Teoria sygnałów, laboratorium - ćwiczenie 4

Przykładowe pytania z zakresu czwartego ćwiczenia:

Zalecana literatura to:

[2] - ćw. 1 - dodatek teoretyczny nr 1 (twierdzenie o próbkowaniu),

ćw. 4 - rozdz 1.1, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2 oraz (jako materiał uzupełniający) dodatki teoretyczne 2 i 3;

ćw. 5 rozdz 1.1, 1.2, 1.3, 2.2.3, 2.2.6;

[5] rozdz. 2 i rozdz. 3 (wybrane zagadnienia).

1. Przytocz twierdzenie o próbkowaniu.

1. Opisz zjawisko aliasingu.

1. Opisz jakie będą następstwa wystąpienia aliasingu:

a) w dziedzinie częstotliwości,

b) dziedzinie czasu (po odtworzeniu sygnału).

1. Wyjaśnij z czego wynika „powielanie” widma podstawowego w wyniku próbkowania sygnału.

2. Jeżeli częstotliwość próbowania wynosi 10kHz, to w wyniku aliasingu częstotliwość
   =2kHz może być pomylona z częstotliwością
   . Podaj jakie wartości (w Hz) może mieć częstotliwość
   .

1. Wyjaśnij pojęcie częstotliwości i pulsacji cyfrowej.

1. Czym różni się próbkowanie sygnałów pasmowych (o ograniczonym pasmie) od próbkowania „normalnego” (sygnałów o pasmie 0-Fmax)?

1. Od czego zależy częstotliwość graniczna próbkowania sygnałów pasmowych?

10. Mamy dany sygnał
    . Jaka jest graniczna częstotliwość próbkowania tego sygnału? Odpowiedź uzasadnij.

10. Jaka jest graniczna częstotliwość próbkowania sygnału s(t)=1 ? Odpowiedź uzasadnij na podstawie twierdzenia o próbkowaniu.

10. Podaj definicję CFT/ICFT.

10. Podaj definicję D-TFT/ID-TFT.

11. Dlaczego transformata D-TFT jest okresowa i ile wynosi jej okres?

10. Kiedy i jakie wnioski o transformacie CFT można wyciągnąć z transformaty D-TFT?

12. Podaj definicję DFT/IDFT.

11. Omów związki zachodzące pomiędzy DFT a D-TFT.

12. Jaki warunek musi być spełniony, by można było stwierdzić, że transformata DFT jest wynikiem próbkowania transformaty D-TFT?

10. Wyprowadź wzór na twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie czasu dla CFT.

11. Jeżeli znamy wzajemne zależności pomiędzy różnymi wersjami transformacji Fouriera, to jakie twierdzenia wynikają z twierdzenia o przesunięciu dla CFT dla pozostałych dwóch wersji transformat: D-TFT oraz DFT?

12. Wyprowadź wzór na twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie częstotliwości (tw. o modulacji) dla CFT.

13. Jeżeli znamy wzajemne zależności pomiędzy różnymi wersjami transformacji Fouriera, to jakie twierdzenia wynikają z twierdzenia o modulacji dla CFT dla pozostałych dwóch wersji transformat: D-TFT oraz DFT?

10. Wyprowadź wzór na twierdzenie o przeskalowaniu transformaty Fouriera (dla CFT, D-TFT lub DFT).

10. Udowodnij, że transformacja Fouriera jest liniowa (CFT, D-TFT lub DFT).

10. Wyznacz widmo (CFT) sygnału s(t) = u(t) (u(t) = 1(t) skok jednostkowy).

11. Wyznacz widmo (CFT) sygnału s(t) = 1 (wartość stała).

10. Wyznacz widmo (CFT) sygnału s(t) = 1(t) - 1(t-2) (impuls prostokątny).

11. Wyznacz (korzystając z twierdzenia o modulacji) widmo (CFT) sygnału s(t) = sin(t).

10. Wyznacz, przyjmując odpowiednie założenia by rozwiązanie zadania było możliwe, widmo (CFT) sygnału, którego kolejne próbki przyjmują wartości:

a) s[0] = 0; s[1] = 0; s[2] = 1; s[3] = 1; s[4] = 0; s[5] =0;

b) s[0] = 0; s[1] = 1/2; s[2] = 1; s[3] = 1/2; s[4] = 0;

10. Wyjaśnij jaka jest zależność pomiędzy numerem próbki widma po DFT a częstotliwością w hercach.

10. Sygnał został spróbkowany z częstotliwością fs = 1kHz w N = 100 punktach. Jaka będzie odległość (wyrażona w hercach) pomiędzy kolejnymi punktami częstotliwości dla 100 punktowego DFT?

11. Jeżeli dany sygnał zawiera częstotliwość
    =100Hz i jest on próbkowany (przy spełnieniu warunków twierdzenia o próbowaniu) z częstotliwością
    =1KHz, to jaka częstotliwość cyfrowa
    (lub jakie częstotliwości) wynikająca z D-TFT będzie (będą) odpowiadała (odpowiadały) częstotliwości
    ?

12. Jeżeli częstotliwość próbkowania wynosi 12,8KHz oraz długość ciągu poddanego DFT wynosi N=128, to który element (lub które elementy) transformaty DFT będzie zawierał informacje o częstotliwości analogowej 80Hz?

10. Wiemy, że widmo sygnału s(t) wynosi S(f). Jak wygląda widmo sygnału S(t)? Odpowiedź uzasadnij.

10. Z czego wynika symetria DFT dla sygnałów rzeczywistych?

10. Przedstaw macierzową interpretację DFT.

10. Podaj twierdzenie Parsevala dla CFT (lub DFT).

10. Co można powiedzieć o sygnale, jeżeli jego widmo nie jest symetryczne?

11. Jak uzasadnić fakt, iż twierdzenia określające odpowiednie zależności pomiędzy ciągiem pierwotnym i ciągiem jego transformaty (DFT), można sformułować w analogiczny sposób dla IDFT ?

12. Jakie różnice mogą wystąpić pomiędzy twierdzeniem dla DFT oraz jego odpowiednikiem dla IDFT? Z czego te różnice wynikają?

Teoria sygnałów, laboratorium - ćwiczenie 4

1

---