(7.41)

Przyjmując parametry krytyczne jako wielkości odniesienia otrzymujemy

(7.42)

oraz

(7.43)

Porównując związki (7.40) ÷ (7.41) ze związkami (7.42) ÷ (7.43) obliczamy stosunki parametrów krytycznych do parametrów spiętrzenia

(7.44)

które odgrywają istotną rolę w zagadnieniach przepływu gazu przez przewody o zmiennych przekrojach.

7.3. Prostopad*a fala uderzeniowa

W naddźwiękowych strumieniach gazu mogą pojawiać się warstwy o grubościach równych swobodnej drodze cząsteczek, w których zachodzi gwałtowna zmiana parametrów gazu. Warstwy te nazywane są falami uderzeniowymi ; nie-które przykłady ich występowania pokazano na rys. 7.3.

Rys. 7.3

Fale uderzeniowe mogą być odsunięte lub dosunięte oraz w zależności od kształtu: krzywoliniowe, stożkowe, kuliste albo też prostopadłe, jeśli pewna część fali uderzeniowej jest prostopadła do kierunku przepływu niezakłóconego.

W dalszym ciągu ograniczymy się do omówienia tylko prostopad*ej fali uderzeniowej , która może występować także przy przepływach przez dysze, długie przewody i podczas wybuchów.

Przy założeniu, że gaz jest nielepki i nie przewodzący ciepła, fala uderzeniowa jest powierzchnią nieciągłości. Ponadto ze względu na pomijalnie małą grubość fali można przyjąć, że przepływ przez falę jest adiabatyczny.

Rys. 7.4

Rozważmy fragment prostopadłej i nieruchomej fali uderzeniowej, zawierający się w powierzchni kontrolnej σ (rys. 7.4).

Związki między parametrami gazu po obu stronach prostopadłej fali uderzeniowej wynikają z:

1) równania ciągłości (3.22)

(7.45)

2) równania pędu

(7.46)

uzyskanego z połączenia równania Eulera i równania ciągłości (7.45)

3) równania energii (7.24)

(7.47)

Rozwiązujemy układ równań (7.45) i (7.46) względem i i podstawiamy do równania energii (7.47). Po uporządkowaniu otrzymujemy ostatecznie wzór, nazywany w dynamice gazów adiabatą Hugoniota

(7.48)

Adiabata Hugoniota różni się od znanej z termodynamiki adiabaty Poissona (1.14) const, wyrażającej warunek stałości entropii gazu; krzywe odpowiadające tym równaniom wykreślone są na rys.7.5. Wynika stąd wniosek, że entropia gazu ulega zmianie po przejściu fali uderzeniowej.

Rys. 7.5

Z równania (7.12) otrzymujemy

(7.49)

i następnie, po wykorzystaniu (7.6) i równania stanu (1.13), jest

(7.50)

Entropia gazu zawartego w obszarze kontrolnym nie może maleć, stąd mamy

(7.51)

Badając równanie adiabaty Poissona

(7.52)

i równanie adiabaty Hugoniota (7.48) (rys. 7.5) stwierdzamy, że:

1) w punkcie (1, 1) obie funkcje oraz ich pierwsze i drugie pochodne mają jednakowe wartości,

2) adiabata Hugoniota ma asymptotę

3) nierówność (7.51) jest spełniona tylko na części adiabaty Hugoniota, leżącej na prawo od punktu (1, 1).

Ostatnie stwierdzenie jest równoważne nierównościom

, (7.53)

orzekającym, iż warunek określony drugą zasadą termodynamiki spełniają tylko zgęszczeniowe fale uderzeniowe, w których ciśnienie po stronie tylnej jest większe od ciśnienia po stronie czołowej

Wyznaczymy jeszcze zależności między innymi parametrami gazu po przejściu fali (7.53):

- prędkość przepływu. Z drugiego warunku (7.53) i równania ciągłości (3.22) wynika nierówność

(7.54)

- entalpia gazu. Zgodnie z równaniem (7.28) musi być

(7.55)

jeśli moduł prędkości maleje,

- temperatura gazu. Jest proporcjonalna do entalpii (7.25), zatem również wzrasta

(7.56)

W celu uzyskania ilościowego związku między prędkościami przepływu oraz
układ równań (7.45) ÷ (7.46) zapiszemy w postaci

(7.57)

Z równania energii (7.47), po przyjęciu stałej Bernoulliego zgodnie z (7.36), mamy

Po podstawieniu tych wyrażeń do wzoru (7.57) i pominięciu rozwiązania odpowiadającego przepływowi bez fali uderzeniowej otrzymamy zależność Prandtla

(7.58)

Zestawiając ten wynik ze wzorem (7.54) stwierdzamy, że w prostopadłej fali uderzeniowej prędkość gazu po stronie czołowej jest zawsze nadkrytyczna, a po stronie tylnej - zawsze podkrytyczna.

