Współrzędne uogólnione są to współrzędne niezależne od siebie, opisujące jednoznacznie położenie układu w przestrzeni (jest to minimalna liczba współrzędnych potrzebnych do opisu położenia układu). mi{ri^-}, i=1,2,…,n galfa= (ri, t)=0 alfa=1,2,…,k s=3n-k , s - liczba stopni swobodnych. Do opisu ruchu układu nie jest konieczne podanie 3n równań parametrycznych. x1=x1(t),…. z1=zn(t) Siły uogólnione j Q są to wielkości spełniające równanie gdzie: δL - praca przygotowana układu, δqi - przesunięcie przygotowane, zgodne z j-tą współrzędną uogólnioną, Qj - j-ta siła uogólniona, zgodna z j-tą współrzędną uogólnioną, s - liczba stopni swobody (współrzędnych uogólnionych). Siłę uogólnioną możemy wyznaczyć z następującej zależności: gdzie: Pxi , Pyi , Pzi - rzuty siły działającej na i-ty punkt, xi , yi , zi - współrzędne prostokątne i-tego punktu, qj - j-ta współrzędna uogólniona, s - liczba stopni swobody układu, p - liczba punktów układu. Siła uogólniona w zachowawczym polu sił jest równa gdzie: V - energia potencjalna układu, podawana jako funkcja współrzędnych uogólnionych. Siła uogólniona dla sił bezwładności: Żyroskop (gr. gyros - obrót, skopeo - obserwować) - urządzenie do pomiaru lub utrzymywania położenia kątowego, działające w oparciu o zasadę zachowania momentu pędu. Został wynaleziony przez francuskiego fizyka Jeana Foucaulta w 1852 roku. Przyrząd demonstrujący efekty żyroskopowe też jest nazywany żyroskopem, ma on postać krążka, który raz wprawiony w szybki ruch obrotowy zachowuje swoje pierwotne położenie osi obrotu, z niewielkimi ruchami precesyjnymi, które są uwzględniane w określaniu kierunku lub są eliminowane przez tłumienie. Warunkiem poprawnej pracy żyroskopu jest duża prędkość obrotowa i małe tarcie w łożyskach. Ten drugi cel osiąga się łożyskując żyroskop na strumieniu sprężonego powietrza lub - jeszcze lepiej - zawieszając go w polu elektrostatycznym (lub magnetycznym) w próżni. W przykładowym rozwiązaniu technicznym żyroskop o prędkości 24 tys. obr./min wskazuje stały kierunek w przestrzeni z błędem nie większym niż 0,0001°/h, czyli 1° na 14 miesięcy. Obracające się ciało o ograniczonej swobodzie ruchu osi obrotu to bąk, żyroskop jest też nazywany bąkiem swobodnym. Pojęcie dyskretnego układu mechanicznego a) dany jest pewien zbiór n punktów materialnych [mi,ri­^-] (i=1,2,…,n) zanurzonych w przestrzeni trójwymiarowej b) istnieje zbiór więzów ograniczających ruch układu w postaci pewnej liczby k równań więzów ogólnej postaci: galfa(ry^—,Vy, t)=0 (alfa=1,2,…,k) c) na każdy i-ty punkt układu działa pewna wypadkowa sił aktywnych Pi^- ogólnej postaci: Pi^-= Pi^-( ry^—, Vy, t) (i=1,2,…,n). Parametr y może przyjmować wszystkie wartości od y=1 do y=n, ry^—-wektor wodzący, Vy - prędkość, t - czas. Więzy niestacjonarne Stacjonarne Różniczkowe (kinematyczne) gα=(ri^—, ri^—* , t)=0 gα=(ri^—, ri^—*)=0 anholonomiczne Skończone (geometryczne) gα=(ri^—, t)=0 gα=(ri^—)=0 holonomiczne reonomiczne skleronomiczne układy Więzami są ograniczenia nałożone na ruch układu (na współrzędne lub prędkości punktów lub brył układu). Można je wyrazić w postaci zależności analitycznych nazywanych równaniami więzów. Rodzaje więzi: geometryczne i kinematyczne, holonomiczne i nieholonomiczne, skleronomiczne i reonomiczne, dwustronne i jednostronne, idealne i rzeczywiste.

