1. Wektorowy opis ruchu - przemieszczenie, prędkość

Wektorowy opis ruchu dla punktu materialnego (z notatek z wykładu):

, gdzie
- wektor wodzący,
-prędkość średnia (
)

2. Wektorowy opis ruchu - przyspieszenie

3. Siła tarcia - siła niezachowawcza, gdy poruszające się ciało styka się z podłożem lub z innym ciałem, to jego ruch jest utrudniony ze względu na występowanie sił tarcia (wynikających z wzajemnego przyciągania się cząsteczek ciała i cząsteczek podłoża)

Siła tarcia:

- nie zależy od wielkości trących się powierzchni

- jest zawsze przeciwnie skierowana do kierunku ruchu jednego ciała względem drugiego

- doświadczalnie stwierdzono, że jest proporcjonalna do siły nacisku N

F_T = μN < to nie jest równanie wektorowe (określa jedynie empiryczną wartość siły tarcia)

gdzie: F - siła tarcia, μ - współczynnik tarcia, N - siła nacisku

- rozróżniamy tarcie statyczne (podczas spoczynku ciała) i kinematyczne (dynamiczne - podczas ruchu ciała)

Najczęściej: μ_s > μ_k (μ_s współczynnik tarcia statycznego, μ_k współczynnik tarcia kinetycznego)

- tarcie ślizgowe (powyżej) jest o wiele większe od tarcia tocznego (np. obracanie się kuli).

- zjawisko tarcia ma również miejsce w przypadku cieczy i gazów

- aby zmniejszyć tarcie między powierzchnie wprowadza się dodatkową substancję (smar, olej) lub tworzy się łożyska

4. Zasady dynamiki Newtona

I zasada(zasada bezwładności):

Jeśli na ciało nie działa żadna siła lub wypadkowa działających sił jest równa zeru, to we wszystkich inercjalnych układach odniesienia ciało to będzie spoczywać lub poruszać się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

II zasada:

Gdy na ciało działa niezrównoważona siła
to ciało porusza się ruchem z przyspieszeniem
proporcjonalnym do działającej siły i odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała m.

, stąd

Wnioski z I i II z.d.:

- aby podtrzymać ruch nie są potrzebne żadne siły

- siły są konieczne dopiero, gdy chcemy zmienić stan ruchu ciała

III zasada:

Gdy ciało A działa na ciało B z siłą (akcji) F_AB to ciało B działa na ciało A z siłą (reakcji) F_BA o takiej samej wartości lecz zwróconą przeciwnie.

(siły te działają wzdłuż prostej, łączącej oba ciała)

Zasady mechaniki (dynamiki) można stosować:

- posługując się IUO i rozważać siły rzeczywiste lub

- posługując się NIUO ale dodając do sił rzeczywistych siły bezwładności (fikcyjne, pozorne)

5. Inercjalne i nieinercjalne układy odniesienia

IUO - układy odniesienia znajdujące się w spoczynku lub poruszające się ruchem jednostajnie prostoliniowym względem układu inercjalnego są układami inercjalnymi. Obowiązuje pierwsza zasada dynamiki Newtona.

NIUO - układy odniesienia poruszające się ze zmienną prędkością lub obracające się względem układu inercjalnego.

6. Przykłady ruchu ciał pod działaniem siły grawitacji

- rzuty ( przy powierzchni Ziemi):

pionowy w górę - ciało rzucone do góry porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym, osiąga wysokość maksymalną, spada, poruszając się ruchem jednostajnie przyspieszonym, aż do ziemi,

pionowy w dół - ciało rzucone z pewnej wysokości, porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, aż do ziemi,

poziomy - ciało zostało rzucone z pewnej wysokości z prędkością początkową skierowaną poziomo; rzut ten jest złożeniem dwóch ruchów: jednostajnie zmiennego wzdłuż osi OY i jednostajnego wzdłuż osi OX,

ukośny - odbywa się z poziomu ziemi i ciało jest rzucane pod kątem α do podłoża; ciało rozpoczyna ruch z pewną prędkością początkową, porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym, osiąga maksymalną wysokość i spada ruchem jednostajnie przyspieszonym, aż do ziemi.

- ruch po okręgu ( pod działaniem siły centralnej)

7. Środek masy

- dla układu punktów materialnych:

gdzie:
-wektor położenia środka masy układu punktów materialnych

- masa całego układu

- suma iloczynu poszczególnych mas punktów materialnych i ich wektorów położenia

- dla ciała o budowie ciągłej (suma ściśle upakowanych cząstek dm)

Uwagi:

- położenie środka masy jest niezależne od przyjętego układu współrzędnych. Zależy tylko i wyłącznie od mas punktów i ich wzajemnego rozmieszczenia.

- jednorodne układy o elementach symetrii mają środek masy położony na tych elementach symetrii,

-Iloczyn całkowitej masy układu pkt. materialnych i przyspieszenia jego środka masy równa się sumie wektorowej F_c wszystkich sił działających na układ.

- podane równania obowiązują dla każdego układu punktów materialnych,

- ruch środka masy ciała możemy otrzymać zakładając, że cała masa tego ciała jest skupiona w środku masy i wszystkie siły zewnętrzne działają na ten punkt.

- gdy siłą zewnętrzną jest siła ciężkości, wtedy działa ona na środek ciężkości ciała. W większości przypadków środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy, który jest pojęciem bardziej ogólnym.

8. Pęd dla pojedynczego ciała i układu ciał. Zasada zachowania pędu

Uwaga: Ponieważ pęd ciała jest proporcjonalny do prędkości, zależy więc od układu odniesienia obserwatora. Układ ten musimy zawsze ustalić zanim określimy pęd.

Całkowity pęd układu punktów materialnym jest równy sumie (wektorowej) pędów poszczególnych punktów.

Całkowity pęd układu punktów materialnych jest równy też iloczynowi całkowitej masy układu i prędkości jego środka masy.

Z równania dla ruchu środka masy, przy założeniu, ze M_c = const.:

Zmiana całkowitego pędu układu ciał w jednostce czasu jest równa całkowitej sile działającej na ten układ ciał.

Zasada zachowania pędu:

Jeżeli całkowita suma wszystkich sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru:

, to całkowity wektor pędu tego układu pozostaje stały

Uwagi:

- zasada zachowania pędu ( przy
) obowiązuje dla wszystkich obserwatorów w różnych układach odniesienia

- całkowity pęd układu może być zmieniony tylko przez siły zewnętrzne działające na ten układ.

