Niedziesiątkowe systemy liczenia
Do napisania i zajęcia się tym bardzo starym i powszechnym tematem skłoniła mnie sytuacja, która ma często miejsce na zajęciach matematyki w szkole podstawowej, gimnazjum a nawet szkole średniej. Otóż w kontakcie ucznia z pisaniem, czytaniem liczb wiąże się problem ich zaszeregowania do odpowiedniego systemu, większość uczniów nie wie lub nie zastanawia się skąd pochodzi nazwa systemu dziesiątkowego, dwójkowego.
W tej pracy postaram się uczniom przybliżyć historię, zasady funkcjonowania i wykonywania działań na liczbach w różnych systemach.
Pojęcie i historia systemów
Przez system liczbowy rozumiemy sposób zapisywania i nazywania liczb. Rozróżniamy pozycyjne systemy liczbowe i addytywne systemy liczbowe.
W pozycyjnych systemach liczbowych liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych znaków cyfrowych zależy od ich położenia (pozycji) względem sąsiednich znaków cyfrowych. Przykładami takiego systemu są m.in. dziesiątkowy system liczbowy, dwójkowy system liczbowy.
W addytywnych systemach liczbowych wartość przedstawionej liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych. Na addytywnym systemie zapisu opierają się systemy liczbowe: hieroglificzny, rzymski, alfabetyczny.
Zanim system dziesiątkowy stał się systemem powszechnym, różne narody i plemiona posługiwały się innymi systemami. Na przykład system dwójkowy spotykano u niektórych plemion Australii i Polinezji. Układ piątkowy zaś u indiańskiego plemienia Szoszonów w Ameryce Południowej. Natomiast Majowie w I w. p.n.e. używali układu dwudziestkowego. Pozostałości niektórych systemów spotykamy do dnia dzisiejszego np. zastosowanie systemu dwunastkowego znajdujemy w podziale roku na 12 miesięcy. W handlu przetrwała jednostka tuzin. W miarach czasu i kąta zachował się częściowo system sześćdziesiątkowy, pochodzący od Babilończyków.
System dwójkowy jest powszechnie stosowany w maszynach cyfrowych dzięki następującym własnościom:
cyfry 0 i 1 łatwo jest realizować technicznie przez procesy fizyczne, w których wyróżnia się tylko dwa stany: jeden z nich reprezentuje 0, drugi 1; np. w elektronicznej maszynie cyfrowej element półprzewodnikowy może znajdować się w jednym z dwóch stanów- przewodzi prą elektryczny (cyfra 1) lub nie przewodzi (cyfra 0).
algorytmy działań w tym systemie są prostsze niż w innych systemach liczbowych
cyfry 0, 1 mogą być interpretowane jako wartości logiczne zdań
Aby uniknąć nieporozumień przyjęto następujące zapisy liczb w innych układach pozycyjnych niż dziesiątkowy, np. :
w dwójkowym (101)2 lub 101(2)
w czwórkowym (3210)4 lub 3210(4)
Liczbę np. 110(2) czytamy „jeden-jeden-zero w systemie dwójkowym” a nie „sto dziesięć”.
Przykłady budowy systemów liczenia
System dziesiątkowy:
do zapisywania każdej liczby wystarczy 10 cyfr (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
jednostka każdego następnego rzędu licząc od końca jest dziesięć razy większa od rzędu poprzedniego
System dwójkowy:
do zapisywania każdej liczby wystarczają dwie cyfry (0,1)
jednostka każdego następnego rzędu jest dwa razy większa od jednostki rzędu poprzedniego
System ósemkowy:
dowolne liczby zapisujemy za pomącą nie więcej niż ośmiu cyfr (0,1,2,3,4,5,6,7)
jednostka każdego następnego rzędu jest 8 razy większa od jednostki poprzedniego rzędu
Każdą liczbę naturalną można przedstawić w dowolnym systemie wg schematu:
system dziesiąt-kowy |
rząd, pozycja |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
jednostka rzędu |
1 100 |
10 101 |
100 102 |
1000 103 |
10000 104 |
100000 105 |
system dwójkowy |
rząd, pozycja |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
jednostka rzędu |
1 20 |
2 21 |
4 22 |
8 23 |
16 24 |
32 25 |
system trójkowy |
rząd, pozycja |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
jednostka rzędu |
1 30 |
3 31 |
9 32 |
27 33 |
81 34 |
243 35 |
system piątkowy |
rząd, pozycja |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
jednostka rzędu |
1 50 |
5 51 |
25 52 |
125 53 |
625 54 |
3125 55 |
A więc każda liczba naturalna m może być zapisana w postaci:
m=cnqn+cn-1qn-1+...+c2q2+c1q+c0, n∈N∪ 0
gdzie liczby c0, c1,... , cn są równe 0,1, ... , q-1 oraz cn≠0.
