Proces pozyskiwania danych jest nazywany badaniem statycznym.

Pojęcie statystyki matematycznej.

Populacja generalna

Badanie statyczne dotyczy zawsze pewnej zbiorowości, której elementami są obiekty materialne lub zjawiska. W statystyce matematycznej badana zbiorowość statyczna nazywa się populacją generalną lub zbiorowością generalną.

Populacja generalna skończona - jeżeli zbiór jej elementów jest skończony.

Populacja generalna nieskończona - dotyczy zazwyczaj zjawiska, a nie obiektu materialnego.

Cecha statyczna

Elementy populacji generalnej mogą mieć różne właściwości (i najczęściej nie mają), które podlegają obserwacji. Te właściwości nazywa się cechami statycznymi lub krótko cechami.

Te właściwości, które mają charakter ilościowy nazywa się cechami mierzalnymi (wzrost, waga). Właściwości jakościowe (np. płeć, kolor włosów) nazywa się cechami niemierzalnymi. Przeważająca część statystyki matematycznej dotyczy analizy mierzalnej.

Rozkład cechy.

Jeżeli elementy populacji różnią się między sobą wartościami analizowanej cechy, to mówi się o rozkładzie cechy w populacji.

Próba

Podzbiór elementów populacji generalnej podlegającej badania nazywa się próbą

Wnioskowanie statyczne.

Podstawowym zagadnieniem pojawiającym się w badaniach częściowych jest możliwość uogólnienia uzyskanych na podstawie próby wyników, na całą populację oraz oszacowanie popełnionych przy tym błędów. Takie działania nazywa się wnioskowaniem statystycznym.

Wyróżnia się dwa podstawowe typy problemów:

- estymacja (szacowanie) nieznanych wartości parametrów rozkładu cechy.

- sprawdzanie (weryfikacja) hipotez dotyczących wartości parametrów rozkładu lub postaci samego rozkładu.

Cechy skokowe i ciągłe

Cechy statyczne (mierzalne), które przyjmują wartości całkowite nazywa się cechami skokowymi lub dyskretnymi.

Cechy przyjmujące wartości rzeczywiste nazywa się cechami ciągłymi.

EMPIRYCZNY ROZKŁAD CECHY.

Empiryczny rozkład cechy stanowi podstawę dla wszystkich analiz badanej cechy.

Jeżeli próba dotycząca jednej cechy mierzalnej nie jest zbyt liczna, tzn. dotyczy Ł 30 jednostek, to wstępne jej opracowanie polega na uszeregowaniu w porządku rosnącym danych liczb. Otrzymany w ten sposób ciąg liczb nazywa się szeregiem pozycyjnym.

Jeżeli liczebność próby jest duża (>30) to pierwszym etapem jej opracowania jest dokonanie grupowania czyli klasyfikacji. Grupowanie polega na podziale próby na podzbiory zwane grupami lub klasami, a wartością reprezentującą poszczególne klasy są ich środki. Przedziały klasowe oraz ich liczebność, czyli liczby jednostek prób należących do jednej klasy tworzą razem tzw. szereg rozdzielny.

Zmienna Losowa

Określenie intuicyjno-poglądowe:

Wielkość, która w wyniku doświadczenia przyjmuje określoną wartość znaną po zrealizowaniu doświadczenia.

Definicja:

Zmienna losowa jest to taka zmienna, która w wyniku doświadczenia przybiera jedną: tylko jedną wartość ze zbioru tych wartości, jakie ta zmienna może przyjąć.

Z wartościami zmiennej losowej związane są określone prawdopodobieństwa, tak więc zmienna losowa przybiera różne wartości z różnym prawdopodobieństwem.

P(X=x_i)=p_i

Prawdopodobieństwo p_i można traktować jako funkcję wartości przyjmowanych przez zmienną losową. Oznacza się ją następująco:

p_i=f(x_i)

Funkcja ta charakteryzuje się tym, że suma prawdopodobieństw jest równa jedności:

Rodzaje zmiennych losowych:

- zmienne losowe skokowe (dyskretne)

- zmienne losowe ciągłe

Określenie:

Zmiennymi losowymi skokowymi nazywamy takie zmienne losowe, które mają skończony lub przeliczalny zbiór wartości.