- pęd jest wielkością wektorową, zasada zachowania pędu jest równoważna trzem równaniom skalarnym dla trzech kierunków przestrzeni napisanym z uwzględnieniem kierunków i zwrotów wszystkich pędów w układzie.

9. Praca w ruchu postępowym

Pracę W (gdy siła i przemieszczenie są wektorami stałymi) wyrażamy skalarnym iloczynem siły i przemieszczenia ciała:

Praca to iloczyn wartości składowej siły w kierunku przemieszczenia ciała przez wartość przemieszczenia ciała ( lub iloczyn wartości składowej przemieszczenia ciała w kierunku działania siły przez wartość tej siły)

Uwaga:

- jeżeli na ciało działa kilka sił to całkowita praca jest sumą prac wykonanych przez poszczególne siły

- praca wykonana przez siłę wypadkową przy przemieszczeniu punktu materialnego jest równa pracy, jaką wykonuje ten punkt przeciwko tej sile wziętej ze znakiem minus (konsekwencja III zasady dynamiki)

- praca wykonana przez wypadkową siłę może przyczynić się do zmiany energii kinetycznej ciała

Wnioski:

- praca (mimo fizycznego wysiłku) może być zerowa

- praca może być dodatnia: cosα > 0

- praca może być ujemna: cosα < 0

10. Moc w ruchu postępowym - (skalar) jest miarą szybkości wykonywania pracy.

- Moc średnia (całkowita praca podzielona przez całkowity czas)

, gdy
→ 0.

- Moc chwilowa:

Ponieważ

Pracę można określić jako iloczyn mocy i czasu (np. kilowatogodzina 1kW)

11. Energia kinetyczna - każde ciało posiadające prędkość ma energię kinetyczną czyli energię związaną z ruchem

Energia kinetyczna ciała:
, energia i praca mają te same jednostki. Energia (jak i praca) jest skalarem.

Uwagi:

- jeżeli pod działaniem wypadkowej siły F prędkość ciała wzrasta od V1 do V2, to praca tej siły jest równa przyrostowi energii kinetycznej ciała,

- jeżeli wartość prędkości jest stała to nie ma zmiany energii kinetycznej i praca siły wypadkowej jest równa zeru

- również w ruchu jednostajnym po okręgu W=0,

- jeżeli energia kinetyczna punktu materialnego maleje, to o wielkość równą dokładnie pracy, jaką wykonuje ten punkt.

- jeżeli energia kinetyczna punktu materialnego maleje, praca wykonana przez siłę wypadkową przy przemieszczeniu tego punktu jest ujemna ( przemieszczenie i składowa siły wypadkowej w kierunku ruchu są skierowane przeciwnie)

- energia kinetyczna zespołu punktów materialnych jest po prostu sumą energii kinetycznych poszczególnych punktów (sumą algebraiczną bo energia jest skalarem)

- energia kinetyczna nie może być ujemna ( w fizyce nie występuje pojęcie prędkości urojonej)

- bezwzględna wartość energii kinetycznej zależy od wyboru układu odniesienia jednak często interesujące są bardziej zmiany tej energii niż jej wartość absolutna

12. Energia potencjalna

Uwagi:

- nie można podać ogólnej formuły opisującej energie potencjalną (w przeciwieństwie do energii kinetycznej) postać wzorów na energie potencjalną zależy od sytuacji i rodzaju oddziaływań (grawitacyjne, elektrostatyczne, sprężystości)

- energia potencjalna jest związana z położeniem układu ciał i jest równa pracy którą ten układ może wykonać zmieniając względne położenie swoich części, czyli zmieniając swój stan

- w każdym przypadku musimy określić, jaką pracę może wykonać układ przechodząc z jednego stanu do innego i potraktować tą pracę, jako różnicę energii potencjalnych układu między tymi dwoma stanami

- pojecie energii potencjalnej ma sens tylko w odniesieniu do sił zachowawczych

- energia potencjalna może być zarówno dodatnia jak i ujemna (w przeciwieństwie do energii kinetycznej)

Wnioski:

- Fizyka nie wskazuje żadnego konkretnego punktu (poziomu) odniesienia z jednoznaczną wartością energii potencjalnej, zatem sami musimy obrać dowolny punkt (poziom) odniesienia i przypisać mu dowolna wartość energii potencjalnej (najczęściej zero) a następnie konsekwentnie trzymać się tego przyporządkowania

- przy obliczeniach interesują nas tylko różnice energii potencjalnej, a nie absolutna wartość tej energii w danym punkcie

- praca wykonana nad ciałem przez siłę zachowawczą jest równa przyrostowi jego energii pot., wziętej ze znakiem minus

- dowolność obrania poziomu odniesienia dla energii potencjalnej jest podobna do dowolności obrania układu odniesienia dla energii kinetycznej. W obu przypadkach interesują nas bardziej zmiany tych energii niż ich bezwzględne wartości

- Jednak dla jednoznaczności obliczeń zawsze należy obrać konkretny układ odniesienia (dla energii kinetycznej) lub poziom odniesienia (dla energii potencjalnej)

-energia potencjalna to funkcja położenia której ujemna pochodna (przestrzenna) daje wyrażenie na działającą siłę (zachowawczą)

13. Zasada zachowania energii w obecności działania sił (zachowawczych i niezachowawczych)

Jeżeli w układzie działają tylko siły zachowawcze wówczas całkowita energia mechaniczna układu pozostaje stała:

Całkowita energia mechaniczna E_cm jest wówczas stałą ruchu.

Uwagi:

- zasada zachowania energii mechanicznej obowiązuje w wybranym zamkniętym układzie obiektów, które mogą oddziaływać na siebie wyłącznie siłami zachowawczymi (przykład: układ rzucone ciało - ziemia)

- energia potencjalna zmagazynowana jest w układzie rzucone ciało - ziemia

- ruch Ziemi pomijamy, bierzemy pod uwagę ruch rzuconego ciała

- przyjmujemy, że energia kinetyczna zmagazynowana jest w poruszającym się ciele

- energia kinetyczna i potencjalna mogą występować w różnych częściach układu.

Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru.

