Wzory 13

WZORY 13: hipotezy parametryczne, do których weryfikacji używane są statystyki z próby o rozkładzie standardowym normalnym

Założenia I

1) Zmienna losowa X ma w populacji generalnej rozkład normalny, określony parametrami m oraz σ. Próbę prostą n-elementową tworzy ciąg niezależnych zmiennych losowych (X1, X2, X3,..., Xn) o rozkładach identycznych i jednakowych z rozkładem zmiennej losowej X w populacji generalnej.

2) Jeżeli mamy do czynienia z dwiema populacjami generalnymi, to założenie 1) dotyczy obu populacji.

We wszystkich analizowanych niżej testach istotności hipotezy alternatywne mogą występować w trzech odmianach: jako hipotezy dwustronne, prawostronne lub lewostronne, w wyniku tego zbiór wartości krytycznych K może występować także w trzech odmianach.

Zbiorem wartości krytycznych w parametrycznych testach istotności opartych na rozkładzie normalnym standardowym (symetrycznym) zmiennej losowej U jest zbiór K dany w następujących odmianach:

a) K = {u : u należy do zbioru (-∞; -uα> lub <uα, +∞)} i gdzie uα jest wartością odczytaną z tablic rozkładu normalnego standardowego przyjętym poziomie istotności α tak, aby , a hipoteza alternatywna x1 jest dwustronna,

b) K = {u : u należy do zbioru <u2α, +∞)} i gdzie u2α jest wartością odczytaną z tablic rozkładu normalnego standardowego przyjętym poziomie istotności α tak, aby , a hipoteza alternatywna x1 jest prawostronna,

c) K = {u : u należy do zbioru (-∞; -u2α>} i gdzie -u2α jest wartością odczytaną z tablic rozkładu normalnego standardowego przyjętym poziomie istotności α tak, aby , a hipoteza alternatywna x1 jest lewostronna.

We wszystkich analizowanych niżej testach istotności opartych na rozkładzie standardowym normalnym mogą być podejmowane decyzje weryfikacyjne dwojakiego rodzaju.

Jeżeli obliczona wartość statystyki u znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K, co oznacza, że

a)  $ uα, b) uobl ≥ u2α, c) uobl ≤ -u2α,

to, przyjętym poziomie istotności α odrzucamy hipotezę sprawdzaną x0 na rzecz hipotezy alternatywnej x1.

Jeżeli obliczona wartość statystyki u nie znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K, co oznacza, że

a)  < uα, b) uobl < u2α, c) uobl > -u2α,

to, przyjętym poziomie istotności α nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy sprawdzanej x0.

Część I

Hipoteza 1

x0 : m = m0 a)   x1 : m … m0 lub: b)   x1 : m > m0, lub też c)   x1 : m < m0.

Dodatkowe założenie: parametr σ jest znany.

Narzędziem weryfikacji hipotezy x0 jest, przy założeniach I i założeniu dodatkowym, statystyka U dana wzorem (13.A):

(13.A) ,

gdzie

, i = 1,..., n,

Obliczona na podstawie wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby prostej (X1, X2,..., Xn) oraz obliczona podstawie założenia, że hipoteza sprawdzana x0 jest hipotezą prawdziwą, statystyka (13.A) przyjmuje wartość (13.A*).

(13.A*) ,

gdzie

, i = j, i = 1,..., n.

Hipoteza 1 jak wyżej

Dodatkowe założenie: parametr σ nie jest znany, ale n 6 ∞.

Narzędziem weryfikacji hipotezy x0 jest, przy założeniach I i założeniu dodatkowym, statystyka U dana wzorem (13.B):

(13.B) ,

gdzie

, , , i = 1,..., n,

Obliczona na podstawie wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby prostej (X1, X2,..., Xn) oraz obliczona podstawie założenia, że hipoteza sprawdzana x0 jest hipotezą prawdziwą, statystyka (13.B) przyjmuje wartość (13.B*).

(13.B*) ,

gdzie

, i = j, i = 1,..., n, , i = j, i = 1,..., n, ,

Hipoteza 2

x0 : m1 = m2, czyli x0 : m1 - m2 = 0 a)   x1 : m1 … m2, czyli x1 : m1 - m2 … 0 lub: b)   x1 : m1 > m2, czyli x1 : m1 - m2 > 0 lub też c)   x1 : m1 < m2, czyli x1 : m1 - m2 < 0.

Dodatkowe założenie: parametry  i  są znane.

Narzędziem weryfikacji hipotezy x0 jest, przy założeniach I i założeniu dodatkowym, statystyka U dana wzorem (13.C):

(13.C) ,

gdzie

, i = 1,..., n1, , i = 1,..., n2.

Obliczona na podstawie wyników (x11, x21,..., xn1) n1-elementowej próby prostej (X11, X21,..., Xn1) i wyników (x12, x22,..., xn2) n2-elementowej próby prostej (X12, X22,..., Xn2) oraz obliczona podstawie założenia, że hipoteza sprawdzana x0 jest hipotezą prawdziwą, statystyka (13.C) przyjmuje wartość (13.C*).

