Przykłady rachunkowe do wykładu2, Elektrotechnika, Metrologia, laboratorium, instrukcje


Przykłady rachunkowe do wykładu

z „RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ”

część II

 

 

Przykład 36

Obliczyć wartość średnią i wariancję ciągłej zmiennej losowej X posiadającej równomierną gęstość prawdopodobieństwa w przedziale 0x01 graphic
.

Rozwiązanie

0x01 graphic

0x01 graphic

 

 

Przykład 37

Zmienna losowa posiada quasinormalną gęstość prawdopodobieństwa

0x01 graphic

Należy obliczyć: dystrybuantę 0x01 graphic
, wartość oczekiwaną 0x01 graphic
, wariancję 0x01 graphic
oraz współczynnik asymetrii A i spłaszczenia S.

Rozwiązanie

0x01 graphic

0x01 graphic

 

0x01 graphic

(po wprowadzeniu zmiennej pomocniczej t związanej z x zależnością 0x01 graphic
).

0x01 graphic
.

Dalej obliczamy wartości momentów centralnych:

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

0x01 graphic

0x01 graphic

 

 

Przykład 38

Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej X typu ciągłego jest następująca

0x01 graphic

Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa 0x01 graphic
i obliczyć odchylenie standardowe 0x01 graphic
zmiennej X.

Rozwiązanie

0x01 graphic

Wariancja zmiennej losowej X wynosi:

0x01 graphic

0x01 graphic
;

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
;

0x01 graphic
.

 

 

Przykład 39

Zmienna losowa ciągła X posiada normalny rozkład prawdopodobieństwa. Wartość średnia 0x01 graphic
a odchylenie standardowe 0x01 graphic
. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że X przyjmie wartość z przedziału (10, 50).

Rozwiązanie

0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Z tablic otrzymuje się:

0x01 graphic

0x01 graphic

 

 

Przykład 40

Dla doświadczenia z rzutem dwoma monetami, podać w tablicy wartości zmiennych i prawdopodobieństwa łączne oraz obliczyć dystrybuantę dwuwymiarową.

 

Rozwiązanie:

Dla rzutu dwoma monetami mamy następujące wartości zmiennych i prawdopodobieństwa:

 

 

Zmienna X (moneta 1)

Zmienna Y (moneta 2)

Wartości

Orzeł, 0x01 graphic

Reszka, 0x01 graphic

Wartości

Orzeł, 0x01 graphic

Reszka, 0x01 graphic

Prawdopodobieństwa

0x01 graphic

0x01 graphic

Prawdopodobieństwa

0x01 graphic

0x01 graphic

 

Dla zmiennych losowych niezależnych zestawimy w tablicy wartości prawdopodobieństwa łącznego.

 

0x01 graphic

Obliczyć wartość dystrybuanty łącznej:

Dla

0x01 graphic
0x01 graphic

 

Dla

0x01 graphic

 

Dla

0x01 graphic

Dla

0x01 graphic

 

Dla

0x01 graphic

 

0x01 graphic

 

 

Przykład 41

Dana jest dwuwymiarowa gęstość prawdopodobieństwa

0x01 graphic

Należy obliczyć: gęstości jednowymiarowe 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, wartości średnie 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, wariancje 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, oraz kowariancję 0x01 graphic
i współczynnik korelacji 0x01 graphic
.

Rozwiązanie

0x01 graphic

0x01 graphic

Wartości średnie:

0x01 graphic

0x01 graphic

Wariancje:

0x01 graphic

0x01 graphic

Kowariancja:

0x01 graphic

0x01 graphic
,

0x01 graphic

Współczynnik korelacji:

0x01 graphic

 

 

Przykład 42

Określić rozkład prawdopodobieństwa częstotliwości rezonansowej 0x01 graphic
obwodu LC w generatorze sygnału sinusoidalnego (rys.), jeśli jego pojemność C zmienia się według normalnego rozkładu prawdopodobieństwa

 

0x01 graphic

 

gdzie: C0 - wartość znamionowa pojemności, przy czym zakłada się, że indukcyjność obwodu L jest stała.

 

 

0x01 graphic

Rys. Schemat obwodu LC

 

Rozwiązanie:

Częstotliwość rezonansowa obwodu zmienia się w zależności od pojemności zgodnie z zależnością:

0x01 graphic

Funkcja odwrotna ma postać

0x01 graphic

Pochodna tej funkcji

0x01 graphic

i ostatecznie otrzymujemy

 

0x01 graphic
.

