Imię i Nazwisko

Rok, kierunek studiów

Ćw. nr 6

Badanie drgań wahadła sprężynowego.

1. Wstęp teoretyczny:

1. Oscylator harmoniczny.

Oscylatorem harmonicznym nazywamy punkt materialny, na który działa siła skierowana do pewnego centrum, proporcjonalna do odległości tego punktu od centrum. Oznaczając tę siłę przez F możemy zapisać:

F~x,

lub w postaci równości

F = -kx,

gdzie: k - jest współczynnikiem proporcjonalności.

Jeżeli punkt poddawany jest tylko działaniu siły danej powyższym wzorem, wówczas mamy do czynienia z jednowymiarowym oscylatorem harmonicznym bez tłumienia. W rzeczywistości trudno usunąć siły oporu ośrodka i tarcia. Każdy rzeczywisty oscylator harmoniczny jest oscylatorem tłumionym, którego ruch wywołany jest przez siłę

gdzie: F0 - siły oporu ośrodka, Ft - siły oporu tarcia.

Zakładając, że F0 = 0 i Ft = 0 różniczkowe równanie ruchu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego zapiszemy w postaci:

lub

Wprowadźmy oznaczenie w 2 = km, gdzie: w - nazywać będziemy częstością kołową lub pulsacją. Zatem

Ostatnie równanie często nazywamy różniczkowym równaniem oscylatora harmonicznego. Ogólnym rozwiązaniem tego równania jest funkcja

gdzie: A₁ i A₂ są dowolnymi stałymi.

Wyznaczamy je z warunków początkowych. W tym celu założymy, że w chwili t = 0 punkt znajdował się w położeniu

x = x₀

i poruszał się z prędkością

V = V₀ .

Różniczkując względem czasu dostajemy

Nakładając warunki początkowe otrzymujemy układ równań algebraicznych:

Stąd łatwo obliczyć stałe A₁ i A₂. Po podstawieniu do wzorów otrzymujemy odpowiednio:

Wprowadźmy stałe A i f określone równaniami:

W takim przypadku równania przybierają postać:

albo

A - oznacza amplitudę ruchu, f - fazę początkową.

Łatwo zauważyć, że przyspieszenie

proporcjonalne do wychylenia - jest cechą charakterystyczną dla ruchu harmonicznego prostego. Punkt materialny, który doznaje takiego przyspieszenia jest oscylatorem harmonicznym prostym. Torem opisywanego ruchu jest odcinek prostoliniowy zawarty między amplitudami - A i + A a ruch jest okresowy o okresie

Okres zależy od masy punktu (m) oraz od siły centralnej (scharakteryzowanej współczynnikiem k), nie zależy natomiast od wychylenia i fazy. Drgania posiadające taką własność są izochroniczne. Zatem oscylator harmoniczny prosty jest oscylatorem izochronicznym.

Z warunku (6) wynika zależność amplitudy i fazy początkowej od warunków początkowych. Po prostych przekształceniach w (6) otrzymujemy wzory:

oraz

Jeżeli drgania zachodzą tylko po wpływem siły proporcjonalnej do wychylenia od położenia równowagi, wówczas mamy do czynienia z drganiami własnymi lub swobodnymi. Praca jaką należy wykonać wychylając punkt od położenia równowagi na odległość x w polu sił centralnych F=-kx jest miarą energii potencjalnej oscylatora

(siłę wzięto ze znakiem plus, ponieważ pracę wykonujemy przeciwko sile centralnej).

Potencjał oscylatora harmonicznego

Energia kinetyczna

lub

Łatwo zauważyć, że energia całkowita

jest wielkością stała, gdzie m, A i w są stałe dla danego oscylatora. Energię kinetyczną można wyrazić za pomocą pędu p = m V, wówczas

Wtedy energia całkowita

Stąd

Jak widać równanie to jest równaniem elipsy. Pole powierzchni takiej elipsy w przestrzeni (konfiguracyjnej) położenia i pędu (x, p) obliczamy ze wzoru:

S = p a b

gdzie:

Po podstawieniu otrzymujemy

gdzie: T - jest okresem drgań.

W przypadku oscylatora kwantowego energia całkowita zmienia się w sposób nieciągły i pole elipsy może przyjmować ściśle określone wartości, prowadzi to w prosty sposób do kwantowania orbit w modelach atomu wodoru Bohra - Sommerfelda. Przykładem oscylatora harmonicznego, pewnym przybliżeniu, może być sprężyna zawieszona jednym końcem, z drugiej strony obciążona obciążnikiem o masie m i wprawiona w ruch drgający. Drgania odbywają się wokół punktu równowagi, którego położenie uzależnione jest od wielkości siły ciężkości działającej na sprężynę i zaczepioną masę m. Drgania sprężyny odbywają się pod wpływem siły sprężystej -proporcjonalnej do wychylenia. Okres drgań jest wyrażony wzorem

gdzie: m - jest masą obciążającą sprężynę,

k - wielkością charakterystyczną dla danej sprężyny.

Wzór ten został wyprowadzony przy założeniu, że w drganiach uczestniczy jedynie masa m . W drganiach jednak bierze również udział masa sprężyny. Okres drgań z uwzględnieniem masy sprężyny m_s obliczymy ze wzoru

2. Wykonanie ćwiczenia:

Przed przystąpieniem do pomiarów odczytałem masę (61,21g) oraz wydłużenie (18,5cm) sprężyny przy obciążeniu jej szalki m_sz=21g. Następnie układałem na szalce kolejne masy w postaci ponumerowanych płytek i odczytywałem wydłużenie x.

