ZADANIA MATURALNE - FIGURY NA PŁASZCZYŹNIE

PP - poziom podstawowy

PR - poziom rozszerzony

Opracowała - mgr Danuta Brzezińska

• Zad.1. (PP - 3 pkt)

Okrągły obrus został w całości wykrojony z materiału w kształcie kwadratu o boku długości

4 m. Wiedząc, że materiał został maksymalnie wykorzystany, oblicz ile metrów ozdobnego sznura potrzeba na obszycie brzegu tego obrusa. Podaj wynik z dokładnością do 0,1 m.

• Zad.2. ( PP - 3 pkt )

Wiadro wisi przywiązane do łańcucha nawiniętego na wałek kołowrotu, tak jak przedstawiono na rysunku. Aby wiadro dotknęło lustra wody należy wykonać 14 pełnych obrotów korbą. Oblicz, odległość lustra wody od brzegu studni, gdy wiadomo, że wałek kołowrotu ma średnicę 20 cm. Wynik podaj w zaokrągleniu do 1 m.

• Zad.3.( PP -3 pkt )

Z drutu miedzianego o długości 11 metrów odcięto kawałek, którego długość mierzona w centymetrach jest równa pozostałej części drutu mierzonej w decymetrach. Oblicz długość odciętego kawałka drutu.

• Zad.4. (PP - 3 pkt)

Powierzchnia prostokątnej działki budowlanej równa się 1540
. Oblicz wymiary tej działki wiedząc, że różnią się one o 9
.

• Zad.5.( PP - 6pkt)

Maszyna wycina z krążków kwadraty w ten sposób, że wykorzystuje materiał maksymalnie. Gdyby promień danego krążka zwiększono o 1, to pole wyciętego kwadratu zwiększyłoby się czterokrotnie. Oblicz pole danego krążka.

•Zad. 6. ( PP - 6 pkt )

Średnica koła o promieniu r = 6 jest podstawą trójkąta równobocznego. Wykonaj odpowiedni rysunek. Oblicz stosunek pola części trójkąta leżącej wewnątrz koła do pola części trójkąta leżącej na zewnątrz koła.

•Zad.7. ( PP - 5 pkt )

Szkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem. Wewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z trzech rur, każda o średnicy zewnętrznej 1 m. Oblicz wysokość i szerokość kanału ciepłowniczego. Wysokość zaokrąglij do 0,01 m.

• Zad. 8. ( PP - 3 pkt)

Oblicz pole działki rekreacyjnej jak na rysunku. Zakładamy, że kąty ABC i ECD są kątami prostymi.

• Zad.9. ( PP - 5 pkt)

Zaplanowano zalesić ugór w kształcie trójkąta równoramiennego, którego długość najdłuższego boku, na planie w skali 1:1500, jest równa 12 cm i jeden z kątów ma miarę
. W szkółce leśnej zamówiono sadzonki, w ilości pozwalającej obsadzić obszar wielkości 40 arów. Oblicz, czy zamówiona ilość sadzonek jest wystarczająca do zalesienia ugoru.

• Zad.10. ( PP - 4 pkt)

Wielkość prostokątnego ekranu telewizora określa długość jego przekątnej wyrażona w calach. Oblicz, o ile procent zwiększymy powierzchnię ekranu, jeśli długość przekątnej wynoszącą 21 cali powiększymy do 32 cali zachowując stosunek długości boków prostokąta. Wynik podaj z dokładnością do 0,1%.

• Zad.11. ( PP- 7 pkt)

Państwo Nowakowie przeznaczyli 26000 zł na zakup działki. Do jednej z ofert dołączono rysunek dwóch przylegających do siebie działek w skali 1:1000. Jeden metr kwadratowy gruntu w tej ofercie kosztuje 35 zł. Oblicz, czy przeznaczona przez państwa Nowaków kwota wystarczy na zakup działki

• Zad.12. ( PP - 6 pkt)

Wysokość CD trójkąta ABC tworzy z bokami AC i BC kąty o miarach równych odpowiednio
i
. Punkt A należy do odcinka DB.

a)Narysuj trójkąt ABC i jego wysokość CD.

b)Wyznacz miary kątów trójkąta ABC powołując się na odpowiednie twierdzenia.