Przykłady zmiennych losowych dyskretnych:

- liczba urodzeń w Polsce

- ocena uzyskiwana na egzaminie z wybranych przedmiotów

Określenie:

Zmiennymi losowymi ciągłymi nazywamy takie zmienne losowe, które mogą przybierać dowolne wartości liczbowe z pewnego przedziału liczbowego.

Przykłady zmiennych losowych ciągłych:

- wzrost, waga, wiek człowieka

- wytrzymałość belki na zginanie

Rozkład zmiennej losowej.

Niech X jest zmienną losową dyskretną, która może przyjmować wartości x₁, x₂, ... odpowiednio z prawdopodobieństwem p₁, p., ... Każdej realizacji zmiennej X przyporządkowanie jest więc pewne prawdopodobieństwo. Te prawdopodobieństwo można traktować jako funkcję określoną na zbiorze wartości, jakie może przyjmować X.

Określenie:

Rozkładem skokowej zmiennej losowej X nazywa się prawdopodobieństwo tego, że zmienna X przybiera wart. x_i (i- 1,2,...)

P(X=x_i)=p_i

przy czym

Dystrybuanta zmiennej losowej (Skumulowane Prawd.)

Dystrybuanta zmiennej losowej X nazywamy funkcją oznaczoną przez F(x) określoną

F(x)=P(X<x)

Określa ona prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmuje jakąkolwiek wartość mniejszą od z góry przyjętej danej wartości x. Dystrybuanta może być określona w przedziale obustronnie ograniczonym lub jednostronnie, dwustronnie nieograniczonym. Dystrybuanta F(x) określona w przedziale <a,b> posiada następujące wartości:

- jest funkcją malejącą

- jest funkcją co najmniej lewostronnie ciągłą

- F(a)=0, F(b)=1

Znając dystrybuantę F(x), można obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmuje jakąś wartość leżącą pomiędzy wartościami: x₁ i x₂

P(x₁≤X<x₂)=F(x₂)-F(x₁)

Dystrybuantę można także stosować dla znalezienia prawdopodobieństwa takiego zdarzenia, że badana zmienna losowa X przyjmuje wartość większą równą x. Ponieważ badane zdarzenie jest przeciwne zdarzeniu z prawd. F(x), to

P(X≥x)=1-F(x)

Zmienna losowa ciągła

Zakładając, że wartości x przyjmowane przez zmienną losową X, zmieniają się w sposób ciągły w przedziale <a,b>, otrzymujemy granicę:

którą nazywamy funkcją gęstości prawd. zmiennej losowej ciągłej.

ROZKŁADY TEORETYCZNE ZMIENNEJ LOSOWEJ DYSKRETNEJ.

Rozkład jednopunktowy

Zmienna losowa X ma rozkład jednopunktowy czyli rozkład Diraca, gdy istnieje ............

Rozkład dwupunktowy

P(x=a)=p

P(x=b)=1=p=q 0<p<1

Funkcje rozkładu prawd.

Rozkład równomierny

Zmienna losowa ma rozkład równomierny, gdy dla ciągu punktów x₁<x₂< ... <x_q prawd.

P(X=x_k)=1/q , k=1,2,...,q

Funkcja rozkładu prawd.

1/q dla X=x₁,x₂, ..., x_q

0 dla X≠x₁,x₂, ..., x_q

Rozkład dwumianowy - Bermoulli'ego

Zmienna losowa ma rozkład dwumianowy, gdy funkcja rozkładu prawd. ma postać:

P(x)=(ⁿ_x) ⋅ p^x ⋅ (1-p)^n-x x=0,1,...,n

n - liczba naturalna

p - liczba rzeczywista, p∈(0,1)

Wartość oczekiwana (średnia)

E(x)=n ⋅ p

Wariancja:

D²(x) = n ⋅ p ⋅ (1-p)

Rozkład Poissona

Jeżeli zmienne losowe x₁, x₂, ... ,x_n mają rozkład dwumianowy o parametrach n i p=
(2=const, 2>0) to ciąg funkcji prawdopodobieństwa

P_n(x) = (ⁿ_x) ⋅ p^x ⋅ (1-p)^n-x ,x=0, 1, ..., n

dąży dla każdego x=0, 1, ... do funkcji

P(x)=

Rozkłady zmiennych losowych ciągłych

Rozkład jednostajny (prostokątny, równomierny).