Równowaga w zachowawczym polu sił- Jeżeli na układ materialny o więzach idealnych działa zachowawcze pole sił, to jest on w równowadze wtedy, gdy jego energia potencjalna przyjmuje wartość ekstremalną gdzie: V - energia potencjalna układu, podawana jako funkcja współrzędnych uogólnionych, s - liczba stopni swobody układu. Zasada Dirichleta: Jeżeli na nieswobodny układ materialny działa zachowawcze pole sił, wówczas położenie, w którym energia potencjalna tego układu osiąga minimum, jest położeniem równowagi stałej. Ogólne równanie dynamiki analitycznej - Równania sformułowane przez Lagrange'a, przedstawiają zasadę d'Alemberta dla układu punktów materialnych o więzach idealnych, holonomicznych i dwustronnych w układzie inercjalnym. Noszą one również nazwę ogólnych równań dynamiki analitycznej. Ogólne równanie dynamiki - Zasada d'Alemberta Równania Lagrange'a II rodzaju mają postać: gdzie: E - energia kinetyczna układu, D - funkcja dyssypacji energii układu (prędkość rozpraszania energii mechanicznej), V - energia potencjalna układu, Qj - siła uogólniona (niepotencjalna i niedyssypatywna część siły czynnej) działająca w kierunku j-tej współrzędnej uogólnionej, qj - j-ta współrzędna uogólniona, q(z kropką)j - j-ta prędkość uogólniona (zgodna z j-tą współrzędną uogólnioną), s - liczba stopni swobody układu. Równanie Lagrange'a 1) 2) 3) 4) 5) Dla małych drgań człon jest małą wyższego rzędu i może być pominięty: 6) 7) Założenia metody ekstremalnej analizy modalnej 1) spełnienie zasady super pozycji przez badany układ fizyczny, tj. jeśli pobudzenia ( sygnały wejściowe) pi(t) dają reakcję xi(t) (dla i=1,2,…,n) układu, to pobudzenie sumaryczne wymusza reakcję w postaci . 2) spełnienie zasady niezmienniczości w czasie tj. jeśli pobudzenie p(t) wymusza reakcje x(t) układu, to pobudzenie p(t+t0) daje reakcję x(t+t0) dla dowolnego przesunięcia czasu t0 Zasada krętu 1) . Moment M^- ma kierunek i zwrot przyrostu krętu dk^- prostopadły do płaszczyzny obu osi:ω^-, ω1^-. 2) M=Rd*a. Ponieważ kręt ogólny układu jest stały (ω1 - const., ω - const.) zgodnie z zasadą zachowania krętu . Wynika stąd, że moment Mmusi być zrównoważony wewnątrz układu przez moment sił bezwładności Mż^-. 3) M^-+ Mż^-=0. Mż^- - moment żyroskopowy o module 4) Mż^-=I*ωω1. Charakteryzuje to działanie żyrostatyczne szybkowirującej tarczy osadzonej na wale centrycznie i bez zboczenia przy wymuszonym obrocie jego osi geometrycznej 5) . Zasada prac przygotowanych (wirtualnych). Praca przygotowana jest to elementarna praca siły Pi Pxi , Pyi , Pzi  na przemieszczeniu przygotowanym δ ri δ xi , δ yi , δ zi  δL  P δr  P δx  P δy  P δz . Jeżeli na układ p punktów materialnych, na które działają siły i P , poddano przesunięciom przygotowanym i δr , to praca przygotowana tych sił jest równa gdzie: δxi ,δyi ,δzi  przyrosty elementarne współrzędnych i-tego punktu w układzie x,y,z, Pxi , Pyi , Pzi  składowe siły działającej na i-ty punkt w układzie x,y,z. Zasada prac przygotowanych: Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi dowolnego układu punktów jest, aby suma prac przygotowanych wszystkich sił czynnych i sił reakcji więzów, przy dowolnym przemieszczeniu przygotowanym, była równa zeru gdzie: i P  siła czynna działająca na i-ty punkt, i R  reakcja więzów działających na i-ty punkt, i R i δr  przesunięcie przygotowane i-tego punktu. Zasada prac przygotowanych dla układów o więzach idealnych: Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi dowolnego układu punktów o więzach idealnych jest, aby suma prac przygotowanych wszystkich sił czynnych działających na ten układ, przy dowolnym przemieszczeniu przygotowanym, była równa zeru Zderzenie proste środkowe i ukośne środkowe Zderzenie środkowe charakteryzuje się tym, że normalna do płaszczyzny styku w punkcie styku obu ciał przechodzi przez środek masy tych ciał. (Zderzenie mimośrodowe nie spełnia tego warunku. ) Jeżeli prędkości obu tych ciał w chwili przed zderzeniem są prostopadłe do płaszczyzny styku zderzenie nazywamy prostym [1) , gdzie c - wspólna prędkość obu mas przy końcu pierwszego okresu 2) ]kierunki dowolne - uderzenie ukośne[1) to prędkości ciał po rozłączeniu się]. W procesie zderzenia rozróżniamy dwa charakterystyczne okresy: 1) od chwili zetknięcia się ciał, aż do chwili największego zbliżenia ich środków mas, przy równoczesnym odkształceniu się obydwu ciał. 2) od chwili oddzielenia się obu mas (założenia: pomijamy siły tarcia, siły oporu, obroty, masy są punktami). Przemieszczenie (przesunięcie) przygotowane (wirtualne) jest to każde dowolne, możliwe przemieszczenie punktu, zgodne z więzami. Jeżeli położenie punktu określone jest za pomocą wektora r , to przemieszczenie przygotowane oznaczamy symbolem d r . Przemieszczenie przygotowane dr jest to pomyślane (wyobrażalne) przesuniecie punktu, o kierunku zgodnym z kierunkiem możliwej prędkości tego punktu. Przemieszczenie przygotowane jest wektorem, który możemy przedstawić w postaci dr =dxi +dyj +dzk .

---