• Zad.13. ( PP - 8 pkt )

W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary
i
, a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź odpowiedni rysunek i oznacz jego elementy. Oblicz pole trapezu oraz długości jego podstaw.

• Zad.14. ( PP - 6 pkt )

Na kole opisano trapez prostokątny ABCD
, którego podstawy mają długości
. Oblicz długości ramion trapezu ABCD oraz tangens kąta ostrego trapezu.

• Zad.15. (PP - 5 pkt)

Przed wejściem do przychodni lekarskiej znajdują się schody mające 8 stopni po 15 cm wysokości każdy. Postanowiono zbudować podjazd dla niepełnosprawnych o nachyleniu
. Oblicz długość podjazdu. Wynik podaj w zaokrągleniu do 10 cm.

• Zad.16.(PP-5 pkt)

W okrąg o środku O i promieniu R = 6 cm wpisano czworokąt ABCD. Kąty środkowe:
i
mają odpowiednio miary:
i
. Oblicz pole czworokąta ABCD.

• Zad.17. (PP - 5pkt)

W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma miarę
. Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że promień koła wpisanego jest równy 5 cm. Wynik podaj z dokładnością do 0,1
.

• Zad.18. ( PP)

Prosta l jest równoległa do boku BC trójkąta ABC i przecina pozostałe boki AB i AC odpowiednio w punktach B` i C`. Jak wybrać położenie punktu B`, aby pole trójkąta AB`C` było 8 razy mniejsze od pola trójkąta ABC?

• Zad.19.( PR - 5 pkt)

Na poniższym rysunku przedstawiono równoramienny trójkąt ABC ( o podstawie AC ) oraz prostokątny równoramienny trójkąt BDC. Uzasadnij, że cos(
ACD) <
.

• Zad. 20. (PR - 4 pkt)

Dany jest trójkąt, którego boki mają długości 8 cm i 12 cm, kąt zawarty między tymi bokami ma miarę
. Oblicz długość okręgu opisanego na tym trójkącie.

• Zad.21. ( PP - 4 pkt)

W architekturze islamu często stosowanym elementem był „łuk podkowiasty”. Schemat okna w kształcie takiego łuku (łuk okręgu) przedstawiono na rysunku poniżej. Korzystając z danych na rysunku oblicz wysokość okna h i największy prześwit d.

• Zad.22. (PP - 4 pkt)

Rysunek przedstawia prostą w układzie współrzędnych. Wyznacz równanie tej prostej.

• Zad.23. (PP - 7 pkt)

Punkty A = (-1; - 2), B = (2; - 1), C = (1; 2) są wierzchołkami trójkąta ABC .

a) Oblicz długość odcinka AB.

b) Napisz równanie prostej m, do której należą punkty B i C .

c) Napisz równanie prostej k prostopadłej do prostej m takiej, że A
k .

d) Uzasadnij, że środek okręgu opisanego na trójkącie ABC nie należy do prostej k .

• Zad.24. ( PP - 6 pkt)

W układzie współrzędnych są dane dwa punkty:
i
.

a) Wyznacz równanie prostej AB.

b) Prosta AB oraz prosta o równaniu
przecinają się w punkcie C. Oblicz współrzędne punktu C.

c) Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB.

• Zad.25. ( PP - 9 pkt )

Punkty A = (3; 4), B = (0; 3) i C = (1; 0) należą do okręgu. Oblicz pole trójkąta równobocznego opisanego na tym okręgu.

• Zad.26. (PP - 4 pkt )

Dany jest prostokąt o wierzchołkach A = (- 2; -2), B = (1; - 2), C = (1; 1), D = (- 2; 1). Wyznacz wszystkie wartości współczynnika b, dla których prosta o równaniu y= 2x + b ma co najmniej jeden punkt wspólny z prostokątem ABCD. Rozwiązując zadanie wykonaj odpowiedni rysunek.

