliniowym pod wpływem siły przyciągającej ten punkt do stałego punktu O zwanego środkiem drgań.

Siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia punktu

F = -kx, k-stała sprężystości.

Równanie będzie miało postać

mx” = F

mx” = -kx lub

Otrzymujemy równanie różniczkowe drgań swobodnych

częstość ruchu.

Otrzymane równanie jest równaniem liniowym, jednorodnym drugiego rzędu. Rozwiązanie:

(a-amplituda(max. wychylenie),- faza początkowa ruchu drgań -faza drgań)

Ruch określony powyższym wzorem jest okresowy o okresie

58. Drgania tłumione

Drgania tłumione występują w ośrodku stawiającym opór. Siły oporu są proporcjonalne do prędkości

-siła tłumiąca.

Równania ruchu:

Ponieważ równanie charakterystyczne

jest kwadratowe, to mogą zajść 3 przypadki(delta większa, mniejsza, równa 0)

1.Małe tłumienie Rozwiązanie:

Jeżeli -drgania zanikają. Okres:

2.Duże tłumienie. Mamy rozw. rzeczywiste nie będzie drgań. Rozwiązanie

Ruch ten nie jest ruchem okresowym, nie ma drgań.

3.Tłumienie krytyczne

Rozwiązanie:

Brak okresowości, brak drgań.

59. Logarytmiczny dekrement tłumienia

Dekrement tłumienia jest to stosunek dwóch kolejnych amplitud w ruchu tłumionym

gdzie

A_n - amplituda n-tego drgania,

A_n+1 - amplituda następnego drgania.

Logarytmiczny dekrement tłumienia jest to logarytm naturalny dekrementu tłumienia

60. Drgania wymuszone

Jeżeli na punkt dodatkowo działa siła wymuszająca okresowa to występują drgania wymuszone.

Siła wymuszająca S=H sin(pt),

p-czestość siły wymuszającej.

Równanie ruchu tych drgań

Rozwiązanie ostateczne tych drgań

Jest to złożenie dwóch drgań: własnych i wymuszonych. Widzimy, że amplituda drgań wymuszonych

zależy od częstości drgań wymuszonych.

Jeżelii występuje rezonans. W przypadku rezonansu rozwiązanie drgań będzie miało postać.

61. Rezonans - zjawisko fizyczne zachodzące dla drgań wymuszonych, objawiające się pochłanianiem energii poprzez wykonywanie drgań o dużej amplitudzie przez układ drgający dla określonych częstotliwości drgań.

62. Amplituda - nieujemna wartość określająca wielkość przebiegu funkcji okresowej.

63. Okres drgań- dla ruchu periodycznego czas, po jakim układ drgający znajduje się ponownie w takiej samej fazie.

gdzie: f - częstotliwość, gdzie: ω - pulsacja (częstość kołowa).

64. Częstotliwość określa liczbę cykli zjawiska okresowego występujących w jednostce czasu. W układzie SI jednostką częstotliwości jest herc (Hz). Częstotliwość 1 herca odpowiada występowaniu jednego zdarzenia (cyklu) w ciągu 1 sekundy. Najczęściej rozważa się częstotliwość w ruchu obrotowym, częstotliwość drgań, napięcia, fali fizyce częstotliwość oznacza się literą f lub grecką literą ν. Z definicji wynika wzór:

Gdzie f – częstotliwość, n – liczba drgań, t – czas, w którym te drgania zostały wykonane. Z innymi wielkościami wiążą ją następujące zależności:

66. Faza drgań w fizyce wielkość bezwymiarowa opisująca procesy okresowe przedstawiająca, w której części okresu znajduje się ciało (zjawisko). Dla drgań harmonicznych opisanych równaniem faz drgań określa się argument funkcji sinus, czyli

67.Faza początkową drgań Kąt φ nazywa się fazą początkową drgań, czyli fazą w chwili początkowej t = 0.

