Kompendium Fizyka, 49-64, 23.6 Warto�ci skuteczne pr�du elektrycznego zmiennego.

24. Drgania

24.1 Ruch drgajcy prosty.

Ruch drgajcy jest ruchem okresowym. Punkt materialny przebywa stale w okolicach pooenia r�wnowagi.

Okres (T) - czas 1 penego drgnicia

Czstotliwo :

Amplituda (A) - maksymalne wychylenie z pooenia r�wnowagi.

Wychylenie :

Oznaczenia

f - czstotliwo; T - okres; X - wychylenie; t - czas; A - amplituda; - prdko ktowa

24.2 Prdko i przyspieszenie w ruchu drgajcym prostym.

24.2.1 Prdko w ruchu drgajcym prostym.

Prdko :

24.2.2 Przyspieszenie w ruchu drgajcym prostym.

Przyspieszenie :

Przyspieszenie jest zawsze skierowane przeciwnie do wychylenia.

Oznaczenia

V - prdko; a - przyspieszenie; T - okres; X - wychylenie; t - czas; A - amplituda; - prdko ktowa

24.3 Sia w ruchu drgajcym prostym.

Sia :
,

Oznaczenia

F - sia; m - masa; k - wsp�czynnik sprystoci spryny (cecha charakterystyczna spryny); X - wychylenie; - prdko ktowa

24.4 Energia w ruchu drgajcym prostym.

Energia cakowita :

Oznaczenia

A - amplituda; E - energia cakowita; k - wsp�czynnik sprystoci spryny (cecha charakterystyczna spryny)

24.5 Okres drga spryny.

Spryna wykonuje ruch drgajcy prosty. Zakadamy, e spryna wisi swobodnie pionowo w d�, do niej jest podczepiony ciarek.

Okres drga :

Oznaczenia

m - masa ciarka; k - wsp�czynnik sprystoci spryny (cecha charakterystyczna spryny); T - okres

24.6 R�wnanie ruchu drgajcego prostego (r�wnanie oscylatora harmonicznego).

R�wnanie :

Czon przy X bdzie zawsze ² prdkoci ktowej.

Rozwizanie :

Oznaczenia

X - wychylenie; t - czas; - prdko ktowa; A - amplituda;

24.7 Wahado matematyczne.

Jest to punkt materialny zawieszony na niewakiej i nierozcigliwej nici. Kt wychylenia nie przekracza 16^o.

24.8 Okres wahada matematycznego.

Okres : 0x01 graphic

Po umieszczeniu wahada w windzie, okres zmieni si nastpujco :

gdy winda przyspiesza w d� :
gdy winda hamuje w d� :
gdy winda spada, wahado jest w stanie niewakoci

