Tautologie logiczne
tautologie logiczne - schematy reprezentujące zdania złożone wyłącznie prawdziwe -
(prawa logiki)
[aby sprawdzić, czy dane zdanie jest tautologią, czy też nie, należy przeprowadzić „sprawdzanie zerojedynkowe”]
przykład „sprawdzania zerojedynkowego” - czy następujące zdanie złożone jest tautologią?
[(p → q) ∧ q] → p
p=1, q=1
[(1 → 1) ∧ 1] → 1, czyli (1 ∧ 1) → 1, czyli 1 → 1, czyli 1 (prawda)
p=1, q=0
[(1 → 0) ∧ 0] → 1, czyli (0 ∧ 0) → 1, czyli 1 → 1, czyli 1 (prawda)
p=0, q=1
[(0 → 1) ∧ 1] → 0, czyli (1 ∧ 1) → 0, czyli 1 → 0, czyli 0 (fałsz, to nie jest tautologia)
p=0, q=0
[(0 → 0) ∧ 0] → 0, czyli (1 ∧ 0) → 0, czyli 0 → 0, czyli 1 (prawda)
[w przypadku bardzo złożonych zdań metoda ta może okazać się pracochłonna;
da się ją uprościć przez szukanie przypadków, które mogą okazać się fałszywe]
przykład „uproszczonego sprawdzania zerojedynkowego” - należy przeanalizować tylko te przypadki, w których dany schemat może okazać się fałszem (kontrtautologią logiczną).
[(p ∧ q) → r] → [(p ∧ ∼q) → ∼r]
ten schemat może okazać się kontrtautologią logiczną tylko wtedy, gdy pierwszy jego człon będzie prawdziwy, a drugi - fałszywy (z definicji implikacji). Zakładamy zatem fałszywość członu drugiego:
[(p ∧ ∼q) → ∼r]
Ten zaś będzie fałszywy tylko wtedy, gdy wyrażenie (p ∧ ∼q) będzie prawdziwe, a ∼r - fałszywe.
(p ∧ ∼q) jest prawdą wtedy i tylko wtedy, gdy p=1 i ∼q=1, czyli p=1 i q=0
∼r jest fałszem wtedy i tylko wtedy, gdy r=1
Teraz należy podstawić uzyskane wartości logiczne pod zmienne zdaniowe w pierwszym członie implikacji:
[(p ∧ q) → r]
Uzyskujemy: [(1 ∧ 0) → 1], czyli (0 → 1), czyli 1
Skoro pierwszy człon implikacji może być prawdziwy, podczas gdy drugi jest fałszywy, cała implikacja jest fałszywa (dany schemat nie jest tautologią logiczną).
LOGIKA