• Zad.27. (PP - 3 pkt)

Wierzchołkami trójkąta ABC są punkty A = (- 3; - 4), B = (- 2; 1), C= ( 3; 0).

a) Sprawdź, że
.

b) Uzasadnij, że kąt ABC jest prostym.

• Zad.28. ( PP - 6 pkt. )

Na rysunku powyżej, prosta k przechodzi przez A = ( 12; - 3). Wiedząc, że stosunek pól obu zakreskowanych trójkątów prostokątnych jest równy 4:

a) oblicz sumę pól tych trójkątów,

b) wyznacz równanie prostej k.

• Zad.29. (PP- 6pkt)

Prosta l tworzy z osią x kąt o mierze
i przechodzi przez punkt M = ( -2; 2). Prosta

k, prostopadła do prostej l, przecina oś x w punkcie o odciętej
.

a) Wyznacz równania prostych l i k.

b) Oblicz długość najdłuższego boku trójkąta, którego boki zawierają się w prostych l i k oraz w osi y.

• Zad. 30. ( PP)

Prosta l jest równoległa do boku BC trójkąta ABC i przecina pozostałe boki AB i AC odpowiednio w punktach B` i C`. Jak wybrać położenie punktu B`, aby pole trójkąta AB`C` było 8 razy mniejsze od pola trójkąta ABC?

• Zad. 31.( PP - 5 pkt )

W kwadrat ABCD wpisano kwadrat EFGH, jak pokazano na poniższym rysunku. Wiedząc, że
oraz tangens kąta AEH równa się
, oblicz pole kwadratu EFGH.

• Zad.32. (PR - 5 pkt.)

Trapez równoramienny, o obwodzie równym 20 cm, jest opisany na okręgu. Wiedząc, że przekątna trapezu ma długość
cm, oblicz pole tego trapezu.

• Zad.33. ( PR - 6 pkt)

Różnica długości podstaw trapezu równoramiennego jest równa 15, a suma kwadratów ich długości jest równa 425. Długość ramienia jest średnią geometryczną długości podstaw. Oblicz długości boków i przekątnych tego trapezu.

• Zad.34. (PR - 4 pkt)

W trójkącie ABC, o kącie rozwartym przy wierzchołku C dane są długości boków
i
Oblicz długość boku AB wiedząc, że pole trójkąta jest równe 24
.

• Zad.35. (PR - 5 pkt)

Odcinki o długościach:
są bokami trójkąta.

a) Wyznacz miarę największego kąta tego trójkąta i oblicz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka tego kąta.

b) Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

• Zad.36.(PR- 4 pkt)

W równoległoboku o polu 72 przekątne mają długości 20 i 12. Oblicz długość dłuższego boku tego równoległoboku.

• Zad.37. ( PR- 3 pkt)

Obiekty A i B leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich kątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku. Odległość między obiektami B i C jest równa 400 m. Oblicz odległość w linii prostej między obiektami A i B i podaj wynik, zaokrąglając go do jednego metra.

• Zad.38. ( PR - 4 pkt )

W równoległoboku dany jest kąt ostry równy
. Krótsza przekątna równoległoboku o długości e = 8 jest prostopadła do boków krótszych. Oblicz długość dłuższej przekątnej równoległoboku.

• Zad.39. (PR - 10 pkt)

W trójkącie jeden z kątów ma miarę
. Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30. Wyznacz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt

• Zad.40. (PR - 6 pkt)

Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB i krótszej CD. Punkt styczności S dzieli ramię BC tak, że
.

a) Wyznacz długość ramienia tego trapezu.

b) Oblicz cosinus
.

• Zad.41. ( PR - 5 pkt)

Latarnia morska jest w punkcie P. Statek zbliża się do brzegu. Kapitan obserwuje latarnię morską z punktu A i widzi ja pod kątem
takim, że
. Po przepłynięciu 500 m w kierunku latarni kapitan widzi ją z punktu B pod kątem
takim, że
. Oblicz odległość punktu B od punktu P przy założeniu, że punkty A, B i P należą do jednej prostej.

