Uzupełnienie wykładu 1

/wprowadzenie do Ekonometrii/

1. Przykłady modeli

2. Metody doboru zmiennych objaśniających modelu ekonometrycznego

,
, gdzie: E - energia,

m - masa,

c - prędkość światła.

,
, gdzie: D_NB - wartość

dochodu narodowego

brutto,

K - nakłady kapitału,

L - nakłady pracy.

,

gdzie: D - popyt,

S - podaż,

P - cena.

Model gospodarki narodowej

Tożsamości:

1. Definicja dochodu narodowego brutto - GNP

C_t + I_t +G_t + E_t - (IM)_t = X_t,

2. Równoważność wiążąca GNP oraz NI

/National Income -dochód narodowy/

p_t X_t -T_1t - p_t D_t = Y_t + T_2t + T_3t - T_rt,

3. Definicja dochodu narodowego NI:

w_t L_t + P_t = Y_t + T_2t + T_3t - T_rt,

4. Definicja zasobów majątku trwałego K:

K_t = K_t-1 + I_t - D_t,

Relacje behawiorystyczne i technologiczne:

1. Funkcja konsumpcji C:

C_t = α₀ +α₁ (
) + α₂ C_t-1 + u_1t,

2. Funkcja inwestycji I:

I_t = β₀ + β₁ X_t + β₂ r_t + β₃ K_t-1 + u_2t,

3. Funkcja eksportu E:

E_t = γ₀ +γ₁ WT_t + γ₂ (
) + γ₃ E_t-1 + u_3t,

4. Funkcja importu IM:

IM_t = δ₀ + δ₁ X_t + δ₂ (
) + δ₃ IM_t-1 + u_4t,

5. Funkcja produkcji /wyznacza zapotrzebowanie na siłę roboczą L/:

ln L_t = ε₀ + ε₁ ln X_t + ε₂ ln K_t-1 + ε₃ ln L_t-1 + u_5t,

6. Równanie kształtowania cen p:

P_t = ζ₀ + ζ₁ (
) + ζ₂ pm_t + u_6t,

7. Równanie kształtowania płac w:

Δln w_t = η₀ + η₁ (
) + η₂ Δln p_t + u_7t,

8. Współczynnik aktywności zawodowej (LF)/N:

(LF_t)/N_t = θ₀ + θ₁ (
) +θ₂ (
) + u_8t,

9. Równanie szybkości obiegu pieniądza (pX)/M:

ln (
) = τ₀ + τ₁ r_t + τ₂ Δln p_t + u_9t,

10. Równanie deprecjacji D:

D_t = χ K_t-1 + u_10t,

Równania prawne i instytucjonalne

1. Równanie podatków pośrednich T₁:

T_1t = Γ₁₀ + Γ₁₁ (p_t X_t) + u_11t,

2. Równanie bezpośrednich podatków osobistych T₂:

T_2t = Γ₂₀ + Γ₂₁ Y_t + u_12t,

3. Równanie bezpośrednich podatków przedsiębiorstw T₃:

T_3t = Γ₃₀ + Γ₃₁ p_t + u₁₃,

4. Równanie transferów T_r:

T_r = Γ_r0 + Γ_r1 (LF_t - L_t ) + Γ_r2 w_t +u_14t.

Zmienne endogeniczne:

C_t - realne wydatki konsumentów,

Y_t - nominalne dochody osobiste do dyspozycji,

p_t - ogólny poziom cen,

I_t - realny przyrost majątku (inwestycji),

X_t - produkt społeczny brutto (GNP),

r_t - nominalna stopa procentowa (interest rate),

K_t - zasób realnego majątku trwałego,

E_t - realny eksport,

IM_t - realny import,

L_t - zatrudnienie,

w_t - średnia płaca,

LF_t - siła robocza,

D_t - realne zużycie majątku (deprecjacja),

T_1t - nominalne podatki pośrednie,

T_2t - nominalne podatki osobiste (bezpośrednie),

T_3t - nominalne bezpośrednie podatki przedsiębiorstw,

T_rt - nominalne transfery na rzecz osób fizycznych,

P_t - nominalne dochody niepłacowe (zyski).

Zmienne egzogeniczne:

G_t - realne wydatki rządowe na dobra i usługi,

WT_t - realny wolumen handlu światowego,

pw_t - ceny w handlu światowym,

pm_t - ceny importu,

N_t - liczba ludności,

M_t - nominalna podaż pieniądza.

