TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI

Temat: METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH PRĘTOWEGO ELEMENTU SKOŃCZONEGO

Lp	Tytuł	str
1	Metoda elementów skończonych - informacje ogólne	3
1.1	Definicja	3
1.2	Wprowadzenie do MES	3
1.3	Istota MES - podział na elementy skończone	4-5
1.4	Ustalenie siatki elementu skończonego	5-6
1.5	Kolejność postępowania MES	6 -9
2	MES prętowego elementu skończonego	10
2.1	Budowa funkcji kształtu.	10-11
2.2	Określenie macierzy sztywności prętowego elementu skończonego.	11-16

• Metoda elementów skończonych - informacje ogólne

1. Definicja

Metoda Elementów Skończonych albo Metoda Elementu Skończonego (MES, ang. FEM, finite-element method) - zaawansowana metoda rozwiązywania układów równań różniczkowych, opierająca się na podziale dziedziny (tzw. dyskretyzacja) na skończone elementy, dla których rozwiązanie jest przybliżane przez konkretne funkcje i przeprowadzaniu faktycznych obliczeń tylko dla węzłów tego podziału.

2. Wprowadzenie do MES

Metoda elementów skończonych, w skrócie MES, jest jedną z najpopularniejszych metod służących do analizy numerycznej. Dzięki niej można w łatwy sposób opisać obszary o skomplikowanej geometrii poprzez wprowadzenie podziału na elementy skończone. Początki tej metody sięgają lat czterdziestych XX wieku. Wówczas wykorzystywano MES do rozwiązywania prostych zagadnień z dziedziny mechaniki. Do obliczeń wybierano obiekty o prostych geometriach modelowanych jako jednowymiarowe. W latach 70-tych zaczęto stosować MES do rozwiązywania modeli dwuwymiarowych. Obserwowany w latach 80-tychgwałtowny rozwój technik komputerowych umożliwił wykorzystanie MES do obliczeń bardzo skomplikowanych modeli 3D.

Początkowo metoda miała zastosowanie wyłącznie w mechanice czy przy konstrukcji maszyn. Dziś dzięki niemalże nieograniczonym możliwością technik komputerowych jest to powszechnie stosowana metoda do rozwiązywania problemów nie tylko w inżynierii, ale również w medycynie czy stomatologii (analiza stanu naprężeń powstających w tkankach zębów).

3. Istota MES - podział na elementy skończone

W metodzie elementów skończonych rozważany układ dzielimy na podobszary zwane elementami skończonymi. Są to proste figury geometryczne (płaskie lub przestrzenne), dla których wyodrębnione zostały punkty zwane węzłami. Węzły można zlokalizować na krawędziach elementów skończonych a także na jego bokach oraz w jego wnętrzu, w celu zwiększania dokładności rozwiązania.

Dokładność rozwiązania uzyskiwanego tą metodą zwiększa się wraz z zagęszczeniem siatki podziału konstrukcji na elementy skończone. Można dokonać podziału elementów skończonych na elementy:

• liniowe (prętowe)

Rys.5.11 Element skończony prętowy

• płaskie

• tarczowe

• płytowe

• przestrzenne

Rys.5.12 Element skończony przestrzenny

Biorąc pod uwagę kształt można dokonać podziału elementów skończonych na elementy :

• prostokątne

Rys.5.13 Tarczowy element prostokątny

• trójkątne

Rys.5.14 Tarczowy element trójkątny

• trapezowe

• koliste itd.

1. Ustalenie siatki elementu skończonego

Dokonując podziału na elementy skończone należy dobrać kształt elementu skończonego jak najbardziej regularny. Należy unikać elementów wydłużonych, nieforemnych. Wszystkie elementy skończone oraz węzły należy ponumerować. Nie istnieją zasady dotyczące numeracji, jest to sprawa dowolna.

Rys.5.15

Rys.5.16 Podział układu na elementy skończone

Podział konstrukcji na elementy skończone nosi nazwę dyskretyzacji układu. Należy zaznaczyć, że w wyniku dyskretyzacji układ nie zostaje podzielony na odrębne części. Element skończony należy rozważać, jako element sprężysty, na który zostają nałożone więzy zewnętrzne wymuszające ciągłość odkształceń modelu obliczeniowego. Agregacją nazywa się procedurę odwrotną, czyli gdy konstrukcję tworzy się z oddzielnych elementów. Zakłada się, że elementy skończone połączone są tylko w węzłach, poprzez które zapewniona jest ciągłość

konstrukcję tworzy się z oddzielnych elementów. Zakłada się, że elementy skończone połączone są tylko w węzłach, poprzez które zapewniona jest ciągłość przemieszczeń i kątów obrotów dwóch sąsiednich elementów. Jeżeli spełniony jest warunek ciągłości na całej krawędzi to takie elementy nazywamy dopasowanymi bądź dostosowanymi, w przeciwnym przypadku mamy do czynienia z elementami niedopasowanymi. Rozwiązanie wykorzystujące elementy niedopasowane obarczone są większymi błędami.

