34 Paczka falowa, prędkość grupowa

Zasada superpozycji (nakładania się) fal : w ośrodku liniowym fale rozchodzą się niezależnie od siebie, tak więc podczas jednoczesnego rozchodzeniu się w nim kilku fal wypadkowe zaburzenie w jakimkolwiek punkcie tego ośrodka jest równe sumie zaburzeń pochodzących od każdej z nich oddzielnie.

Na przykład jeśli w ośrodku liniowym rozchodzi się jednocześnie n różnych fal mechanicznych, to wypadkowe wychylenie s, prędkość v oraz przyspieszenie a cząstek ośrodka w dowolnej chwili t:

,
,

,
,
są odpowiednio wartościami przesunięcia, prędkości i przyspieszenia, jakie miałyby cząstki w tej samej chwili t, gdyby w ośrodku rozchodziła się tylko i-ta fala.

Korzystając z zasady superpozycji fal oraz analizy Fouriera (sposób przedstawienia funkcji okresowej w szereg) można dowolną falę niesinusoidalną przedstawić w postaci równoważnego jej zbioru fal sinusoidalnych, tzn. przedstawić w postaci grupy fal lub paczki fal. Zbiór wartości częstości tych fal sinusoidalnych nazywamy widmem częstości (lub po prostu widmem) rozpatrywanej fali niesinusoidalnej. W zależności od charakteru wzbudzanych przez falę drgań, widmo jej częstości może być dyskretne (liniowe), lub ciągłe.

Zależności opisujące rozchodzenie się w ośrodku liniowym dowolnego zaburzenia (sygnału), będącego falą niesinusoidalną, są proste tylko pod warunkiem, że ośrodek w którym rozchodzi się to zaburzenie, nie jest dyspersyjny. W takim przypadku sygnał rozchodzi się w ośrodku bez zmiany swego "kształtu", gdyż wszystkie fale sinusoidalne tworzące tę paczkę mają jednakowe prędkości fazowe, równe prędkości sygnału.

W ośrodku dyspersyjnym składowe sinusoidalne paczki falowej, odpowiadającej fali niesinusoidalnej, rozchodzą się z różnymi prędkościami. Dlatego paczka falowa w miarę rozchodzenia się "rozmywa się" i zmienia się "kształt" sygnału.

Najprostszą paczką falową jest quasi-sinusoidalna fala płaska, którą otrzymujemy w wyniku nałożenia się dwóch rozchodzących się wzdłuż osi OX fal płaskich o jednakowych amplitudach oraz bliskich co do wartości częstościach i liczbach falowych.

Fala ta różni się od fali sinusoidalnej tym, że jej amplituda

jest wolnozmienną funkcją czasu t oraz współrzędnej x.

Jako prędkość rozchodzenia się tej fali niesinusoidalnej przyjmujemy prędkość u przemieszczania się punktu M, w którym amplituda A ma jakąkolwiek wartość stałą (na przykład A = 0 lub A = 2Ao). Punkt M porusza się zatem według prawa :

stąd

Prędkość u nazywamy prędkością grupową. Jest ona równa prędkości przenoszenia energii przez falę quasi-sinusoidalną. Prędkość grupowa
jest wielkością wygodną do opisu transportu energii (przekazu sygnału) za pośrednictwem fal niesinusoidalnych o pewnym widmie częstości pod warunkiem, że widmo to nie jest bardzo szerokie, a dyspersja fal w ośrodku nie jest zbyt duża dla tych częstości. Związek między prędkością grupową (
) i fazową (
) jest wyrażonym wzorem

gdzie
jest długością fali. W ośrodku bez dyspersji
i prędkość grupowa pokrywa się z prędkością fazową.

35 Zasada nieoznaczoności Heisenberga

Rozważając dyfrakcję elektronów na pojedynczej szczelinie ujawnia się falowa natura cząstek. Przez analogię do dyfrakcji światła na szczelinie spodziewamy się, że rozkład ilości zliczanych elektronów w jednostce czasu będzie wyglądał tak jak przy przejściu światła przez szczelinę i pierwsze minimum pojawi się dla kąta spełniającego warunek

gdzie a jest szerokością szczeliny ,
- długością fali de Broglie'a elektronów.

