1. Obiekty

list(a1,....an) - Scilab object and list function definition:

mlist(typ,a1,....an ) - Scilab object, matrix oriented typed list definition

tlist(typ,a1,....an ) - Scilab object and typed list definition:

rlist(a1,....an) = tlist(['r','num';'den','dt'], a1,....an) - skrót

lsslist(a1,....an) = tlist(['lss','A';'B';'C';'X0','dt'], a1,....an) - skrót

W Matlabie są obiekty LTI

SYS = ss(A, B, C, D)

SYS = tf( L, M)

SYS = zpk( Z, P, K)

2. Definiowanie modelu

1. syslin - linear system definition

równania stanu	transmitancje
[sl] = syslin(dom, A, B, C [,D [,x0] ])	[sl] = syslin(dom,N,D) [sl] = syslin(dom,H)

co odpowiada ogólnym wywołaniom tlist:

sl=tlist(['lss','A','B','C','D','X0','dt'],A,B,C,D,x0,dom)

sl=tlist(['r','num','den','dt'],N,D,dom) sl=tlist(['r','num','den','dt'],H(2),H(3),dom)

lub przy użyciu funkcji skrótowych

lsslist(A, B, …)

rlist(N, D)

gdzie: dom = `c' - continues, `d' - discrete

Przykłady:

A=[0,1;0,0];B=[1;1];C=[1,1]; S1=syslin('c',A,B,C) s=poly(0,'s'); D=s; S2=syslin('c',A,B,C,D) S1("A") //A S1("X0"), S1("dt") // X0 and time domain

s=poly(0,'s'); H1=(1+2*s)/s^2, S1bis=syslin('c',H1) H2=(1+2*s+s^3)/s^2, S2bis=syslin('c',H2)

2. Połączenia

S1+S2

[S1,S2]

ss2tf(S1)-S1bis

S1bis+S2bis

S1*S2bis

size(S1)

Sl=Sl1/.Sl2 feedback - feedback operation

Matlab

append - złożenie w jeden LTI bez łączenia składników

+/- parallel -

* series

feedback

star - część wyjść połączona z wejściami

connect

sys1\sys1 = inv(sys1)*sys2

sys1/sys2 = sys1/inv(sys2)

3. Konwersja

ss2tf - conversion from state-space to transfer function

[h] = ss2tf(sl)

[Ds,NUM,chi] = ss2tf(sl)

[h] = ss2tf(sl,"b")

[Ds,NUM,chi] = ss2tf(sl,"b")

[h] = ss2tf(sl,rmax)

[Ds,NUM,chi] = ss2tf(sl,rmax)

tf2ss - transfer to state-space

sl = tf2ss(h [,tol])

4. Wyciąganie danych z modeli

abcd - state-space matrices

[A,B,C,D] = abcd(sl) - podaj macierze systemu sl

lft - linear fractional transformation

[P1]=LFT(P,K)

[P1]=LFT(P,r,K)

[P1,r1]=LFT(P,r,Ps,rs)

Matlab

[A,B,C,D] = SSDATA(SYS_SS)

[Z,P,K] = ZPKDATA(SYS_ZPK)

[L, M] = TFDATA(SYS_TF)

5. lin - linearization

[A,B,C,D] = lin(sim,x0,u0)

[sl]=lin(sim,x0,u0)

6. ssrand - random system generator (definiowanie losowego systemu)

sl = ssrand (nout, nin, nstate)

[sl, U] = ssrand (nout, nin, nstate, flag)

gdzie:

nout - ilość wyjść

nin - ilość wejść

nstate - ilość zmiennych stanu

flag - określone własności systemu, flag=list(`typ_systemu', parametry)

'co' - controllable; 'uo' - unobservable; 'ncno' - non-controllable-non-observable; 'st' - stabilizable; 'dt' - detectable; 'on' - output-nulling; 'ui' - uknown-input.

Matlab

rss,drss - Random stable state-space models.

3. Analogie do Toolbox Control

1. Charakterystyki czasowe

csim - simulation (time response) of linear system

[y [,x]] = csim (u, t, sl, [ x0 [,tol] ])

gdzie:

u - sterowanie:

funkcja - [inputs]=u(t)

lista - inputs = ut ( t, par1, …, parn

string - „impuls”, „step”

wektor - wektor wartości u odpowiadających poszczególnym chwilą t

t - wektor czasu; t(1)=czas początkowy

sl - system liniowy, jaki generuje listę syslin

x0 - warunki początkowe: x0=x( t(1) )

y - macierz wyjść y=[ y( t(i) ) ], i=1..n

x - macierz stanu x

tol - wektor [atol rtol] - toleracja absolutna i relatywna

Przykład:

s = poly(0,'s'); rand('seed',0); w = ssrand(1,1,3); w('A')=w('A') - 2*eye();

t = 0 : 0.05 : 5;

