Zadanie 1.

Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych,ktorych najwiekszy wspolny dzielnik jest rowny 8, a najmniejsza wspolna wielokrotnosc jest rowna 144. 

Dane:
 
 oraz 
, gdzie 
, więc: 

 
Zatem: 

 
Czyli szukane pary liczby (a,b):
.

Zadanie 2.
Suma dwoch liczb naturalnych dodatnich jest rowna 168 a ich najwiekszy wspolny dzielnik wynosi 24.Wyznacz te liczby. 

Dane:
m + n = 168

Ponieważ NWD( m; n) = 24, zatem

m = 24*k  oraz  n = 24*l

czyli

24*k+ 24*l = 168 / : 24

k + l = 7

k = 7 -  l

Mamy

dla l = 1  , k = 6  oraz  m = 24*6 = 144  ,  n = 24*1 = 24

dla l = 2  , k = 5  oraz  m = 24*5 = 120 ,   n = 24*2 = 48

dla l = 3  , k = 4  oraz  m = 24*4 = 96  ,    n = 24*3 = 72

dla l = 4  , k = 3  oraz  m = 24*3 = 72  ,    n = 24 *4 = 96

dla l = 5  , k = 2  oraz  m = 24*2 = 48 ,     n = 24*5 = 120

dla l = 6 ,  k = 1  oraz  m = 24*1 = 24 ,     n = 24*6 = 144

Odp.: Szukane pary liczb, to ( 144 i  24) lub ( 120  i  48)  lub ( 96  i  72 ).

Zadanie 3.

Udowodnij, że jeżeli a+b≥0, to prawdziwa jest nierówność a³+b²≥a²b+ab².

a³−a²b+b³−ab²≥0

a²(a−b)−b²(a−b)≥0

(a²−b²)(a−b)≥0

(a−b)(a+b)(a−b)≥0

(a+b)(a−b)²≥0

Mamy tu iloczyn dwóch wyrażeń nieujemnych, bo kwadrat różnicy a i b jest zawsze nieujemny, oraz a+b≥0 z założenia. C.N.D.

Zadanie 4.

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a,b,c,d prawdziwa jest nierówność ac+bd=
.

możemy podnieść do kwadratu, bo obie strony są dodatnie.

(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2

0≤a2d2−2abcd+b2c2=(ad−bc)2

Co jest prawdą dla dowolnych wartości liczb a,b,c,d.

---