Zad.42. (PR)

a) Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów jego kątów wynosi 2.

b) Rozważ trójkąt rozwartokątny, poprowadź wysokość z wierzchołka kąta ostrego. Wykorzystując te konstrukcję oraz twierdzenie udowodnione w pkt a) pokaż, że suma sinusów kątów trójkąta rozwartokątnego jest mniejsza od 2.

Redagując dowody obu twierdzeń w pkt a) oraz b), powołuj się wyraźnie na własności kątów trójkąta, własności funkcji sinus oraz własności liczb.

• Zad. 43. (PR)

Wykorzystując wzór cosinusów, własności liczb oraz twierdzenia o równoległobokach wyraź związek między sumą pól kwadratów zbudowanych na bokach równoległoboku a sumą pól kwadratów zbudowanych na jego przekątnych.

• Zad.44. (PR)

Czy liczby 1, 2 i 3 mogą być długościami wysokości trójkąta prostokątnego? Odpowiedź uzasadnij.

• Zad. 45. ( PP - 6 pkt )

Proste o równaniach
oraz
zawierają boki trójkąta. Oblicz obwód tego trójkąta. Uzasadnij, że ten trójkąt jest prostokątny i oblicz pole opisanego na nim koła.

• Zad. 46. ( PR - 3 pkt )

Wektor
jest równoległy do wektora
. Wiedząc, że
=10,wyznacz współrzędne wektora
.

• Zad.47. (PR- 8 pkt - 2005r.)

Pary liczb
spełniające układ równań:

są współrzędnymi wierzchołków czworokąta wypukłego ABCD.

a) Wyznacz współrzędne punktów: A, B, C, D.

b) Wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym.

c) Wyznacz równanie okręgu opisanego na czworokącie ABCD.

• Zad.48. ( PR- 3 pkt)

Wykaż, że jeżeli
, to równanie:
jest równaniem okręgu. Wyznacz współrzędne środka i długość promienia tego okręgu.

• Zad.49.( PR - 5 pkt)

W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj figurę
, gdzie:

.

Oblicz pole figury
.

• Zad.50. ( PR - 4 pkt)

Dane są punkty A = (0; - 1), B = (2; 3). Na prostej o równaniu x + 1 = 0 wyznacz punkt C tak, aby trójkąt ABC miał najmniejszy obwód.

• Zad.51. ( PR - 7 pkt)

Punkty A = (7; 1) i C = (1; 3) są przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD. Prosta l o równaniu y = x jest osią symetrii tego trapezu.

a) Oblicz pole S tego trapezu.

b) Napisz równanie okręgu opisanego na tym trapezie.

• Zad.52. ( PR - 7 pkt)

Punkt A = ( -2; 1) jest jednym z wierzchołków rombu ABCD, a punkt M = (0; 3) jest środkiem symetrii tego rombu. Pole S rombu jest równe 8. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu. Narysuj rysunek pomocniczy.

• Zad.53. ( PR - 4 pkt)

Dane są punkty A = (-1; 3), B = (4; -7). Punkt C należy do odcinka AB i dzieli ten odcinek w stosunku 2:3, licząc od punktu A. Oblicz współrzędne punktu C

• Zad.54. (PR - 5 pkt)

Okrąg
o środku w punkcie
= (-4; 3) jest styczny do osi
.

a) Napisz równanie okręgu
.

b) Napisz równanie okręgu
o środku
= (0; 0) stycznego zewnętrznie do okręgu

• Zad.55. ( PR - 11 pkt)

W równoległoboku
dane są
=
,
=
, zaś środkiem boku AB jest punkt
.

a) Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez wierzchołki

.

b) Wyznacz równanie prostej
zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka
i przecinającej prostą
w punkcie
.

c) Opisz przy pomocy układu nierówności liniowych zbiór punktów należących do trójkąta
.