Kolejnie wychylając wahadło z położenia równowagi, wyznaczałem jego okres drgań, mierząc czas trwania 50 wahnięć.

Wszystkie wyniki pomiarów umieściłem w tabeli pomiarowej nr 1.

Tabela pomiarowa nr 1:

Nr płytki	Łączna masa m = mpł + msz [ kg ]	Wydłużenie sprężyny x [ m ]	Czas 50 drgań t [ s ]
1	0,05458	0,06	37,58
2	0,08833	0,122	44,65
3	0,12199	0,183	50,37
4	0,15563	0,245	56,53
5	0,18924	0,305	61,71
6	0,22292	0,367	66,37
7	0,25663	0,428	70,66
8	0,29037	0,491	74,37
9	0,32413	0,552	78,38

3. Obliczenia:

Korzystając z zależności:

gdzie:

n = 50 - liczba wahnięć wahadła

t - czas 50 drgań wahadła

odliczam okres drgań wahadła sprężynowego.

Przykładowe obliczenia dla płytki nr 1:

Następnie z równania:

gdzie:

m = m_pł + m_sz - łączna masa

g = 9,81

Obliczam siłę działającą na wahadło.

Przykładowe obliczenia dla płytki nr 3:

Kolejnie obliczam współczynnik sprężystości sprężyny:

oraz wyznaczam wartość średnią tej wielkości.

Przykładowe obliczenia dla płytki nr 7:

Wszystkie pozostałe obliczenia zamieściłem w poniższej tabeli pomiarowej nr 2.

Tabela pomiarowa nr 2:

Nr płytki	Łączna masa m = mpł + msz [ kg ]	Siła F [ N ]	Wydłużenie sprężyny x [ m ]	Czas 50 drgań t [ s ]	Okres drgań T [ s ]	Współczynnik sprężystości k
1	0,0546	0,535	0,06	37,58	0,752	5,240
2	0,0883	0,867	0,122	44,65	0,893	5,383
3	0,1220	1,197	0,183	50,37	1,007	5,539
4	0,1556	1,527	0,245	56,53	1,131	5,437
5	0,1892	1,856	0,305	61,71	1,234	5,433
6	0,2229	2,187	0,367	66,37	1,327	5,452
7	0,2566	2,518	0,428	70,66	1,413	5,476
8	0,2904	2,849	0,491	74,37	1,487	5,546
9	0,3241	3,180	0,552	78,38	1,568	5,535
					średnia	5,449

Następnie sporządziłem wykres zależności x = f ( F ) oraz korzystając z metody najmniejszych kwadratów wyznaczyłem współczynnik kierunkowy prostej, który jest równy
. Zależność między współczynnikiem kierunkowym a współczynnikiem sprężystości k, określona jest wzorem:

obliczyłem wartość stałej k.

4. Rachunek błędów:

Korzystając z różniczki zupełnej, obliczam błąd dla wartości siły T: pamiętając, że:

∆_dt = 0,3 s

∆_et = 0,5 s

tak więc mamy:

czyli:

Następnie obliczam błąd dla wartości F, pamiętając że:

u_d (m) = 0,01 g = 0,00001 kg

u_e (m) = 0,02 g = 0,00002 kg

tak więc mamy:

czyli:

[ N ]

Następnie obliczam błąd pomiaru współczynnika k, korzystając z metody A. Wyznaczam średnią arytmetyczną z wyników pomiaru:

Ze wzoru:

Obliczam niepewność standardową wartości średniej:

Wszystkie obliczenia umieściłem w poniższej tabeli pomiarowej nr 3.

Tabela pomiarowa nr 3:

i	ki	ki -	(ki - )^2
1	5,240	-0,209	0,04359
2	5,383	-0,066	0,00437
3	5,539	0,090	0,00813
4	5,437	-0,012	0,00015
5	5,433	-0,016	0,00024
6	5,452	0,003	0,00001
7	5,476	0,027	0,00074
8	5,546	0,097	0,00933
9	5,535	0,086	0,00740
	5,449	∑	0,07396

5. Dyskusja wyników:

Celem mojego ćwiczenia było zbadanie właściwości wahadła sprężynowego.

Po wykonaniu wszystkich potrzebnych pomiarów i po zrobieniu obliczeń mogę stwierdzić, że udało mi się sprawdzić prawo Hooke'a, gdyż z wykresu wyraźnie wynika wprost proporcjonalną zależność pomiędzy odchyleniem a siłą działającą na sprężynę, co zgadza się z założeniami badanego prawa. Ciało wychylone z położenia równowagi o wielkość nie przekraczającą zakresu stosowalności prawa Hooke'a, wykonuje drgania wokół położenia równowagi i tak też jest w tym przypadku.

Otrzymane wartości stałych sprężyny różnią się nieznacznie od siebie. Może to być spowodowane błędami współczynnika kierunkowego prostej i zbyt dużym zaokrągleniem liczb.

Przyczyną błędów mierzonych wartości mogły być także błędy związane z niedokładnością odczytania amplitudy oraz błędy przy wyznaczaniu czasu trwania 50 drgań (zbyt późne lub zbyt szybkie zatrzymanie stopera).

Końcowa średnia wartość współczynnika z jego błędem wynosi:

---