Interesują nas elektrony, których położenie wypada w maksimum głównym. Możemy przyjąć, że gdy elektron przechodzi przez szczelinę, niepewność jego położenia w kierunku y będzie rzędu szerokości szczeliny
. Niepewność jego składowej pędu dla tego kierunku oszacujemy na :
(elektron po przejściu przez szczelinę może być odchylony o dowolny kąt z przedziału
do
). Jeśli związek między pędem cząstki a jej falą materii wyraża się wzorem
,
, to dostajemy :

Wynik naszych rozważań możemy podsumować następująco: mniejsza szczelina dokładniej zlokalizuje cząstkę, ale spowoduje poszerzenie obrazu dyfrakcyjnego, a zatem i większą niepewność w poprzecznej składowej pędu. Zwiększenie szczeliny wiąże się z gorszym określeniem położenia elektronu, za to uzyskamy większą dokładność jej poprzecznej pędu. Jednoczesne dokładne określenie obu wielkości y i
nie jest możliwe. Przyczyna tego nie leży w sposobie przeprowadzania eksperymentu, ale jest po prostu prawem przyrody.

Podobne rozważania doprowadziły Heisenberga do sformułowania następującej zasady nieoznaczoności(zwanej również zasadą nieokreśloności):

Wśród wielkości fizycznych opisujących zachowanie układu w skali mikroskopowej można wyróżnić pary o tej własności, że niemożliwe jest jednoczesne przeprowadzenie ścisłego pomiaru obu wielkości z danej pary :

gdzie

-------------------------------------------------------------------------------

Należy pamiętać, że zasady nieoznaczoności są odbiciem praw natury, a nie konsekwencją niedokładności przyrządów pomiarowych. Poza tym ograniczenie jest nakładane na dokładność iloczynu obu wielkości, a nie na dokładność każdej z tych wielkości osobno. Oznacza to, że możliwy jest dokładny pomiar jednej wielkości z pary, ale kosztem olbrzymiej niedokładności drugiej.

-------------------------------------------------------------------------------

Długość
fali materii stowarzyszonej z cząstką ( a jednocześnie pęd cząstki) będzie dokładnie określona, jeśli fala ta ma charakter periodyczny i rozciąga się w sposób nieograniczony w przestrzeni. Przykładem jest fala cząstki swobodnej. Ale spoglądając na taką falę, trudno jest nam wyróżnić obszar, w którym prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest większe niż gdzie indziej w przestrzeni.

ZATEM POŁOŻENIE CZĄSTKI JEST NIEOKREŚLONE !

Chcąc dobrze opisać położenie cząstki zlokalizowanej, musimy użyć funkcji, która ma wyraźnie większą amplitudę w obszarze, gdzie powinna znajdować się cząstka, tylko że wówczas trudno jest z dobrą dokładnością podać
. Pamiętając, że pęd i długość fali są ze sobą powiązane relacją de Broglie'a (
), widzimy, że pęd może być dobrze określony, gdy
jest dobrze określone i vice versa. W przypadku cząstki swobodnej mamy nieokreślone położenie cząstki, ale dobrze znamy jej pęd. W przypadku cząstki zlokalizowanej możemy określić obszar, w którym ona przebywa, ale niewiele możemy powiedzieć o jej pędzie. I w ten oto sposób doszliśmy znowu do zasady Heisenberga.

Nasuwa się pytanie, dlaczego na co dzień wykonując pomiary nie napotykamy takich ograniczeń. Odpowiedź brzmi :

w świecie makroskopowym zasada Heisenberga nie jest istotna, ponieważ wielkość stałej Plancka h jest bardzo mała

Chcąc zmierzyć dokładnie energię cząstki (układu) należy obserwować ją przez możliwie długi czas. Jeśli elektron w atomie zostaje wzbudzony na wyższy poziom energetyczny i pozostaje na nim przez długi okres czasu, to nieokreśloność czasu
jest duża. Na mocy zasady nieokreśloności
jego przejściu do stanu podstawowego będzie towarzyszyć emisja fotonu o dobrze określonej energii E, ponieważ nieokreśloność energii
jest mała. W przypadku krótko żyjącego poziomu wzbudzonego mamy małe
, więc
jest duże i rozmycie energetyczne emitowanego kwantu jest spore.