Zmienna losowa ma rozkład jednostajny (na przedziale (a,b)), jeżeli jej gęstość prawd. jest określona wzorem

0 dla x<a i x>b (a<b)

f(x) =
dla a<x<b

Dystrybuanta - otrzymujemy ją jako całkę z funkcji gęstości prawdopodobieństwa

0 dla x≤a

F(x) =
dla a≤x<b

Rozkład normalny (Gaussa)

Uznawany za najważniejszy rozkład w teorii prawdopodobieństwa. Znaczenie rozkładu normalnego wynika z następujących faktów:

- Rozkład normalny jest modelem dla losowych błędów pomiarów. Jeżeli błąd pomiaru nieznanej

wielkości jest sumą wielu małych losowych błędów, zarówno dodatnich jak i ujemnych, to suma

ma rozkład z mniejszą lub większą dokładnością, zawsze bliski rozkładu normalnego.

- Wiele zjawisk fizycznych choć nie podlega rozkładowi norm. Może być opisywanych za pomocą

tego rozkładu po odpowiedniej transformacji. Na przykład czas zdatności niektórych maszyn jest

zmienną losową o dodatnim współczynniku asymetrii. Gdy jednak będziemy bardziej rozpatrywać

log takiej zmiennej to okaże się, że ma ona rozkład normalny

- Rozkład norm. Stanowi dobre przybliżenie dla innych rozkładów, np. rozkładu dwumianowego.

Gęstość prawd. zmiennej losowej o rozkładzie norm.

F(x) =
σ>0

Oznaczenia:

N(μ,σ)

μ - wartość średnia oczekiwana

σ - odchylenie standardowe

Reguła trzech σ

Jeżeli X jest zmienną losową ciągłą o rozkładzie N(μ,σ) to zachodzi:

P(μ-3σ≤x≤(μ+3σ)=0,9973

tzn. Takie jest prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie takie wartości, które różnią się od wartości oczekiwanej μ nie więcej niż o +/- 3 odchylenia standardowego σ.

Rozkład wykładniczy

Zmienna losowa X ma wykładniczy rozkład prawd., jeśli jej gęstość prawd. wyraża się wzorem:

0 dla x≤0

f(x) =

dla x>0, λ>0

Parametr λ jest związany z wartością oczekiwaną i wariancją następującymi zależnościami:

E(x) =

D²(x) =

Dystrybuanta

0 dla x≤0

F(x) =

1 - exp(-λx) dla x>0

Rozkład Γ (gamma)

Funkcją gamma (całka Eulera drugiego rodzaju):

Γ(x) =
0<x<∞

Rozkład dsi - kwadrat χ²

Rozkładem χ² o n stopniach swobody nazywamy rozkład zmiennej losowej, która jest sumą n niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym N(0,1):

X_n = przy czym X_k ma rozkład N(0,1)

Gęstość prawd. zmiennej losowej o rozkładzie χ²:

0 dla x≤0

f_n(y) =
dla x>0

n - liczba stopni swobody

Rozkład t - Studenta

Jeżeli zmienna losowa Y ma rozkład normalny N(0,1), zaś zmienna losowa S jest od Y niezależna i S² ma rozkład χ² o n stopniach swobody, to zmienna losowa t:

t =

ma gęstość prawdopodobieństwa

f(t) =
-∞<t<∞

Zmienna t ma rozkład t - Studenta o n stopniach swobody

Rozkład F - Snedecora

Iloraz dwóch niezależnych zmiennych losowych
i
, takich, że Y ma rozkład χ² o n stopniach swobody, a X ten sam rozkład o m Stopniach swobody.

F =

ma rozkład nazywany rozkładem F - Snedecora

Funkcja gęstości prawd. zmiennej losowej o rozkładzie F - Snedecora o (n,m) stopniach swobody.

0 dla x≤0

F(x) =

dla x>0

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWE PARAMETRÓW

Metoda estymacji przedziałowej to dokonanie szacunku param. w postaci takiego przedziału (zwanego przedziałem ufności), który z dużym prawd. obejmuje prawdziwą wartość parametru.