• Zad. 56. (PR- 8 pkt)

Dane są trzy punkty: A = (6; -2), B = (0; 4), C = ( -8; - 4).Wyznacz współrzędne takiego punktu należącego do prostej o równaniu y = - 8, aby na czworokącie ABCD można było opisać okrąg.

• Zad.57. ( PR - 6 pkt)

Dane są równania:
oraz
.

Wyznacz wszystkie wartości
, dla których są to równania okręgów o promieniach długości
i
oraz wykaż, że
.

• Zad.58. (PR - 7 pkt)

Oblicz pole figury
, jeśli


.

• Zad 59. ( PR - 6 pkt)

Dane jest przekształcenie
określone wzorami:
.

a)Wyznacz współrzędne punktu stałego przekształcenia
.

b)Znajdź obraz prostej o równaniu
w przekształceniu
.

• Zad.60. ( PR -5 pkt)

Sprawdź, że przekształcenie
płaszczyzny dane wzorem
jest izometrią. Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu
w przekształceniu
.

• Zad.61. ( PR - 6 pkt)

Zaznacz na płaszczyźnie zbiór
. Napisz równania osi symetrii figury
.

• Zad.62. ( PR - 4pkt)

Odcinek CD jest obrazem odcinka AB w jednokładności o skali k < 0. Wiedząc, że

A = (- 2; 0), B = ( 0; - 2), C = (3; 4), D = (7; 0) wyznacz:

a) równanie prostej przechodzącej przez punkt A i jego obraz w tej jednokładności,

b) równanie prostej przechodzącej przez punkt B i jego obraz w tej jednokładności,

c) współrzędne środka tej jednokładności.

• Zad.63. ( PR - 8 pkt )

Punkty
i
są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym
.

a) Wyznacz współrzędne wierzchołka C, wiedząc, że leży on na osi OX.

b) Napisz równanie obrazu okręgu opisanego na trójkącie ABC w jednokładności o środku w punkcie
i skali k = - 2.

• Zad.64.( PR - 5 pkt )

Kwadrat ABCD, gdzie A = (0, - 1), B = (2, - 5), C = (6, -3), D = (4, 1), przekształcono przez translację o wektor
, a następnie otrzymany obraz
przez jednokładność o środku O = (0, 0) i skali k = - 2. Napisz równanie okręgu opisanego na czworokącie
, który jest obrazem czworokąta
w jednokładności.

• Zad.65. (PR - 5 pkt)

W układzie współrzędnych są dane punkty: A = (- 9; - 2) oraz B = (4; 2). Wyznacz współrzędne punktu C, leżącego na osi OY, tak że kąt ACB jest kątem prostym.

• Zad.66. ( PP - 6 pkt )

Z kawałka materiału o kształcie i wymiarach czworokąta ABCD (patrz na rysunku poniżej)

wycięto okrągłą serwetkę o promieniu 3 dm. Oblicz, ile procent całego materiału stanowi

jego niewykorzystana część. Wynik podaj z dokładnością do 0,01 procenta.

• Zad.67. ( PP- 4 pkt)

Dwa wielokąty wypukłe mają razem 10 boków i 14 przekątnych. Ile boków ma każdy z tych wielokątów? Podaj nazwy tych wielokątów.

• Zad.68. ( PR - 4 pkt )

W dowolnym trójkącie ABC punkty M i N są odpowiednio środkami boków AC i BC (Rys. 1).

Zapoznaj się uważnie z następującym rozumowaniem:

Korzystając z własności wektorów i działań na wektorach, zapisujemy równości:

(1) :

oraz

(2) :

Po dodaniu równości (1) i (2) stronami otrzymujemy:

Ponieważ
oraz
, więc:

Wykorzystując własności iloczynu wektora przez liczbę, ostatnią równość można

zinterpretować następująco:

odcinek łączący środki dwóch boków dowolnego trójkąta jest równoległy do trzeciego

boku tego trójkąta, zaś jego długość jest równa połowie długości tego boku.