36. Schrodinger

Położenie cząstki w przestrzeni w danej chwili określone jest w mechanice kwantowej przez zadanie funkcji falowej
(tzw. funkcja
). Prawdopodobieństwo dw tego, że cząstka znajduje się w elemencie objętości dv, jest proporcjonalne do
i do elementu objętości dV :

dw=

gdzie:
jest kwadratem modułu funkcji
Symbol
oznacza sprzężenie zespolone funkcji
. Wielkość
jest gęstością prawdopodobieństwa
i opisuje prawdopodobieństwo przebywania cząstki w danym punkcie przestrzeni. Intensywność fali de Broglie'a określona jest przez wielość
.

Z definicji funkcji
wynika warunek normalizacji prawdopodobieństwa

w którym potrójną całką objętościową obliczamy po współrzędnych x, y, z w granicach od
do
tj. po całej nieskończonej przestrzeni. Warunek normalizacji oznacza, że znalezienie się cząstki gdziekolwiek w przestrzeni stanowi zdarzenie pewne i jego prawdopodobieństwo powinno być równe 1.

Funkcja falowa
stanowi podstawową charakterystykę stanu mikroobiektów (atomów, cząsteczek, cząstek elementarnych). Za jej pomocą obliczamy średnią wartość wielkości fizycznej L, charakteryzującej obiekt, który znajduje się w stanie opisywanym przez funkcję falową
:

gdzie
jest wartością średnią wielkości L

Podstawowe równanie różniczkowe mechaniki kwantowej dla funkcji falowej
nazywamy zależnym od czasu równaniem Schrodingera. Określa ono funkcję
dla mikrocząsteczek poruszających się w polu sił o energii potencjalnej
z prędkością v<<c gdzie c jest prędkością światła w próżni. Równanie Schrodingera ma postać

gdzie
jest operatorem Laplace'a, m - masą cząstki,
, a h jest stałą Plancka, a
jednostką urojoną.

Uzupełnienie równania Schrodingera stanowią warunki, jakie należy nałożyć na funkcję

a) funkcja
powinna być skończona, jednoznaczna i ciągła :

b) pochodne
powinny być ciągłe

c) funkcja
powinna być całkowalna, tzn. całka

powinna być skończona

W przypadku gdy funkcja U nie zależy od czasu
rozwiązanie równania Schrodingera z czasem ma postać :

przy czym zależne od współżędnych części funkcji falowej
spełnia stacjonarne równanie Schrodingera:

,

gdzie W jest energią cząstki.

Funkcje
które spełniają równanie Schrodingera przy zadanej postacie
, nazywamy funkcjami własnymi. Istnieją one jedynie dla określonych wartości W, nazywanych wartościami własnymi energii. Zbiór wartości własnych W tworzy widmo energetyczne cząstki. W zależności od postaci funkcji
widmo energetyczne cząstki może być dyskretne lub ciągłe. Wyznaczanie wartości własnych i funkcji własnych stanowi najważniejsze zadanie mechaniki kwantowej.

W przypadku, gdy
, zależne od czasu równanie Schrodingera ma rozwiązanie w postaci:

Zależność stanu cząstki od czasu opisuje okresowa funkcja czasu, zmieniająca się w częstość kołową
określoną przez energię W cząstki. Odpowiada to powiązaniu energii cząstki W z częstością fali de Broglie'a

Jeżeli cząstka znajduje się w określonym stanie energetycznym o energii W = const, to prawdopodobieństwo dw znalezienia jej w elemencie objętości dV nie zależy od czasu
. Taki stan cząstki nazywamy stanem stacjonarnym. Atom znajdujący się w stanie stacjonarnym ma stałą energię i nie emituje fal elektromagnetycznych.

37 Jama potencjalna

Jamą (studnią) potencjału nazywamy obszar przestrzeni w którym energia potencjalna U cząstki jest mniejsza od pewnej wartości Umax. W szczególności, przy U= U(x) i xxxxx mamy jednowymiarową jamę potencjału o nieskończonej głębokości. Jeżeli energia potencjalna cząstki na zewnątrz i wewnątrz jamy ma następujące wartości:

dla

dla

to jama ma "płaskie dno".

