Katedra Metrologii Elektronicznej i Fotonicznej LABORATORIUM MIERNICTWA ELEKTRONICZNEGO Temat ćwiczenia: Statystyczna analiza wyników pomiarów Wykonał: Tomasz Muciek Termin zajęć: wtorek 15.00-17.15 Grupa: 5 Data wykonania: 4.03.2003 Data oddania: 11.03.2003 Prowadzący: Dr inż. Z. Świerczyński Ocena:

Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze statystyczną analizą wyników pomiarów, sposobami znajdowania i eliminacji wyników obarczonych błędami grubymi oraz oceną składowej przypadkowej błędu, a także wskazanie na konieczność analizy warunków i wyników pomiarów pod kątem obecności składowej systematycznej błędu.

Analiza i opracowanie wyników pomiarów

Tabele wyników pomiarów dla trójkąta nr 7.

Tabela 1.1. Pomiary boków i wysokości trójkąta nr 7..

Lp.	a [mm]	b [mm]	c [mm]	ha [mm]	hb [mm]	hc [mm]
1.	93,95	84,55	75,34	64,6	71,72	80,48
2.	93,83	84,54	75,31	64,62	71,76	80,55
3.	93,95	84,56	75,3	64,62	71,71	80,46
4.	95,18	85,47	75,81	64,96	72,29	81,55
5.	93,67	84,48	75,23	64,51	71,68	80,44
6.	93,83	84,48	75,25	64,49	71,63	80,42
7.	93,92	84,56	75,34	64,6	71,72	80,47
8.	93,81	84,55	75,32	64,6	71,71	80,45
9.	93,92	84,54	75,32	64,61	71,72	80,46
10.	93,88	84,54	75,3	64,52	71,68	80,43
11.	93,89	84,5	75,24	64,59	71,7	80,46
12.	93,95	84,57	75,36	64,61	71,74	80,48
m	93,981	84,611	75,343	64,610	71,755	80,554
s	0,3859	0,2720	0,1526	0,1190	0,1716	0,3153

Tabela 1.2. Obliczenia pól trójkąta nr 7.

Lp.	Pa [mm^2]	Pb [mm^2]	Pc [mm^2]	Ph [mm^2]
1.	3034,6	3032	3031,7	3024,1
2.	3031,6	3033,3	3033,1	3021
3.	3035,5	3031,9	3029,3	3023,1
4.	3091,4	3089,3	3091,2	3082,1
5.	3021,3	3027,8	3025,8	3014,4
6.	3025,5	3025,7	3025,8	3017,5
7.	3033,6	3032,5	3031,3	3023,9
8.	3030,1	3031,5	3029,7	3021,3
9.	3034,1	3031,6	3030,1	3022,7
10.	3028,6	3029,9	3028,2	3021,5
11.	3032,2	3029,3	3026,9	3018,7
12.	3035,1	3033,5	3032,5	3025,2
m	3036,1	3035,6	3034,6	3026,3
s	17,0	17,0	18,0	17,8

Sprawdzanie, czy pomiary były obciążone błędami grubymi i ewentualne

przeprowadzenie eliminacji lub korekty tych błędów.

Po przeanalizowaniu wyników pomiarów można stwierdzić, że student 4 podczas pomiaru boków a, b, c, oraz wysokości h_b, h_c, popełnił błędy grube. Wynik tych pomiarów (zaznaczone na czerwono) wykraczają poza przedział, w którym (zgodnie z funkcją Gaussa rozkładu gęstości prawdopodobieństwa) powinno znajdować się 99,7% wyników. Mogło to być spowodowane błędnym odczytem z suwmiarki lub pomyłką przy wprowadzaniu danych do pamięci komputera. Wyniki tych pomiarów oraz pola trójkątów policzone na podstawie tych wyników powinny zostać odrzucone.

Wyniki obliczeń wartości średniej oraz odchylenia standardowego, po odrzuceniu pomiarów zawierających błędy grube przedstawia tabela 1.3 oraz 1.4

Tabela 1.3

Lp.	a [mm]	b [mm]	c [mm]	ha [mm]	hb [mm]	hc [mm]
m	93,872	84,533	75,301	64,611	71,706	80,464
s	0,0845	0,0320	0,0432	0,1190	0,0344	0,0344

Tabela 1.4

Lp.	Pa [mm^2]	Pb [mm^2]	Pc [mm^2]	Ph [mm^2]
m	3031,1	3030,8	3029,4	3021,2
s	4,46	2,41	2,57	3,22

Analiza miar błędów przypadkowych.

Z przeprowadzonych pomiarów wynika, że:

• największe odchylenia standardowe w grupie pomiarów boków występują przy pomiarze długości boku a,

• największe odchylenia standardowe w grupie pomiarów wysokości występują przy pomiarze wysokości poprowadzonej na bok a,

• wartości odchyleń standardowych pomiarów boków są porównywalne z wartościami odchyleń standardowych wysokości, nie można jednoznacznie stwierdzić, że w którejś z grup pomiarów błąd przypadkowy jest większy.

Odchylenia, które wystąpiły mogły być spowodowane wieloma przyczynami np.