Oznaczenia
T - okres; l - dugo wahada; g - przyspieszenie ziemski (grawitacja);
a - przyspieszenie windy.
24.9 Wahado fizyczne.
Jest to wahajca si brya sztywna.
24.10 Okres wahada fizycznego.
Okres :
Oznaczenia
T - okres; I - moment bezwadnoci wahada; g - przyspieszenie ziemski (grawitacja); m - masa wahada; d - odlego rodka cikoci od punktu zaczepienia.
24.11 R�wnanie wahada fizycznego.
R�wnanie :
Czon przy bdzie zawsze ² prdkoci ktowej.
Oznaczenia
I - moment bezwadnoci wahada; g - przyspieszenie ziemski (grawitacja); m - masa wahada; d - odlego rodka cikoci od punktu zaczepienia; - maxymalny kt wychylenia wahada.
24.12 Zredukowana dugo wahada matematycznego.
Jest to dugo wahada matematycznego, przy kt�rej jego okres jest r�wny okresowi wahada fizycznego.
Oznaczenia
I - moment bezwadnoci wahada; m - masa wahada; d - odlego rodka cikoci od punktu zaczepienia; l - dugo.
24.13 Drgania elektromagnetyczne.
Obw�d drgajcy :
Obw�d jest wykonany z nadprzewodnika. Skada si z naadowanego kondensatora i zwojnicy. Energia kondensatora :
. Po zamkniciu obwodu kondensator rozaduje si - popynie prd o malejcym nateniu. Energia kondensatora zmieni si w energi pola elektrycznego :
. Poniewa, e w obwodzie popynie prd o zmiennym nateniu, to w zwojnicy wyindukuje si prd, kt�rego kierunek zgodny bdzie z regu Lenza (zob.pkt.23.2) - w tym samym kierunku :
.Najwikszy prd indukcyjny bdzie, gdy kondensator bdzie cakowicie rozadowany. Caa energia bdzie skupiona w zwojnicy. Prd indukcyjny ponownie naaduje kondensator, lecz o przeciwnej polaryzacji. Nastpnie popynie prd w przeciwnym kierunku, kt�ry wyindukuje na zwojnicy prd o tym samym kierunku i ponownie naaduje kondensator. Itd.
Drgania elektromagnetyczne polegaj na zamianie pola elektrycznego na magnetyczne i odwrotnie.
Oznaczenia
Q - cakowity adunek w obwodzie; I - natenie prdu; E_L = energia pola elektrycznego; E_C - energia kondensatora; C - pojemno kondensatora; U - napicie (r�nica potencja�w; l - dugo zwojnicy; L - wsp�czynnik samoindukcji (cecha charakterystyczna zwojnicy) (zob.pkt.23.3);
24.14 Okres drga elektromagnetycznych.
Okres :
Oznaczenia
C - pojemno kondensatora; L - wsp�czynnik samoindukcji (cecha charakterystyczna zwojnicy) (zob.pkt.23.3);
24.15 Skadanie drga harmonicznych.
a) Skadanie drga wzdu tego samego kierunku :
Aby powstao drganie harmoniczne, czstotliwoci wahade musz by takie same.
Wychylenie :
Oznaczenia
X - wychylenie; ₁₍₂₎ - prdko ktowa pierwszego (drugiego) wahada;
A - amplituda; t - czas;
b) Skadanie drga wzajemnie prostopadych : Etapy ruchu : 1) \ 2) o 3) / 4) o 5) \
Wychylenie :
;
;
Oznaczenia
X - wychylenie pierwszego wahada; Y - wychylenie drugiego wahada; - prdko ktowa pierwszego wahada;
A₁₍₂₎ - amplituda pierwszego (drugiego) wahada; t - czas;
c) Skadanie 2 drga przesunitych o 90^o :
Wychylenie :
Te dwa r�wnania tworz ukad r�wna. Inna jego posta :
- jest to r�wnanie elipsy. Jej wykres nazywamy krzyw Lissajous.
Oznaczenia
X - wychylenie pierwszego wahada; Y - wychylenie drugiego wahada; - prdko ktowa pierwszego wahada;
A₁₍₂₎ - amplituda pierwszego (drugiego) wahada; t - czas;
24.16 Okres drga spryny uoonej poziomo.
Tarcie pomijamy. Okres :
Oznaczenia
T - okres; M₁₍₂₎ - masa pierwszego (drugiego) ciarka; k - wsp�czynnik sprystoci spryny (cecha charakterystyczna spryny).
24.17 Drgania tumione.
Drgania tumione wystpuj wtedy, gdy w ukadzie dziaaj siy oporu orodka.
Sia oporu :
Wsp�czynnik tumienia :
Wychylenie :
Oznaczenia
M - masa; F_O - sia oporu; b - wsp�czynnik oporu;
V - prdko; - wsp�czynnik tumienia; A - amplituda;
