POLITECHNIKA WROCŁAWSKA	Łukasz Kopeć 177127	Wydział: Elektryczny Termin: Wtorek Godz. 13^15-14^45
						Data ćw: 21.02.2012
	Prowadzący: Dr inż. Piotr Pierz	Laboratorium - metody numeryczne
		SPRAWOZDANIE NR 1 TEMAT: Metoda eliminacji Gaussa rozwiązywania układu równań liniowych			Ocena:

1. Cel ćwiczenia.

Wykorzystanie metody eliminacji Gaussa w środowisku Matlab do rozwiązywania układów równań liniowych

2. Przebieg ćwiczenia.

1. rozwiązanie układu równań liniowych

clear all;

clc;

% Przykladowa macierz:

A=[5,-2,1,-1;1,6,-2,3;1,-3,4,0;2,1,-5,4];

% wektor prawej strony

B=[4;3;12;10];

disp('Macierz wspolczynnikow:'); A,

disp('Wektor prawej strony:'); B,

% Rozmiar macierzy

n=size(A,1);

% I krok: eliminacja zmiennych

for i=2:n, % zacznij od drugiego wiersza

for k=i:n, % w każdym przejściu zmień wszystkie wiers

% zaczynając od wiersza i-tego

p=A(k,i-1)/A(i-1,i-1); % współczynnik skalujący

for l=1:n, % odejmij wiersze od siebie

if l<i,

A(k,l)=0;

else

A(k,l)=A(k,l)-A(i-1,l)*p;

end;

end;

B(k)=B(k)-B(i-1)*p; % odejmij wiersze wektora prawej strony

end;

end;

% II krok: odwrotne podstawianie

for i=n:-1:1,

p=0;

for k=(i+1):n,

p=p+A(i,k)*X(k);

end;

X(i,1)=(B(i)-p)/A(i,i);

end;

disp('Rozwiązanie:'); X,

% Sprawdzenie

disp('Błąd rozwiązania:');

E=A*X-B,

Wyniki:

Macierz wspolczynnikow	Wektor prawej strony	Rozwiązanie	Błąd rozwiązania
A = 5 -2 1 -1 1 6 -2 3 1 -3 4 0 2 1 -5 4	B = 4 3 12 10	X = 0.8270 -1.3676 1.7676 4.6378	E = 1.0e-015 * 0 -0.8882 0 0

b) obliczanie wyznacznika macierzy

clear all

clc

A=[5 -2 1 -1;1 6 -2 3;1 -3 4 0; 2 1 -5 4],

B=[4;3;12;10],

n=size(A,1);

detA=1;

detA2=det(A);

A2=A;

%utworzenie macierzy trójkątnej z macierzy A

for i=2:n,

for k=i:n,

p=A(k,i-1)/A(i-1,i-1);

for l=1:n,

if l<i,

A(k,l)=0;

else

A(k,l)=A(k,l)-A(i-1,l)*p;

end;

end;

B(k)=B(k)-B(i-1)*p;

end;

end;

disp('Macierz trójkątna:'); A,

%obliczanie wyznacznika macierzy trójkątnej

for i=1:n,

detA=detA*A(i,i);

end

disp('Wyznacznik macierzy A:'); detA,

disp('Błąd metody:'); d=detA-detA2,

Wyniki:

Macierz trójkątna	Wyznacznik macierzy A	Błąd metody
A = 5.0000 -2.0000 1.0000 -1.0000 0 6.4000 -2.2000 3.2000 0 0 2.9063 1.5000 0 0 0 5.9677	detA = 555.0000	Błąd metody: d = 0

c) odwracanie macierzy kwadratowej

n=size(A,1);

B=eye(n);

for k=1:n

b=B(:,k);

x=gauss(A,b);

A1(:,k)=x;

end

disp('wartość');A1

%porównanie z procedurą MATLABA inv(A)

C=inv(A)

Macierz A1	Odwrócona macierz A1	inv(A)
A1 = 0.1968 0.1968 0.1968 0.1968 0.0683 0.0683 0.0683 0.0683 -0.1486 -0.1486 -0.1486 -0.1486 -0.3012 -0.3012 -0.3012 -0.3012	A1 = 0.1968 0.0522 -0.0281 -0.0040 0.0683 0.1406 -0.1526 -0.1647 -0.1486 0.1647 0.4498 0.0643 -0.3012 0.1446 0.6145 0.3735	C = 0.1968 0.0522 -0.0281 -0.0040 0.0683 0.1406 -0.1526 -0.1647 -0.1486 0.1647 0.4498 0.0643 -0.3012 0.1446 0.6145 0.3735

Wnioski:

Przeprowadzone ćwiczenia miały na celu rozwiązanie układu równań liniowych metodą eliminacji Gaussa. W pierwszym punkcie zadeklarowałem przykładowe macierze- macierz A ze współczynników układu równań oraz macierz B jako wektor prawej strony układu. Wykorzystałem plik „EL_GAUSA.m” , w którym dzięki pętli for i odpowiedniej modyfikacji otrzymałem rozwiązanie układu oraz jego błąd.

W punkcie drugim skorzystałem z pętli for z pierwszego etapu do utworzenia macierzy trójkątnej i opracowanie procedury do obliczania wyznacznika macierzy. Widać, że metoda ta nie wykazała błędu rozwiązania.W ostatnim punkcie opracowałem program do odwracania macierzy kwadratowej. Porównując wynik do procedury Matlaba inv(A) nie widać różnicy. Jest ona na tyle mała, że liczby różnią się kilka miejsc po przecinku.

---