 

 

Przykład 43

Dany jest rozkład łączny współrzędnych kartezjańskich x i y punktu losowego na

płaszczyźnie (dla 0x01 graphic
)

0x01 graphic

Należy znaleźć rozkład prawdopodobieństwa dla położenia punktu we współrzędnych biegunowych 0x01 graphic
.

Rozwiązanie

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Obliczamy jakobian przekształcenia:

0x01 graphic
.

Gęstość 0x01 graphic
na podstawie wzoru wynosi:

0x01 graphic

Zmienne losowe 0x01 graphic
są niezależne i:

0x01 graphic

0x01 graphic
(rozkład Rayleigha),

0x01 graphic
(rozkład równomierny).

 

 

Przykład 44

Zmienna losowa X ma rozkład normalny 0x01 graphic
. Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa 0x01 graphic
zmiennej losowej 0x01 graphic
. Wyznaczyć wartość oczekiwaną 0x01 graphic
oraz wariancję 0x01 graphic
.

Rozwiązanie

0x01 graphic

Otrzymana gęstość jest normalna i:

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Na podstawie metody linearyzacji funkcji mamy:

0x01 graphic

0x01 graphic
.

 

 

Przykład 45

W obwodzie przedstawionym na rysunku 0x01 graphic
jest stałym źródłem napięciowym

 

0x01 graphic

 

i 0x01 graphic
jest zm. l. o rozkładzie jednostajnym między 900 i 1100 ၗ. Należy wyznaczyć, stosując aproksymację, wartość średnią i wariancję prądu 0x01 graphic
.

Rozwiązanie

0x01 graphic
, 0x01 graphic

Dla 0x01 graphic
otrzymujemy

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic

i 0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

 

 

Przykład 46

Promień kuli r wyznaczony eksperymentalnie jest zmienną losową normalną o wartości oczekiwanej 0x01 graphic
i wariancji 0x01 graphic
. Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję objętości kuli V korzystając ze wzorów dokładnych i metody linearyzacji funkcji.

Rozwiązanie

0x01 graphic
;

0x01 graphic
;

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

W oparciu o wzory dokładne mamy:

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Na podstawie metody linearyzacji:

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

 



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Przykłady rachunkowe do wykładu, Elektrotechnika, Metrologia, laboratorium, instrukcje
Przykłady rachunkowe do wykładu RACH I STAT, matematyka, statystyka
Przykład 3 Rachunek kosztów wykład, Uniwersytet ekonomiczny, Studia magisterskie
Konspekt do cwiczenia 2, Elektronika i Telekomunikacja, z PENDRIVE, Politechnika - EiT, 2011 2012 -
Konspekt do cwiczenia 1, Elektronika i Telekomunikacja, z PENDRIVE, Politechnika - EiT, 2011 2012 -
Konspekt do cwiczenia 5, Elektronika i Telekomunikacja, z PENDRIVE, Politechnika - EiT, 2011 2012 -
instrukcja 06, sem 3, Podstawy elektrotechniki i elektroniki, Laboratoria, instrukcje do cwiczen 201
instrukcja 09, sem 3, Podstawy elektrotechniki i elektroniki, Laboratoria, instrukcje do cwiczen 201
przyklad-do-wykladu-w-dniu-19-marca-2010, DSFIR 1 rok, podstawy rachunkowości Winter
instrukcja 01, sem 3, Podstawy elektrotechniki i elektroniki, Laboratoria, instrukcje do cwiczen 201
instrukcja 03, sem 3, Podstawy elektrotechniki i elektroniki, Laboratoria, instrukcje do cwiczen 201
instrukcja 04, sem 3, Podstawy elektrotechniki i elektroniki, Laboratoria, instrukcje do cwiczen 201
instrukcja 08, sem 3, Podstawy elektrotechniki i elektroniki, Laboratoria, instrukcje do cwiczen 201
instrukcja 02, sem 3, Podstawy elektrotechniki i elektroniki, Laboratoria, instrukcje do cwiczen 201
instrukcja 06, sem 3, Podstawy elektrotechniki i elektroniki, Laboratoria, instrukcje do cwiczen 201
Materiały do wykładu z Rachunkowości
20'', Politechnika Lubelska, Studia, semestr 5, Sem V, Sprawozdania, sprawozdania, Sprawozdania, Lab
do wykladu 9 - ustalanie wf na koniec roku, Rachunkowość(1)

więcej podobnych podstron