t - czas; - prdko ktowa (zob.pkt.24.19).
24.18 R�wnanie ruchu drgajcego tumionego.
R�wnanie :
Ten przypadek jest gdy :
. Gdy
, to zostanie wykonany tylko jeden okres. Gdy
, mamy do czynienia wtedy z przypadkiem periodycznym - wahado zatrzyma si przed upywem jednego okresu.
24.19 Prdko ktowa wahada w drganiach tumionych.
Prdko :
Oznaczenia
- wsp�czynnik tumienia; - prdko ktowa; ₀ - pocztkowa prdko ktowa.
24.20 Logarytmiczny dekrement tumienia.
M�wi nam, jak maleje amplituda :
Oznaczenia
- logarytmiczny dekrement tumienia; - wsp�czynnik tumienia; A_n - n-ta amplituda (n"N); A_n+1 - n-ta-plus-jeden amplituda (n"N);
24.21 Czas relaxacji.
Czas, po kt�rym amplituda zmaleje e razy:
Oznaczenia
- wsp�czynnik tumienia; - czas relaxacji;
24.22 Drgania elektromagnetyczne tumione.
Jest to obw�d RLC.
Wsp�czynnik tumienia :
adunek :
Podczas drga tumionych mamy do czynienia z rozpraszaniem energii.
Oznaczenia
- wsp�czynnik tumienia; R - op�r; L - wsp�czynnik samoindukcji (cecha charakterystyczna zwojnicy) (zob.pkt.23.3); t - czas; - prdko ktowa; Q - adunek; Q₀ - adunek pocztkowy.
24.23 R�wnanie ruchu drgajcego elektromagnetycznego tumionego.
R�wnanie :
Oznaczenia
- wsp�czynnik tumienia; Q - adunek pocztkowy; t - czas; ₀ - prdko ktowa pocztkowa;
24.24 Drgania wymuszone.
Mamy z nimi do czynienia w tedy, gdy opr�cz siy sprystoci spryny i oporu wystpuje sia wymuszajca ruch. Ma ona posta :
.
Amplituda :
Oznaczenia
- wsp�czynnik tumienia; t - czas; - prdko ktowa;
F - sia wymuszajca; F_O - maksymalna sia wymuszajca (?).
24.25 Prdko i przyspieszenie w drganiach wymuszonych.
24.25.1 Prdko w drganiach wymuszonych.
Prdko :
Oznaczenia
t - czas; - prdko ktowa; A - amplituda; - kt;
V - prdko.
24.25.2 Przyspieszenie w drganiach wymuszonych.
Przyspieszenie :
Oznaczenia
t - czas; - prdko ktowa; A - amplituda; - kt;
a - przyspieszenie.
24.26 R�wnanie ruchu drgajcego wymuszonego.
R�wnanie :
24.27 Rezonans.
Jest to proces przekazywania jednemu ciau przez drugie o okresie r�wnym okresowi drga wasnych. Wyr�niamy rezonans mechaniczny (jedno wahadeko przekazuje innym), akustyczny (jeden kamerton przekazuje drgania drugiemu) i elektromagnetyczny (dwa obwody LC). Warunek rezonansu elektromagnetycznego :
.
Oznaczenia
L₁₍₂₎.- wsp�czynnik samoindukcji zwojnicy w pierwszym (drugim) obwodzie (cecha charakterystyczna zwojnicy) (zob.pkt.23.3); C₁₍₂₎ - pojemno kondensatora w pierwszym (drugim) obwodzie.
25. Fale.
fala - proces rozchodzenia si drga.
Jest zoeniem ruchu drgajcego i jednostajnego prostoliniowego.
Aby dane zjawisko mona byo nazwa fal, musi ono ulega czterem procesom : odbiciu (zob.pkt.25.15), interferencji (zob.pkt.25.17), ugiciu (zob.pkt.25.14) i zaamaniu (zob.pkt.25.16).
25.1 Przemieszczenie i wektor propagacji.
Przemieszczenie :
Wektor propagacji (k) :
Oznaczenia
- funkcja falowa (przemieszczenie); - prdko ktowa;
V - prdko rozchodzenia si fali; k - wektor propagacji;
A - amplituda;₀ - faza pocztkowa; X - odlego od r�da;
25.2 Dugo, okres i czstotliwo fali. Powierzchnia falowa.
25.2.1 Okres fali.
Okres (T) - czas rozejcia si jednego penego drgania.
25.2.2 Dugo fali.
Dugo fali () - najblisza odlego midzy punktami o tej samej fazie drga.
25.2.3 Czstotliwo fal.
Czstotliwo :
Oznaczenia
T - okres; f - czstotliwo.
25.2.4 Powierzchnia falowa.
Powierzchnia falowa - zbi�r punkt�w o tej samej fazie drga.
25.3 Prdko rozchodzenia si fali.
Prdko fali :
Prdko rozchodzenia si fali w danym orodku jest zawsze staa.
Oznaczenia
V - prdko rozchodzenia si fali; - dugo fali; T - okres;
f - czstotliwo.
25.4 Klasyfikacja fal.