Niech Y_t = α₀ + α₁X_1t + α₂X_2t + α₃X_3t + α₄X_4t + ξ_t, gdzie:

Y_t - zmiany produkcji w przedsiębiorstwie [mld zł],

X_1t - zatrudnienie [tys. osób],

X_2t - wartość maszyn i urządzeń [mld zł],

X_3t - czas przestoju maszyn [liczba dni],

X_4t - nakłady inwestycyjne [mln zł],

t € [1991 - 2000].

Lata	Yt	X1t	X2t	X3t	X4t
1991	10	6	8	14	12
1992	10	6	8	14	12
1993	16	10	12	18	12
1994	16	10	12	18	14
1995	12	8	8	18	10
1996	14	10	8	18	12
1997	20	12	14	24	14
1998	20	12	16	24	12
1999	20	12	16	26	12
2000	22	14	18	26	10

1. Eliminacja zmiennych quasi - stałych

Niech ν_i oznacz poziom zmienności zmiennej

gdzie:
=

oraz (i = 1,2, … n),

x_i - średnia arytmetyczna zmiennej X_it,

S_i - odchylenie standardowe zmiennej X_it,

,

Niech ν* oznacza wartość krytyczną poziomu zmienności:

H₀ ={ ν_i ≤ ν*; zmienna X_i quasi - stała },

H₁ ={ ν_i > ν*; zmienna X_i istotnie opisuje zmiany Y_t }.

Współczynnik poziomu zmienności:

ν₁ = 0,251, ν₂ = 0,307, ν₃ = 0,219, ν₄ = 0,105.

Niech ν* = 15%. Wniosek?

2. Analiza macierzy współczynników korelacji.

Zdefiniujmy macierz U = [

], gdzie elementy macierzy U są wartościami współczynników korelacji pomiędzy zmienną objaśnianą Y a zmiennymi X_i oraz pomiędzy zmiennymi X_i a X_j.

Ponadto wyznaczmy:

Statystyka I^* ma rozkład t - Studenta o parametrach rozkładu (α; n-2)

1. Ze zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających eliminuje się wszystkie zmienne, dla których zachodzi nierówność:

[r_i] ≤ r*;

zmienne X_it są nieistotnie skorelowane ze zmienną objaśnianą.

2. Spośród pozostałych zmiennych jako zmienną objaśniającą wybiera się taką zmienną X_ht, dla której:

[r_h] =max {[r_i]};

zmienna X_ht jest nośnikiem największego zasobu informacji o zmiennej objaśnianej Y_t.

3. Ze zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających eliminuje się wszystkie zmienne, dla których:

[r_hi] > r*;

są to zmienne zbyt silnie skorelowane ze zmienną objaśniającą X_ht, a więc powielające dostarczone przez nią informacje.

Postępowanie przedstawione w punktach 1, 2, i 3 kontynuuje się aż do momentu wyczerpania zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających.

Elementy macierzy U są równe:

,

Dla rozkładu (8; 0,02);I^* = 2,897, stąd r* = 0,7155.

C. Metoda wskaźników pojemności informacyjnej

Dana relacja R(Y_t, X_1t, … X_kt), zdefiniujmy wszystkie podzbiory zbioru {X_1t, … X_kt}, ich liczba jest równa L = 2^k - 1.

Definiujemy wskaźnik pojemności indywidualnej zmiennych:

gdzie: (l_j = 1,…,L, j = 1,…,m_l)

gdzie l_j oznacza numer podzbioru utworzonego ze zbioru zmiennych objaśniających wstępnie ustalonych, m_l natomiast oznacza liczbę zmiennych objaśniających podzbioru „l_j”.

Wskaźnik pojemności integralnej podzbioru o numerze „l”:

Indywidualne oraz integralne wskaźniki pojemności informacyjnej są unormowane i przyjmują wartości z przedziału [0, 1]. Przyjmują tym większe wartości, im zmienne objaśniające są silniej skorelowane ze zmienną objaśniana oraz im słabiej skorelowane są między sobą.

Ostatecznie jako zmienne objaśniające wybiera się te, które należą do podzbioru o maksymalnej pojemności integralnej.

Podzbiory jedno-elementowe	Podzbiory dwu-elementowe	Podzbiory trój-elementowe	Podzbiory cztero-elementowe
C1 = {X1t}	C5 = {X1t, X2t}	C11 = {X1t, X2t, X3t}	C15={X1t,X2t,X3t,X4t}
C2 = {X2t}	C6 = {X1t, X3t}	C12 = {X1t, X2t, X4t}
C3 = {X3t}	C7 = {X1t, X4t}	C13 = {X1t, X3t, X4t}
C4 = {X4t}	C8 = {X2t, X3t}	C14 = {X2t, X3t, X4t}
	C9 = {X2t, X4t}
	C10 = {X3t, X4t}

Wskaźniki pojemności indywidualnej:

Wskaźniki zbiorów jedno-elementowych	Wskaźniki zbiorów dwu-elementowe	Wskaźniki zbiorów trój-elementowe	Wskaźniki zbiorów cztero-elementowe
H1 = r1^2	H51 = r1^2/(1+[r12])	H H111 = r1^2/(1+[r12]+[r13])	H151 = r1^2/(1+[r12]+[r13]+[r14]
H2 = r2^2	H52 = r2^2/(1+[r21])	H112 = r2^2/(1+[r21]+[r23])	H152 = r2^2/(1+[r21]+[r23]+[r24]
H3 = r3^2	H61 = r1^2/(1+[r13])	H113 = r3^2/(1+[r31]+[r32])	H153 = r3^2/(1+[r31]+[r32]+[r34]
H4 = r4^2	H63 = r3^2/(1+[r31])	H121 = r1^2/(1+[r12]+[r14])	H154 = r4^2/(1+[r41]+[r42]+[r43]
	H71 = r1^2/(1+[r14])	H122 = r2^2/(1+[r21]+[r24])
	H74 = r4^2/(1+[r41])	H124 = r4^2/(1+[r41]+[r42])
	H82 = r2^2/(1+[r23])
	H83 = r3^2/(1+[r32])	H131 = r1^2/(1+[r13]+[r14])
	H92 = r2^2/(1+[r24])	H133 = r3^2/(1+[r31]+[r34])
	H94 = r4^2/(1+[r42])	H134 = r4^2/(1+[r41]+[r43])
	H103 = r3^2/(1+[r34])	H142 = r2^2/(1+[r23]+[r24])
	H104 = r4^2/(1+[r43])	H143 = r3^2/(1+[r32]+[r34])
		H144 = r4^2/(1+[r42]+[r43])

Macierz współczynników korelacji pomiędzy zmiennymi modelu:

Stąd wskaźniki pojemności indywidualnej są odpowiednio równe:

Wskaźniki zbiorów jedno-elementowych	Wskaźniki zbiorów dwu-elementowe	Wskaźniki zbiorów trój-elementowe	Wskaźniki zbiorów cztero-elementowe
0,960227273	0,505285023	0,338279507	0,338279507
0,915106952	0,481542079	0,324937643	0,324937643
0,916666667	0,495423668	0,321177561	0,313256502
0,005681818	0,472948827	0,505285023	0,005299369
	0,960227273	0,481542079
	0,005681818	0,005681818
	0,477641532
	0,478455627	0,495423668
	0,915106952	0,455970728
	0,005681818	0,005299369
	0,85496489	0,477641532
	0,005299369	0,461087116
		0,005299369

Wskaźniki zbiorów jedno-elementowych	Wskaźniki zbiorów dwu-elementowe	Wskaźniki zbiorów trój-elementowe	Wskaźniki zbiorów cztero-elementowe
0,960227273 {X1t}	{X1t,X2t}
0,915106952 {X2t}	0,986827102	{X1t,X2t,X3t}
0,916666667 {X3t}	{X1t,X3t}	0,984394711	{X1t,X2t,X3t,X4t}
0,005681818 {X4t}	0,968372494		0,981773021
	{X1t,X4t}	{X1t,X2t,X4t}
	0,965909091	0,992508921
	{X2t,X3t}
	0,956097159	{X1t,X3t,X4t}
	{X2t,X4t}	0,956693764
	0,92078877
	{X3t,X4t}	{X2t,X3t,X4t}
	0,86026426	0,944028017

D. Współczynnik korelacji wielorakiej

Współczynnik korelacji wielorakiej jest miarą siły związku liniowego zmiennej objaśnianej Y_t ze zmiennymi objaśniającymi {X_1t, … X_kt}. Zdefiniowany jest następująco:

Współczynnik korelacji wielorakiej jest unormowany w przedziale [0, 1], przyjmuje tym większe wartości im związek zmiennej objaśnianej ze zmiennymi objaśniającymi jest silniejszy.

Współczynnik korelacji wielorakiej wyznaczamy dla każdego podzbioru zbioru {X_1t, … X_kt}.