(13.C*) ,

gdzie

, i = j, i = 1,..., n1, , i = j, i = 1,..., n2,

Hipoteza 2 jak wyżej

Dodatkowe założenie: parametry  i  nie są znane, ale n1 6 ∞ oraz n2 6 ∞.

Narzędziem weryfikacji hipotezy x0 jest, przy założeniach I i założeniu dodatkowym, statystyka U dana wzorem (13.D):

(13.D)

gdzie

, i = 1,..., n1, , i = 1,..., n2. , .

Obliczona na podstawie wyników (x11, x21,..., xn1) n1-elementowej próby prostej (X11, X21,..., Xn1) i wyników (x12, x22,..., xn2) n2-elementowej próby prostej (X12, X22,..., Xn2) oraz obliczona podstawie założenia, że hipoteza sprawdzana x0 jest hipotezą prawdziwą, statystyka (13.D) przyjmuje wartość (13.D*).

(13.D*) ,

gdzie

, i = j, i = 1,..., n1, , i = j, i = 1,..., n2,

,

Część II

Założenia II

1) Zmienna losowa X ma w populacji generalnej rozkład zero-jedynkowy, określony parametrem p. Próbę prostą n-elementową tworzy ciąg niezależnych zmiennych losowych (X1, X2, X3,..., Xn) o rozkładach identycznych i jednakowych z rozkładem zmiennej losowej X w populacji generalnej.

2) Jeżeli mamy do czynienia z dwiema populacjami generalnymi, to założenie 1) dotyczy obu populacji.

W analizowanych niżej testach istotności hipotezy alternatywne mogą występować w trzech odmianach: jako hipotezy dwustronne, prawostronne lub lewostronne, w wyniku tego zbiór wartości krytycznych K może występować także w trzech odmianach a), b) i c) wymienionych wyżej.

W analizowanych niżej testach istotności mogą być podejmowane omawiane już poprzednio decyzje weryfikacyjne dwojakiego rodzaju.

Jeżeli obliczona wartość statystyki u znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K, co oznacza, że

a)  $ uα, b) uobl ≥ u2α, c) uobl ≤ -u2α,

to, przyjętym poziomie istotności α odrzucamy hipotezę sprawdzaną x0 na rzecz hipotezy alternatywnej x1.

Jeżeli obliczona wartość statystyki u nie znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K, co oznacza, że

a)  < uα, b) uobl < u2α, c) uobl > -u2α,

to, przyjętym poziomie istotności α nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy sprawdzanej x0.

Hipoteza 3

x0 : p = p0 a)   x1 : p … p0 lub b)   x1 : p > p0, lub też c)   x1 : p < p0.      Narzędziem weryfikacji hipotezy x0 jest, przy założeniach II oraz n 6 ∞, statystyka U dana wzorem (13.E):

(13.E)

gdzie

jest frakcją, a X liczbą elementów wyróżnionych w n-elementowej próbie; realizacje zmiennej losowej X w n-elementowej próbie oznaczamy literą k, k = 0,1,2,..., n.

Obliczona na podstawie wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby prostej (X1, X2,..., Xn) oraz obliczona podstawie założenia, że hipoteza sprawdzana x0 jest hipotezą prawdziwą, statystyka (13.E) przyjmuje wartość (13.E*).

(13.E*)

gdzie

, k = 0,1,2..., n,  gdy xi = 1 lub xi = 0, i = 1,..., n.

Hipoteza 4

x0 : p1 = p2, czyli x0 : p1 - p2 = 0 a)   x1 : p1 … p2, czyli x1 : p1 - p2 … 0 lub b)   x1 : p1 > p2, czyli x1 : p1 - p2 > 0 lub też c)   x1 : p1 < p2, czyli x1 : p1 - p2 < 0.

Narzędziem weryfikacji hipotezy x0 jest, przy założeniach II oraz n1 6 ∞ i n2 6 ∞, statystyka U dana wzorem (13.F):

(13.F) ,   gdzie

jest frakcją, a X1 liczbą elementów wyróżnionych w n1-elementowej próbie;  jest frakcją, a X2 liczbą elementów wyróżnionych w n2-elementowej próbie,  jest łączną frakcją, a X1 + X2 łączną liczbą elementów wyróżnionych w łącznej (n1 + n2)-elementowej próbie.

Obliczona na podstawie wyników (x11, x21,..., xn1) n1-elementowej próby prostej (X11, X21,..., Xn1) i wyników (x12, x22,..., xn2) n2-elementowej próby prostej (X12, X22,..., Xn2) oraz obliczona podstawie założenia, że hipoteza sprawdzana x0 jest hipotezą prawdziwą, statystyka (13.F) przyjmuje wartość (13.F*).