Siła jest niezachowawcza, jeżeli punkt materialny po przebyciu drogi zamkniętej, wraca do punktu wyjścia ze zmienioną energią kinetyczną oznacza to, iż przynajmniej jedna z działających w układzie sił jest niezachowawcza; siła jest niezachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej, nie jest równa zeru

Zasada zachowania energii całkowitej - energia całkowita układu E_c nie zmienia się, jest wartością stałą

Uwagi:

- energia mechaniczna (kinetyczna i potencjalna) jest zachowana tylko w przypadku działania sił zachowawczych

- energia całkowita jest zachowana zawsze (niezależnie od rodzaju działających sił)

14. Parametry ruchu obrotowego a parametry ruchu postępowego

Parametry ruchu obrotowego ciała:

- przyrost kąta w radianach:

- średnia prędkość kątowa:

- chwilowa prędkość kątowa:

- średnie przyspieszenie kątowe:

- chwilowe przyspieszenie kątowe:

Zależność między parametrami ruchu postępowego i obrotowego:

- zależność między s i α można zapisać i zróżniczkować po czasie jako:

- zależność między V i ω można zapisać i zróżniczkować po czasie jako:

15. Moment siły a moment pędu - samemu się dowiedzieć co to moment siły i pędu, a to może być na egzaminie

Równanie
mnożymy lewostronnie wektorowo przez
:

(1)

Równanie
różniczkujemy po czasie:

Ale
ponieważ
i
są równoległe

Mamy zatem:
(2)

Równania 1 i 2 mają identyczne prawe strony zatem można przyrównać ich strony lewe:

Wnioski:

- zmiana momentu pędu punktu materialnego w jednostce czasu jest równa momentowi siły działającej na ten punkt, inaczej stosunek zmiany pędu punktu materialnego od czasu, w którym ta zmiana nastąpiła, jest równy sile działającej na ten punkt

- wektorowe równanie zależności miedzy momentem siły i momentem pędu jest równoważne trzem równaniom skalarnym

16. Energia kinetyczna w ruchu obrotowym. Moment bezwładności

Uwagi (energia):

- wyrażenie na energię kinetyczną ruchu obrotowego jest analogiczne do postępowego,

-    energia kinetyczna ruchu obrotowego jest wygodniejszą formą wyrażania energii kinetycznej obracającego się ciała

Uwagi (moment bezwładności):

-m.b. zależy od osi wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od sposobu rozmieszczenia masy ciała (względem osi obrotu),

- m.b. w r.obr. jest odpowiednikiem masy w postępowym'

- m.b. jest miarą oporu jaką stawia ciało przy zmianie ruchu obrotowego wokół danej osi obrotu.

Tw. Steinera - jeżeli znamy m.b. I_o ciała względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy ciała, to możemy wyznaczyć m.b. I tego ciała względem innej osi obrotu, pod warunkiem, że jest ona równoległa do pierwszej:

I = I_o+Md²

gdzie M jest masą ciała, a d określa odległość pomiędzy osiami obrotu

17. Praca i moc w ruchu obrotowym

Zatem ostatecznie:

(1)

 

dW = dE_k

Zatem otrzymujemy:
(2)

Z (1) i (2) mamy:
(3)

Uwagi:

- równanie 3 jest równaniem skalarnym, dotyczy momentów sił, prędkości kątowych i przyspieszeń kątowych leżących wzdłuż wspólnej osi i przyjmujących zgodne zwroty

- równanie 3 jest odpowiednikiem II z.d. dla ruchu obrotowego

- tak jak siła ma związek z przyspieszeniem ciała w ruchu postępowym, tak moment siły ma związek z przyspieszeniem kątowym ciała dookoła własnej osi. Moment bezwładności I jest miarą oporu ciała, przeciw zmianie jego ruchu obrotowego przez moment siły.

18. Zasada zachowania momentu pędu. Przykłady jej konsekwencji

(1)

Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych działających na układ wynosi zero:

To na podstawie równania 1 całkowity wektor momentu pędu tego układu pozostaje stały:

Uwagi:

- całkowity moment pędu układu może być zmieniony tylko przez niezerowy wypadkowy moment sił zewnętrznych działających na ten układ.

- przy braku (lub zerowaniu się) momentów siły zewnętrznych całkowity wektor momentu pędu układu pozostaje stały (ale wektory momentów pędu poszczególnych punktów materialnych mogą się zmieniać, lecz ich suma wektorowa pozostaje stała)

- moment pędu jest wielkością wektorową. Zasada zachowania pędu jest równoważna trzem równaniom skalarnym dla trzech osi współrzędnych przechodzących przez punkt odniesienia. Na podstawie zasady zachowania momentu pędu otrzymujemy trzy warunki na ruch układu.

Konsekwencje:

- łyżwiarze, tancerze, akrobaci, skoczkowie, koty

- film „lewitron”, „lewitator”

- gdy
, wówczas zmienia się wektor całkowitego momentu pędu; przykład: ruch bączka

19. Siła i energia potencjalna sprężystości

Siła sprężystości:

(1)

też skalarnie:

(2)

k - współczynnik sprężystości sprężyny (skalar)

Uwagi:

- równania 1 i 2 są zależnościami empirycznymi. Jest to specjalny przypadek ogólnej zależności dotyczącej deformacji ciał sprężystych zwanej prawem Hooke'a. Stwierdza ono, że odkształcenie ciała jest proporcjonalne do przyłożonego naprężenia. Prawo to dotyczy wielu rodzajów ciał pod warunkiem, że deformacja nie jest duża (nie przekracza graniczy sprężystości - ciało ma możliwość powrotu do pierwotnego kształtu i rozmiarów)

- siła sprężystości jest siłą przywracającą równowagę układu

- siła sprężystości ( w granicach stosowania prawa hooke'a) jest siłą zachowawczą

Energia potencjalna sprężyny

Wzór na E_p siły zachowawczej:

W przypadku sprężyny (zakładając E_pA=0 dla x=0)

Stąd:

E_p sprężyny:
< Zależność paraboliczna

Uwagi:

- Do końca sprężyny o współczynniku sprężystości k mocujemy ciało o masie m. Samą sprężynę uznajemy jako pozbawioną masy

- dla prostoty rachunków pomijamy ciężary ciał (brak pola grawitacyjnego)

20. Równanie ruchu harmonicznego prostego i jego rozwiązanie

Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi:

gdzie
- siła,

k - współczynnik proporcjonalności,

- wychylenie z położenia równowagi.

