Kolokwium wykładowe kinematyka, Studia, Sem 3, III, III Semestr, Mechanika II


Kolokwium wykładowe z kinamatyki

1. Obliczyć wartość iloczynu skalarnego 0x01 graphic
wektorów o składowych 0x01 graphic
0x01 graphic
.

Odp.: 0x01 graphic
.

2. Obliczyć wartość iloczynu wektorowego 0x01 graphic
wektorów o składowych 0x01 graphic
0x01 graphic
.

Odp.: 0x01 graphic
.

3. Obliczyć wartość iloczynu mieszanego 0x01 graphic
wektorów o składowych 0x01 graphic
, 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

Odp.:

0x01 graphic
.

4. Uprościć wyrażenie: 0x01 graphic
.

Odp.: Na podstawie tożsamości 0x01 graphic
wnioskujemy 0x01 graphic
.

5. Uprościć wyrażenie: 0x01 graphic
.

Odp.: 0x01 graphic
. Na podstawie antyprzemienności iloczynu mieszanego wnioskujemy, że 0x01 graphic
. Stąd wynika 0x01 graphic
.

6. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne.

Odp.: 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
jest przyspieszeniem stycznym, 0x01 graphic
jest przyśpieszeniem normalnym, 0x01 graphic
jest jednostkowym wektorem stycznym, 0x01 graphic
jest krzywizną toru, 0x01 graphic
jest promieniem krzywizny toru, 0x01 graphic
jest jednostkowym wektorem normalnym.

7. Dane są równania płaskiego ruchu punktu materialnego: 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
 i 0x01 graphic
są stałymi. Wyznaczyć przyspieszenie normalne i styczne w chwili 0x01 graphic
.

Odp.: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Obliczenia: Na podstawie twierdzenia o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne obliczmy:

a). Wektor prędkości punktu 0x01 graphic
.

b). Długość wektora prędkości 0x01 graphic
.

c). Jednostkowy wektor styczny 0x01 graphic
.

d). Jednostkowy wektor normalny 0x01 graphic
, bo w ruchu płaskim wystarczy obrócić 0x01 graphic
o -90o aby otrzymać 0x01 graphic
.

e). Wektor przyśpieszenia 0x01 graphic
.

f). Przyspieszenie styczne 0x01 graphic
.

g). Przyspieszenie normalne 0x01 graphic
.

h). Wartości chwilowe przyspieszenia stycznego i normalnego:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

0x01 graphic

8. Dane są równania płaskiego ruchu punktu materialnego: 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
 i 0x01 graphic
są stałymi. Wyznaczyć przyspieszenie normalne i styczne w chwili 0x01 graphic
.

Odp.: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Obliczenia: Na podstawie twierdzenia o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne obliczmy:

a). Wektor prędkości punktu 0x01 graphic
.

b). Długość wektora prędkości 0x01 graphic
.

c). Jednostkowy wektor styczny 0x01 graphic
.

d). Jednostkowy wektor normalny 0x01 graphic
, bo w ruchu płaskim wystarczy obrócić wektor styczny 0x01 graphic
o -90o aby otrzymać wektor normalny 0x01 graphic
.

e). Wektor przyśpieszenia 0x01 graphic
.

f). Przyspieszenie styczne 0x01 graphic
.

g). Przyspieszenie normalne 0x01 graphic
.

h). Wartości chwilowe przyspieszenia stycznego i normalnego:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

0x01 graphic

9. Koło o promieniu R toczy się ruchem płaskim po płaszczyźnie bez poślizgu. Wiadomo, że prędkość środka koła 0x01 graphic
jest stała. Wyznaczyć przyspieszenie punktu odległego o r od środka koła w swym najwyższym/najniższym/dowolnym położeniu.

Odp.: 0x01 graphic
.

Obliczenia.

0x01 graphic

Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły 0x01 graphic
, bo 0x01 graphic
.

Zatem prędkość kątowa koła wynosi 0x01 graphic
. Zatem przyśpieszenie kątowe koła wynosi 0x01 graphic
.

Z twierdzenia o przyśpieszeniach punktów bryły 0x01 graphic
. Ale przyśpieszenie środka koła wynosi 0x01 graphic
. Przyśpieszenie obrotowe również znika 0x01 graphic
. Pozostaje jedynie przyśpieszenie dośrodkowe 0x01 graphic
.

Uwaga! Jak to zwykle bywa w niniejszym zadaniu przyśpieszenie środka chwilowego obrotu jest niezeroweeeeeeeeeeeeeeeee i wynosi 0x01 graphic
.

10. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach i przyśpieszeniach punktów bryły w ruchu kulistym.

Odp.: W ruchu kulistym prędkość i przyśpieszenie punktu bryły o położeniu 0x01 graphic
względem środka ruchu wynoszą odpowiednio

0x01 graphic
, 0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest wektorem prędkości kątowej bryły, a 0x01 graphic
jest wektorem przyśpieszenia kątowego bryły?

12. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem obrotowym ze stałą prędkością kątową 0x01 graphic
. Obliczyć składowe wektorów prędkości i przyśpieszenia punktu bryły o współrzędnych 0x01 graphic
względem układu współrzędnych z zerem na osi obrotu.

Odp.: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że prędkość rozpatrywanego punktu wynosi

0x01 graphic

Z twierdzenia o przyśpieszeniach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że przyśpieszenie rozpatrywanego punktu wynosi

0x01 graphic

bo 0x01 graphic
.

13. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem obrotowym ze stałą prędkością kątową 0x01 graphic
. Obliczyć składowe wektorów prędkości i przyśpieszenia punktu bryły o współrzędnych 0x01 graphic
względem układu współrzędnych z zerem na osi obrotu.

