R E G R E S J A

1. W pewnej kompanii naftowej zbadano zależność pomiędzy głębokością wydrążonego otworu wiertniczego - zmienna X (w tys. metrów) a całkowitym kosztem wydrążenia tego otworu - zmienna Y (w mln dolarów). Dla czterech otworów wiertniczych uzyskano następujące informacje:

x i	3 5 1 6
y i	7 11 3 13

a) Oszacuj parametry liniowego modelu regresji głębokości wydrążonego otworu wiertniczego względem kosztu wydrążenia tego otworu.

b) Zweryfikuj hipotezę o istotnie dodatnim wpływie głębokości otworu na koszt wydrążenia otworu

2. Posługując się danymi z wybranych stanów USA oszacowano model regresji liniowej przedstawiający zależność między średnią stopą stanowego podatku dochodowego X oraz stopą bezrobocia Y (obie zmienne wyrażone są w procentach). Wyniki oszacowania były następujące:

i = 0,2 x i + 2. Ponadto obliczono, że współczynnik determinacji R² = 0,92. Czy i dlaczego prawdziwe są następujące stwierdzenia:

1. dopasowanie powyższego oszacowania modelu do danych empirycznych jest zadowalające;

2. jeżeli w danym stanie nie ma podatku dochod., to prognozowana stopa bezrobocia wynosi 2,2%;

3. korelacja między zmiennymi X i Y jest wysoka i dodatnia.

3. Analiza spożycia artykułu A zależnie od dochodu w losowej próbie gospodarstw domowych dostarczyła następujących informacji;

• średnie spożycie artykułu A na 1 osobę wynosi 2,5 kg,

• średni miesięczny dochód na 1 osobę wynosi 540 zł,

• współczynnik zmienności dochodu wynosi 15%, a spożycia 20%,

• wartość kowariancji równa jest 27.

Korzystając z danych należy: a) zmierzyć siłę i kierunek zależności liniowej badanych cech;

b) oszacować parametry funkcji regresji spożycia względem wielkości dochodu. Wyniki skomentować.

4. Badając zależność pomiędzy zużyciem surowca w tonach (Y) a wielkością produkcji pewnego wyrobu w tys.szt. (X) otrzymano dla 7 obserwacji wyniki:

i = 2,1 xi + 7;
;
;
;

Podaj przedział ufności dla współczynnika regresji liniowej przy współczynniku ufności 0,90.

5. Oszacowano model regresji liniowej czasu przeznaczonego w ciągu dnia na sen przez niemowlęta (Y - w godz.) względem wieku dziecka (X-w miesiącach). Z oszacowanego współczynnika regresji wynika, że z miesiąca na miesiąc dzieci śpią przeciętnie o 0,5 godz. krócej. Czy oszacowanie współczynnika regresji tego modelu jest statystycznie istotne (α = 0,05), jeśli wariancja wieku dzieci była równa 4 (m-ce)²m, zaś reszty były następujące: -1, -2, 0, 0, 2, -3, 0, 3, 1?

6. Zakłada się, iż popyt na samochody "Mitsubishi" (zmienna Y - w tys. samochodów) jest liniową funkcją ich ceny (zmienna X - w tys. $). Na podstawie obserwacji z 10 lat otrzymano następującą funkcję regresji:
i = -0.01 xi + 9.6. Wiedząc, że
= 7, oraz że suma kwadratów reszt wynosi 34, a wariancja ceny S2(x) =1,24 wyznacz oczekiwany popyt, jeśli cena wyniesie 9 tys.$ . Wynik podaj wraz z błędem prognozy.

7. Estymując model regresji liniowej uzależniającego liczbę dzieci urodzonych przez kobiety (cecha Y) od liczby kobiet w wieku 20-24 lata (cecha X) na podstawie danych przekrojowych (województwa, 1995) otrzymano następujące wyniki:

Zapisz oszacowany model, podając interpretację parametrów oraz wyznaczyć przewidywaną liczbę urodzeń dla 100 tys. kobiet w wieku 20-24 lata. Co można powiedzieć o dopasowaniu modelu do danych empirycznych?

8. W badaniu zależności pomiędzy wydatkami na reklamę w telewizji (X - w mln zł) a sprzedażą kawy „Ziarenko” (Y - w mln opakowań) otrzymano następujący model regresji liniowej oraz wektor reszt:

y_i = 10 x_i + 2 + e_i

[2,5] [0,4] [1,3] e_i = [1; 2; -0,5; -0,8; 1; -2; 0,8; 0,5; -1; -1]

a)Ocenić stopień dopasowania funkcji regresji do danych empirycznych wiedząc, że

b)Wyznaczyć prognozę wielkości sprzedaży kawy oraz średni błąd prognozy gdy nakłady na reklamę wyniosą 0,3 mln zł wiedząc, że
= 0,1 mln zł; S(x) = 0,02.