Ruch skoletywizowanych elektronów w metalu w klasycznej teorii elektronowej rozważamy jako ruch w jamie potencjału, przy czym na zewnątrz metalu energia potencjalna jest elektronu równa jest zeru, a wewnątrz metalu jest ona ujemna i równa liczbowo pracy wyjścia elektronu z metalu.

Stacjonarne równanie Schrodingera dla cząstki w rozważanej wyżej jamie potencjalnej ma postać

z warunkami brzegowymi
, które oznaczają że poza obszarem
mamy
, czyli że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki na zewnątrz jamy potencjału równe jest zeru.

Rozważanie równania Schrodingera ma postać :

gdzie A i B są stałymi, a
- liczbą falową

Z warunków brzegowych wynika, że A=0; B<>0 i sinkL = 0, czyli liczba falowa przyjmuje szereg dyskretnych wartości spełniających żądanie
gdzie n=1,2,3,...

Ostatnie równanie oznacza, że :

W długości jamy potencjału powinna mieścić się całkowita liczba połówek fali de Broglie'a.

Wielkości fizyczne, które mogą przyjmować jedynie określone dyskretne wartości, nazywamy skwantowanymi(kwantowanie wielkości fizycznych). Wartości własne energii xxx w jednowymiarowej jamie potencjału o nieskończonej głębokości

, n=1,2,...

stanowią dyskretny szereg wartości energii, która jest wielkością skwantowaną

Skwantowane wartości W­­n nazywamy poziomami energii, a liczbę n, określającą poziom energetyczny cząstki w jamie potencjału liczbą kwantową.

Dla dużych liczb kwantowych (n>>1) zachodzi względne zbliżanie się poziomów energetycznych cząstki w jamie potencjału, co widać ze stosunku

gdzie

NIerówność
dla n>>1 oznacza, że kwantowanie energii przy dużych liczbach kwantowych daje rezultaty zbliżone do tych które otrzymujemy w fizyce klasycznej - poziomy energetyczne stają się quasi-ciągłe(quasi-ciągłość poziomów energetycznych dla n>>1).

Zasada korespondencji Bohra: wnioski i rezultaty mechaniki kwantowej uzyskiwane dla dużych liczb kwantowych powinny odpowiadać rezultatom klasycznym.

Bardziej ogólne sformułowanie zasady korespondencji : między dowolną teorią fizyczną, która stanowi rozwinięcie teorii klasycznej, a pierwotną teorią klasyczną istnieje regularny związek - w określonych warunkach nowa teoria powinna przechodzić w starą. Na przykład wzory kinematyki i dynamiki szczególnej teorii względności przeształcają się we wzory mechaniki newtonowskiej przy takich prędkościach, że (v/c)­­2<<1. Optyka geometryczna stanowi przypadek graniczny optyki falowej gdy możemy zaniedbać długości fali (
).

38 Kwantowy oscylator harmoniczny

Oscylator harmoniczny jest to wyidealizowany układ fizyczny - punkt materialny o masie m, na który działa siła proporcjonalna do chwilowego wychylenia x od pewnego położenia równowagi.

Klasyczne równanie ruchu oscylatora harmonicznego ma postać:
m(d²x/dt²) = - kx;
Ogólnym rozwiązaniem powyższego równania jest funkcja:
x = A ⋅ sin(t√(k²/m.) +ϕ)
co oznacza, że punkt materialny wykonuje drgania harmoniczne o częstości kołowej
ω = √k² / m.
gdzie:
A - amplituda;
ϕ - stała faza.

Na rysunku powyżej oscylator harmoniczny wykonuje ruch pomiędzy skrajnymi punktami x = ± A, a energia całkowita jest równa E_c = kA² / 2.

Kwantowy oscylator harmoniczny ma zastosowanie w opisie tych zjawisk, w których cząstki poruszają się ruchem harmonicznym, np. drgania atomów w cząsteczkach dwuatomowych i akustycznych, termiczne własności ciał stałych związane z drganiami sieci krystalicznej.

