Teoria sygnałów, laboratorium - ćwiczenie 8

Przykładowe pytania z zakresu ósmego ćwiczenia:

1. Opisać związki zachodzące pomiędzy opisem systemu przez równanie różnicowe, odpowiedź impulsową i transmitancję „z”.

2. W jaki sposób każda w wymienionych w poprzednim pytaniu form opisu może być bezpośrednio użyta do wyznaczenia odpowiedzi systemu na zadany sygnał wejściowy?

3. Korzystając z odpowiednich powiązań pomiędzy sposobami opisu filtru wyznaczyć w postaci zwartego wzoru odpowiedź impulsową filtru opisanego równaniem różnicowym:

1. y[n]-y[n-1]=x[n],

b) y[n]-0,5y[n-1]-0,25y[n-2]=x[n]-0,25x[n-1]-0,125x[n-2],

c) y[n]-0,5y[n-1]-0,25y[n-2]=0,5x[n]-0,25x[n-1]-0,125x[n-2],

a następnie sprawdzić otrzymany wynik przez porównanie fragmentu odpowiedzi impulsowej wyliczonego z otrzymanego wzoru i przez podstawienie odpowiedniego ciągu wejściowego wprost do równania różnicowego.

4. Dla każdego z systemów z poprzedniego pytania narysować schemat blokowy (obie „standardowe” wersje schematu).

5. Jaki warunek muszą spełniać miejsca zerowe wielomianu, by współczynniki tego wielomianu nie posiadały części urojonej?

6. Korzystając z czynnikowej postaci transmitancji i jej związków z opisem w postaci schematu blokowego wykazać, że każdy filtr o strukturze nierekursywnej można przedstawić w postaci schematu o strukturze rekursywnej. Przedstaw przykład.

7. W jaki sposób, korzystając za pomocą transmitancji „z” , można sprawdzić, czy system opisany w postaci rekursywnej jest filtrem FIR?

8. Wykazać, że filtr typu FIR (o skończonej odpowiedzi impulsowej) posiada wielokrotny biegun w środku - (0,0) - płaszczyzny „z”. Jaka jest krotność tego bieguna?

9. Wykazać, że warunkiem wystarczającym, by filtr FIR miał zerową fazę, jest odpowiednia właściwość zer. Patrz wskazówka do następnego pytania.

10. Wykazać, że warunkiem wystarczającym, by filtr FIR miał liniową fazę, jest odpowiednia właściwość zer. Wskazówka - patrz [2]: instr. nr 9 (rozdz.1.1) oraz nr 6 (przykład 3 w rozdz.4).

11. Uzasadnić, dlaczego biegun o module większym od jeden wskazuje na niestabilność filtru. Wskazówka - należy skorzystać z liniowości transformacji „z” oraz odpowiednich transformat odwrotnych.

12. Uzasadnić twierdzenie, że jeżeli moduły wszystkich biegunów filtru leżą wewnątrz okręgu jednostkowego na płaszczyźnie „z”, to filtr jest stabilny.

13. Co można powiedzieć o stabilności filtru, gdy pewne jego bieguny leżą na okręgu jednostkowym? Odpowiedź należy uzasadnić.

14. Jak uzasadnić, że filtr typu FIR nie może być niestabilny w oparciu o kryterium rozkładu biegunów?

15. Jak uzasadnić, że filtr typu FIR nie może być niestabilny w oparciu o fakt, iż jego odpowiedź impulsowa jest skończona?

16. Jaki wniosek dotyczący kryterium stabilności w oparciu o rozmieszczenie biegunów wynika z faktu, iż każdą strukturę nierekursywną można przedstawić w postaci rekursywnej?

17. W jaki sposób można dysponując np. funkcją conv wyznaczyć splot kołowy dwóch zadanych ciągów o skończonej długości?

18. W jaki sposób dysponując równaniem różnicowym, korzystając z możliwości przejścia na inną formę opisu można wyznaczyć wartość transmitancji D-TFT systemu? Wyznacz wartości transmitancji D-TFT dla systemów :

a) y[n]-y[n-1]=x[n],

b) y[n]-0,5y[n-1]-0,25y[n-2]=x[n]-0,25x[n-1]-0,125x[n-2],

c) y[n]-0,5y[n-1]-0,25y[n-2]=0,5x[n]-0,25x[n-1]-0,125x[n-2],

w punktach:
oraz
.