Odp.: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że prędkość rozpatrywanego punktu wynosi

0x01 graphic

Z twierdzenia o przyśpieszeniach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że przyśpieszenie rozpatrywanego punktu wynosi

0x01 graphic

bo 0x01 graphic
.

14. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem kulistym, a punkty A i B mają współrzędne odpowiednio [1,0,0] i [0,1,0] względem układu współrzędnych z zerem w środku ruchu kulistego. Wiadomo również, że składowe prędkości punktów A i B wynoszą odpowiednio [0,3,-2] i [-3,0,1] w tym samym układzie współrzędnych. Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły.

Odp.: 0x01 graphic
.

Obliczenia: Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym zastosowanego dla punktów A i B wynika

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Stąd wnioskujemy, że 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
jest rozwiązaniem otrzymanego układu równań.

15. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem kulistym, a punkty A i B mają współrzędne odpowiednio [1,0,0] i [0,1,0] względem układu współrzędnych z zerem w środku ruchu kulistego. Wiadomo również, że składowe prędkości punktów A i B wynoszą odpowiednio [0,1,-2] i [-1,0,3] w tym samym układzie współrzędnych. Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły.

Odp.: 0x01 graphic
.

Obliczenia: Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym zastosowanego dla punktów A i B wynika

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Stąd wnioskujemy, że 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
jest rozwiązaniem otrzymanego układu równań.

16. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach w ruchu złożonym punktu.

Odp.: Jeżeli równania ruchu punktu materialnego przedstawić w postaci

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
są współrzędnymi rozpatrywanego punktu względem zaczepionego w punkcie 0x01 graphic
ruchomego układu współrzednych o wersorach 0x01 graphic

to prędkość bezwzględna punktu wynosi 0x01 graphic
gdzie

0x01 graphic
jest prędkością względną, a

0x01 graphic
jest prędkością unoszenia, natomiast 0x01 graphic
jest wektorem prędkości kątowej ruchomego układu współrzędnych.

17. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o przyśpieszeniach w ruchu złożonym punktu.

Odp.: Jeżeli równania ruchu punktu materialnego przedstawić w postaci

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
są współrzędnymi rozpatrywanego punktu względem zaczepionego w punkcie 0x01 graphic
ruchomego układu współrzednych o wersorach 0x01 graphic

to przyspieszenie bezwzględne punktu wynosi 0x01 graphic
gdzie

0x01 graphic
jest przyśpieszeniem względnym,

0x01 graphic
jest przyśpieszeniem unoszenia, a

0x01 graphic
jest przyspieszeniem Coriolisa natomiast 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są wektorami prędkości i przyspieszenia kątowego ruchomego układu współrzędnych.

Dodatek - Iloczyn wektorowy

0x01 graphic

Iloczyn wektorowy jest pseudowektorem, tzn. wynik obliczeń w dwu różnych układach współrzędnych nie zależy od wyboru układu współrzędnych pod warunkiem, że oba układy mają tę samą skrętność a zmienia zwrot na przeciwny w przypadku układów o różnych skrętnościach.

Podstawowe właściwości:

0x01 graphic

Kierunek iloczynu wektorowego 0x01 graphic
jest prostopadły do czynników, a zwrot taki, że trójka wektorów 0x01 graphic
ma taką samą skrętność jak przyjęty układ współrzędnych.

0x01 graphic

0x01 graphic

Dodatek - Iloczyn mieszany

0x01 graphic

Iloczyn mieszany jest pseudoskalarem, tzn. wynik obliczeń w dwu różnych układach współrzędnych nie zależy od wyboru układu współrzędnych pod warunkiem, że oba układy mają tę samą skrętność a zmienia znak na przeciwny w przypadku układów o różnych skrętnościach.

Podstawowe właściwości:

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Harmonogram ETI, Studia Politechnika Wydział Mechaniczny, studia, Sem III, SEMESTR III, płyny, labor
opracowanie 4 mechana, Studia - Mechatronika, III semestr, Mechanika Techniczna
opracowanie 4 mt, Studia - Mechatronika, III semestr, Mechanika Techniczna
Mechatronika tematy egz, Studia, Sem III, Wytrzymałość materiałów II
opracowanie 4 mechana, Studia - Mechatronika, III semestr, Mechanika Techniczna
Kol-1R, Prywatne, Budownictwo, Materiały, III semestr, Mechanika II, mechanika II
mini min bryÄŹĹĽËťa, Prywatne, Budownictwo, Materiały, III semestr, Mechanika II, mechanika II
tomek mechana 2 2, Prywatne, Budownictwo, Materiały, III semestr, Mechanika II, mechanika II, projek
Zadania odp same, Prywatne, Budownictwo, Materiały, III semestr, Mechanika II, mechanika II, Dynamik
Ekonomika ochrony srodowiska wyklad 18.04.05, administracja, II ROK, III Semestr, rok II, sem IV, Ek
egzamin gps II sem III, Studia, Geodezja, III SEMESTR, Nieposortowane, III SEMESTR, GPSZ II SEM
Prawo ochrony srodowiska Wyklad 06, administracja, II ROK, III Semestr, rok II, se
Postepowanie administracyjne W 18.05, administracja, II ROK, III Semestr, rok II, sem IV, postępowan
Ekonomika Ochrony Srodowiska wyklad 28.02.05, administracja, II ROK, III Semestr, rok II, sem IV, Ek
Ekonomika srodowiska wyklad 07.03.05, administracja, II ROK, III Semestr, rok II, sem IV, Ekonomika
2010 Biochemia, Studia UMCS, III semestr, Biochemia, kolokwia połówkowe

więcej podobnych podstron