W mechanice kwantowej dla oscylatora harmonicznego należy napisać równanie Schrodingera, które po przekształceniu przyjmuje postać:
d²Ψ(x) / dx² = 2m / h² [0,5mω²x² - E]Ψ(x)

Rozwiązaniem równania Schrodingera dla oscylatora harmonicznego są funkcje falowe wyrażone przez iloczyny wielomianów Hermite'a i funkcji wykładniczej znikającej do zera w nieskończoności. Widmo energetyczne drgań jest skwantowane. Energia oscylatora kwantowego jest skwantowana (dla oscylatora klasycznego zmienia się w sposób ciągły) i przyjmuje wartości zgodne ze wzorem:
E_n = hϖ(n + ^½);
liczba kwantowa n przyjmuje wartości 0, 1, 2… Odległości między sąsiednimi poziomami energetycznymi są stałe i równe ΔE = hϖ.

Powyższy rysunek przedstawia wykresy funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla dwóch pierwszych stanów. Oscylator kwantowy nie ma sztywnych granic ruchu.

Powyższy model można zastosować do opisu drgań dwuatomowej molekuły. Można to przedstawić jako drgania atomów A i B połączonych sprężyną o stałej siłowej κ, co przedstawia rysunek poniżej.

39. Energia potencjalna w atomie wodoru dana jest wzorem

Funkcja falowa występuje w następującej postaci:

gdzie
jest funkcją własną niezależnego od czasu równania Schrödingera:
,gdzie m jest masą zredukowaną
, mp- masa protonu, me - masa elektronu.

40. Cztery liczby kwantowe opisujące stan elektronu.

Stan elektronu w atomie opisują 4 liczby kwantowe (n, l, m, s): n - główna liczba kwantowa (n= 1,2,3,...), oznaczająca nr dozwolonego poziomu energetycznego na którym znajduje się elektron; l - orbitalna liczba kwantowa (l=0,1,2,3...,n-1) oznaczająca nr- y stanów dla danego n o różnej wartości momentu pędu elektronu; m - magnetyczna liczba kwantowa (m= -l, -+1, ...0...l) związana z możliwymi rzutami momentu pędu elektronu na orbicie na kierunek zewnętrznego pola magnetycznego; s - spinowa liczba kwantowa (s= -1/2,+1/2), oznaczająca możliwe rzuty spinu elektronu na wyróżniony kierunek pola magnetycznego. Np.: dla n=3 będziemy mieli l=0,1,2 ; m=-2,-1,0,1,2; s=-1/2,+1/2. Liczby kwantowe zostały wprowadzone jako postulat przez Bohra, w mechanice kwantowej wynikają one z równania Schrödingera.

42. Elementarna kinetyczno - molekularna teoria gazów. Obliczanie ciśnienia gazu doskonałego.

1. Gaz składa się z cząsteczek, które można traktować jak punkty materialne. Zależnie od rodzaju gazu, każda cząsteczka jest albo jednym atomem, albo grupą atomów. Gdy gaz jest pierwiastkiem, bądź związkiem chemicznym w stanie trwały, wszystkie cząsteczki gazu uważamy za identyczne.

2. Cząsteczki poruszają się chaotycznie i podlegają zasadom dynamiki Newtona. Cząsteczki poruszają się we wszystkich kierunkach i z różnymi prędkościami. Rozważając właściwości tego ruchu zakładamy, ze mechanika newtonowska obowiązuje również przy podejściu mikroskopowym.

3. Całkowita liczba cząsteczek jest bardzo duża. Kierunek i wartość prędkości ruchu cząstek przy zderzeniach ze ściankami naczynia lub z innymi cząsteczkami mogą się zmieniać skokowo. Dzięki tym zderzeniom każda cząsteczka będzie się poruszać zygzakiem (po linii łamanej). Niemniej jednak, dzięki temu, że cząsteczek jest tak dużo, przyjmujemy, że wynikająca z tego wielka ilość zderzeń nie zmienia ogólnego rozkładu prędkości cząstek i bezładności ruchu.

4. Objętość cząstek jest tak małą częścią objętości zajmowanej przez gaz, że można ją pominąć. Chociaż cząsteczek jest bardzo dużo, są one niesłychanie małe. Wiemy, że objętość zajmowaną przez gaz można bez trudu zmieniać w szerokim zakresie wartości. Wiemy też, że po skropleniu gazu objętość zajmowana przez powstałą ciecz może być tysiące razy mniejsza od objętości gazu.

