TWIERDZENIE LIOUVILLE’A O KWADRATURACH

Załóżmy, że układ hamiltonowski ma n stałych ruchu F₁(q,p), F₂(q,p),...,F_n(q,p), gdzie F₁(q,p)=H(q,p). Załózmy, że stałe są niezależne i w inwolucji. Wówczas:

• trajektorie q(t), p(t) układu leżą na rozmaitości niezmienniczej M_f={(q,p)∈R²ⁿ|F₁(q,p)=f_1,...,F_n(q,p)=f_n} o wymiarze n.

• Trajektorie g(t), p(t) można wyznaczyć przez kwadratury.

*) Niezależność:

*) Rozmaitość: k-wymiarowa jest to zbiór rozwiązań m niezależnych równań o n niewiadomych ( k=n-m)

*) Inwolucja : {F_i,F_j)=0

Twierdzenie Liouville’a o dywergencji

Jeżeli div f(x)=0 to strumień pola zachowuje objętość, tzn. dla

zachowuje pole

Układ równań kanonicznych hamiltona ma dywergencję równą 0.

Twierdzenie Poincare’go powrocie

Załóżmy, że układ dynamiczny x’=f(x) ma divf(x)=0,oraz, ż D ∈ IRⁿ jest

ograniczonym zbiorem niezmienniczym tego układu (x∈D⇒ ϕ_t(x) ∈ D)

Wówczas, dla każdego x ∈ D, dla każdego otoczenia otwartego

U punktu x istnieje x ∈ U i chwila t>0, tak że ϕ_t(x) ∈ U