Z prawa Hoock'a:
,
,

< Różniczkowe równanie ruchu harmonicznego prostego

Rozwiązanie:

gdzie: x₀ - amplituda drgań

x - wychylenie

ωt - przesunięcie fazowe

ϕ - faza początkowa

Energia w ruchu harmonicznym prostym

Energia kinetyczna:

E_k = ½ mv² = ½ mx₀²ω²sin²(ωt+ϕ)

Energia potencjalna:

Ep = -½ kx₀²cos²(ωt+ϕ)

Energia całkowita:

E_c=E_k+E_p

Ec = ½ mx₀²ω²sin²(ωt+ϕ) - ½ kx₀²cos²(ωt+ϕ) = ½ kx₀²sin²(ωt+ϕ) - ½ kx₀²

21. Wahadło fizyczne, wahadło matematyczne

Wahadło fizyczne

To dowolne ciało sztywne o masie m zawieszone (w polu grawitacyjnym) tak, że może się wahać dookoła pewnej osi (względem której ma moment bezwładności I)

Wahadło matematyczne

To punktowa masa m zawieszona na nieważkiej nierozciągliwej nici o długości l. jest to szczególny przypadek wahadła fizycznego.

Okres i f ruchu wahadła matematycznego:

22. Ruch harmoniczny tłumiony

Ciężarek m na sprężynie k w cieczy b

Siła oporu ośrodka:

Podobnie jak siła sprężystości:

W równaniu:

 

Zatem otrzymujemy analogiczne równanie z dodatkowym składnikiem:

Wnioski:

- w przedstawionym modelu siła tarcia jest proporcjonalna do prędkości (najczęstszy przypadek)

- częstość ω` (przy tłumieniu) jest mniejsza od normalnej. ω (bez tłumienia)

- w ruchu harmonicznym tłumionym energia oscylatora w wyniku tarcia ulega stopniowemu rozpraszaniu i z biegiem czasu zmniejsza się do zera

- czas po którym amplituda ruchu drgającego spada do 1/e wartości początkowej nazywamy średnim czasem życia oscylacji

- uzyskane rozwiązanie obowiązuje dla małej stałej oporu b. Gdy siła tarcia jest dostatecznie duża to b również rośnie i rozwiązanie przestaje być ruch okresowy. Wówczas ciało bez oscylacji powraca do położenia równowagi

23. Ruch harmoniczny wymuszony. Rezonans

Uwagi:

- drgania wymuszone mają częstość taką z jaką działa siła zewnętrzna ω'' nie taka jaka jest częstość własna ciała ω

- reakcja ciała (amplitud ruchu) zależy od stosunku jaki zachodzi między częstością wymuszoną ω'' a częstością własną ω

- dla pewnej charakterystycznej wartości częstości wymuszającej ω'', amplituda oscylacji osiąga maksimum. Takie zjawisko nazywa się rezonansem

- częstość ω'' przy której pojawia się maksymalna amplituda drgań wymuszonych danego układu nazywamy częstotliwością rezonansową. Im mniejsze tłumienie b tym częstość rezonansowa ω'' bliższa jest częstości ω układu nie tłumionego

- kolejne impulsy siły wymuszającej nawet niewielkie, ale następujące w odpowiednich chwilach (zsynchronizowane) mogą doprowadzić do drgań o dużej amplitudzie

24. Zależność między ruchem harmonicznym prostym a ruchem po okręgu

Wnioski:

- ruch harmoniczny prosty można opisać jako rzut jednostajnego ruchu po okręgu na jego średnicę

- prędkość kątowa ω modelowanego punktu poruszającego się po okręgu jest równa częstości ω w ruchu harmonicznym prostym

- odpowiednie składowe ruchu po okręgu są identyczne do ruchu harmonicznego prostego

- faza początkowa (stała fazowa) φ ruchu po okręgu będzie odpowiadała początkowej sytuacji ruchu harmonicznego

- metoda wirujących wykresów (wskazowych) jest powszechnie stosowana w opisie zjawisk periodycznych. Znacząco ułatwia ukazanie zależności fazowych między przebiegami.

25. Opis propagacji pojedynczego zaburzenia oraz fali sinusoidalnej w ośrodku sprężystym.

Pojedyncze zaburzenie:

-    „spoczywające”: y=f(x)

-    poruszające się zgodnie z osią X: y=f(x-V*t)

-    poruszające się przeciwnie do osi X: y=f(x+V*t)

Fala sinusoidalna: może być „produkowana” za pomocą ruchu harmonicznego prostego. Zatem opis i parametry tego ruchu (np. T, f, ω, φ) mają również sens przy opisie zjawisk falowych!!!

Długość fali λ[m] to odległość między dwoma najbliższymi punktami przestrzeni, w których fala ma tę samą fazę.

Rodzaje fal:

-          poprzeczne, podłużne, „mieszane”

-          jednowymiarowe, dwuwymiarowe, mieszane

-          płaskie, kuliste

-          mechaniczne (na sznurze, łańcuchu, membranie, w wodzie, w powietrzu), elektromagnetyczne (radio, tv, mikrofale, podczerwień, światło, nadfiolet...), grawitacyjne...

Sinusoida: y=sin(x)

Sinusoida z długością fali we wzorze: y=sin[
(x)]

Fala sinusoidalna (poruszająca się z prędkością V): y=sin[
(x-V*t)]

Prędkość fali: w czasie jednego okresu T fala przesuwa się o odległość równą długości fali λ. Zatem prędkość V będzie wyrażana wzorem:

=
(*)

y=sin[
(x-V*t)]

y=sin[
*x-
*t)],
=f

y=sin[
*x-
*t)],
= ω

y=sin[k*x- ω *t)], gdzie k=
(wektor falowy) (**)

Wstawiając λ=
[wzór (**)] do
, przy czym
, otrzymujemy:
(***).

Prędkość fazowa V: wzory (*) i (***) określają tzw. prędkość fazową fali, czyli prędkość z jaką poruszają się określone części fali (maksima, minima, zbocza narastające, opadające itd.) odpowiadające jej poszczególnym fazom. Prędkość fazowa fali zależy od ośrodka, w którym się ona propaguje. W ośrodkach materialnych związana jest z ich sprężystością i bezwładnością.

 Przy przejściu z jednego ośrodka do drugiego zmienia się długość i prędkość fal, ale nie ich częstotliwość!!!

