Politechnika Warszawska

Wydział Inżynierii Środowiska

Zakład Budownictwa Wodnego i Hydrauliki

Metody numeryczne

Ćwiczenie 4

Wykonanie: Weronika Hejko

Prowadzący: dr inż. Piotr Kuźniar

Data oddania:25.01.2016

1. Wstęp

1. Wykonanie ćwiczenia oraz dane

W ćwiczeniu należy rozwiązać metodą różnic skończonych poniższe zagadnienie:

gdzie N - numer na liście równy 6.

Stosując schemat różnicowy wprzód, wstecz oraz schemat centralny kolejno z krokami:

h₁ = 2,

h₂ = 1,

h₃ = 0,5,

w przedziale <0,6>.

2. Metoda różnic skończonych

Metoda różnic skończonych jest to metoda rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych, która jest jedną z najczęściej stosowanych.

2.1. Schemat (pochodna) różnicowy „w przód”

Schemat różnicowy „w przód” wyznacza się na podstawie wzoru:

2.1

gdzie:

f'(x) - pochodna cząstkowa

h = Δx = const - krok

E(u)' - błąd schematu

Poniżej przedstawiono tabelę z obliczeniami:

Tabela 1. Wyniki obliczeń dla schematu (pochodnej) różnicowego „w przód”

xi	g(x) = f(xi)'	f - różnica w przód			f(xi)
				h=2		h=1	h=0.5
0	0	3	3	3	3
0.5	1.5			3	3.25
1	6		3	3.75	5
1.5	13.5			6.75	9.75
2	24	3	9	13.5	19
2.5	37.5			25.5	34.25
3	54		33	44.25	57
3.5	73.5			71.25	88.75
4	96	51	87	108	131
4.5	121.5			156	185.25
5	150		183	216.75	253
5.5	181.5			291.75	335.75
6	216	243	333	382.5	435

2.2. Schemat (pochodna) różnicowy „wstecz”

Schemat różnicowy „wstecz” wyznacza się na podstawie wzoru:

2.2

gdzie:

f'(x) - pochodna cząstkowa

h = Δx = const - krok

E(u)' - błąd schematu

Poniżej przedstawiono tabelę z obliczeniami:

Tabela 2. Wyniki obliczeń dla schematu (pochodnej) różnicowego „wstecz”

xi	g(x) = f(xi)'	f - różnica wstecz			f(xi)
				h=2		f(xi)	h=0.5
0	0	3	3.00	3.00	3
0.5	1.5			3.75	3.25
1	6		9.00	6.75	5
1.5	13.5			13.50	9.75
2	24	51.00	33.00	25.50	19
2.5	37.5			44.25	34.25
3	54		87.00	71.25	57
3.5	73.5			108.00	88.75
4	96	243.00	183.00	156.00	131
4.5	121.5			216.75	185.25
5	150		333.00	291.75	253
5.5	181.5			382.50	335.75
6	216	675.00	549.00	490.50	435

2.3. Schemat (pochodna) różnicowy „centralny”

Schemat różnicowy „centralny” wyznacza się na podstawie wzoru:

2.3

gdzie:

f'(x) = g(x) - pochodna cząstkowa

h = Δx = const - krok

E(u)' - błąd schematu

Poniżej przedstawiono tabelę z obliczeniami:

Tabela 3. Wyniki obliczeń dla schematu (pochodnej) różnicowego „centralnego”

xi	g(x) = f(xi)'	f (x) różnica centralna			f(xi)
				h=2		h=1	h=0.5
0	0.00	3	3.00	3.00	3
0.5	1.50			3.75	3.25
1	6.00		9.00	4.50	5
1.5	13.50			11.25	9.75
2	24.00	51.00	15.00	18.00	19
2.5	37.50			36.75	34.25
3	54.00		69.00	55.50	57
3.5	73.50			92.25	88.75
4	96.00	99.00	123.00	129.00	131
4.5	121.50			189.75	185.25
5	150.00		273.00	250.50	253
5.5	181.50			341.25	335.75
6	216.00	531.00	423.00	432.00	435

3. Porównanie wyników otrzymanych stosując powyższe metody różnicowe

3.1. Wyniki dla kroku h=0.5

Tabela 4. Zestawienie wyników dla wszystkich schematów dla kroku h= 0.5

dla h =0.5
i	xi	g(x) = f(x)'	schemat w przód	schemat w wstecz	schemat centralny	f(xi)
0	0	0.00	3.00	3.00	3.00	3.00
1	0.5	1.50	3.00	3.75	3.75	3.25
2	1	6.00	3.75	6.75	4.50	5.00
3	1.5	13.50	6.75	13.50	11.25	9.75
4	2	24.00	13.50	25.50	18.00	19.00
5	2.5	37.50	25.50	44.25	36.75	34.25
6	3	54.00	44.25	71.25	55.50	57.00
7	3.5	73.50	71.25	108.00	92.25	88.75
8	4	96.00	108.00	156.00	129.00	131.00
9	4.5	121.50	156.00	216.75	189.75	185.25
10	5	150.00	216.75	291.75	250.50	253.00
11	5.5	181.50	291.75	382.50	341.25	335.75
12	6	216.00	382.50	490.50	432.00	435.00

Rys. 1 Interpretacja graficzna schematu w przód, wstecz i schematu centralnego dla kroku h= 0,5

3.2. Wyniki dla kroku h=1

Tabela 5. Zestawienie wyników dla wszystkich schematów dla kroku h = 1

dla h = 1
i	xi	g(x) = f(x)'	schemat w przód	schemat w wstecz	schemat centralny	f(xi)
0	0	0.00	3.00	3.00	3.00	3.00
	0.5	1.50				3.25
1	1	6.00	3.00	9.00	9.00	5.00
	1.5	13.50				9.75
2	2	24.00	9.00	33.00	15.00	19.00
	2.5	37.50				34.25
3	3	54.00	33.00	87.00	69.00	57.00
	3.5	73.50				88.75
4	4	96.00	87.00	183.00	123.00	131.00
	4.5	121.50				185.25
5	5	150.00	183.00	333.00	273.00	253.00
	5.5	181.50				335.75
6	6	216.00	333.00	549.00	423.00	435.00

Rys. 2 Interpretacja graficzna schematu w przód, wstecz i schematu centralnego dla kroku h = 1

3.3. Wyniki dla kroku h=2

Tabela 6. Zestawienie wyników dla wszystkich schematów dla kroku h = 2

dla h = 2
i	xi	g(x) = f(x)'	schemat w przód	schemat w wstecz	schemat centralny	f(xi)
0	0.00	0.00	3.00	3.00	3.00	3.00
	0.50	1.50				3.25
	1.00	6.00				5.00
	1.50	13.50				9.75
1	2.00	24.00	3.00	51.00	51.00	19.00
	2.50	37.50				34.25
	3.00	54.00				57.00
	3.50	73.50				88.75
2	4.00	96.00	51.00	243.00	99.00	131.00
	4.50	121.50				185.25
	5.00	150.00				253.00
	5.50	181.50				335.75
3	6.00	216.00	243.00	675.00	531.00	435.00

Rys. 3 Interpretacja graficzna schematu w przód, wstecz i schematu centralnego dla kroku h = 2

11

---