POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI PRZEMYSŁOWEJ Zakład Podstaw Elektrotechniki
Laboratorium Podstaw Elektrotechniki Ćwiczenie nr 2 Temat: Twierdzenie Thevenina i Nortona
Rok akademicki: II Wydział Elektryczny Studia dzienne magisterskie   Nr grupy: 1	Wykonawcy:	Data
				Wykonania ćwiczenia	Oddania sprawozdania
				19.10.2006	26.10.2006
				Ocena:
Uwagi:

 

1. Wiadomości teoretyczne

Dwójnik - Dwójnikiem nazywamy każdy element lub obwód elektryczny posiadający dwa zaciski.

Dwójnikami pasywnymi nazywamy obwody elektryczne spełniające powyższy warunek oraz złożone z elementów pasywnych, tzn. spełniających następujące warunki:

• Całkowita energia elektryczna doprowadzona do elementu w czasie od -∞ do t jest nieujemna dla dowolnego charakteru napięcia na jego zaciskach i prądu na tym elemencie

• do chwili doprowadzenia napięcia do zacisków elementu prąd w nim nie płynie i na odwrót - na jego zaciskach nie ma napięcia przed doprowadzeniem prądu.

Każdy dwójnik nie spełniający powyższych warunków nazywamy dwójnikiem aktywnym.

Dwójnikami pasywnymi są następujące elementy: R- rezystory, L- cewki oraz C- kondensatory oraz obwody złożone wyłącznie z tych elementów.

Dwójnikami aktywnymi są źródła napięcia i prądu (niesterowane oraz sterowane), obwody zbudowane z elementów aktywnych oraz obwody zbudowane przy pomocy elementów aktywnych i pasywnych.

Twierdzenie Thevenina:

Obwód elektryczny liniowy o dowolnym ukształtowaniu, traktowany jako złożony dwójnik liniowy aktywny o zaciskach a - b, można zastąpić jednym źródłem o napięciu źródłowym E, równym napieciu stanu jałowego U₀ na zaciskach a - b i o rezystancji zastępczej R_W mierzonej na zaciskach a - b obwodu.

Twierdzenie Nortona:

Każdy liniowy obwód elektryczny prądu stałego, traktowany jako dwójnik źródłowy o zaciskach a - b, można zastąpić jednym źródłem prądu o prądzie I_Z, równym prądowi zwarcia na zaciskach a - b oraz równolegle włączonym opornikiem o konduktancji wewnętrznej obwodu mierzonej na zaciskach a - b.

Charakterystyka napięciowo-prądowa

Charakterystyką napięciowo-prądową nazywamy charakterystykę napięcia na danej parze zacisków w funkcji prądu przepływającego pomiędzy tymi zaciskami, czyli zależność U=f(I).

Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest potwierdzenie słuszności twierdzenia Thevenina i Nortona. Można wyznaczyć dzięki nim prąd w jednej z gałęzi oraz napięcie na wybranych zaciskach obwodu elektrycznego. Dzielimy układ na dwie części ze względu na wybraną parę zacisków a następnie zastępujemy cały układ, w zależności od twierdzenia źródłem prądu lub napięcia oraz konduktancją lub rezystancją wewnętrzną.

2. Przebieg ćwiczenia

 

2.1. Wyznaczanie charakterystyki napięciowo-prądowej złożonego dwójnika aktywnego dla wybranej pary zacisków (1-3).

 

2.1.1. Schemat połączeń:

 

a) b)

Dane: E=6 V, I=0.1 A, R₁=40 , R₂=30 , R₃=60 , R₄=60 , R₅=90 , R_z=(0 Ⴘ 2600) 

 

2.1.2. Przebieg pomiarów

 

Połączyć układ wg schematu podanego w punkcie 2.1.1. a). Do wybranych zacisków (1-3) podłączyć układ pomiarowy (pkt. 2.1.1 b). Gałęzie z rezystancjami R₂, R₄, i R₅, są odpowiednio wydzielonymi gałęziami badanymi. Dokonań pomiarów napięcia i prądu przy różnych wartościach rezystancji R_z. Wyniki zestawić w tabeli w pkt. 2.1.3.

 

2.1.3. Tabela wyników pomiarów:

Lp.	I	U
		[mA]	[V]
1	12,5	8,43
2	25	7,65
3	37,5	6,84
4	50	6,1
5	62,5	5,3
6	75	4,51
7	87,5	3,62
8	100	2,9
9	112,5	2,14
10	125	1,32
11	137,5	0,51

Na podstawie pomiarów wykreślić charakterystyki napięciowo-prądowe U=f(I) i wyznaczyć z nich U₀ (napięcie źródłowe), I₀ (prąd źródłowy) oraz R_w (rezystancję wewnętrzną) dla każdej pary zacisków, a wyniki zamieścić w tabeli 2.1.4.

2.1.4. Tabela wyników obliczeń.

Zaciski	U0	I0	Rw
		[V]	[mA]	[]
1-3	9	144,7	62,2

 

2.2. Wyznaczenie rezystancji wewnętrznej R_w złożonego dwójnika aktywnego, widzianej z wybranej pary zacisków (omomierzem).

  

2.2.1. Schemat połączeń (pkt. 2.1.1)

 

2.2.2. Przebieg pomiarów

 

Wyłączyć z układu pomiarowego źródła napięcia i prądu (wg określonych zasad) pozostawiając w układzie ich rezystancje wewnętrzne. Omomierzem dokonać pomiaru rezystancji widzianej z wybranej pary zacisków.