// impulse(w) = step (s * w)

xbasc(0); xset("window",0); xselect();

plot2d( [t',t'] , [ (csim( 'step', t, tf2ss(s)*w))', 0*t ' ] )

xbasc(1); xset("window",1); xselect();

plot2d([ t',t'] , [ (csim( 'impulse' , t, w))', 0*t' ] )

//step(w) = impulse (s^-1 * w)

xbasc(3);xset("window",3);xselect();

plot2d([t',t'],[(csim('step',t,w))',0*t'])

xbasc(4);xset("window",4);xselect();

plot2d([t',t'],[(csim('impulse',t,tf2ss(1/s)*w))',0*t'])

//input defined by a time function

deff( 'u=input(t)' , 'u = abs( sin(t) )')

xbasc(); plot2d( [t',t'] , [ ( csim( input, t, w ) )' , 0*t'])

Matlab

step(SYS) - na skok jednostkowy na każdym wejściu

impulse(SYS) - na impuls

initial(SYS, X0) - dla zadanego stanu początkowego (trajektoria ruchu), dla modelu typu SS

lsim(SYS,U,T) - na określone pobudzenie (U-wektor wartości, T- wektor czasu)

2. Charakterystyki częstotliwościowe

nyquist - nyquist plot

bode - Bode plot

black - Black's diagram (Nichols chart)

gainplot - magnitude plot

freq - frequency response

repfreq - frequency response

Przykład badania:

s=poly(0,'s')

h=syslin('c',(s^2+2*0.9*10*s+100)/(s^2+2*0.3*10.1*s+102.01))

title='(s^2+2*0.9*10*s+100)/(s^2+2*0.3*10.1*s+102.01)';

bode(h,0.01,100,title);

h1=h*syslin('c',(s^2+2*0.1*15.1*s+228.01)/(s^2+2*0.9*15*s+225))

clf()

bode([h1;h],0.01,100,['h1';'h'])

Matlab

nyquist(SYS,{WMIN,WMAX}) - Q(P)= Im(Re)

bode (SYS,{WMIN,WMAX}) - wykres modułu i przesunięcia fazowego w funkcji częstotliwości

nichols (SYS,{WMIN,WMAX}) - wzmocnienie pętli otwartej (dB) w funkcji przesunięcia fazy

margin(SYS) - Oblicza zapas wzmocnienia i fazy

3. Projektowanie układów

linmeq - Sylvester and Lyapunov equations solver

lqe - linear quadratic estimator (Kalman Filter)

lqg - LQG compensator

lqg2stan - LQG to standard problem

lqr - LQ compensator (full state)

obscont - observer based controller

ppol - pole placement

ricc - Riccati equation

Matlab

P = pole(SYS) - zwraca kolumnę wartości biegunów modelu SYS

E = eig(X) - zwraca wektor wartości własne macierzy X

z = tzero(SYS) - zwraca wektor zer transmitancji

pzmap(SYS) - rysuje położenie (mapa) zer i biegunów na płaszczyźnie Im(Re)

[R,K] = RLOCUS(SYS) - znajduje i rysuje linie pierwiastkowe

[K,POLES] = rlocfind(SYS) - dla wskazanego punktu wylicza odpowiadające mu wzoc.i bieguny

rltool(SYS) - Root locus design GUI

[K,S,E] = LQR(A,B,Q,R,N) - Dla obiektu x = Ax + Bu i regulatora u = -Kx

• optymalizuje macierz wzmocnień K

• wg funkcji kosztu J = Integral {x'Qx + u'Ru + 2*x'Nu} dt

dlqr

lqry - regulator bez dodatków

ldrd - regulator dyskretny dla obwodów ciągłych

kalman - estymator Kalmana

kalmd - dyskretny estymator Kalmana

lqgreg - wyznaczenie regulatora na podstawie danego wzmocnienia i estymatora Kalmana

Przykład Matlab

1. Utworzenie modelu typu SS na podstawie modelu TF

sys = ss ( tf ( 100, [1 1 100] ) )

2. Wyznaczamy optymalne wzmocnienie K regulatora u = -Kx, wg kryterium liniowo-kwadratowego J(u)

K = lqry(sys, 10, 1)

3. Model z zakłóceniami: wejście sterujące u i wejście zakłóceń d

[A, B, C, D] = ssdata(sys) % wyznaczamy macierze modelu obiektu

P = ss(A,[B B],C,[D D]) % input [u;d], output y

4. Wyznaczenie estymatora Kalmana

KEST = kalman ( P, 1, 0.01 )

5. Wyznaczenie wynikowego regulator LQG: F = LQ gain + Kalman filter

F = lqgreg ( Kest, K ) %Zwraca model regulatora w postaci opisu SS

6. Sprawdzenie wyników - porównanie odpowiedzi układu otwartego i zamkniętego

clsys = feedback(sys,F,+1) % układ zamknięty, Note positive feedback

impulse(sys, 'r--', clsys, 'b-')

---