Na koniec udowodnimy, że ciśnienie spiętrzenia maleje po przejściu fali uderzeniowej, co jest związane ze wzrostem entropii gazu. Związek między ciśnieniami spiętrzenia wynika ze wzorów (7.31)

,

przy założeniu, że ruch gazu przed i za falą uderzeniową jest izentropowy

W wyniku odpowiednich przekształceń z trzech ostatnich zależności wyprowadzamy związek

(7.59)

na mocy (7.51) jest więc

7.4. Przep*yw przewodem o zmiennym przekroju

Rozpatrzymy przepływ ustalony przewodem o zmiennym przekroju, bez wymiany masy przez ścianki i bez wymiany ciepła. Ograniczymy się przy tym do przewodów krótkich, dla których może być pominięty wpływ tarcia gazu na zmianę parametrów przepływu; przepływ możemy więc traktować jako izentropowy.

Zasadę zachowania masy reprezentuje równanie (3.22), określające wydatek masowy. Po jego zlogarytmowaniu i zróżniczkowaniu otrzymujemy

(7.60)

Z równania Eulera (4.3) mamy

i następnie wykorzystujemy zależność (7.18) oraz zależność na liczbę Macha (7.21) - ostatecznie jest

(7.61)

Po odpowiednim przekształceniu wzorów (7.60) i (7.61) możemy wyznaczyć związki między przyrostami prędkości przepływu i gęstości gazu, a przyrostem przekroju przewodu:

(7.62)

(7.63)

Związki te nazywane są równaniami Hugoniota .

Dla znanego przyrostu gęstości gazu obliczamy przyrost ciśnienia i przyrost temperatury z równania izentropy (1.14) i równania stanu (1.13):

(7.64)

(7.65)

Ostatnie cztery równania pozwalają na bezpośrednią ocenę gradientów prędkości przepływu i parametrów gazu w zależności od gradientu przekroju przewodu; zestawienie uzyskanych rezultatów zostało przedstawione na rys. 7.6.

Rys. 7.6

Z analizy przedstawionych na rys. 7.6 znaków przyrostów wynikają następujące wnioski:

1) dla stałego znaku
odpowiadające sobie gradienty parametrów przepływu pod- i naddźwiękowego są przeciwne,

2) przyspieszenie przepływu następuje dla gdy
oraz dla gdy
taki kanał zbieżno-rozbieżny nazywa się dyszą,

3) wyhamowanie przepływu następuje dla gdy
oraz dla
gdy taki kanał rozbieżno-zbieżny nazywa się dyfuzorem .

Analizując dokładniej przepływ w dyszy stwierdzamy, że:

1) jeśli w najwęższym przekroju nie zostanie osiągnięta prędkość dźwięku, to w części rozszerzającej się prędkości będą maleć (dysza Venturiego),

2) uzyskanie prędkości naddźwiękowych jest możliwe jedynie w przypadku, gdy w najwęższym przekroju występują parametry krytyczne (dysza de Lavala).

*

Zajmiemy się przepływem przez dyszę de Lavala zakładając, że dysza ta przechodzi bezpośrednio w ściankę zbiornika, w którym znajduje się gaz o znanych parametrach (rys. 7.7). Końcowy przekrój dyszy niech będzie tak dobrany, aby ciśnienie gazu przypływającego przez dyszę osiągało w tym przekroju zadaną wartość ciśnienia zewnętrznego

Rys. 7.7

Ze związków (7.44) i (7.20) łatwo wyznaczymy parametry gazu występujące w gardzieli dyszy. Gęstość w przekroju wylotowym jest określona równaniem izentropy

Z równania Bernoulliego

obliczamy następnie (wzór Saint-Venanta i Wantzela)

. (7.66)

Wielkość przekroju wynika z równania ciągłości

dla zadanego przekroju

W celu wyznaczenia związku między liczbą Macha a dowolnym polem przekroju dyszy logarytmujemy i różniczkujemy wyrażenie (7.21)

które następnie, po wykorzystaniu wzorów (7.62) ÷ (7.65), przekształcamy następująco

(7.67)

Po scałkowaniu i obliczeniu stałej całkowania dla otrzymujemy zależność

(7.68)

przedstawioną również na rys. 7.8.

Rys. 7.8

Wypływ z dyszy obliczeniowej
ma postać schematycznie przedstawioną na rysunku 7.9a. W zależności od wzajemnej relacji między ciśnieniem zewnętrznym a ciśnieniem obliczeniowym
obraz przepływu ulega jednak znacznym zmianom, gdyż zarówno w dyszy, jak i w strumieniu swobodnym pojawiają się różne struktury przepływu:

1) gdy
(rys. 7.9b) gaz na zewnątrz dyszy ulega dodatkowemu rozprężaniu,

2) gdy
następuje sprężanie gazu, które odbywa się poprzez powstające skośne fale uderzeniowe przy małej różnicy ciśnień (rys. 7.9c), poprzez prostopadłą falę uderzeniową przy większej różnicy ciśnień (rys. 7.9d, e) lub poprzez występowanie przepływu poddźwiękowego w całej dyszy w przypadku znacznej różnicy ciśnień (rys. 7.9f ).

Rys. 7.9

7.5. Przep*yw izentropowy nieustalony

Zajmiemy się obecnie ogólnym przypadkiem ruchu jednowymiarowego i niestacjonarnego, w którym można pominąć wpływ wymiany ciepła i tarcia gazu.

Układ równań, określający prędkość przepływu
ciśnienie statyczne
i gęstość
składa się z równania ciągłości (3.16), równania Eulera (4.1), zapisanego dla kierunku x przy założeniu X = 0, oraz równania izentropy (7.41) i jest następujący:

181

---