71. Reakcje dynamiczne

Korzystamy z zasady d’Alemberta

Siły odśrodkowe muszą się równoważyć z siłami reakcji. Równania będą

Oznaczając

mamy

Reakcje znikają tylko wtedy, gdy

Aby reakcje dynamiczne były równe zeru oś obrotu musi być centralną główną osią bezwładności

72. Długość zredukowana wahadła fizycznego Wahadłem fizycznym nazywamy swobodnie obracające się ciało materialne względem stałego punktu.

73. Kręt bryły w ruchu obrotowym

I – moment bezwładności ciała,hy

– prędkość kątowa.

74. Energia kinetyczna bryły w ruchu obrotowym

gdzie:

- prędkość kątowa,

- tensor momentu bezwładności.

W przypadku obrotu wokół jednej z osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną w ruchu obrotowym upraszcza się do:

I - odpowiednim momentem bezwładności,

ω - prędkość kątowa.

75. Energia kinetyczna bryły w ruchu płaskim

76 Środek masy bryły Środek masy, punkt określony przez rozkład mas w danym ciele lub układzie ciał. Położenie środka masy wyraża się wzorem:

gdzie m_k i r_k - odpowiednio masy i promienie wodzące poszczególnych punktowych ciał składających się na dany obiekt.

77. Środek masy układu punktów materialnych

Środek masy określony jest następująco:

Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona Σ_iW_i = 0 ponieważ występują parami.

$$M\ddot{\overset{\rightarrow}{r_{0}}} = \sum_{i}^{}\overset{\rightarrow}{\text{Pi}}$$

Pi - siły zewnętrzne; Wi - siły wewnętrzne;

78. Definicja momentu bezwładności Momentem bezwładności punktu materialnego względem płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy tego punktu przez kwadrat odległości tego punktu od płaszczyzny, osi lub bieguna. I = mr²

79. Główny moment bezwładności

Momenty bezwładności względem punktu

I _xx =∫ x² dm

I _yy =∫ y² dm

I _zz =∫ z² dm

Momenty bezwładności względem osi

I _x =∫ (y² + z² ) dm = I _yy + I _zz

I _y =∫ (x² + z² ) dm = I _xx + I _zz

I _z =∫ (x² + y² ) dm = I _xx + I _yy

80. Dewiacyjne momenty bezwładności

Momentem dewiacji (zboczenia) w płaszczyźnie dwóch osi układu współrzędnych karteziańskich jest całka iloczynów mas i ich odległości od płaszczyzn. Jest on zależny od rozkładu mas i kierunku osi trzeciej.

I _xy = I _yx = ∫ xy dm

I _yz = I _zy = ∫ yz dm

I _zx = I _xz = ∫ zx dm

81. Tw. Steinera

Moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy powiększonemu o iloczyn masy całkowitej układu przez kwadrat odległości obu osi.

I _l= I _s + md²

83. Główna oś bezwładności

Można przyjąć układ współrzędnych taki, ze Dαβ =0. I₁x²+ I₂y²+ I₃z²= k²

gdzie I₁,₂,₃ -główne momenty bezwładności

Takimi osiami są: każda oś symetrii, każda prosta ⊥ do płaszczyzny symetrii, każda prosta, na której leżą środki mas warstw elementarnych, otrzymanych przez podział ciała płaszczyznami prostopadłymi do tej prostej.

84. Centralna oś bezwładności-Centralnym momentem bezwładności

bryły nazywamy moment względem osi przechodzącej przez środek masy bryły sztywnej. Każda bryła ma taką centralną oś obrotu, względem której moment bezwładności ma największą wartość oraz oś do niej prostopadłą, względem której moment bezwładności jest najmniejszy. Osie te nazywają się głównymi osiami momentu bezwładności. Trzecią osią główną jest oś do nich prostopadła, moment bezwładności ma względem niej pośrednią wartość

85. Główna centralna oś bezwładności

Są to osie główne przechodzące przez środek masy