- stosunkowo trudnym ustawieniem mierzonej wysokości trójkąta prostopadle do szczęk suwmiarki,

- zaokrąglenia wierzchołków trójkąta ,

- różnego ścisku suwmiarki stosowanego przez mierzących,

Analiza błędów systematycznych wyznaczenia powierzchni trójkąta.

Rozmiary obliczonych pól zarówno ze wzoru standardowego jak i wzoru Herona są bardzo do siebie zbliżone. Niemniej jednak pola wyliczona ze wzoru Herona, są mniejsze co do wartości od pól liczonych ze wzoru tradycyjnego. Spowodowane to jest tym że we wzorze Herona wykorzystywane są długości wszystkich trzech boków trójkąta. Pomiary boków ze względu na trudności zmierzenia boku miały tendencję do zaniżania swej wartości. We wzorze tradycyjnym wykorzystuje się tylko jeden bok i opadająca na niego wysokość. Pomiary wysokości z kolei miały skłonność do zawyżania swej wartości.

Najmniejszy błąd przypadkowy zawierały pola liczone z wykorzystaniem boku b i wysokości h_b, oraz boku c i wysokości h_c.

Zestawienie wyników pomiarów przedstawiają tabele 1.5, 1.6.

Tabela 1.5

	m	n	s	sx=	Δp=3sx	Δn	δp=	δn=	Ostateczny wynik pomiaru m±(Δp+Δn)
	mm	-	mm	mm	mm	mm	%	%	mm
a	93,872	11	0,0845	0,0255	0,0765	0,03	0,0815	0,0319	93,87± 0,11
b	84,533	11	0,0320	0,0096	0,0288	0,03	0,0340	0,0354	84,53± 0,06
c	75,301	11	0,0432	0,0130	0,0390	0,03	0,0518	0,0398	75,30±0,07
ha	64,611	12	0,1190	0,0412	0,1236	0,03	0,1913	0,0464	64,61± 0,15
hb	71,706	11	0,0344	0,0103	0,0309	0,03	0,0431	0,0418	71,71±0,06
hc	80,464	11	0,0344	0,0103	0,0309	0,03	0,0384	0,0372	80,46± 0,06

Tabela 1.6

	m	N	s	sx=	Δp=3sx	Δn=Δn*a + Δn*h	δp=	δn=δna+δnh	Ostateczny wynik pomiaru m±(Δp+Δn)
	mm^2	-	mm^2	mm^2	mm^2	mm^2	%	%	mm^2
Pa	3031,1	11	4,46	1,345	4,035	4,754	0,1331	0,0783	3031,1± 8,79
Pb	3030,8	11	2,41	0,727	2,181	4,687	0,0720	0,0772	3030,8±6,87
Pc	3029,4	11	2,57	0,775	2,325	4,673	0,0767	0,0760	3029,4±7,00
Ph	3021,2	11	3,22	0,971	2,913	--------	----------	----------	---------------

a, b, c - boki trójkąta;

h_a, h_b, h_c - wysokości trójkąta;

m - średnia arytmetyczna n pomiarów;

s - odchylenie średnie kwadratowe;

s_x - odchylenie średniej arytmetycznej;

Δ_p - błąd przypadkowy graniczny pomiaru ;

Δ_n - błąd graniczny suwmiarki;

δ_p - błąd względny przypadkowy;

δ_n - błąd względny suwmiarki;

δn_a - błąd względny pomiaru boku

δn_h - błąd względny pomiaru wysokości

Wyznaczenie minimalnej liczby pomiarów boków i wysokości, tak aby błąd przypadkowy był pomijalnie mały.

10Δ_p < Δ_n ⇒ 10∗3s_x<Δ_n ⇒ 10∗3
<Δ_n ⇒ n>

⇒ n>(1000s)²

Δ_n=0.03mm

Tabela 1.7

	a	b	c	ha	hb	hc
s[mm]	0,0845	0,0320	0,0432	0,1190	0,0344	0,0344
n	7056	1024	1849	14161	1156	1156

s - odchylenie średnie kwadratowe;

n- ilość pomiarów, którą należy wykonać by błąd przypadkowy średniej arytmetycznej był pomijalnie mały

Wnioski:

Podczas wykonywania pomiarów student na stanowisku nr 4 popełnił błędy grube. Błędy te zostały skorygowane podczas opracowywania wyników pomiarów. Mogły one nastąpić w wyniku nieprawidłowego wpisu do komputera lub pomyłki przy odczycie wartości.

Największe odchylenia standardowe wystąpiły przy pomiarze długości boku a i wysokości poprowadzonej na ten bok. Trudno powiedzieć jaka jest tego przyczyna. Teoretycznie odchylenie standardowe w grupie pomiarów wysokości powinno być większe niż w grupie pomiarów boków.

Rozmiary obliczonych pól zarówno ze wzoru standardowego jak i wzoru Herona są bardzo do siebie zbliżone. Niemniej jednak pola wyliczona ze wzoru Herona, są mniejsze co do wartości od pól liczonych ze wzoru tradycyjnego.

Najmniejszy błąd przypadkowy zawierały pola liczone z wykorzystaniem boku b i wysokości h_b, oraz boku c i wysokości h_c.

Aby błąd przypadkowy średniej arytmetycznej był pomijalnie mały należy wykonać bardzo dużo pomiarów (Tabela 1,7). Najwięcej dla boku a oraz wysokości poprowadzonej na ten bok.

---