9. Na podstawie 18 obserwacji oszacowano parametry liniowej funkcji regresji zużycia benzyny (l/km) względem prędkości samochodu (km/godz). Okazało się, że wyjaśniona regresją suma kwadratów odchyleń wartości zmiennej zależnej od średniej wynosi 23,2 (l²), natomiast nie wyjaśniona regresją suma kwadratów odchyleń wynosiła 10,8 (l²). W jakim stopniu uzyskana funkcja regresji wyjaśnia kształtowanie się zużycia benzyny.

10. Na podstawie 38 obserwacji oszacowano model regresji oglądalności pewnego programu (Y- w %) względem liczby reklam emitowanych w przerwie programu (X): y_i = -0,2 x_i + 5,48 + e_i .

dodatkowo wiadomo, że średnio emitowano 3 reklamy, wariancja liczby reklam wynosi 4 (reklamy)², zaś wariancja oglądalności 0,25 (%)² .

a) ocenić stopień niedopasowania modelu do danych empirycznych,

b) wyznaczyć odchylenie standardowe reszt,

c) ocenić, czy ujemny wpływ emitowanych reklam na oglądalność programu jest statystycznie istotny (α = 0,05).

d) wyznaczyć prognozę oglądalności tego programu w przypadku emisji 2 reklam w trakcie przerwy z dokładnością do standardowego błędu prognozy.

TREND I WAHANIA OKRESOWE

1. W latach 1994-1997 skup pewnego produktu rolnego był następujący (w tys. t):

Lata	1994		1995		1996		1997
Półrocza	I	II	I	II	I	II	I	II
Poziom skupu	20	80	20	70	30	80	20	80
Średnie ruchome 2-okresowe	*	50	47,5	*	*	52,5	50	*

a) uzupełnić brakujące średnie; b) obliczyć względne i bezwzględne wskaźniki okresowych wahań.

2. Na podstawie półrocznych informacji o sprzedaży samochodów marki ZZ w latach 1999-2002 wyznaczono addytywny surowy wskaźnik sezonowości dla pierwszego półrocza S₁'= -10,33

Lata	1999		2000		2001		2002
Półrocze	I	II	I	II	I	II	I	II
Liczba samochodów w tys. szt.	100	115	102	126	105	130	112	135
Średnie ruchome		107,5	*	114,75	116,5	119,25	*

Proszę wyznaczyć: a) brakujące średnie ruchome

b) oczyszczony wskaźnik sezonowości dla II półrocza (podaj jego interpretację).

3. W latach 1995-1998 sprzedaż artykułu A była następująca (w szt.):

Lata	1995		1996		1997		1998
Półrocza	I	II	I	II	I	II	I	II
Poziom sprzedaży	600	800	400	700	500	800	600	700

a) wyrównać szereg pierwotny; b) obliczyć względne i bezwzględne wskaźniki wahań okresowych.

4. Poniższe dane przedstawiają średnie ocen kolejnych czterech sprawdzianów ze statystyki w grupach wykładowcy Jerzego Gondola w latach 1992-1995:

3.3 4 3.7 3.8 3.4 4.1 3.9 3.9 3.6 4.2 4 4 3.7 4.3 4 4

Obliczono oczyszczony wskaźnik sezonowości dla drugiej pracy. Które z poniższych wartości O2

nie mogą być prawdziwe 1.25 1 0.85 1.1 0.9 i dlaczego?

5. Dwóch studentów: P(pilny) i N(niestaranny) w oparciu o te same dane kwartalne dla lat 1997-1999 oszacowało dwa modele trendu skupu artykułu A (tys. t.) wyodrębniając:

	Model z wahaniami multiplikatywnymi	Model z wahaniami addytywnymi
Reszty	-4; 1; 3; -5; -1; 2; 6; 2; -6; -1; 1; 2	-2; -3; 4; 1; 2; -5; -1; 1; 3; 1; -1; 2
Wskaźniki sezonowości	O1=0,9; O2=0,7; O3 = 0,8; O4 =1,6	S1 = 14; S2 = -8; S3 = 10; S4 = -12

Który model zawiera błędy świadczące o tym, że szacował je student N?

2

---