FD II ; GRUPA L6 RZESZÓW, 2003-01-12

LAB_5B

Skład:

1. Robert Siwak

2. Tomasz Stasik

3. Rafał Bielecki

SPRAWOZDANIE

Sygnały i Systemy

TEMAT: Cyfrowa transmisja pasmowa sygnałów

1. Tematy zadań.

1.1 Program demonstracyjny lab_5_1d.m

Po otworzeniu powyższego pliku lab_5_1d.m należało przeanalizować działanie programu, a następnie wydrukować otrzymane przebiegi.

Następnym etapem było wyznaczenie odpowiedzi i badanie charakterystyk układu cyfrowego opisanego w dziedzinie Z. Należało zmodyfikować wartości parametrów w pliku poprzez wprowadzenie następujących wartości licznika L i mianownika M transmitancji układu:

L = [1 0]; M = [1 -0,8 0,2].

Po przeanalizowaniu programu należało wydrukować otrzymane charakterystyki.

W sprawozdaniu:

* Narysować schemat blokowy dla równania rekurencyjnego:

y[n]= u[n-1] + 0.8y[n-1] - 0.2y[n-2], opisującego układ cyfrowy, którego działanie analizowane jest przy pomocy programu lab_5_1.m.

* Stosując przekształcenie Z, dla parametrów licznika L=[0 1] i mianownika

M= [ 1 -0.8 0.2 ] transmitancji układu wyznaczyć y[n] wiedząc że x[n]= 1[n] oraz

y[-1]=0 i y[-2]=0.

* Wyznaczyć równanie rekurencyjne, a następnie na jego podstawie narysować schemat blokowy układu cyfrowego analizowanego przy pomocy programu lab_5_1.m, którego współczynniki licznika L= [1 0] i mianownika M= [1 -0.8 0.2].

* Stosując przekształcenie Z dla parametrów licznika L= [1 0] i mianownika

M= [1 -0.8 0.2] transmitancji układu, wyznaczyć y[n], wiedząc że x[n]= 1[n] oraz

y[-1]=0 i y[-2]=0.

* Opisać zaobserwowane różnice w odpowiedziach układów analizowanych przy pomocy programów lab_5_1d.m oraz lab_5_1.m ( wykorzystać uzyskane przebiegi oraz wyznaczone równania i schematy blokowe ).

1.2 Analiza programu lab_5_2.m

Do układu, którego schemat blokowy przedstawiono poniżej wyznaczyć transmitancję H(z) tego układu, a następnie charakterystyki: amplitudową i fazową .Wyznacz odpowiedź układu na deltę Kroneckera i dyskretny skok jednostkowy. Układ znajduje się w stanie zerowym.

Należało dokonać edycji pliku lab_5_2.m wprowadzając różne wartości dla licznika L i mianownika M transmitancji układu.

* L = [5 4], M = [1,5 -1].

* L = [5 4], M = [1,5 -0,75].

* L = [5 0], M = [1,5 -1].

* L = [0 4], M = [1,5 -1].

Po przeanalizowaniu programu lab_5_2.m należało wydrukować otrzymane charakterystyki.

W sprawozdaniu:

* Wyznaczyć równania rekurencyjne, a następnie na ich podstawie narysować schematy blokowe układu cyfrowego realizowanego przy pomocy programu lab_5_2.m dla wszystkich współczynników licznika L i mianownika M podanych powyżej.

* Stosując przekształcenia Z dla parametrów licznika L= [5 4] i mianownika M= [1,5 -1] transmitancji układu wyznaczyć y[n] wiedząc, że x[n]= δ[n] oraz y[-1]=0.

* Opisać zaobserwowane różnice w odpowiedziach układów analizowanych przy pomocy programu lab_5_2.m (wykorzystać przebiegi, równania i schematy blokowe).

1.3 Symulator cyfrowy analogowego szeregowego układu RL - program lab_5_3.m.

Dla układu którego schemat blokowy przedstawiono poniżej wyznaczyć transmitancje H(z) tego układu. Dokonać analizy wpływu okresu próbkowania T na dokładność otrzymanej z symulatora odpowiedzi impulsowej, dla trzech przypadków:

T=(1/2) τ ; T= (1/5) τ ; T= (1/10) τ gdzie τ = ( L/R ) jest stałą czasową układu. Pozostałe dane : R = 100 Ω L= 1mH. Podczas analizy należy zachować stały czas obserwacji : tobs= n*T = 5e-5.

Należało dokonać edycji pliku lab_5_3.m następnie wprowadzić obliczoną wartość T = kolejno 1/2, 1/5, 1/10 pamiętając o zmianie wartości n - liczby próbek, tak aby czas obserwacji tobs = 5e-5.