Przedział ufności dla średniej

Model I

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(μ,σ). Wartość średniej μ jest nieznana, odchylenia standardowe σ w populacji jest znane. Z populacji tej pobrane próbę o liczebności n elementów, wylosowanych niezależnie. Podziałem ufności dla średniej μ populacji otrzymuje się ze wzoru.

P{-

gdzie:

1-α - jest prawd. przyjętym z góry i nazywanym współczynnikiem ufności (w zast. praktycznych: 1-α≥0,9).

u_α - jest wartością zmiennej losowej U o rozkładzie normalnym

- średnia arytmetyczna z próby obliczenia wg zależności:

i na lewo od -u_α

Wartość u_α dla każdego współczynnika ufności 1-α wyznacza się z rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1) w taki sposób by spełniona była relacja:

P{-u_α<u<u_α} = 1-α

u_α jest taką wartością zmiennej losowej o rozkładzie normalnym standaryzowanym, że pole powierzchni pod krzywą gęstości w przedziale (-u_α,u_α) wynosi 1-α, a pod krzywą gęstości na prawo od u_α wynosi po α/2.

Model II

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(μ,α). Nieznana jest zarówno wartość średnia μ, jak i odchylenie standardowe σ w populacji.

Z populacji tej wylosowano niezależnie małą próbę o liczebności n(n<30) elementów. Przedział ufności dla średniej μ populacji otrzymuje się wówczas ze wzoru:

P{-t_α
<μ<+t_α
}=1-α

gdzie:

s=

jest odchyleniem standardowym z próby.

Wartość t_α oznacza wartość zmiennej t Studenta, odczytaną z tablicy tego rozkładu dla n-1 stopni swobody w taki sposób, by dla danego z góry prawdopodobieństwa 1-α spełniona byla relacja:

P{-t_α<t<t_α} = 1-α

Zasada wyznaczania wartości t_α jest podobna jak w modelu I.

Model III

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(μ,α) bądź dowolny inny rozkład o średniej μ i skończonej wartości σ² (nieznanej). Z populacji tej pobrano do próby n niezależnych obserwacji, przy czym liczebność próby jest duża (co najmniej kilkadziesiąt). Wtedy przedział ufności dla średniej μ populacji wyznacza się ze wzoru jak w modelu I, z tą tylko różnicą, że zamiast σ we wzorze tym używamy wartości odchylenia standardowego s z próby.

Przedział ufności dla wariancji

W zależności od tego, czy próba jest mała, czy duża, przedział ufności dla wariancji buduje się odpowiednio w oparciu o rozkład χ² (dzi - kwadrat) bądź o rozkład normalny.

Model I

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(μ,σ) o niezależnych parametrach μ i σ. Z populacji tej wylosowano niezależnie do próby n elementów (n jest małe tj. N<30). Z próby obliczono wariancję s². Wówczas przedział ufności dla wariancji σ² populacji generalnej określony jest wzorem:

P{
} = 1-α

gdzie:

s²=

s² jest wariancją z próby, a współczynniki c₁ i c₂ są wartościami zmiennej χ² wyznaczonymi z tablicy rozkładu χ² dla n-1 stopni swobody oraz współczynnika ufności 1-α w taki sposób, by spełnione były relacje:

P(χ²<c₁) = 1/2 α

P(χ²≥c₂)= 1/2 α

Ponieważ powszechnie używane tablice rozkładu χ² posiadają prawdopodobieństwo P(χ²≥χ²α), zatem dla określonego współczynnika ufności 1-α wartość c₁ znajdujemy z tablic rozkładu χ² dla prawdopodobieństwa 1-α/2, natomiast wartość c₂ dla prawdopodobieństwa α/2.

Model II

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(μ,σ) lub zbliżony do normalnego o nieznanych parametrach μ i σ. Z populacji tej wylosowano niezależnie dużą liczbę n elementów (n co najmniej kilkadziesiąt). Z próby tej obliczono odchylenie standardowe s = . Wtedy przybliżony przedział ufności dla odchylenia standardowego σ populacji generalnej jest określony wzorem:

P{
} = 1-α

gdzie:

u_α jest wartością zmiennej normalnej standaryzowanej U, wyznaczoną w taki sposób dla ustalonego 1-α z tablicy rozkładu N(0,1), by spełniona była relacja:

P{-u_α<U<u_α)=1-α

2

---