24. Wyznaczenie współczynnika refrakcji pionowej

24.1. Na podstawie dokładnie określonej różnicy wysokości

Jeśli przyjmiemy powierzchnię odniesienia w formie kuli i zaniedbamy odchylenia pionów to różnicę wysokości określimy wzorem:

(1)

lub dla płaszczyzny jako powierzchni odniesienia, czyli z pominięciem krzywizny Ziemi:

(2)

Z przekształcenia wzoru (1) otrzymamy:

(3)

a także po przekształceniu wzoru (2):

(4)

Jeśli zatem będziemy mieli różnicę wysokości pomiędzy punktami A i B określoną metodą precyzyjnej niwelacji geometrycznej i następnie wykonamy precyzyjne pomiary elementów dla metody niwelacji trygonometrycznej to obliczymy współczynnik
.

Ażeby ten współczynnik był reprezentatywny dla obszaru mierzonego to współczynnik ten powinien być wyznaczony na kilku odcinkach optymalnie rozmieszczonych.

Pozostaje zasadniczy problem do rozstrzygnięcia jak dokładnie powinny być wykonane pomiary, aby współczynnik był wyznaczony z wymaganą dokładnością.

Średni błąd funkcji (3) wyrazimy wzorem:

(5)

Pochodne cząstkowe:

Podstawiając pochodne cząstkowe do wzoru (5) otrzymamy:

(6)

przy założeniu:

Dla obserwacji w terenach płaskich możemy przyjąć
stąd:
,
i dodatkowo przyjmiemy
stąd:

(7)

a ponadto możemy także pominąć pierwszy wyraz pod pierwiastkiem oraz dwa ostatnie wyrazy, bo są bardzo małe w stosunku do wyrazu drugiego stąd otrzymamy:

(8)

Z wzoru (8) wynika, że średni błąd wyznaczenia współczynnika refrakcji jest wprost proporcjonalny do średniego błędu pomiaru kąta zenitalnego i odwrotnie proporcjonalny do długości odcinka.

Przykład:

Dla:
km;

km

otrzymamy:

Przyjmując:

km,

W celu określenia współczynnika refrakcji z dokładnością
:

dla:

• 
  km mamy
  
  

oraz dla:

• 
  km otrzymamy
  
  

Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że w celu uzyskania wysokiej dokładności wyznaczenie współczynnika refrakcji w przestrzennej metodzie, należy mierzyć kąty pionowe z bardzo wysoką dokładnością.

24.2. Na podstawie synchronicznych pomiarów kątów zenitalnych

Oznaczenia:

- kąty odchylenia pionów na iiii punkcie A i B,

- pomierzone kąty zenitalne,

- kąty refrakcji,

- średnia wysokość punktów ii A i B.

Rys. 1. Wyznaczenie współczynnika refrakcji na ;podstawie równoczesnego pomiaru kątów iii zenitalnych z obu końców odcinka

(1)

(2)

- promień Ziemi

(3)

- geodezyjne kąty zenitalne

Z
wynika:

stąd:

(4)

Dla wycinka koła
długość łuku można określić wzorem:

(5)

W odniesieniu do drugiego wycinka koła o promieniu
mamy podobny związek:

(6)

Zakładając:

otrzymamy:

(7)

stąd:

(8)

gdzie:

- współczynnik refrakcji

Można udowodnić, że:

(9)

natomiast:

(10)

Sumę
wyznaczamy wzorem (4).

Gdy warunki widoczności są dobre wówczas wzajemne celowanie można wykonywać na obiektywy lunet, a jeśli widoczność jest słaba wówczas na dźwigarach lunet umieszcza się dodatkowe tarcze celownicze.

W tym przypadku należy do pomierzonych kątów zenitalnych wprowadzić poprawkę ze względu na pionowy mimośród celowania.

Ilustracja zagadnienia przedstawiona jest na rysunku 2.

Rys. 2. Mimośrodowy pomiar kątów zenitalnych, wyznaczenie poprawek.

- kąty zenitalne pomierzone,

;

24.3. Na podstawie parametrów meteorologicznych

Wzór podany przez Levallois'a i zmodyfikowany przez Makowską:

(11)

gdzie:

- ciśnienie atmosferyczne w mm Hg,

- temperatura w K,

- pionowy gradient termiczny w stopniach na 100m,

- poprawka ze względu na wpływ wilgotności e.

Poprawka
nie ma praktycznego znaczenia.

Dokładność wyznaczenia współczynnika
zasadniczo zależy od dokładności wyznaczenia gradientu temperatury, a to nie jest łatwe bo w przyziemnej warstwie powietrza gradient ten wykazuje duże zróżnicowanie.

Pionowy gradient może być wyznaczany wzorami empirycznymi lub na podstawie pomiarów specjalnymi przyrządami.

Wzór empiryczny Brocks'a, dla niestabilnej warstwy atmosfery do 30m.

(12)

- pionowy gradient na wysokości 1m.

W tabeli 1 podano średnie dzienne gradienty temperatury w czerwcu obliczone przez Brocksa na podstawie pomiarów meteorologicznych oraz odpowiadające im współczynniki refrakcji.

Tabela 1. Wartość współczynnika refrakcji na różnych wysokościach nad terenem.

Wysokość celowej [m]
1 - 3	0,24	-1,24
3 - 5	0,11	-0,46
5 - 10	0,05	-0,10
10 - 20	0,025	+0,06
20 - 30	0,012	+0,13
Ponad 30	0,010	+0,15

.

Z tabeli wynika, że powszechnie przyjmowana wartość współczynnika refrakcji
występuje na wysokości 30m nad terenem, natomiast w pobliżu gruntu jego wartość jest dziesięciokrotnie większa i różni się znakiem.

Na rysunku 3 przedstawione są wykresy zmian współczynnika refrakcji w zależności od:

• typu pogody (słonecznie, pochmurno),

• wysokości nad terenem,

• pory dnia.

Rys. 3. Dzienne zmiany współczynnika refrakcji

---