W sprawozdaniu:

* Narysować schemat analogowy oraz schemat cyfrowy układu.

* Wyznaczyć równie rekurencyjne dla schematu cyfrowego oraz równanie różniczkowe dla układu analogowego.

* Wyznaczyć transmitancję cyfrową H(z) układu.

* Opisać wpływ parametrów R,L,T na uzyskane przebiegi.

2. Analiza komputerowa.

Wszystkie wykorzystane podczas wykonywania laboratorium pliki były edytowane i analizowane za pomocą programu Matlab. Matlab zawiera wiele różnego rodzaju funkcji, które okazują się bardzo przydatne przy analizowaniu bieżącego tematu.

2.1 Analiza komputerowa pliku lab_5_1.m.

Po przeanalizowaniu pliku demonstracyjnego należało wydrukować wszystkie otrzymane charakterystyki.

Są to:

* odpowiedź impulsowa układu cyfrowego;

* odpowiedź skokowa układu cyfrowego;

* wymuszenie dla układu cyfrowego;

* odpowiedź układu cyfrowego;

* wykres Bodego dla charakterystyki amplitudowej układu;

* wykres Bodego dla charakterystyki fazowej układu.

Powyższe charakterystyki dołączone są do niniejszego sprawozdania.

Dalsza analiza pliku lab_5_1.m polegała na zmianie wartości licznika L i mianownika M transmitancji układu.

Nowe wartości to: L = [1 0]; M = [1 -0,8 0,2].

Następnie należało podobnie jak w powyższym przykładzie wydrukować 6 otrzymanych wykresów (identyczne zależności), które również dołączone są do sprawozdania.

2.2 Analiza komputerowa pliku lab_5_2.m.

Celem analizy pliku lab_5_2.m było wyznaczenie transmitancji H(z) danego układu,

a następnie charakterystyki amplitudowej i fazowej.

Aby w pełni zrealizować cel ćwiczenia należało analizować powyższy plik przy czterech różnych wartościach licznika L i mianownika M transmitancji układu:

* L = [5 4], M = [1,5 -1].

* L = [5 4], M = [1,5 -0,75].

* L = [5 0], M = [1,5 -1].

* L = [0 4], M = [1,5 -1].

Po przeanalizowaniu programu lab_5_2.m należało wydrukować otrzymane charakterystyki.

Są to:

* odpowiedź impulsowa układu cyfrowego;

* odpowiedź jednostkowa układu cyfrowego;

* wymuszenie dla układu cyfrowego;

* odpowiedź układu cyfrowego;

* wykres Bodego dla charakterystyki amplitudowej układu;

* wykres Bodego dla charakterystyki fazowej układu.

Aby porównać otrzymane charakterystyki przy zmiennych wartościach licznika i mianownika należało wydrukować charakterystyki tylko dla dwóch przypadków, a potem nanieść odpowiednie charakterystyki widoczne na monitorze na wydrukowane. W naszym przypadku zostały naniesione charakterystyki drugiej serii na pierwszą i czwartej na trzecią.

Wszystkie charakterystyki (wydrukowane i naniesione) są doczone do sprawozdania.

2.3 Analiza komputerowa pliku lab_5_3.m.

Dla podanego pliku lab_5_3.m należało wyznaczyć transmitancję H(z) (podany układ).

Ponadto należało zbadać wpływ okresu próbkowania T na dokładność otrzymanej z symulatora odpowiedzi impulsowej, dla trzech przypadków: T = ½ τ, T = 1/5τ, T = 1/10τ, gdzie
jest stałą czasową układu. Dla poprawności wyniku należało zachować stały czas obserwacji:

tobs = n*T = 5e-5, co można uzyskać poprzez zmianę ilości próbek n.

Aby otrzymać wykresy obrazujące wpływ okresu próbkowania na dokładność odpowiedzi impulsowej należało trzykrotnie zmodyfikować plik lab_5_3.m poprzez wprowadzenie obliczonej wartości okresu

T = 1/2τ i liczby próbek n.

Otrzymane charakterystyki należało wydrukować.

Analizując otrzymane wykresy można zauważyć, że są one praktycznie identyczne. Świadczy to najprawdopodobniej o popełnieniu błędu podczas obliczania T i n lub o niepoprawnym wprowadzeniu danych do programu.

Przy poprawnym obliczeniu, T i n mają odpowiednio wartość:

*

*

*

3. Rozwiązania analityczne zadań.

3.1 Analiza zadania z punktu b (plik lab_5_1.m).

* narysować schemat blokowy dla równania rekurencyjnego: y[n]= u[n-1] + 0.8y[n-1] - 0.2y[n-2].

y[n]= u[n-1] + 0.8y[n-1] - 0.2y[n-2].