  

2.2.3. Tabela wyników pomiarów

 

Zaciski	Rw
		
1-3	62,4

 

2.3. Wyznaczania charakterystyki napięciowo-prądowej dla dwójnika zastępczego wg twierdzenia Thevenina.

 

2.3.1 Schemat połączeń

R_z=(0 Ⴘ 2600) [

2.3.2. Przebieg pomiarów

 

Podłączyć do zacisków 1-3 układ przedstawiony w pkt. 2.3.1 i dokonać pomiarów napięcia i prądu przy różnych wartościach rezystancji R_z. Wyniki pomiarów zamieścić w tabeli pkt. 2.3.3

 

2.3.3. Tabela wyników pomiarów

 

Lp	I	U
		[mA]	[V]
1	25	7,5
2	50	6
3	75	4,2
4	100	2,6
5	125	0,97
6	140	0,2

 

2.3.4. Zestawienie wyników

Na podstawie wyników pomiarów wykreślić charakterystykę napięciowo-prądową U=f(I).

 

2.4. Wyznaczania charakterystyki napięciowo-prądowej dla dwójnika zastępczego wg twierdzenia Nortona.

 2.4.1 Schemat połączeń

R_z=(0 Ⴘ 2600) [

2.4.2. Przebieg pomiarów

 

Podłączyć do zacisków 1-3 układ przedstawiony w pkt. 2.4.1. i dokonać pomiarów napięcia i prądu przy różnych wartościach rezystancji R_z. Wyniki pomiarów zamieścić w tabeli pkt. 2.4.3

 

2.4.3. Tabela wyników pomiarów

 

Lp	I	U
		[mA]	[V]
1	36,3	7
2	43,7	6,53
3	58,3	5,57
4	74,2	4,49
5	90,84	3,44
6	109,46	2,24
7	134,7	0,59

 

 2.4.4. Zestawienie wyników

 Na podstawie wyników pomiarów wykreślić charakterystykę napięciowo-prądową U=f(I).

 3. Obliczenia analityczne

 

Wyliczyć w sposób analityczny napięcie źródłowe U₀, prąd źródłowy I₀ i rezystancję wewnętrzną R_w. (poszczególne obliczenia analityczne powinny bazować na odpowiednio skorygowanych schematach).

 

3.1. Wyznaczenie napięcia źródłowego U₀ (zaciski 1-3) przy zastosowaniu zasady superpozycji

Źródło prądu jest przerwą:

Prąd I₂ nie płynie więc:

Źródło napięciowe jest zwarciem:

Zgodnie z zasadą super pozycji:

3.2. Wyznaczenie prądu źródłowego I₀ przy zastosowaniu zasady superpozycji (zaciski 1-3)

 

Prąd płynie po najniższej linii oporu więc:

3.3. Wyznaczenie rezystancji R_w (zaciski 1-3)

 

4. Wnioski i uwagi końcowe.

 

Wykonane przez nas ćwiczenie pozwala doświadczalnie wykazać, że każdy nawet bardzo złożony obwód elektryczny można zastąpić źródłem napięcia lub źródłem prądu i włączoną z nim szeregowo (dla żródła napięcia), lub równolegle (dla źródła prądu) rezystancją o wartości R_w równą rezystancji zastępczej obwodu. Ograniczeniem stosowania twierdzeń Thevenina i Nortona są układy które zawierają źródła napięcia lub prądu sterowane.

Jednym z naszych zadań było wyznaczenie rezystancji R_w najpierw na podstawie charakterystyki napięciowo- prądowej (jako stosunek napięcia źródłowego U₀ do prądu źródłowego I_źr) a następnie poprzez pomiar omomierzem. Wartości prądu i napięcia źródłowego odczytaliśmy z wykresu U=f(I), gdzie U₀ to punkt, w którym wykres przecina oś rzędnych, natomiast punkt I_źr to miejsce przecięcia osi odciętych.

Aby dokonać pomiaru omomierzem, wyłączyliśmy z układu pomiarowego źródła napięcia i prądu. W tym celu źródła napięcia zastępowaliśmy zwarciem, natomiast źródła prądu- przerwą. Następnie do zacisków powstałego dwójnika pasywnego podłączyliśmy omomierz i odczytaliśmy wartość rezystancji zastępczej obwodu.

Porównując wyniki obu metod pomiaru rezystancji R_w widzimy że różnią się one bardzo nieznacznie, zaledwie o 0,2 Ω.

Charakterystyki napięciowo - prądowe wykreślone w naszym ćwiczeniu są liniami prostymi, niewielkie rozbieżności wynikają głównie z klasy dokładności mierników użytych do pomiarów oraz z faktu że elementy wykorzystane w ćwiczeniu nie są idealne.

Punkty przecięcia wykresu z osiami odpowiadają napięciu stanu jałowego oraz prądowi zwarciowemu dwójnika.

5. Parametry i dane znamionowe zastosowanych urządzeń i mierników.

 

1. Płytka z badanym układem

2. Multimetr cyfrowy typu WENS 20R

3. Rezystor dekadowy typu OD-6

4. Multimetr cyfrowy typu MZD-4660A

5. Dwa rezystory suwakowe

6. Regulowane źródło napięcia i prądu

6. Literatura

 

1. Atabiekow G., Teoria liniowych obwodów elektrycznych, WNT, Warszawa 1964.

2. Bolkowski S., Elektrotechnika teoretyczna, Wyd. 6, WNT, Warszawa 2001.

3. Cholewicki T., Elektrotechnika teoretyczna t. 1 WNT, Warszawa 1973.

4. Krakowski M., Elektrotechnika teoretyczna t. 1, PWN, Warszawa 1995.

5. Kurdziel R., Podstawy elektrotechniki, WNT, Warszawa 1972.

6. Skrypt Laboratorium Elektrotechniki teoretycznej, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1998 wydanie VII.

1

---