Tabela

209					Wydział Elektryczny	Semestr II	Grupa E-1

Temat: Wyznaczanie stałej Bloztmanna z charakterystyki tranzystora

Stała Boltzmanna , oznaczana przez k, jest uniwersalną stałą fizyczną określoną przez stosunek dwóch innych stałych: stałej gazowej R i liczby Avogarda N_A

. (209.1)

W kinetycznej teorii gazów wykazuje się że średnia energia kinetyczna ruchu cieplnego cząstki w temperaturze T , przypadająca na jeden stopień swobody, wynosi (1/2)kT i nie zależy od rodzaju ruchu (postępowy, rotacyjny czy oscylacyjny ), ani od wielkości cząstki.

Stała Boltzmanna występuje we wszystkich równaniach zawierających klasyczne lub kwantowe funkcje rozkładu energetycznego cząstek. Przypomnijmy sobie kilka przykładów takich równań.

(a) Rozkład prędkości drobin gazu opisany jest funkcją podaną po raz pierwszy przez Maxwella

(209.2)

N_vdv w powyższym równaniu określa ilość drobin, których prędkości są zawarte w wąskim przedziale (v, v + dv ). Maksimum tej funkcji przypada dla prędkości v_p, która jest najbardziej prawdopodobna w danej temperaturze jej wartość jest określona m. in. przez stałą Boltzmanna v_p = (2kT/m)^1/2 . (b) Prawdopodobieństwo zajęcia przez elektron poziomu energetycznego o wartości E w krysztale podaje funkcja rozkładu Frermiego-Diraca

, (209.3)

gdzie E_F jest energią ( poziomem ) Fermiego.

W niskich temperaturach funkcja rozkładu ma ciekawy przebieg; mianowicie f(E) = 1, gdy E < E_F oraz f(E) = 0, gdy E > E_F . Przy takiej funkcji rozkładu wszystkie poziomy poniżej E_F są całkowicie zajęte ( f = 1 ), a poziomy powyżej E_F są puste ( f = 0 ). Przejście od wartości 1 do zera odbywa się w wąskim przedziale energii - jego szerokość zależy od temperatury oraz od stałej Boltzmanna wynosi około 5kT.

(c) Dla niskich temperatur lub dużych wartości energii ( każdy z tych warunków wyraża się przez stałą Boltzmanna E - E_F >> kT ) kwadratowa funkcja rozkładu może być zastąpiona klasyczną funkcją statystyczną Maxwella - Boltzmanna

. (209.4)

(d) Prąd płynący przez złącze p - n dwóch półprzewodników o różnych typach przewodnictwa opisany jest wyrażeniem zawierającym wyraz wykładniczy, w którym występuje iloczyn kT

. (209.5)

W powyższym równaniu V oznacza przyłożone do złącza napięcie, e - ładunek elektronu, I_s - prąd wsteczny.

Pomiary i obliczenia:

Dokładność pomiarów:

I_k = ± 1 μA

U_be = ± 1 mV

Tabela pomiarowa dla T = 22 ^oC

	T =	22 [stop]
	Ube [mA]	Ik	[μA]		ln Ik
Lp.		ros.	mai.	śred.
1	485	1202	1098	1150	7.047517
2	475	804	755	779.5	6.658653
3	455	378	358	368	5.908083
4	435	185	174	179.5	5.190175
5	415	92	88	90	4.49981
6	395	48	47	47.5	3.86073
7	375	27	25	26	3.258097
8	355	18	16	17	2.833213
9	330	13	10	11.5	2.442347
10	300	12	8	10	2.302585
11	270	8	6	7	1.94591
12	200	8	5	6.5	1.871802
13	100	5	3	4	1.386294
14	30	2	2	2	0.693147
15	10	2	1	1.5	0.405465

Parametry regresji liniowej:

y = ax + b

a = 67.31

b = 82.9

przyczym a jest tangensem konta nachylenia prostej regresji do osi OX

a = tg α = 67.31

Zatem obliczam stałą Boltzmanna korzystając ze wzoru

T - temperatura w skali bezwzględnej = 295 ^oK

e - ładunek elementarny

Stała Boltzmanna dla temperatury t = 22 ^oC

k = 0.806*10^-23 [J/K]

Tabela pomiarowa dla temperatury t = 3 ^oC

Parametry regresji :

y = ax + b

a = 24

b = 370

a = tg α = 24

	T =	3 [stop]
	Ube	Ik			ln Ik
Lp.		ros.	mai.	śred.
1	550	1765	1782	1773.5	7.48
2	540	1165	1168	1166.5	7.06
3	530	753	765	759	6.63
4	510	334	335	334.5	5.81
5	490	146	147	146.5	4.99
6	470	62	60	61	4.11
7	450	27	26	26.5	3.28
8	440	18	17	17.5	2.86
9	430	13	13	13	2.56
10	420	8	7	7.5	2.01
11	400	4	3	3.5	1.25
12	370	0	0	0	.-
13	170	0	0	0	.-
14	140	-1	-1	-1	.-
15	60	-2	-1	-1.5	.-

Korzystając ze wzoru jak wyżej obliczam stała Boltzmanna

Stała Boltzmanna dla temperatury t = 3 ^oC

k = 2.415 [J/K]

Wartość średnia stałej Boltzmanna wynosi odpowiednio:

k_śr = 1.611 *10^-23 [J/K]

Błąd średniej arytmetycznej:

Tak więc ostatecznie stała Boltzmanna wynosi:

k = ( 1.6 ± 0.8 ) *10^-23 [J/K]

---