Podzbiory dwuelementowe:

{X_1t,X_2t}

,
,
,

det(R)=0,19; det(U)=0,002, stąd R_w=0,995

{X_1t,X_3t}

,
,
,

det(R)=0,12; det(U)=0,003, stąd R_w=0,986

{X_1t,X_4t}

,
,
,

det(R)=1,00; det(U)=0,034, stąd R_w=0,983

{X_2t,X_3t}

,
,

det(R)=0,161; det(U)=0,007, stąd R_w=0,978

{X_2t,X_4t}

,
,

det(R)=1,00; det(U)=0,079, stąd R_w=0,96

{X_3t,X_4t}

,
,

det(R)=0,995, det(U)=0,062; stąd R_w=0,968

Podzbiory trójelementowe:

{X_1t,X_2t,X_3t}

,
,
,

det(R)=0,208, det(U)=0,00; stąd R_w=1,000,

{X_1t,X_2t,X_4t}

,
,
,

det(R)=0,379, det(U)=0,001; stąd R_w=0,999,

{X_1t,X_3t,X_4t}

,
,
,

det(R)=0,305, det(U)=0,002; stąd R_w=0,997,

{X_2t,X_3t,X_4t}

,
,
,

det(R)=0,346, det(U)=0,005; stąd R_w=0,993,

Podzbiory czteroelementowe:

{X_1t,X_2t,X_3t,X_4t}

,
,

,

det(R)=0,207, det(U)=0,00; stąd R_w=1,00,

Zestawienie współczynników korelacji wielorakiej wszystkich podzbiorów zbioru {X_1t, X_2t, X_3t, X_4t}:

Współczynnik korelacji wielorakiej dla zbiorów jednoelementowych	Współczynnik korelacji wielorakiej dla zbiorów dwuelementowych	Współczynnik korelacji wielorakiej dla zbiorów trójelementowych	Współczynnik korelacji wielorakiej dla zbiorów czteroelementowych
{X1t}	{X1t,X2t} - 0,995	{X1t,X2t,X3t} - 1,000	{X1t,X2t,X3t,X4t}-1,00
{X2t}	{X1t,X3t} - 0,986	{X1t,X2t,X4t} - 0,999
{X3t}	{X1t,X4t} - 0,983	{X1t,X3t,X4t} - 0,997
{X4t}	{X2t,X3t} - 0,978	{X2t,X3t,X4t} - 0,993
	{X2t,X4t} - 0,960
	{X3t,X4t} - 0,968

E. Efekt katalizy w modelu ekonometrycznym.

Efekt katalizy w liniowym modelu ekonometrycznym oznacza silną korelację zmiennej objaśnianej ze zmiennymi objaśniającymi przy wysokiej wartości współczynnika korelacji wielorakiej spowodowanej silną korelacją zmiennych objaśniających pomiędzy sobą. Oczywiście zmienne objaśniające, które wywołały efekt katalizy należy wyeliminować z modelu.

Jeśli dla każdego i = 1, …, k współczynniki korelacji r_i wektora R₀ są dodatnie oraz uporządkowane niemalejąco, to parę (R,R₀) nazywamy regularną parą korelacyjną. Dla takiej pary, macierz Q postaci:

Q = [q_ij];

gdzie;
, dla (i >j), nazywa się macierzą neutralną.

Wielkość q_ij jest wartością neutralną współczynnika korelacji r_ij = R(X_i, X_j).

Jeśli (R, R₀) jest regularną parą korelacyjną oraz dla każdego i, j = 1, …, k zachodzi równość r_ij= q_ij, to współczynnik korelacji wielorakiej R_w = r_k, gdzie r_k = max{r_i} a zmienne {X₁,…,X_k-1} nie wnoszą dodatkowych informacji o zmiennej objaśnianej Y_t w porównaniu ze zmienną objaśniającą X_k.

Jeśli dla każdego i, j = 1,2, …, k (i ≠ j) spełniona jest nierówność:

r²_ij < q²_ij,

to R²_w > r²_k. w tym każdym przypadku każda ze zmiennych objaśniających dostarcza pewien zasób informacji o zmiennej objaśnianej.

W przypadku gdy ma miejsce nierówność:

r²_ij > q²_ij,

następuje również wzrost kwadratu współczynnika korelacji wielorakiej w stosunku do maksymalnej wartości współczynnika korelacji r_k, lecz wzrost ten jest spowodowany wystąpieniem efektu katalizy.

Tak więc efekt katalizy wystąpi wówczas gdy:

r_ij < 0 lub gdy: r_ij > r_i/r_j.

Zmienna X_i nazywa się zmienną katalityczną lub katalizatorem.

Do wykrywania efektu katalizy w modelu ekonometrycznym wykorzystuje się wskaźnik:

U_l = R²_l - H_l,

gdzie: l oznacza dowolny podzbiór zmiennych objaśniających {X₁, …, X_k},

H_l - wskaźnik integralnej pojemności informacyjnej l - tego podzbioru.

,
;

, to
, stąd

,

Wszystkie elementy
dla
ale jednocześnie r₃₄ < 0, stąd zmienna X_3t wywołuje efekt katalizy w zbiorze {X_1t,X_2t,X_3t,X_4t}.

---