(13.F*) ,

gdzie

, k1 = 0,1,..., n1, , k2 = 0,1,..., n2, ,  gdy xi1 = 1 lub xi1 = 0, dla i = 1,..., n1 oraz  gdy xi2 = 1 lub xi2 = 0, dla i = 1,..., n2.

Część III

Założenia I

1) Zmienna losowa X ma w populacji generalnej rozkład normalny, określony parametrami m oraz σ. Próbę prostą n-elementową tworzy ciąg niezależnych zmiennych losowych (X1, X2, X3,..., Xn) o rozkładach identycznych i jednakowych z rozkładem zmiennej losowej X w populacji generalnej.

2) Jeżeli mamy do czynienia z dwiema populacjami generalnymi, to założenie 1) dotyczy obu populacji.

We wszystkich analizowanych niżej testach istotności hipotezy alternatywne mogą występować w trzech odmianach: jako hipotezy dwustronne, prawostronne lub lewostronne, w wyniku tego zbiór wartości krytycznych K może występować także w trzech odmianach a), b) i c) wymienionych wyżej.

W analizowanych niżej testach istotności mogą być podejmowane już omawiane wcześniej decyzje weryfikacyjne dwojakiego rodzaju.

Jeżeli obliczona wartość statystyki u znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K co oznacza, że

a)  $ uα, b) uobl ≥ u2α, c) uobl ≤ -u2α,

to, przyjętym poziomie istotności α odrzucamy hipotezę sprawdzaną x0 na rzecz hipotezy alternatywnej x1.

Jeżeli obliczona wartość statystyki u nie znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K, co oznacza, że

a)  < uα, b) uobl < u2α, c) uobl > -u2α

to, przyjętym poziomie istotności α nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy sprawdzanej x0

Hipoteza 5

x0 : a)   x1 :  lub b)   x1 : , lub też c)   x1 : .

Narzędziem weryfikacji hipotezy x0 jest, przy założeniach I oraz n 6 ∞, statystyka U dana wzorem (13.G):

(13.G)

gdzie

, i = 1,..., n, , i = 1,..., n,

Obliczona na podstawie wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby prostej (X1, X2,..., Xn) oraz obliczona podstawie założenia, że hipoteza sprawdzana x0 jest hipotezą prawdziwą, statystyka (13.G) przyjmuje wartość (13.G*).

(13.G*)

gdzie

, i = j, i = 1,..., n, , i = j, i = 1,..., n.    Hipoteza 6

x0 : a)   x1 :  lub b)   x1 : , lub też c)   x1 : .

Narzędziem weryfikacji hipotezy x0 jest, przy założeniach I oraz n 6 ∞, statystyka U dana wzorem (13.H):

(13.H)

gdzie

, i = 1,..., n, , , i = 1,..., n,

Obliczona na podstawie wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby prostej (X1, X2,..., Xn) oraz obliczona podstawie założenia, że hipoteza sprawdzana x0 jest hipotezą prawdziwą, statystyka (13.H) przyjmuje wartość (13.H*).

(13.H*)

gdzie

, i = j, i = 1,..., n, , i = j, i = 1,..., n, .

Część IV

Hipoteza 6

x0 : a)   x1 :  lub b)   x1 : , lub też c)   x1 : .

Narzędziem weryfikacji hipotezy x0 jest, przy założeniach I oraz n 6 ∞, statystyka U dana wzorem (13.I):

(13.I)

gdzie

Π jest liczbą niewymierną, o wartości bliskiej 3,14,  jest odchyleniem przeciętnym z n-elementowej próby losowej prostej danym wzorem  dla i = 1,..., n.

Obliczona na podstawie wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby prostej (X1, X2,..., Xn) oraz obliczona podstawie założenia, że hipoteza sprawdzana x0 jest hipotezą prawdziwą, statystyka (13.I) przyjmuje wartość (13.I*).

(13.I*) ,

gdzie

, i = j, i = 1,..., n, , i = j, i = 1,..., n,

Hipoteza 1 jak wyżej

x0 : m = m0 a)   x1 : m … m0 lub: b)   x1 : m > m0, lub też c)   x1 : m < m0.

Dodatkowe założenie: parametr σ jest znany.

Narzędziem weryfikacji hipotezy x0 jest, przy założeniach I, dodatkowym założeniu oraz n 6 ∞, statystyka U dana wzorem (13.J):

(13.J) ,

gdzie

Π jest liczbą niewymierną, o wartości bliskiej 3,14,  jest medianą z próby prostej daną wzorem: , dla n nieparzystego, lub , dla n parzystego.

Obliczona na podstawie wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby prostej (X1, X2,..., Xn) oraz obliczona podstawie założenia, że hipoteza sprawdzana x0 jest hipotezą prawdziwą, statystyka (13.J) przyjmuje wartość (13.J*).

(13.J*) ,

gdzie

, dla n nieparzystego, lub , dla n parzystego.

Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: M. Fisz: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1969, (s. 493); J. Greń: Statystyka matematyczna, podręcznik programowany, PWN, Warszawa 1987; J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998; P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.

---