* Stosując przekształcenie Z, dla parametrów licznika L=[0 1] i mianownika M= [1 -0.8 0.2] transmitancji układu wyznaczyć y[n] wiedząc, że x[n]= 1[n] oraz y[-1]=0 i y[-2]=0.

L=[0 1] M= [1 -0.8 0.2]

x[n-1] = y[n] - 0.8y[n-1] + 0.2y[n-2]

y[n] = x[n-1] + 0.8y[n-1] - 0.2y[n-2]

Po zastosowaniu przekształcenia Z otrzymamy:

Obliczam pierwiastki równania: z² - 0,8z +0,2=0

Δ=-0,16

lub

Stąd:

z₁= 0,4-j0,2 ∨ z₂= 0,4+j0,2

Podstawiając do powyższych obliczeń otrzymujemy:

Po podstawieniu obliczonych wartości A, B i C otrzymamy:

Korzystając z zależności
otrzymamy:

Inna postać rozwiązania wygląda następująco:

Stąd:

* . Wyznaczyć równanie rekurencyjne, a następnie na jego podstawie narysować schemat blokowy układu cyfrowego analizowanego przy pomocy programu lab_5_1.m, którego współczynniki licznika L= [1 0] i mianownika M= [1 -0.8 0.2].

L= [1 0] M= [1 -0.8 0.2]

x[n] = y[n] - 0,8y[n-1] + 0,2y[n-2]

y[n] = x[n] + 0,8y[n-1] - 0,2y[n-2]

Schemat blokowy ilustrujący powyższe równanie rekurencyjne ma postać:

* . Stosując przekształcenie Z dla parametrów licznika L= [1 0] i mianownika M= [1 -0.8 0.2] transmitancji układu, wyznaczyć y[n], wiedząc że x[n]= 1[n] oraz y[-1]=0 i y[-2]=0.

L= [1 0] M= [1 -0.8 0.2] oraz x[n]= 1[n] & y[-1]=0 & y[-2]=0

x[n] = y[n] - 0,8y[n-1] + 0,2y[n-2]

y[n] = x[n] + 0,8y[n-1] - 0,2y[n-2]

Po zastosowaniu przekształcenia Z otrzymamy:

Obliczam pierwiastki równania: z² - 0,8z +0,2=0

Δ=-0,16

lub

Stąd:

z₁= 0,4-j0,2 ∨ z₂= 0,4+j0,2

Podstawiając do powyższych obliczeń otrzymujemy:

Po podstawieniu obliczonych wartości A, B i C otrzymamy:

Korzystając z zależności
otrzymamy:

Inna postać rozwiązania wygląda następująco:

Stąd:

3.2 Analiza zadania z punktu c (plik lab_5_2.m).

* Wyznaczyć równania rekurencyjne, a następnie na ich podstawie narysować schematy blokowe układu cyfrowego realizowanego przy pomocy programu lab_5_2.m dla wszystkich współczynników licznika L i mianownika M.

* L = [5 4] M = [1,5 -1]

5x[n] + 4x[n-1] = 1,5y[n] - y[n-1]

1,5y[n] = 5x[n] + 4x[n-1] + y[n-1]

Schemat blokowy dla powyższego równania jest następujący:

Alternatywna postać schematu blokowego wygląda następująco:

* L = [5 4] M = [1,5 -0,75]

5x[n] + 4x[n-1] = 1,5y[n] - 0,75y[n-1]

1,5y[n] = 5x[n] + 4x[n-1] + 0,75y[n-1]

Schemat blokowy dla powyższego równania jest następujący:

* L = [5 0] M = [1,5 -1]

5x[n] = 1,5y[n] - y[n-1]

1,5y[n] = 5x[n] + y[n-1]

Schemat blokowy dla powyższego równania jest następujący:

* L = [0 4] M = [1,5 -1]

4x[n-1] = 1,5y[n] - y[n-1]

1,5y[n] = 4x[n-1] + y[n-1]

Schemat blokowy dla powyższego równania jest następujący:

* Stosując przekształcenia Z dla parametrów licznika L= [5 4] i mianownika M= [1,5 -1] transmitancji układu wyznaczyć y[n] wiedząc że x[n]= δ[n] oraz y[n-1]=0.

L= [5 4] M= [1,5 -1] x[n]= δ[n] oraz y[n-1]=0

Po zastosowaniu przekształcenia Z otrzymamy:

Po podstawieniu obliczonych wartości A i B otrzymamy:

Stąd:

3.3 Analiza zadania z punktu d (plik lab_5_3.m).

* Narysować schemat analogowy oraz schemat cyfrowy układu.