26. Interferencja fal o tych samych częstotliwościach.

Zasada superpozycji: jeżeli zachodzą tylko odkształcenia sprężyste (liniowe), to fale mogą przebiegać ten sam obszar przestrzeni niezależnie od siebie.

Nakładanie się fal o tych samych prędkościach i częstotliwościach, poruszających się w tych samych kierunkach:

WZMOCNIENIE

Np. różnica faz 0, 2π, 4π... Różnica dróg 0, λ, 2λ...

Nakładanie się fal o tych samych prędkościach i częstotliwościach, poruszających się w tych samych kierunkach:

WYGASZENIE

Np. różnica faz π, 3π, 5π... Różnica dróg λ/2, 3/2 λ, 5/2 λ...

Nakładanie się fal o tych samych prędkościach i częstotliwościach, ale poruszających się w przeciwnych kierunkach:

„Zmienna” różnica faz i dróg.

Jak uzyskać dwie przeciwbieżne fale?

-          dla zaburzeń na sznurze wykorzystać efekty odbicia od jego swobodnego lub umocowanego końca

-          dla innych typów fal doprowadzić do właściwych im odbić (od zamkniętych/otwartych końców rur, falowodów, rezonatorów itp.)

-          osobno generować przeciwbieżne fale z obu stron

Nakładanie się fal o tych samych prędkościach i częstotliwościach, ale poruszających się w różnych kierunkach:

Źródła A i B emitują fale wspólne w fazie to dla punktu W, różnica faz 2π, różnica dróg λ następuje WZMOCNIENIE W PUNKCIE W!!!

Źródła A i B emitują fale wspólne w fazie to dla punktu O, różnica faz π, 3π, różnica dróg λ/2 następuje OSŁABIENIE (WYGASZENIE) W PUNKCIE O!!!

Nakładanie się fal o tych samych prędkościach i częstotliwościach, propagujących się na płaszczyźnie:

Dla spójnych źródeł A i B (te same częstotliwości i ustalone fazy) wzmocnienia (W) i osłabienia (O) występują w wielu obszarach odpowiednio rozłożonych względem źródeł.

W sytuacji nakładania się fal o tych samych częstotliwościach możemy wyróżnić dwie skrajne sytuacje:

-          wzmocnienia, gdy różnice faz Δφ lub dróg Δr spotykających się fal wynoszą:

Δφ=0, 2π, 4π, ..., n*2π

Δr=0, λ, 2λ, ..., n*λ

-          osłabienia, gdy różnice faz Δφ lub dróg Δr spotykających się fal wynoszą:

Δφ=π, 3π, ..., (n*2+1)π

Δr=0, λ/2, 3/2 λ, ..., (n*2+1)/2 λ

Gdzie n= 0, +/- 1, +/- 2... jest rzędem wzmocnień lub osłabień (wygaszeń). O występowaniu wzmocnień i wygaszeń decyduje „geometria” sytuacji (interferencja w przestrzeni).

27. Interferencja fal różniących się częstotliwościami.

Niewielka różnica częstotliwości. Dudnienia (np. zmiany głośności dźwięku). Interferencja w czasie!!!

Nakładania się fal różniących się częstotliwościami:

sinωt + ½ sin2ωt + 1/3 sin3ωt + ¼ sin4ωt itd.

Przebieg „piłokształtny”.

-    z wielu fal składowych można zbudować jedną „złożoną”, zajmuje się tym dział matematyki zwany analizą Fourier'a;

-    istnieje też możliwość odwrotna: rozłożenie skomplikowanych ruchów falowych na kombinację fal prostych, wtedy przebieg o częstości ω zwany jest pierwszą harmoniczną, o częstości 2ω drugą harmoniczą itd.;

-    gdy ruch nie jest periodyczny suma zostaje zastąpiona tzw. całką Fourier'a;

-    powyższe wnioski wynikają z zasady superpozycji;

-    z powyższych powodów bardzo ważne jest pojęcie ruchu (falowego) harmonicznego prostego;

Prędkość fal może zależeć od ich częstotliwości. Mówimy wówczas o dyspersji. W ośrodku dyspersyjnym fale złożone z elementarnych fal prostych będą w trakcie propagacji zmieniały swój kształt (fale składowe „rozjeżdżają się” w czasie i przestrzeni). Zmiana kształtu fal i impulsów może zachodzić też wskutek pochłaniania energii przez ośrodek (dyssypacja energii - fale gasnące).

28. Efekt Dopplera dla fal mechanicznych

Nieruchome źródło emituje falę o częstotliwości f długości fali
i prędkością

Gdy obserwator (słuchacz) porusza się z prędkością
w kierunku „do” źródła (+) lub od źródła (-) wówczas będzie obserwował kolejne długości fal docierające do niego z (słyszalną) częstotliwością

(1)

Ruchomy obserwator będzie „odbierał” sygnał o częstotliwości większej (+) lub mniejszej (-) od „nadawanej” przez nieruchome źródło

Źródło poruszające się z prędkością V_z w kierunku do obserwatora (-) lub od obserwatora (+) emituje falę o częstotliwości f i okresie T (względem źródła) oraz prędkości V i długości
. W wyniku ruchu źródła długość ta jest krótsza (-) lub dłuższa (+) w stosunku do
o składnik V_z T:

(2)

Nieruchomy obserwator (słuchacz) będzie odbierał kolejne długości fal (np grzbiety) docierające do niego z (słyszalną) częstotliwością

Uwaga:

- W najbardziej ogólnej sytuacji gdy zarówno obserwator jak i źródło poruszają się z prędkościami odpowiednio V₀ oraz V₂, wzór na odbieraną (słyszalną) przez obserwatora częstotliwość
ma postać:

Gdzie:

- Znaki górne (+ w liczniku i - w mianowniku) odpowiadają sytuacji gdy obserwator i źródło poruszają się wzdłuż łączącej je prostek w kierunku do siebie (odbierana (słyszana) przez obserwatora częstotliwość f_o jest większa niż częstotliwość emitowana przez źródło

- Znaki górne (- w liczniku i + w mianowniku) odpowiadają sytuacji gdy obserwator i źródło poruszają się wzdłuż łączącej je prostek w kierunku „od” siebie (odbierana (słyszana) przez obserwatora częstotliwość f_o jest mniejsza niż częstotliwość f emitowana przez źródło

Uwagi:

-w przypadku fal mechanicznych o prędkości fali V decyduje ośrodek, w którym się ona propaguje i wszystkie inne (V₀, V₂) są mierzone względem tego ośrodka

-w przypadku fal elektromagnetycznych efekt Dopplera również występuje. Jednak nie potrzebują one ośrodka materialnego, który by je przenosił i ich prędkości względem źródła, a także względem obserwatora ma zawsze tę samą wartość niezależnie od ruchu tych ciał względem siebie. Dlatego wzór Dopplera dla fal elektromagnetycznych ma inną postać niż dla fal mechanicznych (choć zjawiska są jakościowo podobne)

-efekt Dopplera ma ogromne znaczenie i wiele zastosowań w takich dziedzinach jak transmisja sygnałów i łączności ,metrologia, medycyna, astronomia, spektroskopia itd.