Przeprowadzając analogiczne rozumowanie, ustal związek pomiędzy wektorem

oraz wektorami
i
, wiedząc, że czworokąt ABCD jest dowolnym trapezem, zaś punkty M i N są odpowiednio środkami ramion AD i BC tego trapezu (Rys. 2).

Podaj interpretację otrzymanego wyniku.

• Zad.69. ( PP - 4 pkt)

Aby wyznaczyć równanie symetralnej odcinka o końcach A(-1;4), B(3;-2) postępujemy w następujący sposób:

• wybieramy dowolny punkt P(x; y) należący do symetralnej odcinka AB i korzystamy z własności symetralnej odcinka:
  

• ponieważ
  , więc

• przekształcamy otrzymane równanie do prostszej postaci i otrzymujemy równanie:
  , które jest równaniem symetralnej odcinka AB.

Postępując w analogiczny sposób, wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach: C(4;6), D(6;-2).

• Zad. 70. ( PR - 4 pkt )

W trójkącie prostokątnym ABC
dane są długości przyprostokątnych:
i
. Dwusieczna kąta prostego tego trójkąta przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D. Wykaż, że długość odcinka CD jest równa
. Sporządź pomocniczy rysunek uwzględniając podane oznaczenia.

• Zad 71. ( PR - 8 pkt)

Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu długości

R =
, wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma długość 10,

Zaś iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych równa się
.

• Zad. 72. ( PR - 5 pkt )

Bok trójkąta równobocznego ABC ma długość a. Na bokach AB, BC, CA tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty D, E, F,
że
,
. Oblicz długości boków trójkąta DEF.

• Zad. 73. ( PR - 4 pkt )

Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu

jest równoodległy od osi Ox i od punktu F = (0, 2).

• Zad. 74. ( PR - 4 pkt )

Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu
jest okrąg o równaniu
, a skala tej jednokładności jest liczbą ujemną.

• Zad. 75. ( PR - 4 pkt )

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości:
. Na boku AB wybrano punkt D tak, że odcinki BC i CD mają równe długości. Oblicz długość odcinka AD.

• Zad. 76. ( PR - 4 pkt )

W czworokącie wypukłym ABCD dane są:
i
. Oblicz pole tego czworokąta.

• Zad. 77. ( PR - 5 pkt )

W trójkącie równoramiennym ABC, w którym
wysokość CE jest dwa razy dłuższa od wysokości AD. Oblicz kosinusy wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta ABC.

• Zad. 78. ( PR - 5 pkt )

Wiadomo, że okrąg jest styczny do prostej o równaniu y = 2x - 3 w punkcie A = (2, 1) i styczny do prostej o równaniu y = 0,5x + 9 w punkcie B = (-4, 7). Oblicz długość promienia okręgu.

• Zad. 79. ( PR - 5 pkt )

Punkty A = (-2,12) i B = (6,-2) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o kącie prostym przy wierzchołku C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta, wiedząc, że leży on na prostej o równaniu x+ 3y = 22. Sporządź rysunek w prostokątnym układzie współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.

• Zad. 80. ( PR - 6 pkt )

W trójkącie równoramiennym długość podstawy wynosi a, zaś wysokości opuszczone odpowiednio na podstawę i ramię są równe H i h. Kąt między ramieniem trójkąta i wysokością opuszczoną na podstawę ma miarę
.

a) Wyraź
w zależności od wielkości a i H.

b) Wyraź
w zależności od wielkości a i h.

c) Wykaż, że jeśli
, to

• Zad. 81. ( PR - 3 pkt )

Dany jest trójkąt o bokach długości 1,
, 2. Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku tego trójkąta.

• Zad. 82. ( PR - 4 pkt )

Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola rombu wynosi
. Wyznacz miarę kąta ostrego rombu.

• Zad. 83. ( PR - 7 pkt )

Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli
. Punkt C jest wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi Ox. Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.