5. Poza momentem zderzenia na cząstki nie działają żadne siły. Z założenia tego wynika, że pomiędzy zderzeniami cząsteczki poruszają się ze stałymi prędkościami. Ponieważ założyliśmy, że cząsteczki są bardzo małe, średnia odległość między cząsteczkami jest duża w porównaniu z ich rozmiarami. Zakładamy więc, że zasięg oddziaływania sił międzycząsteczkowych jest porównywalny z rozmiarami cząsteczek.

6. Zderzenia są sprężyste, a czas ich trwania jest do pominięcia. Przy zderzeniach pomiędzy cząsteczkami oraz w zderzeniach ze ściankami naczynia pęd i energia kinetyczna są zachowane. Ponieważ czas trwania zderzenia można pominąć w porównaniu z czasem upływającym pomiędzy zderzeniami, można również pominąć zamianę energii kinetycznej na potencjalną (i odwrotnie), jaka zachodzi podczas zderzenia.

Będziemy rozważać gaz zamknięty w naczyniu sześciennym, którego ścianki są doskonale sprężyste. Niech każda krawędź ma dł. l. Ścianki prostopadłe do osi x, każda o polu l2 , będziemy oznaczać A1 i A2. V cząsteczki rozkładamy na składowe vx, vy, vz w kierunkach równoległych do krawędzi sześcianu. Gdy cząsteczka ta uderza w ściankę A1, po odbiciu jej składowa prędkości w kierunku x jest odwrócona, a składowe vy, vz nie ulegają zmianie, w związku z czym zmiana Δp pędu cząsteczki wyraża się następująco:

Δp = pf - pi = - mvx - (mvx) = - 2mvx

Przy czym Δp jest prostopadłe do A1. Ponieważ całkowity pęd jest zachowany, wynika stąd, że pęd przekazany ściance A1 wynosi 2mvx.

Przypuśćmy, że omawiana cząsteczka osiąga ściankę A2, nie zderzając się po drodze z żadną inną cząsteczką. Czas potrzebny na przebycie wnętrza sześcianu będzie równy l/vx. przy ściance A2 składowa vx prędkości cząsteczki znowu zostanie odwrócona, po czym cząsteczka powróci do A1. Zakładając, że w międzyczasie nie będzie zderzeń, droga tam i z powrotem zajmie czas 2l/vx. Stąd liczba zderzeń tej cząstki ze ścianką A1 na jednostkę czasu jest równa vx/2l, tak że szybkość przekazywania pędu ściance wynosi

W celu otrzymania całkowitej siły działającej na A1, to znaczy szybkości, z jaką pęd jest przekazywany ściance A1 przez wszystkie cząsteczki gazu, musimy zsumować mvx/l dla wszystkich cząsteczek. Następnie, żeby obliczyć ciśnienie, podzielimy tę siłę przez pole powierzchni A1, tzn. przez l2. Jeżeli m jest masą dowolnej cząsteczki, to mamy

Gdzie vx1 jest składową cząsteczki 1 w kierunku x, vx2 taką samą składową cząsteczki 2 itd. Jeżeli N jest całkowitą liczbą cząsteczek w naczyniu, a n jest ich liczbą w jednostce objętości, to N/l3 = n, czyli l3 = N/n. Stąd

Ale mn jest po prostu masą przypadającą na jednostkę objętości, czyli jest gęstością ρ. Wielkość
jest średnią wartością
dla wszystkich cząsteczek w naczyniu. Oznaczamy ją
. Wtedy

Dla każdej cząsteczki
. Ponieważ mamy wiele cząsteczek i poruszają się one zupełnie bezładnie, średnie wartości
są sobie równe i wartość każdej z nich stanowi dokładnie 1/3 średniej wartości v2. Nie jest wyróżniony żaden z trzech kierunków ruchu cząstek. Stąd
, tak że

Z prawa Pascala wynika, że ciśnienie na wszystkie ścianki, a także we wnętrzu sześcianu jest takie samo.