29. Temperatura i jej interpretacja. „Zerowa” zasada termodynamiki. Pomiary temperatury.

- analizując zjawisko fizyczne (termodynamiczne) możemy mówić o:

Układzie (myślowo wyodrębnionym z otaczającego świata),

Otoczeniu ( wszystkie poza układem co ma wpływ na jego zachowanie)

Przykłady:

-rzucony kamień (układ), powietrze i Ziemia (otoczenie)

-gaz w zbiorniku (układ), podgrzewane palnikiem ścianki zbiornika (otoczenie)

-kawałki lodu (układ) pływające w wodzie (otoczenie)

-ale też : mieszanina wody z lodem (układ), szklanka i powietrze (otoczenie)

Zwykle tak dobieramy układ i otoczenie, aby można było wygodnie określić zachowanie układu i analizować jego oddziaływanie z otoczeniem

Uwagi:

Opisując zachowanie układu posługujemy się wielkościami:

-makroskopowymi (cechy układu jako całości), np temperatura T, ciśnienie P, objętość V, energia wewnętrzna U, entropia S itp., Wielkości te często są bezpośrednio związane z naszymi doznaniami zmysłowymi

Lub

-mikroskopowymi (cechy składników tworzących układ - atomów, cząsteczek…), np: prędkości, energia, masy, momenty pędu, zachowanie podczas zderzeń itp. Wielkości te nie są bezpośrednio związane z naszymi doznaniami zmysłowymi

Termodynamika zajmuje się opisem zjawisk cieplnych posługując się wielkościami makroskopowymi

Mechanika statystyczna posługuje się wielkościami mikroskopowymi

Dla dowolnego układu wielkości makroskopowe i mikroskopowe muszą być ze sobą związane: są one po prostu innymi sposobami opisu tej samej rzeczywistości np ciśnienie gazu (wielkość makroskopowa) jest miarą średniej szybkości przekazu pędu cząsteczek gazy do jednostkowej powierzchni ścianki naczynia (wielkość mikroskopowa)

temperatura:

Łączymy dwa ciała : A(gorące) z B(zimne)

Po odpowiednio długim czasie ich temperatury będą identyczne

Mówimy ,że takie ciała są w równowadze termicznej

Wprowadzamy ciało C (termometr) który osiąga równowagę termiczną zarówno z ciałem A, oraz z ciałem B i wskazuje temperaturę (wspólną dla wszystkich trzech ciał A, B, C)

Zerowa zasada termodynamiki:

Jeżeli każde z dwóch ciał A i B jest w równowadze termicznej z trzecim ciałem C(termometrem) to A i B są w równowadze termicznej ze sobą
Lub w innym sformułowaniu:

Istnieje wielkości skalarna, nazywana Temperaturą, która jest właściwością wszystkich układów termodynamicznych (w stanach równowagi), taka że równość temperatur jest warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi termicznej

Uwagi:

- myśl zawarta w zerowej zasadzie termodynamiki, choć prosta, nie jest wcale oczywista. Na przykład osoby A i B mogą znać osobę C ale nie muszą znać się wzajemnie

- istotą zerowej zasady termodynamiki jest stwierdzenie ze istnieje bardzo użyteczna wielkość zwana temperaturą

Pomiary temperatury

Pomiar temperatury można zrealizować przy pomocy ciała termometrycznego przejawiającego określoną cechę termometryczną (zależną od temperatury)

np ciała termometryczne (cecha termometryczna) : pręt metalowy (długość pręta), spirala bimetaliczna (skręcanie kątowe spirali), włókno żarówki (kolor - widmo emitowanego światła), przewodniki lub półprzewodniki (opór elektryczny) ciecz w rurce (długość słupa cieczy ), gaz w naczyniu (ciśnienie gazu).

Pomiary temperatury:

- W ogólności określony wybór ciała termometrycznego i cechy termometrycznej - wraz z założeniem określającym (liniowy) związek tej cechy z temperaturą - prowadzi do jakiejś szczególnej skali temperatury. Pomiary wykonywane przy użyciu tej skali niekoniecznie będą się zgadzać z pomiarami wykonywanymi przy zastosowaniu dowolnej innej niezależnie zdefiniowanej skali temperatury

- Aby otrzymać jednoznacznie określoną skalę temperatury, należy wybrać jeden ,określony rodzaj termometru jako wzorcowy, oraz określić (arbitralnie) jego temperaturę w punkcie wzorcowym (standardowym),

-Jako wzorcowy (precyzyjny i użyteczny do formułowania praw fizyki) wybrano termometr gazowy o stałej objętości. Przyjęto, że w punkcie potrójnym wody (gdy para wodna ,woda i lód współistnieją w równowadze termicznej) przy ciśnieniu 4,58mm Hg wskazuje on temperaturę 273,16 [K - kelwin].