2. Kolejność postępowania w MES

Rozważany obszar dwuwymiarowy dzielimy na elementy skończone wg rys. Numerujemy również węzły każdego elementu. W układzie rzeczywistym na każdy element skończony nałożone są więzy sprężyste ze strony innych elementów. Zapewnia to nierozerwalność odkształceń układu. W tej metodzie zakłada się, że więzy przyłożone są tylko do węzłów. Po odrzuceniu więzów do węzłów należy przyłożyć niewiadome reakcje.

Rys.5.17 Schemat działania przemieszczeń węzłowych i reakcji przyłożonych do węzła

Przykładem może być element tarczowy prostokątny (Rys.5.17). Wierzchołki elementu oznaczamy kolejno cyframi {i,j,k,l}. W wyniku oddziaływania obciążenia, każdy element skończony doznaje przemieszczeń, które z kolei wymuszają reakcję od innych elementów. Reakcje należy sprowadzić do węzłów. W ten sposób otrzymujemy reakcję poziomą (H_i) i pionową(V_i) w węźle
. Następnie oznaczamy przemieszczenia u_i i v_i tego węzła.

Rys.5.18 Schemat numeracji węzłów

Kolejnym krokiem jest wprowadzenie uogólnionych przemieszczeń:

u₁= q₁ ; v₁= q₂ ; u₂= q₃ ; v₂= q₄ ; ... v₄= q₈ ; (5.21)

oraz uogólnionych reakcji węzłowych:

H₁= R₁ ; V₁= R₂ ; H₂= R₃ ; V₂= R₄ ; … V₄= R₈ . (5.22)

Jeżeli ciało obciążone jest liniowo sprężyste to między reakcjami przyłożonymi w węzłach a przemieszczeniami węzłowymi występują zależności liniowe:

R₁= H₁=k₁₁q₁+ k₁₂q₂+ k₁₃q₃+ k₁₄q₄+ k₁₅q₅+ k₁₆q₆+ k₁₇q₇+ k₁₈q₈

R₂= V₁=k₂₁q₁+ k₂₂q₂+ k₂₃q₃+ k₂₄q₄+ k₂₅q₅+ k₂₆q₆+ k₂₇q₇+ k₂₈q₈

R₃= H₂=k₃₁q₁+ k₃₂q₂+ k₃₃q₃+ k₃₄q₄+ k₃₅q₅+ k₃₆q₆+ k₃₇q₇+ k₃₈q₈

. .

. .

. .

. .

R₈= V₄=k₈₁q₁+ k₈₂q₂+ k₈₃q₃+ k₈₄q₄+ k₈₅q₅+ k₈₆q₆+ k₈₇q₇+ k₈₈q₈ (5.23)

Powyższy układ równań można zapisać w postaci macierzowej:

(5.24)

gdzie:

-jest to wektor przemieszczeń węzłowych;

-jest wektorem reakcji przyłożonych do węzłów; (
)- oznacza operację transpozycji wektora.

-nosi nazwę macierzy sztywności elementu skończonego i ma postać:

. (5.25).

Aby wyjaśnić sens mechaniczny współczynników tej macierzy należy przyjąć przemieszczenia odpowiedniego węzła q_i=1, natomiast pozostałe przemieszczenia przyjąć równe 0, wówczas z równań ( 5.23) otrzymujemy:

dla
.

Z powyższego wynika, że
jest to reakcja węzłowa działająca na kierunku reakcji
wywołana jednostkowym przemieszczeniem
pod warunkiem, że wszystkie pozostałe przemieszczenia węzłowe są zerowe.

Każdy element skończony jest elementem sprężystym w wyniku czego przemieszczenie
wywołuje wewnątrz tego elementu stan naprężeń, który opisuje się wektorem naprężeń:

. (5.26)

Następnie węzłowi, w którym przyłożona jest reakcja
nadajemy przemieszczenie wirtualne
, w kierunku działania tej reakcji. W wyniku tego element skończony doznaje odkształceń wirtualnych, które można opisać wektorem:

. (5.27)

Równanie pracy wirtualnej wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych przyłożonych do elementu skończonego na odpowiednich przemieszczeniach i odkształceniach wirtualnych można zapisać następująco:

, (5.28)

gdzie:

-wektor transponowany odkształceń wirtualnych wywołanych przemieszczeniem wirtualnym
.

Wektor
można podać w postaci:

, (5.29)

wówczas:

, (5.30)

gdzie:

jest wektorem odkształceń wywołanych przemieszczeniem jednostkowym
, w stanie wirtualnym.