• Zad. 84. ( PR - 6 pkt )

Punkty M i N są środkami odpowiednio boków BC, CD prostokąta ABCD oraz
,
.

a) Oblicz stosunek długości dłuższego do długości krótszego boku prostokąta.

b) Uzasadnij, że w powstałym trójkącie prostokątnym ANM miara kąta NAM jest większa od
.

• Zad. 85. ( PR - 8 pkt )

Dana jest parabola o równaniu
i okrąg o równaniu
.

a) Wyznacz współrzędne wszystkich punktów wspólnych paraboli i okręgu.

b) Uzasadnij, że styczna do paraboli, poprowadzona przez dowolny punkt P = ( m,
) tej paraboli, ma równanie postaci
.

c) Wyznacz wszystkie wartości
, dla których styczna
do paraboli jest jednocześnie sieczną danego okręgu.

• Zad. 86. ( PR - 7 pkt )

Trójkąt prostokątny ABC, w którym
i
jest opisany na okręgu o promieniu długości
Oblicz odległość wierzchołka C trójkąta od punktu styczności tego okręgu z przeciwprostokątną. Wykonaj odpowiedni rysunek.

• Zad. 87. ( PR - 4 pkt )

W trójkącie ABC są dane:
. Długość promienia opisanego na tym trójkącie wynosi R =10. Oblicz miarę kąta ACB.

• Zad. 88. ( PR - 3 pkt )

Wykaż, że jeśli długości kolejnych boków czworokąta opisanego na okręgu tworzą ciąg arytmetyczny, to ten czworokąt jest rombem.

• Zad. 89. ( PR - 3 pkt )

Napisz równanie okręgu o środku S = (10, -3) stycznego do prostej o równaniu
.

• Zad. 90. ( PP - 4 pkt )

Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków i n
3, wyraża się wzorem
.

Wykorzystując ten wzór:

a) oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym,

b) oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków,

c) sprawdź, czy prawdziwe jest stwierdzenie:

Każdy wielokąt o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych.

Odpowiedź uzasadnij.

• Zad. 91. ( PP - 4 pkt )

Prosta o równaniu 5x + 4y - 10 = 0 przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie A oraz oś Oy w punkcie B. Oblicz współrzędne wszystkich punktów C leżących na osi Ox i takich, że trójkąt ABC ma pole równe 35.

• Zad. 92. ( PP - 4 pkt )

W układzie współrzędnych są dane punkty A = (-4, -2), B = (5, 4).

a) Oblicz odległość punktu C = (-1, 4) od prostej przechodzącej przez punkty A i B.

b) Uzasadnij, że jeśli m
0, to punkty A , B oraz punkt D = ( -1, m ) są wierzchołkami trójkąta.

• Zad. 93. ( PP - 4 pkt )

Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami kwadratu. Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu y =
. Wyznacz współrzędne punktu B wiedząc, że wierzchołek A ma współrzędne ( -1, -1 ).

• Zad. 94. ( PP - 5 pkt )

Dany jest punkt C = (2, 3) i prosta o równaniu y = 2x - 8 będąca symetralną odcinka BC. Wyznacz współrzędne punktu B. Wykonaj obliczenia uzasadniające odpowiedź.

• Zad. 95. ( PP - 4 pkt )

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 12, a cosinus jednego z kątów ostrych wynosi
. Oblicz długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną.

• Zad. 96. ( PP - 6 pkt )

Obwód trapezu równoramiennego jest równy 44 cm, a długość dłuższej podstawy jest równa 20 cm. Oblicz pole tego trapezu, jeśli wiadomo, że przekątna dzieli kąt ostry trapezu na połowy.

• Zad. 97. ( PP - 6 pkt )

Oblicz pole czworokąta wypukłego ABCD, w którym kąty wewnętrzne mają odpowiednio miary:
a boki AB i AD mają długość 3 cm. Sporządź rysunek pomocniczy.

5

Opracowała - D. Brzezińska

k

O

Y

A (12, -3)

X

---