Bezwzględna termodynamiczna skala temperatur (skala Kelvina)

- Najniższa temperatura jaką można zmierzyć jakimkolwiek termometrem gazowym, jest równa około 1k (temperatura skraplania helu pod niskim ciśnieniem - gazu, który przechodzi w stan ciekły w temperaturze niższej niż jakikolwiek gaz)

- Natomiast przy pomocy przemian termodynamicznych można określić skalę temperatury w sposób niezależny od właściwości jakiejkolwiek określonej substancji. W ten sposób stworzono bezwzględną termodynamiczną skalę temperatury (skalę Kelvina), która ma zero bezwzględne 0K

- Jak dotąd doświadczalnie jedynie zbliżono się do zera bezwzględnego ale nie osiągnięto go

- stan zera bezwzględnego jest stanem odpowiadającym minimalnej (ale nie zerowej) energii ruchu (efekty kwantowe)

- nie istnieją temperatury niższe od 0K

- idealna skala gazowa i skala Kelvina są identyczne w zakresie temperatur, w którym może być użyty termometr gazowy (powyżej około 1K)

Wyznaczanie za każdym razem temperatur przy pomocy gazu doskonałego byłoby pracochłonne i nie praktyczne. Dlatego zdefiniowano Międzynarodową Praktyczną Skalę temperatur (IPTS). Jest to zespół przepisów, które wraz ze stałymi punktami wzorcowymi określają sposób skalowania i kalibrowania przyrządów przemysłowych i naukowych zgodnie ze skalą Kelvina

Stosowane powszechnie skale temperatury

-Skala Celsjusza używa jako jednostki C o tej samej wielkości co „stopień” w stali Kelvina

-Skala Fahrenheita (nie używana w pracach naukowych)

Uwagi:

Podczas pomiarów temperatury (pomijając metody bezstykowe - zdalne) należy uwzględniać takie czynniki jak:

-odpowiedni kontakt termiczny badanego układu i czujnika temperatury (termometru)

-czas ustalania równowagi termodynamicznej układu i czujnika

-masy i rozmiary czujnika oraz układu (pojemności cieplne)

-położenie czujnika względem układu i otoczenia

30. Rozszerzalność cieplna

Liniowa:

- przyrost temperatury

- współczynnik rozszerzalności liniowej Δ

Niektóre wartości

Dla zakresu temperatury 0
100
C (dla lodu -10
0
C)

SUBSTANCJA	[ ]
Twarda guma	80
Lód	51
Ołów	29
Glin	23
Mosiądz	19
Miedź	17
Stal	11
Szkło (zwyczajne)	9
Szkło (pyrek_	3,2
Inwar	0,7

 

 

Powierzchni
owa (dla ciał izotropowych):

- przyrost temperatury

- współczynnik rozszerzalności powierzchniowej (
)

 

Objętościowa:

- przyrost temperatury

- współczynnik rozszerzalności objętościowej (
)

 

Uwagi

- w ogólności współczynnika rozszerzalności (
)zależą również od temperatury (lecz dla celów technicznych można je przyjąć jako stałe)

- niektóre ciała w pewnych zakresach temperatury mają ujemne współczynniki rozszerzalności cieplnej (n.p niektóre substancje podobne do gumy, woda w zakresie 0 + 4
C )

- istnieją ciała wykazujące anizotropię rozszerzalności cieplnej (różne współczynniki rozszerzalności w różnych kierunkach; ciała krystaliczne)

- dla cieczy i gazów istotna jest tylko rozszerzalność objętościowa

- rozszerzalność objętościowa cieczy jest średnio o rząd wielkości większa niż stałych

- gaz znacznie gwałtowniej reagują na zmiany temperatury (i ciśnienia) niż ciała stałe i ciecze.

31. Ciepło przy zmianach temperatury i przy zmianach stanu skupienia

Ciepło Q

Po dostarczeniu określonej ilości ciepło Q do ciała o masie m jego temperatura wzrasta o ΔT

- ciepło właściwe ciała (bez zmiany stanu skupienia )

Uwagi:

-ciepło jest to coś co przenosi się miedzy otoczeniem i układem w wyniku istnienia jedynie różnicy temperatur

-fachowo mówiąc, ciepło jest po prostu jedną z form energii (wyrażoną oczywiście w J) równoważną innym jej formom (energii mechanicznej , elektrycznej …),

-Czasami ciepło (energię) wyraża się w kaloriach (jedna kaloria to ilość ciepła potrzebna do podgrzania 1g wody z 14,5
C do 15,5
C):

1cal = 4,186J

32. Przewodnictwo cieplne

Przewodność cieplna, inaczej współczynnik przewodnictwa ciepła, (k lub λ), określa zdolność substancji do przewodzenia ciepła. W tych samych warunkach więcej ciepła przepłynie przez substancję o większym współczynniku przewodności cieplnej.

Dla ciała o kształcie prostopadłościanu (np.pręta) przewodzącego ciepło w warunkach stanu stabilnego ilość przekazanego ciepła jest zależna od substancji, proporcjonalna do przekroju ciała, różnicy temperatur oraz czasu przepływu ciepła:

Z powyższego wynika:

Gdzie:

- k - współczynnik przewodnictwa cieplnego,

- ΔQ - ilość ciepła przepływającego przez ciało,

- Δt - czas przepływu,

- L - długość ciała (pręta),

- S - pole przekroju poprzecznego ciała (pręta),

- ΔT - różnica temperatur w kierunku przewodzenia ciepła.

Jednostką współczynnika przewodzenia ciepła w układzie SI - J/(m s K) = W m^-1 K^-1 (wat na metr kelwin)

Przewodność cieplna jest wielkością charakterystyczną substancji w danym stanie skupienia i jego fazie. Dla substancji niejednorodnych jest zależna od ich budowy, porowatości itp. Dla małych zakresów temperatur w technice przyjmuje się, że przewodność cieplna nie zależy od temperatury. W rzeczywistości przewodność cieplna zależy od temperatury. Substancjami najlepiej przewodzącymi ciepło są metale, najsłabiej gazy.

33. I zasada termodynamiki

Wnioski:

- Ciepło Q i praca W to dwie równoważne formy energii, które po dostarczeniu do ciała mogą zmienić jego temperaturę

- Z temperaturą wiąże się pojęcie energii wewnętrznej ciała U [J] (w szczególności dla gazu doskonałego energia wewnętrzna zależy wyłącznie od temperatury (w skali Kelvina) i jest do niej proporcjonalna). Energia wewnętrzna jest miarą energii kinetycznej ruchu cząstek na poziomie mikroskopowym (ruchy postępowe, rotacyjne, oscylacyjne)

I zasada dynamiki:

Zatem zmiana energii wewnętrznej ciała ΔU możliwa jest przy pomocy ciepła Q lub pracy W.

Ciepło może być dostarczane do układu (+Q) lub czerpane z niego (-Q) podobnie praca może być wykonywana na rzecz układu (+W) lub jego kosztem (-W). Wszystkie te efekty mogą wpłynąć na zmianę energii wewnętrznej układu ΔU

34. Model gazu doskonałego. Mikroskopowa interpretacja ciśnienia i temperatury

Model gazu doskonałego.