Podzia ze wzgldu na kierunek rozchodzenia si czsteczek :

poprzeczne - kierunek ruchu czstki jest " do kierunku rozchodzenia si fali

podune - - kierunek ruchu czstki jest zgodny z kierunkiem rozchodzenia si fali

Podzia ze wzgldu na powierzchni falow :

paskie - powierzchnia falowa jest paska (np. fale na wodzie)

kuliste - powierzchnia falowa jest kulista (np. akustyczne, elektromagnetyczne)

Podzia fal ze wzgldu na widmo :

podczerwie;

widmo widzialne (
);

nadfiolet;

promieniowanie rentgenowskie;

promieniowanie gamma (jdrowe);

promieniowanie kosmiczne

Podzia fal radiowych :

dugie;

rednie;

kr�tkie;

ultrakr�tkie;

mikrofale (telewizja, radar, kuchenka mikrofalowa);

Oznaczenia

- dugo fali.

25.5 Natenie fali.

Jest to energia przeniesiona przez fal w jednostce czasu przez jednostkow powierzchni :

.

Oznaczenia

I - natenie fali; E - energia przeniesiona przez fal; t - czas;

s - powierzchnia.

25.6 Fala akustyczna.

Fala akustyczna polega na rozchodzeniu si zaburze gstoci orodka. r�dem dwik�w syszalnych s wszystkie ciaa drgajce, kt�re maj dostateczn energi, aby wywoa w naszym uchu najsabsze wraenia suchowe.

Wysoko dwiku zaley od czstotliwoci;
Gono dwiku zaley od natenia;
Barwa odr�nia dwiki w zalenoci od pochodzenia;

Dwiki ze wzgldu na czstotliwo dzielimy na :

infradwiki	f<16 Hz	nie odbieramy
dwiki syszalne	f"(16 Hz,20 kHz)	odbieramy
ultradwiki	f>20 kHz	odbieramy jako b�l

Dwiki ze wzgldu na widmo dzielimy na :

dwiki, kt�re moemy odr�ni (np.mowa)
szumy (np.chaas)

Ton - dwik o jednej czstotliwoci
Ucho ludzkie najlepiej wyapuje dwiki o czstotliwoci r�wnej 1000 Hz. Natenie progowe (pr�g syszalnoci dla czstotliwoci = 1000 Hz) :

.
Krzywa syszalnoci ucha ludzkiego :
Oznaczenia
I₀ - natenie progowe; f - czstotliwo.
25.7 Poziom syszalnoci.
Poziom syszalnoci :
Oznaczenia
I₀ - natenie progowe (zob.pkt.25.6); I - natenie; - poziom syszalnoci.
25.8 Zjawisko Dopplera.
Jest to proces polegajcy na zmianie czstotliwoci odbieranego dwiku, gdy obserwator lub r�do znajduj si w ruchu.

Gdy r�do zblia si do obserwatora :
Gdy r�do oddala si od obserwatora :

Oznaczenia
V - prdko dwiku; U - prdko obserwatora; V₁ - prdko r�da dwiku; f - czstotliwo r�da; f' - czstotliwo odbierana.
25.9 Ultradwiki i syrena Sebecka.
25.9.1 Ultradwiki.
Dwik jest wydawany przez ciao drgajce. Gdy przyoymy do krysztau kwarcu pole elektryczne, to kryszta zacznie drga z czstutliwoci ultradwik�w. Ultradwiki maj due zastosowanie w detektorach wad materia�w itp.
25.9.2 Syrena Sebecka.
Jest to urzdzenie do wytwarzania ultradwik�w. Skada si z dw�ck okrgych, dziurkowanych pyt, z kt�rych jedna si krci.
25.10 Propagacja fal elektromagnetycznych.
Propagacja - rozprzestrzenianie. Do propagacji uywa si obwodu LC wyposaonego dodatkowo w generator drga niegasncych.
;
Jak wida, w obwodzie drgajcym napicie wzgldem natenia s przesunite o 90^o. Energia pola elektrycznego jest w stosunku do energi pola megnetycznego przesunita o 90^o.
Oznaczenia
I₀ - natenie pocztkowe; I - natenie; - prdko ktowa; t - czas;
U - r�nica potencja�w (napicie); U₀ - pocztkowa r�nica potencja�w.
25.11 Prawa Maxwella.
25.11.1 Pierwsze prawo Maxwella.
Zmienne pole elektryczne wytwarza wok� siebie wirowe pole magnetyczne.
25.11.2 Drugie prawo Maxwella.
Zmienne pole magnetyczne wytwarza wok� siebie wirowe pole elektryczne.
25.12 Waciwoci fal elektromagnetycznych.