* schemat cyfrowy układu:

* schemat analogowy układu:

* Wyznaczyć równanie rekurencyjne dla schematu cyfrowego oraz równanie różniczkowe dla układu analogowego.

* równanie rekurencyjne dla układu cyfrowego:

* równanie różniczkowe dla układu analogowego:

Powyższy układ opisany jest za pomocą równania:

₍₁₎

Napięcie na cewce L wynosi:

Napięcie na rezystorze R wynosi:

Podstawiając do równania (1) otrzymany:

Jest to równanie na prąd w obwodzie.

Rozwiązanie równania składa się z dwóch członów:

* składowej wymuszonej i_w(t), będącej całką szczególną równania różniczkowego niejednorodnego;

* składowej swobodnej i_s(t), będącej całką ogólną równania różniczkowego jednorodnego.

Odpowiedź układu w stanie nieustalonym jest sumą algebraiczną obu składowych:

i(t) = i_w(t) + i_s(t)

Równaniem jednorodnym dla równania
jest równanie:

Rozwiązując powyższe równanie otrzymamy:

Rozwiązaniem szczególnym równanie niejednorodnego jest rozwiązanie dla stanu ustalonego, czyli:

Aby wyznaczyć stałą całkowania A należy skorzystać z warunku początkowego, w którym dla chwili

t = 0 prąd również wynosi zero.

Stąd otrzymamy:

Prąd w obwodzie wynosi:

Stosunek
nazywa się stałą czasową.

Podstawiając τ do wzoru na prąd otrzymamy:

Pozostałe wartości oblicza się ze wzorów:

* Wyznaczyć transmitancję cyfrową H(z) układu.

Prąd i(t) spełnia równanie różniczkowe

Gdy rozpatrujemy powyższe równanie w dziedzinie operatorowej, to otrzymamy:

Gdy
e(t) = δ(t)

To i(t)=h(t)H(s)

Zatem:

H(s) - transmitancja operatorowa

Transmitancja cyfrowa H(z)

Opisać wpływ parametrów R,L,T na uzyskane przebiegi.

Stała czasowa
charakteryzuje obwód RL. Zależy ona wyłącznie od indukcyjności L i od rezystancji R. Z przesłanek teoretycznych można dojść do wniosku, że stała czasowa jest to taki czas, po upływie, którego składowa swobodna maleje co do wartości bezwzględnej e razy.

Jeżeli R = const, a indukcyjności L nadajemy kilka kolejnych różnych wartości, na przykład zmieniając wymiary geometryczne i liczbę zwojów cewki, to dużej wartości indukcyjności odpowiada duża stała czasu i powoli wzrastająca krzywa prądu, a małej wartości indukcyjności - mała stała czasu i szybko wzrastająca krzywa prądu. W teoretycznym przypadku granicznym L=0 (obwód o indukcyjności zerowej, czyli czysto rezystancyjny) stała czasu τ=0 i prąd w chwili początkowej t=0 wzrasta skokiem od wartości ustalonej początkowej i(0-)=0 do wartości ustalonej końcowej i(0-)=U/R. W tym przypadku teoretycznym nie ma w ogóle stanu nieustalonego, co jest opisaną już wcześniej cechą obwodów rezystancyjnych.

4. Wnioski.

Podczas laboratorium badaliśmy związki pomiędzy dyskretnymi sygnałami wymuszeń (sygnałami wejściowymi - x[n]) i dyskretnymi sygnałami odpowiedzi (sygnałami wyjściowymi y[n]).

Sygnały przedstawione są w postaci równań rekurencyjnych. Do badania takich sygnałów dyskretnych bardzo użyteczne jest przekształcenie Z. Dla sygnału dyskretnego w postaci ciągu f[n] transformatą Z nazywa się funkcję F(z) zmiennej zespolonej w postaci sumy nieskończonej:

dla tych z, dla których suma jest zbieżna.

Z powyższego wzoru można wyznaczyć transformaty Z dla różnych sygnałów.

Transformata Z skoku jednostkowego równa jest:

Transformata Z delty Kroneckera równa jest:

Stosując przekształcenie Z można obliczyć transformaty dla innych sygnałów.

Iloraz
nazywa się transmitancją układu cyfrowego.

Transmitancję można zdefiniować jako funkcję zmiennej zespolonej z przekształcającą transformatę Z wymuszenia w transformatę Z odpowiedzi.

PRz Sygnały i Systemy-Laboratorium.

6

---