19. Jaki jest związek pomiędzy transformatami „z”, D-TFT oraz DFT danego ciągu?

20. Co można powiedzieć o transmitancji D-TFT systemu, jeżeli jeden z biegunów leży na zewnątrz okręgu jednostkowego, a jeden wewnątrz tego okręgu? Wskazówka - warto skojarzyć pytanie z problemem obszarów zbieżności oraz przyczynowością systemu.

21. Dla systemów opisanych poniższymi równaniami różnicowymi:

a) y[n]=x[n]-x[n-1],

b) y[n]=x[n]-0,25x[n-1]+0,125x[n-2]-0,125x[n-3],

wyznaczyć (bez liczenia pełnego DFT od odpowiedzi impulsowej, lecz poprzez odpowiednie wykorzystanie transmitancji „z”) wartości transmitancji DFT w punktach k=1, k=2 oraz k=14, jeżeli założymy N=16. Jak zmienią się otrzymane wyniki, gdy zmienimy N (na np. N=32)?

22. Opisz podobieństwa i różnice pomiędzy splotem liniowym i kołowym.

23. Jak można określić związki pomiędzy filtracją w dziedzinie indeksów „czasowych” oraz w dziedzinie Fouriera, dla splotu liniowego i kołowego? Wskazówka - warto posłużyć się związkami pomiędzy D-TFT oraz DFT.

24. W jaki sposób dysponując funkcjami fft oraz ifft można wyznaczyć splot liniowy dwóch zadanych ciągów o skończonej długości? (Opisz algorytmy: „Overlap-Add” oraz „Overlap-Save”).

25. Jeżeli mamy nieskończony ciąg próbek, określony dla
    (dla ujemnych indeksów przyjmujemy, że ciąg jest zerowy), to jaki efekt zaobserwujemy porównując widma D-TFT tego ciągu oraz drugiego ciągu powstałego przez wyzerowanie wszystkich próbek z wyjątkiem pierwszej (o indeksie zero), czwartej, ósmej, itd. (czyli pozostawiamy niewyzerowane próbki co cztery indeksy)? Wskazówka - warto przypomnieć sobie w jaki sposób dany ciąg może być powiązany z ciągłym sygnałem poprzez zastosowanie próbkowania.

26. Jeżeli badany ciąg jest określony na długości N (np. N=64), to jaki efekt zaobserwujemy w przypadku N-punktowego DFT, gdy porównamy widmo (DFT) tego ciągu oraz ciągu powstałego przez wyzerowanie elementów przeprowadzone tak samo jak w poprzednim pytaniu?

27. Jakie warunki powinny być spełnione, by po opisanym wyzerowaniu części próbek dało się odtworzyć cały ciąg sprzed zerowania? Zaproponować sposób odtwarzania brakujących próbek w oby przypadkach (opisanych w dwóch poprzednich pytaniach).

28. Biorąc pod uwagę, co wynika ze splotu danego ciągu x[n] z przesuniętą deltą Kroneckera, zaproponować ciąg z jakim należałoby spleść ciąg x[n], by w wyniku uzyskać okresowe powielenie ciągu x[n]. Podać i uzasadnić odpowiedź dla:

1. splotu liniowego,

2. splotu kołowego.

29. W jaki sposób należałoby zmodyfikować odpowiedź na poprzednie pytanie, gdyby ciąg x[n] stanowił widmo DFT i celem splatania było okresowe powielenie tego widma?

30. Jeżeli rozważymy widmo D-TFT (ciągłe ze względu na częstotliwość cyfrową!), to z jakim innym widmem (D-TFT) należałoby go spleść (jakim splotem?), by uzyskać dalsze okresowe powielenie (w ramach każdego okresu pierwotnego D-TFT)?

31. Jeżeli dysponujemy co k­tą (np. co czwartą) próbką danego ciągu - pozostałe wartości (w tym przypadku podciągi trzyelementowe) są wyzerowane, to chcąc uzyskać rezultat interpolacji odcinkowo liniowej dla odtworzenia wartości wyzerowanych próbek, z jakim ciągiem (odpowiedzią impulsową) należałoby spleść ciąg pierwotny? Odpowiedź uzasadnić.

UWAGA

Należy podkreślić, że obowiązują także wszystkie zagadnienia (a zatem i pytania) z poprzednich sesji, w szczególności z sesji 4, 5, 6 i 7.

Teoria sygnałów, laboratorium - ćwiczenie 8

1

2

---