43 Zasada ekwipartycji energii

Zasada ekwipartycji energii - średnia energia kinetyczna na każdy stopień swobody jest taka sama dla wszystkich cząstek

gdzie:

k=1,381
10-23 J
mol-1
K-1

f liczba stopni swobody równa :

3 dla cząsteczek jednoatomowych

5 dla cząsteczek dwuatomowych

6 dla cząsteczek wieloatomowych

Liczba stopni swobody - najmniejsza liczba parametrów która jednoznacznie określa ruch układu

Dla cząsteczek jednoatomowych potrzeba 3 współrzędnych (x,y,z) dla cząsteczek dwu i więcej atomowych potrzeba dodatkowych współrzędnych do opisania ruchu (obrót względem trzech osi)

Wykładnik adiabaty

pVx=const

Wykładnikiem adiabaty nazywamy wykładnik x ('kappa'), który równy jest stosunkowi ciepła molowego gazu w procesie izobarycznym do ciepła molowego gazu w procesie izochorycznym:

x = CP/CV

Proces izochoryczny to proces, w którym objętość gazu pozostaje stała

Proces izobaryczny to proces, w którym ciśnienie gazu pozostaje stałe

Proces adiabatyczny to proces, w którym gaz nie wymienia ciepła z otoczeniem.

W procesie adiabatycznym zmieniają się więc wszystkie parametry gazu: ciśnienie, objetość i temperatura. Podczas  adiabatycznego sprężania gazu jego ciśnienie i temperatura rosną. Podczas adiabatycznego rozprężania ciśnienie zmniejsza się a gaz się ochładza.

Ciepło właściwe

Ciepło właściwe jest to wielkość która jest określana zależnością:

c = dq/ dT

gdzie:

dq - oznacza ilość ciepła doprowadzone do jednostki masy (1kg ) substancji podczas jakiejś przemiany
dT - zmiana temperatury substancji odpowiadający dostarczonemu ciepłu

Dla gazów istotne są dwa rodzaje ciepła właściwego:

a) Ciepło właściwe gazu przy stałej objętości :

cv = dqv / dT

b) Ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnieniu:

cp = dqp/dT

Ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu jest zawsze większe niż ciepło właściwe przy stałej objętości. Stosunek tych dwóch wielkości oznaczany x (kappa)

x = cp / cv

Między wartościami cp i cv zachodzi zależność :

cp - cv = R

gdzie R oznacza stałą gazową

Ciepłem Q nazywamy formę przepływu energii wewnętrznej od ciała o wyższej temperaturze do ciała o niższej temperaturze - bez wykonywania pracy. Określenia:  pobranie (oddanie, przepływ) ciepła oznaczają taki właśnie przepływ energii wewnętrznej.

Często (choć nie zawsze) doprowadzenie ciepła do układu powoduje, że temperatura tego układu układu rośnie. W takich przypadkach możemy mówić o pojemności cieplnej i cieple właściwym lub molowym.

Załóżmy, że doprowadzenie porcji ciepła DQ zwiększyło temperaturę gazu o DT. Wówczas określić możemy ciepło molowe C jako

gdzie n oznacza liczbę moli gazu. Jednostką ciepła molowego jest J/molK. Jego sens fizyczny jest następujący: Ciepło molowe to ilość ciepła potrzebna do ogrzania jednego mola gazu o jeden kelwin. Przekształcając wzór definicyjny otrzymujemy, że ciepło potrzebne do podniesienia temperatury gazu jest równe

przyjmiemy nie liczbę moli, lecz masę. Załóżmy, że doprowadzenie porcji ciepła DQ zwiększyło temperaturę gazu o DT.

przy czym m jest tu masą gazu. Jednostką ciepła właściwego jest J/kgK. Ciepło właściwe to ilość ciepła potrzebna do ogrzania jednego kilograma substancji o jeden kelwin. Ilość ciepła pobierana przy ogrzewaniu (oddawana przy schładzaniu) jest więc równa

44 Rozkład Boltzmana

W układzie składającym się z N liczby identycznych cząstek klasycznych, znajdujących się w równowadze termodynamicznej, w temperaturze T następuje między nimi wymiana energii. Ich indywidualne energie Ei stale się zmieniają, ale całkowita energia układu pozostaje stała. Energie te podlegają jednak określonemu rozkładowi, zależnemu od temperatury, a średnia wartość energii
każdej z cząstek ma ściśle określoną wartość dla danej temperatury T.

Prawdopodobna liczba cząstek klasycznych w układzie w równowadze termodynamicznej w temperaturze T, które znajdują się w satnie o energii E, dana jest funkcją Boltzmana:

gdzie kB=1,381
10-23 J
mol-1
K-1 - to stała Boltzmana, A- stała.

---