Po przyrównaniu jednakowych przemieszczeń wirtualnych po obu stronach wyrażenia, otrzymujemy wzór na elementy
macierzy sztywności elementu skończonego:

. (5.31)

2. MES prętowego elementu skończonego

1. Budowa funkcji kształtu.

Rozważmy element skończony w postaci pręta rozciąganego:

Jest to element o dwóch węzłach. Posiada on dwa stopnie swobody: przemieszczenia podłużne u₁ i u₂.

Nadajmy prawo zmiany przemieszczeń wzdłuż pręta, tj. w obrębie elementu skończonego, w postaci:

u(x) = α₁+ α₂x (1)

Nieznane współczynniki α₁ i α₂ określamy z warunków brzegowych na końcach pręta:

(2)

W dalszych rozważaniach będziemy stosować oznaczenia jednolite:

(3)

mamy:

(4)

stąd uzyskujemy:

(5)

Podstawiamy znaczenia tych parametrów do wzoru (1) i otrzymujemy:

(6)

Podajmy to wyrażenie w postaci:

(7)

wprowadzając oznaczenia:

(8)

otrzymujemy ostateczną postać wyrażenia na przemieszczenia poziome punktów wewnątrz elementu skończonego:

(9)

Wyprowadzoną funkcję nazywamy funkcją kształtu elementu skończonego.

Właściwości:

• Każda funkcja kształtu opisuje prawo zmiany przemieszczeń po obrębie ES kiedy odpowiednie węzłowe przemieszczenie jest różne od zera, a pozostałe są równe zeru.

• Każda funkcja kształtu jest wielomianem tego rzędu co przemieszczenia.

• Funkcja kształtu f_i(i=1,2) równa jest l w rozpatrywanym węźle i zeru w pozostałych węzłach.

1. Określenie macierzy sztywności prętowego elementu skończonego.

Składowe macierzy sztywności prętowego elementu skończonego określamy ze wzoru () uwzględniając, że w rozważanym przypadku mamy tylko jedną składową wektora przemieszczeń (u(x)) oraz jedną składową tensora naprężeń σ_x . Korzystając ze związku geometrycznego:

(10)

określamy wydłużenie względne elementu skończonego, a następnie ze związku fizycznego uzyskujemy naprężenia:

(11)

gdzie EA jest sztywnością pręta na rozciąganie.

W taki sposób wzór na sztywność elementu prętowego przyjmuje postać:

(12)

jest odkształceniem wywołanym jednostkowym przemieszczeniem
pod warunkiem, że przemieszczenie
i, j = 1,2 i ≠ j.

Uwzględniając powyższe zależności otrzymujemy:

(13)

(14)

określamy:

(15)

Następnie określamy:

(16)

Te oznaczenia podajemy w postaci tabeli:

q1	q2	f(x)	εx	σx
1	0
0	1

Korzystając ze wzoru (12) otrzymujemy:

(17)

W taki sposób otrzymaliśmy macierz sztywności prętowego elementu skończonego:

(18)

Przykład

Pręt o zmiennym polu przekroju poprzecznego.

Pole przekroju poprzecznego pręta zmienia się zgodnie ze wzorem:

Ponieważ w sensie fizycznym liniowe równania algebraiczne metody elementów skończonych są równaniami równowagi sił przyłożonych do węzłów, to powstaje potrzeba w przeprowadzeniu obciążenia rozłożonego do sił skupionych, przyłożonych w węzłach.

Sprowadzenie obciążenia rozłożonego do węzłów:

Sprowadzenie obciążenia rozłożonego do węzłów dokonujemy korzystając z zasady pracy wirtualnej.

Uwzględniając wyrażenie na przemieszczenia przepiszemy to równanie w postaci:

Przyrównując wyrażenia przy jednakowych przemieszczeniach wirtualnych otrzymujemy wzory za pomocą których sprowadzamy obciążenia rozłożone na długości elementu skończonego sprowadzamy do obciążeń węzłowych:

Przykłady:

1. Obciążenia stałe:

Zgodnie ze wzorem mamy:

Element skończony pod obciążeniem hydrostatycznym:

Podobnie:

Działanie siły skupionej:

Przykład:

Oznaczmy przemieszczenia węzłów przez u₁, u₂, u₃. Ponieważ węzły 1 i 3 są usztywnione to u₁ = u₃ = 0. W taki sposób mamy jedne nieznane przemieszczenie u₂. Dlatego potrzebne jest napisać tylko jedno równanie równowagi sił przyłożonych do węzła 2.

Ogólna siła przyłożona do węzła 2 w kierunku osi x równa się sumie reakcji wywołanych przemieszczeniami węzłów 1,2,3.

Zapiszemy równania fizyczne dla każdego węzła:

Z warunku ciągłości:

Z warunków rozwiązywania:

Z warunku równowagi:

skąd

Współczynniki macierzy sztywności elementów 1 i 2 wynoszą:

KONIEC

7

---