- Składa się z cząsteczek, które można traktować jak pkt materialne,

- Całkowita liczba cząsteczek jest bardzo duża,

- Objętość cząsteczek jest pomijalna,

- Cząsteczki poruszają się chaotycznie i podlegają zasadom dynamiki Newtona,

- Poza zderzeniami (ze ścianami naczynia i między sobą) cząsteczki nie podlegają żadnym oddziaływaniom,

- Zderzenia są sprężyste i nieskończenie krótkie.

Ciśnienie P

F - siła naporu cząsteczek na ścianę,

S - powierzchnia ściany [m²]

Gaz, rozprężając się, wykonuje pracę na rzecz otoczenia. Przy sprężaniu „otoczenie” wykonuje pracę na rzecz gazu.

Ogólnie praca gazu może być wyrażona:

Mikroskopowa interpretacja ciśnienia.

Pęd cząstki o masie m przed zderzeniem: p_cp= mv_s ; Pęd cząstki po zderzeniu: p_ck= - mv_s

Zmiana pędu cząstki: Δp_c= p_ck - p_cp= -2mv_s

Z zasady zachowania pędu dla układu ściana-cząstka: Δp_c+Δp_s=0 ; stąd przyrost pędu ściany: Δp_s=2mv_s

Zderzenie z daną ścianą następuje co okres czasu

Ciśnienie:

Gdy w zbiorniku znajduje się ilość `i' cząstek gazu, wówczas całkowite ciśnienie:

W rzeczywistości cząsteczki poruszają się w przestrzeni 3D bez wyróżniania jakiegokolwiek kierunku. Zatem: v²=v_x²+ v_y²+ v_z²

Ponieważ mamy wiele cząstek i poruszają się one zupełnie bezładnie, średnie wartości v_x², v_y², v_z² są sobie równe i wartość każdej z nich stanowi dokładnie 1/3 średniej wartości v²

Wyprowadzane zależności dotyczą każdego kształtu pojemnika

Ponieważ cząstki „napierają” na wszystkie ścianki we wszystkich kierunkach >> PRAWO PASCALA: Ciśnienie rozchodzi się we wszystkich kierunkach jednakowo.

Ciśnienie jest skalarem.

 35. Równanie stanu gazu doskonałego. Przemiany gazowe

Cylinder z tłokiem.

Gdzie:

P - ciśnienie gazu w pojemniku

V - objętość gazu

n - ilość moli gazu w pojemniku

T - temperatura

R - stała gazowa

- Równania
i
łączą świat wielkości mikroskopowych ze światem wielkości makroskopowych (P, V, T - termodynamika)

- Ciśnienie zależy od ilości cząstek, ich średniej energii kinetycznej oraz objętości zbiornika

- Temperatura gazu zależy tylko od średniej energii kinetycznej cząsteczek gazu

- Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne: średnia energia kinetyczna cząsteczek gazu zależy tylko od temperatury

- Wszystkie formuły wyprowadzono dla jednoatomowego gazu idealnego, w którym energia kinetyczna jest tylko energią ruchu postępowego cząsteczek. W innych przypadkach należy uwzględnić pozostałe formy ich energii: potencjalną, rotacyjna, itp.

Przemiany gazowe.

- Izobaryczna, P=const;
; C - const; (tłok swobodnie się porusza)

- Izochoryczna, V=const;
; C - const; (tłok się nie porusza)

- Izotermiczna, T=const;
; C - const

- Adiabatyczna, Q=0;
= C = const;

 

36. Maszyny cieplne. Cykl Carnota. II zasada termodynamiki

Maszyny cieplne

 

Cykl Carnota

AB - rozprężanie izotermiczne (praca gazu)

BC - rozprężanie adiabatyczne (praca gazu)

CD - sprężanie izotermiczne (praca nad gazem)

DA - sprężanie adiabatyczne

(praca nad gazem)
Bilans prac (dla otoczenia):

Bilans ciepła (dla gazu):

Sprawność silnika:

Silnik Carnota jest najbardziej sprawnym silnikiem. Jego sprawność to 42%.

Przykład rzeczywistej maszyny cieplnej: silnik czterosuwowy (o spalaniu wew) benzynowy

- Procesy w rzeczywistej maszynie cieplnej są „mniej doskonałe” niż w maszynie idealnej

- Sprawność jakiegokolwiek silnika rzeczywistego będzie zawsze mniejsza od sprawności silnika Carnota pracującego między tymi samymi temperaturami nagrzewnicy i chłodnicy

- Wypadkowa praca silnika jest określona polem figury zakreślonym przez jego cykl we współrzędnych PV

II zasada termodynamiki.

Niemożliwa jest cykliczna zamiana na pracę ciepła pobieranego od ciała o temp wyższej T₁ (nagrzewnicy) bez oddawania części tego ciepła ciału o temp niższej T₂ (chłodnicy)

II z. d. wyklucza możliwość zbudowania „perpetuum mobile II-go rodzaju”

37. Gazy rzeczywiste. Wykres fazowy.

T=const.

 

AB - „normalna” izoterma

BC - równowaga pary nasyconej i cieczy (ciśnienie stałe)

CD - tylko ciecz

Wykres fazowy.

0A - sublimacja/resublimacja

AB - topnienie/krzepnięcie

AK - parowanie/skraplanie

A - pkt potrójny (równowaga trzech faz)

K - pkt krytyczny (zanik różnicy między gazem i cieczą)

 

38. Równanie Bernoulliego.

Równanie ciągłości:

- natężenie przepływu

Równanie Bernoulliego:

- praca sił parcia (ciśnienia)

- dotyczy bilansu prac

W = F₁ ⋅ Δx₁ - F₂ ⋅ Δx₂

 

F₁ = P₁ ⋅ S₁

F₂ = P₂ ⋅ S₂

 

W = P₁ ⋅ V₁ - P₂ ⋅V₂ = P₁ ⋅ m / ρ - P₂ ⋅ m / ρ = m / ρ ⋅ (P₁ - P₂)

 

W ogólności w dowolnym miejscu danego płynu (bilans energii)

-    Równanie Bernoulliego jest zasadą zachowania energii dla mechaniki płynów

-    W wyprowadzeniu założono ustalony przepływ płynu nielekkiego i nieściśliwego

-    Stała C jest identyczna we wszystkich miejscach tego samego płynu

Strona2

---