Jeśli np. chcemy zapisać liczbę 53 w systemie dwójkowym, możemy ją zapisać w postaci sumy, której składniki są potęgami liczby 2 ( od największej do najmniejszej)
53= 32+21=32+16+5=32+16+4+1=
1⋅25+1⋅24+0⋅23+1⋅22+0⋅21+1⋅20=110101(2)
Chcąc zapisać liczby w systemach pozycyjnych o podstawie większej niż dziesięć należy dysponować większą ilością cyfr. Np. w systemie szesnastkowym bierzemy pierwszych 10 cyfr zgodnych z systemem dziesiątkowym, zaś dalsze to:
A oznacza 10 w syst. dziesiątkowym
B „ 11 „
C „ 12 „
D „ 13 „
E „ 14 „
F „ 15 „
A więc liczba (D4)16 oznacza 212 w systemie dziesiątkowym.
Działania w systemach innych niż dziesiątkowy
System dwójkowy- jeśli przy dodawaniu otrzymujemy dwie jednostki rzędu niższego, zapisujemy je jako jedną jednostkę rzędu następnego, np.
101(2)
+ 11(2)
_____________
1000(2)
System trójkowy- jeśli w wyniku dodawania otrzymujemy w jakimś rzędzie trzy jednostki, stanowią one wtedy jedną jednostkę rzędu następnego, np.
1201(3)
+ 212(3)
_____________
2120(3)
Odejmowanie w innych systemach wykonuje się analogicznie jak w systemie dziesiątkowym, np.
1201(3)
- 212(3)
_____________
212(3)
Ponieważ w odjemnej jest mniej jedności niż w odjemniku „rozmieniamy” jedną jednostkę rzędu 2 (dziewiątkę) na 3 jednostki rzędu poprzedniego (pierwszego), zostawiając w tym rzędzie 2 jednostki, a jedną „rozmieniamy” na 3 jedności, otrzymujemy 4 jedności. Odejmujemy jedności 4-2=2, następnie cyfry rzędu pierwszego 2-1=1 itd.
Obliczając iloczyny i ilorazy liczb naturalnych w systemach niedziesiątkowych korzystamy z tabel mnożenia .
Tabelka w systemie dwójkowym:
x |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Tabelka w systemie trójkowym:
x |
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
2 |
0 |
2 |
11 |
Tabelka mnożenia w systemie piątkowym:
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
2 |
0 |
2 |
4 |
11 |
13 |
3 |
0 |
3 |
11 |
14 |
22 |
4 |
0 |
4 |
13 |
22 |
31 |
Mnożąc liczby sposobem pisemnym, korzystamy z tablic mnożenia, np.
212(3)
x 22(3)
________
1201
+ 1201
______________
20211(3)
Do wykonania dzielenia sposobem pisemnym wystarcza znajomość tabeli mnożenia, gdy dzielnik nie przekracza podstawy systemu liczenia.
Zamiana systemu liczenia
Jest kilka sposobów przedstawiania liczby w innym systemie niż jest obecnie:
jeżeli mamy liczbę np. w systemie czwórkowym i chcemy przedstawić ją w systemie piątkowym, zapisujemy tę liczbę najpierw w systemie dziesiątkowym, a potem z systemu dziesiątkowego przechodzimy na piątkowy wg wcześniej opisanej metody
wykonując operację innym sposobem można wykonać prościej: chcąc przejść z podaną liczbą z systemu dziewiątkowego na trójkowy , należy każdą cyfrę liczby zapisać jako liczbę dwucyfrową w układzie trójkowym:
1 |
0 |
2 |
3 |
8 |
4 |
(9) |
1 |
00 |
02 |
10 |
22 |
11 |
(3) |
Czyli:
102384(9) = 10002102211(3)
Mam nadzieję, że przybliżyłem Ci pojęcie, nazwę i sposoby pisania liczb w różnych systemach. Korzystając głównie z systemu dziesiątkowego warto pamiętać też o innych systemach.
6