w pr�ni rozchodz si z prdkoci wiata;
ich czstotliwoci s mae, dugoci due

25.13 Modulacja fal.
Jest to proces zapisywania informacji na fali elektromagnetycznej.
25.14 Zjawisko ugicia i zasada Hugensa.
25.14.1 Zjawisko ugicia fali.
Jest to zmiana kierunku rozchodzenia si fali podczas przejcia fali przez otw�r w przeszkodzie.
25.14.2 Zasada Hugensa.
Kady punkt orodka, do kt�rego dotrze zabuenie, staje si r�dem fal czstkowych. Powierzchnia styczna do wszystkich fal czstkowych jest powierzchni falow. Efekt na rysunku w pkt.25.14.1 jest superpozycj fal czstkowych.
25.15 Odbicie fal.
Odbicie - zmiana kierunku rozchodzenia si fali podczas zetknicia z przeszkod.
Jeeli fala odbija si od orodka gstszego ni ten, w kt�rym si rozchodzi, nastpuje zmiana fazy fali na przeciwn (uderza grzbietem, odbija si dolin).
Kt odbicia = kt padania.
Promie fali, normalna do powierzchni i promie fali odbitejle w tej samej paszczynie.
25.16 Zaamanie fali.
Zjawisko zaamania polega na zmianie kierunku rozchodzenia si fali podczas przejcia z jednego orodka do drugiego :
Promie fali padajcej i promie fali zaamanej le w tej samej paszczynie.

Gdy kt padania jest mniejszy od ktu zaamania, to V₁<V₂

Oznaczenia
- kt padania; - kt zaamania; V₁₍₂₎ - prdko rozchodzenia si fali w pierwszym (drugim) orodku.
25.17 Interferencja fal i og�lny warunek wzmocnienia i wygaszenia fali.
25.17.1 Interferencja fal.
Jest to proces nakadania si fal na siebie. Interferowa mog tylko fale sp�jne - ich r�nica faz nie zaley od czasu. Fale bd interferowa wtedy, gdy maj jednakowe prdkoci ktowe lub czstotliwoci. Cechami charakterystycznymi s wzmocnienia i wygaszenia fali; wzmocnienia otrzymujemy wtedy, gdy fale spotkaj si w zgodnej fazie; wygaszenia - gdy w przeciwnej.
25.17.2 Og�lny warunek wzmocnienia fali
Og�lny warurek wzmocnienia :
,
,
25.17.2 Og�lny warunek wygaszenia fali.
Og�lny warurek wygaszenia :
,
Oznaczenia
R₂ - odlego dr�giego r�da od miejsca interferencji; R₁ - odlego pierwszego r�da od miejsca interferencji;
25.18 Fala stojca.
Jest to szczeg�lny przypadek interferencji fal (zob.pkt.25.17.1). Powstaje w wyniku naoenia si na siebie fali biegncej z fal odbit.
Powstaj wzy (wygaszenie fali) i strzaki (wzmocnienie fali). Wzy, tak jak strzaki, znajduj si w odlegoci
od siebie.Fala stojca nie przenosi fali, mona j traktowa jako rezonans skoczonej liczby punkt�w drgajcych.
Oznaczenia
- dugo fali.
25.19 Czstotliwo fali stojcej na strunie.
Czstotliwo :
,
Oznaczenia
f - czstotliwo; V - prdko fali; l - dugo struny; n - ilo wzmocnie (zob.pkt.25.18) (ilo mocowa struny minus 1).
25.20 Rura Kundta.
Jest to rura szklana zamknita na obu kocach. Wewntrz jest sproszkowany korek. Drewniany ruchomy prt pozwala dopasowa sup powietrza.
Rura Kundta suy do wyznaczania prdkoci fal w r�nych materiaach :
Oznaczenia
V_M - prdko fali w metalu; V_P - prdko fali w powietrzu; l - dugo supa powietrza; L - dugo prtu od pkt. zaczepienia do korka.
25.21 Polaryzacja fal i prawo Mallusa.
Jest tov proces selekcji drga. Fala jest spolaryzowana liniowo, jeeli wszystkie drgania zachodz w jednym kierunku. Do polaryzacji suy polaryzator. Najprostszym polaryzatorem jest karton z wycit w rodku szczelin. Szczelina ta nazywa si osi polaryzatora.

Prawa polaryzacji :

Jeeli fala spolaryzowana liniowo, kt�rej kierunek drga jest zgodny z osi polaryzatora pada na polaryzator, to fala ta przejdzie przez niego w caoci i pozostanie niezmieniona.

Jeeli na polaryzator pada fala spolaryzowana liniowo, przy czym kierunek polaryzacji fali jest " do osi polaryzatora, to po przejciu przez polaryzator fala zostanie przez niego zatrzymana.

Jeeli na polaryzator pada fala spolaryzowana liniowo, kt�rej kierunek drga tworzy z osi polaryzatora kt , to po przejciu przez polaryzator otrymamy fal spolaryzowan liniowo zgodnie z osi polaryzatora, a jej natenie bdzie speniao prawo Mallusa :